考研数学二（概率论与数理统计）模拟试卷1（共199题）

考研数学二（概率论与数理统计）模拟试卷1（共8套）（共199题）考研数学二（概率论与数理统计）模拟试卷第1套一、选择题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)1、设A，B，C是同一个试验的随机事件，则事件(A∪B)(A∪∪B)可以化简为()A、A∪B．B、A—B．C、AB．D、．标准答案：C知识点解析：注：化简数学式子主要从两个角度着手，一是简化形式，二是简化结果．注意事件的运算满足交换律、结合律、分配律，德.摩根律和吸收律．把握这些特征，有利于化简复杂事件．2、设A和B是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是()A、不相容．B、相容．C、P(AB)=P(A)P(B)．D、P(A一B)=P(A)．标准答案：D知识点解析：由图1—1，显然(A)不成立，由图1一2，选项(B)不成立．又AB=，故P(AB)=0，而P(A)P(B)＞0，选项(C)不正确．3、对于任意两个随机事件A和B，则()．A、如果AB≠，则A，B一定独立．B、如果AB≠，则A，B有可能独立．C、如果AB=，则A，B一定独立．D、如果AB=，则A，B一定不独立．标准答案：B知识点解析：一般地，随机事件互不相容与相互独立之间没有必然联系，如果0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，且A和B相互独立，则0＜P(AB)=P(A)P(B)＜1，则AB≠．反之，如果AB≠，P(AB)与P(A)P(B)有可能相等，故应选B．4、设A为随机事件，且P(A)=1，则对于任意的随机事件B，必有()A、P(A∪B)=P(B)．B、P(A一B)=P(B)．C、P(B一A)=P(B)．D、P(AB)=P(B)．标准答案：D知识点解析：因为AA∪B，P(A)=1，从而P(A∪B)=1，而B为任意事件，所以选项(A)不正确；又P(A一B)==1一P(B)，所以选项(B)不正确；P(B—A)==0，而B为任意事件，所以选项(C)不正确；P(AB)=P(A)P(B)=P(B)，故应选D．注：如果知道结论“概率为0或1的事件与任意事件相互独立”，则可立刻选出正确选项．5、设随机事件A，B满足P(A)=P(B)=，P(A∪B)=1，则有()A、A∪B=nB、AB=．C、P()=1．D、P(A—B)=0．标准答案：C知识点解析：由加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)一P(AB)，P(A∪B)=1得P(AB)=0．P(A∪B)=1，不能说明A∪B=Ω，故选项(A)不正确；同样P(AB)=0，也不能说明AB=，故选项(B)不正确；P(A一B)=P(A)一P(AB)=，所以选项(D)不正确；而=1—P(AB)=1，故应选C．6、设A和B为随机事件，则P(A—B)=P(A)一P(B)成立的充要条件是()A、BA．B、A=B．C、P(B一A)=0．D、P(A)=0．标准答案：C知识点解析：因为P(A—B)=P(A—AB)=P(A)一P(AB)，而P(A—B)=P(A)一P(B)，从而P(A—B)=P(A)一P(B)成立的充要条件是P(AB)=P(B)．又P(B—A)=P(B—AB)=P(B)一P(AB)=0，可得P(AB)=P(B)，因此应选C．7、设A、B是两个随机事件，且P(C｜AB)=1，则正确的是()A、P(C)≤P(A)+P(B)一1．B、P(C)=P(AB)．C、P(C)=P(A∪B)．D、P(C)≥P(A)+P(B)一1．标准答案：D知识点解析：因为P(C｜AB)==1，从而P(ABC)=P(AB)，由加法公式P(AB)=P(A)+P(8)一P(A∪B)≥P(A)+P(B)一1，又ABCC，故P(ABC)≤P(C)，即P(C)≥P(A)+P(B)一1，因此选(D)．8、设0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，P(A｜B)+P()=1，则()A、事件A和B互不相容．B、事件A和B互相对立．C、事件A和B互不独立．D、事件A和B相互独立．标准答案：D知识点解析：9、已知A，B，C三个事件中，A与B相互独立，且P(C)=0，则事件()A、相互独立．B、两两独立，但不一定相互独立．C、不一定两两独立．D、一定不两两独立．标准答案：A知识点解析：P(ABC)=P(AB)P(C)=P(A)P(B)P(C)，从而事件A，B，C相互独立，由独立性结论，事件一定相互独立．10、设A，B，C是三个相互独立的随机事件，且P(A)≠0，0＜P(C)＜1．则在下列给定的四对事件中不一定相互独立的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：事实上，，因此应选B．注：由已知条件，只能得到是不一定相互独立的，而不能确定一定不独立，事实上如果P()=0或1，则二者就是相互独立的．11、进行一系列独立重复试验，假设每次试验的成功率为p(0＜p＜1)，则在试验成功2次前已经失败3次的概率为()A、4p2(1-p)3．B、4p(1-p)3．C、10p2(1-p)3．D、p2(1-p)3．标准答案：A知识点解析：考查独立重复试验事件的概率，事件“在试验成功2次前已经失败3次”是指“试验进行5次，第5次是第2次成功”，相当于事件“第5次成功，前4次成功1次”．由于是独立重复试验，故所求概率为C41p(1-p)3p=4p2(1-p)3，应选A．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)12、已知A，B是任意两个随机事件，则p=P{(A∪B)(A∪)}=__________．标准答案：知识点解析：本题考查随机事件的概率，关键是综合运用事件的关系和运算律化简事件．13、随机地向半圆0＜y＜(a＞0)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x轴夹角小于的概率为__________．标准答案：知识点解析：设A表示事件“原点与该点的连线与x轴夹角小于”，如图1—4所示，事件A对应图中区域D，则P(A)=14、设两两相互独立的三事件A，B和C满足条件：ABC=，且已知P(A∪B∪C)=，则P(A)=__________。标准答案：知识点解析：15、设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知2件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为__________．标准答案：知识点解析：本题考查条件概率的识别和计算，由于事件发生有先后顺序，因此是条件概率．关键是要清楚先发生的事件的内涵，即“任取2件产品，已知2件中有一件是不合格品”是指“所取2件产品至少有一件是不合格品”．设A表示事件“2件产品中有一件是不合格品”，B表示“另一件也是不合格品”，则所求概率为16、设A，B，C是三个随机事件，且P(A)=0．4，P(B)=0．6，P(C)=0．5，又AB，A，C相互独立，则P((A—C)B｜AC∪B)=__________．标准答案：知识点解析：17、某人向同一个目标进行独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p，此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为，则p=__________。标准答案：0．5．知识点解析：试验是独立重复试验，某人第4次射击恰好第2次命中是指“在前3次射击中命中1次，第4次射击恰好是第2次命中”．由已知条件，所求概率为q=C31p(1-p)2p=3p2(1-p)2=，故p(1-p)=，解得p=0．5．三、解答题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)18、某批产品中有口件正品，6件次品．(1)用放回抽样方式从中抽取n(n≤a+b)件产品，问其中恰有k(k≤n)件次品的概率p1；(2)用不放回抽样方式从中抽取n件产品，问其中恰有k(k≤n)件次品的概率p2；(3)依次将产品一件件取出，求第k次取出正品的概率p3．标准答案：知识点解析：这是古典型概率问题，样本空间可以作不同的设计，但必须满足等可能性的要求．19、在随机地抛掷两枚骰子的试验中，求两枚骰子点数之和为6的结果出现在点数之和为8的结果之前的概率．标准答案：由古典型概率，“两枚点数之和为6”的概率为，“出现点数之和为6或8”的概率为．由事件的独立性，所求概率为p=．知识点解析：设Ai表示在“前i一1次试验中既不出现点数之和为6，也不出现点数之和为8，而第i次试验出现点数之和为6的结果”i=1，2，…，A表示“两枚骰子点数之和为6的结果出现在点数之和为8的结果之前”，则A1，A2，…，Ai，…两两互不相容，且A=Ai．再利用事件的独立性和加法公式求出A的概率．20、将n只球(1一n号)随机地放人n只盒子(1一n号)中去，一只盒子装一只球，若一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对．求至少有一个配对的概率．标准答案：设Ai表示“第i号球配对”，i=1，2，…以B表示“至少有一个配对”，知识点解析：这是古典型概率的基本问题，所讨论的事件比较复杂，可以用简单事件的关系表示该事件，再利用加法公式计算．21、设(x，y)是平面区域D={(x，y)｜x｜＜1，｜y｜＜1}上的随机点．求关于t的方程t2+xt+y=0有两个正实根的概率．标准答案：设平面区域A={(x，y)｜0＜y＜，一1＜x＜0}，则当随机点(x，y)∈A时，方程t2+xt+y=0有两个正实根，由几何型概率可得所求概率为知识点解析：这是典型的几何型概率问题，如图1一3所示，样本空间对应的区域为区域D={(x，y)｜x｜＜1，｜y｜＜1}，方程t2+xt+y=0有两个正实根的充要条件是△=x2—4y＞0，其根t=，x＜0，y＞0．计算区域的面积之比即为所求事件的概率．22、设有三个事件A，B，C，其中0＜P(B)＜1，0＜P(C)＜1，且事件B与事件C相互独立，证明：P(A｜B)=P(A｜BC)P(C)+P(A｜B)．标准答案：因为事件B与事件C相互独立，从而事件B与事件也相互独立，且知识点解析：本题考查事件的独立性和条件概率计算公式，直接证明即可．23、三门炮同时独立地对同一个目标进行炮击，各发射一发炮弹，第一、二、三门炮击中目标的概率分别为0．4，0．5，0．7，目标中1，2，3弹被击毁的概率分别为0．2，0．6，0．8．(1)求炮击后目标被击毁的概率p；(2)已知目标被击毁，求目标中2弹的概率q．标准答案：(1)设A表示事件“目标被击毁”，Bi表示事件“目标中i弹(i=0，1，2，3)”，由事件的独立性，有P(B0)=(1一0．4)(1一0．5)(1一0．7)=0．09，P(B1)=0．4×(1—0．5)(1—0．7)+(1—0．4)×0．5×(1—0．7)+(1一0．4)(1一0．5)×0．7=0．36，P(B2)=0．4×0．5×(1一0．7)+0．4×(1一0．5)×0．7+(1一0．4)×0．5×0．7=0．41，P(B3)=0．4×0．5×0．7=0．14．由已知，有P(A｜B0)-0，P(A｜B1)=0．2，P(A｜B2)=0．6，P(A｜B3)=0．8．根据全概率公式，有p=P(A)=P(Bi)P(A｜Bi)=0×0．09+0．36×0．2+0．41×0．6+0．14×0．8=0．43．(2)根据贝叶斯公式，有q=P(B2｜A)==0．57．知识点解析：随机试验分为两个阶段，炮击后目标可能没有中弹，或被击中1弹、2弹、3弹，目标是否被击毁的概率由所中炮弹个数决定，考虑用全概率公式．24、设有8只球，其中自球和黑球各4只，从中任取4只放人甲盒，余下的4只放入乙盒，然后分别在两盒中任取1只球，颜色正好相同．试问放人甲盒的4只球中有几只白球的概率最大?标准答案：设A表示“在两盒中任取1只球，颜色正好相同”，Bi表示“甲盒中有i(i=0，1，2，3，4)只白球”，则有故放入甲盒中有两只白球的概率最大．知识点解析：本题所讨论的是在事件“在两盒中任取1只球，颜色正好相同”发生的条件下第一次随机试验的各个结果发生的概率，考虑使用贝叶斯公式．第一次随机试验的结果用Bi表示，即设Bi表示“甲盒中有i(i=0，1，2，3，4)只白球”．25、设有来自三个地区各10名，15名，25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3价，7份，5份．随机地取出一个地区的报名表，从中先后抽取两份．(1)求先抽到的一份是女生表的概率p；(2)已知后取到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q．标准答案：(1)由全概率公式，得知识点解析：随机试验分为两个阶段，先要抽取一个地区，再在所抽取的地区中先后抽取两份报名表，第二阶段的结果由第一阶段试验结果所决定，因此考虑使用全概率公式进行计算．可以设Bi表示“报名表是第i个地区考生的”i=1，2，3．P(E)=Ai表示“第j次抽到的报名表是男生表”j=1，2．重复使用全概率公式得到所求概率．26、有30个零件，其中20个一等品，10个二等品，随机地取3个，安装在一台设备上，若3个零件中有i(i=0，1，2，3)个二等品，则该设备的使用寿命(单位：年)服从参数为λ=i+1的指数分布，试求：(1)设备寿命超过1年的概率；(2)若已知在该设备上的两个零件安装后使用寿命超过1年，则安装在该设备上的3个零件均为二等品的概率．标准答案：设Bi表示“3个零件中有i个是二等品”(i=0，1，2，3)，令A表示“设备的寿命超过1年”，以X表示“设备的使用寿命”．知识点解析：设备的使用寿命受所取零件中所含二等品的个数影响，所含二等品的个数有四种情况，可以设Bi表示“3个零件中有i(i=0，1，2，3)个是二等品”，作为完备事件组，利用全概率公式和贝叶斯公式计算所求概率．(1)P(A｜B0)=P{X＞1＞B0}=∫1+∞edx=e-1．同理可求P(A｜B1)=e-2，P(A｜B2)=e-3，P(A｜B3)=e-4．从而P(A)=0．281×e-1+0．222×e-2+0．222×e-3+0．275×e-4≈0．1495．(2)由贝叶斯公式，所求概率为P(B3｜A)=≈0．034．27、在电源电压不超过200伏，在200—240伏和超过240伏三种情形下．某种电子元件损坏的概率分别为0．1，0．001和0．2，假设电源电压X服从正态分布N(220，252)，求(1)该电子元件损坏的概率；(2)该电子元件损坏时，电源电压在200～240伏的概率．标准答案：设A1表示“电源电压不超过200伏”；A2表示“电压在200—240伏”；A3表示“电压超过240伏”；B表示“电子元件榻坏”．知识点解析：电源电压的三种情形决定电子元件损坏的概率，将其作为完备事件组，用全概率公式．正态分布计算概率利用标准正态分布计算．考研数学二（概率论与数理统计）模拟试卷第2套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、设总体X和Y相互独立，且都服从N(μ，σ2)，分别为总体X与Y的样本容量为n的样本均值，则当n固定时，概率P{｜｜＞σ}的值随σ的增大而()A、单调增大．B、保持不变．C、单调减少．D、增减不定．标准答案：B知识点解析：故应选B．2、设总体X服从N(μ，σ2)，分别是取自总体X的样本容量分别为10和15的两个样本均值，记p1=，则有()A、p1＜p2．B、p1=p2．C、p1＞p2；D、p1=μ，p2=6．标准答案：C知识点解析：所以p1＞p2，应选C．3、设总体X服从N(μ，σ2)，与S2分别为样本均值和样本方差，n为样本容量，则下面结论不成立的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：故(A)、(B)、(C)选项结论都是正确的，只有(D)是不成立的．4、设一批零件的长度服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2未知．现从中随机抽取16个零件，测得样本均值=20cm，样本方差S2=1cm2，则μ的置信水平为0．90的置信区间是()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：正态总体、方差未知的情况下，μ的置信区间为由已知条件，S=1，=20，n=16，α=0．10，故应选C．5、设总体X服从N(μ，σ2)，其中σ2未知，假设检验H0：μ≤1，H1：μ＞1．当显著性水平α=0．05时，拒绝域为()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：本题是单边检验问题，由于σ2未知，选取的检验统计量为t=服从t0.05(n一1)，所以拒绝域为t＞t0.05(n一1)，即．6、在假设检验中，记H0为原假设，H1为备择假设，则犯第二类错误是指()A、如果H0为真，接受H0B、如果H0为真，拒绝H0．C、如果H0不真，接受H0．D、如果H0不真，拒绝H0．标准答案：C知识点解析：第二类错误是指“取伪错误”，即H0不真，但却接受了原假设H0，故应选C．二、解答题(本题共22题，每题1.0分，共22分。)7、设总体X的概率密度为f(n)=又X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，为使P{min(X1，X2，…，Xn)＜，则样本容量n应满足什么条件?标准答案：由已知，X的分布函数为知识点解析：暂无解析8、设总体X的概率分布为求θ的矩估计值和最大似然估计值．标准答案：E(X)=(一1)×θ+0×(1—2θ)+1×θ=0．故利用一阶原点矩不能求出θ的矩估计值．因此利用二阶原点矩，E(x2)=(一1)2×θ+02×(1—2θ)+12×θ=2θ，又样本二阶原点矩((一1)2+02+02+12+12)=0．6，从而令2θ=0．6，得θ的矩估计值为=0．3．对于样本值一1，0，0，1，1，似然函数为L(θ)=θ(1—2θ)2θ2=θ3(1—2θ)2，取对数似然函数lnL(θ)=3lnθ+2ln(1—2θ)．令解得θ的最大似然估计值为=0．3．知识点解析：考查离散型总体参数的点估计法．利用总体矩与样本矩对应相等，可求出矩估计值，通过求似然函数的最大值，可得未知参数的最大似然估计值．9、设某信息台在某一段时间内接到的通话次数服从参数为A的泊松分布，现统计到42个数据如下：由此数据求未知参数λ的最大似然估计值．标准答案：设x1，x2，…，xn为一组样本值．知识点解析：暂无解析10、设总体X的概率密度为其中0＜θ＜1是未知参数X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值x1，x2，…，xn中小于1的个数，求(1)θ的矩估计；(2)θ的最大似然估计．标准答案：知识点解析：暂无解析11、设连续性总体X的分布函数为其中θ(θ>0)为未知参数，从总体X中抽取样本X1，X2，…，Xn，求(1)θ的矩估计量；(2)θ的最大似然估计量．标准答案：(1)由已知条件，X的概率密度为知识点解析：暂无解析12、设总体X的概率分布为其中θ(一10，1)是未知参数，从X中抽取容量为n的一组简单随机样本，以Ni表示样本中等于j的个数(i=1，2，3)．(1)求θ的最大似然估计量；(2)E(N2+N3)．标准答案：(1)由已知条件，似然函数为(2)E(N2+N3)=E(n—N1)=n—E(N1)，又N1服从β(n，1一θ)，故E(N1)=n(1—θ)，所以E(N2+N3)=n—n(1一θ)=nθ．知识点解析：暂无解析13、设随机变量X的分布函数为其中参数α＞0，β＞1．设X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本．(1)当α=1时，求未知参数β的矩估计量．(2)当α=1时，求未知参数β的最大似然估计量．(3)当β=2时，求未知参数α的最大似然估计量．标准答案：当α=1时，X的概率密度为知识点解析：本题是常规题型，考查连续型总体的参数估计．按照主要步骤逐步求解．需要先利用导数求出总体的概率密度．通过似然方程无法求得参数的估计量时，要结合最大似然估计法的原理得出估计量．14、设总体X的概率密度为f(x)=，其中一∞＜θ1＜+∞，0＜θ2＜+∞，X1，X2，…，Xn为来自总体X的随机样本，试求θ1，θ2的最大似然估计量．标准答案：设x1，…，xn为一组样本值，似然函数为知识点解析：暂无解析15、设某种元件的使用寿命X的概率密度为其中θ＞0为未知参数，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，求θ的最大似然估计量，并讨论无偏性．标准答案：当样本值xi≥0(i=1，2．…，n)时，L(θ)>0，取对数，得lnL(θ)=nln2—2(xi一θ)．因为=2n＞0，所以L(θ)单调增加．由于θ必须满足θ≤xi(i=1，2，…，n)，因此θ≤min(x1，x2，…，xn)．如果取θ=min(x1，x2，…，xn}，则L(θ)取最大值，所以θ的最大似然估计值为知识点解析：设样本值为x1，x2，…，xn，则似然函数为当xi≥0(i=1，2，…，n)时，L(θ)＞0．我们只需在此条件下确定L(θ)的最大值点是否为θ的无偏估计，需要求出．16、设总体X的概率密度为其中参数θ(0<θ<0)未知，X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，是样本均值．(1)求参数θ的矩估计量；(2)判断是否为θ2的无偏估计量，并说明理由．标准答案：知识点解析：暂无解析17、设X1，X2，…，Xn为来自总体N(μ，σ2)的简单随机样本，记，(1)证明T是μ2的无偏估计量；(2)当μ=0，σ=1时，求D(T)．标准答案：(1)因为知识点解析：暂无解析18、设随机变量X服从二次分布，其概率分布为P{X=x}=Cnθ(1一θ)n-x，x=1，2，…，n，求θ2的无偏估计量．标准答案：由于E(x)=nθ，E(x2)=D(X)+(EX)2=nθ(1一θ)+(nθ)2=nθ+n(n一1)θ2，从而E(X—X)=n(n一1)θ2，于是当抽得容量为N的一组样本后，θ2的无偏估计量为。知识点解析：暂无解析19、设X1，X2，…，Xn是取自总体X的一个简单随机样本，统计量试问上面三个统计量哪些是总体期望μ的无偏估计，并比较哪一个更有效?标准答案：知识点解析：验证统计量的无偏性和比较有效性，还是计算统计量的期望和方差问题，利用常用结果求解．20、设总体X在[θ一]上服从均匀分布，X1，X2，…，Xn(n＞2)是取自总体X的一个简单随机样本，统计量σi=的无偏估计，并指出哪一个更有效．标准答案：知识点解析：暂无解析21、设总体X服从参数为λ的泊松分布P(λ)，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，为样本均值．证明T=是P{X=0}的无偏估计量．标准答案：即T是P{X=0}的无偏估计量．知识点解析：由题意，P{x=0}=e-λ，所以只需证明E(T)=e-λ．22、设总体X服从正态分布N(μ，σ2)，S2为样本方差，证明S2是σ2的一致估计量．标准答案：知识点解析：暂无解析23、设从均值为μ，方差为σ2>0的总体中分别抽取容量为n1，n2的两个独立样本，样本均值分别为证明：对于任何满足条件a+b=1的常数a，b，统计量T=是μ的无偏估计量，并确定常数a，b，使方差D(T)达到最小．标准答案：知识点解析：暂无解析24、设总体X服从正态分布N(μ，8)，其中μ未知．(1)现有来自总体X的10个观测值，已知=1500，求μ的置信水平为0．95的置信区间；(2)当置信水平为0．95时，欲使置信区间的长度小于1，则样本容量n至少为多少?(3)当样本容量n=100时，区间(+1)作为μ的置信区间时，置信水平是多少?标准答案：知识点解析：考查正态总体方差已知的条件下关于μ的置信区间问题，根据公式讨论．25、某车间用一台包装机包装葡萄糖，包得的袋装葡萄糖的净重X(单位kg)是一个随机变量，它服从正态分布N(μ，σ2)，当机器工作正常时，其均值为0．5kg，根据经验知标准差为0．015kg(保持不变)，某日开工后，为检验包装机的工作是否正常，从包装出的葡萄糖中随机地抽取9袋，称得净重为0．4970．5060．5180．5240．4980．5110．5200．5150．512试在显著性水平α=0．05下检验机器工作是否正常．标准答案：按题意需要检验H0：μ=0．5，H1：μ≠0．5，故拒绝原假设，即认为机器工作不正常．知识点解析：暂无解析26、设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66．5分，标准差为15分，问在显著性水平α=0．05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?并给出检验过程．标准答案：设这次考试的考生成绩为X，则X～N(μ，σ2)．H0：μ=70，H1：μ≠70，经计算t=一1．4，故接受原假设，即可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分．知识点解析：暂无解析27、设有甲，乙两种零件，彼此可以代用，但乙种零件比甲种零件制造简单，造价低，经过试验获得抗压强度(单位：kg／cm2)为甲种零件：88，87，92，90，91，乙种零件：89，89，90，84，88．假设甲乙两种零件的抗压强度均服从正态分布，且方差相等，试问两种零件的抗压强度有无显著差异(取α=0．05)?标准答案：本题是在显著性水平α=0．05下，检验假设H0：μ1=μ2，H1：μ1≠μ2，检验统计量t=～t(n1+n2—2)，拒绝域W={｜t｜≥(n1+n2—2)}={｜t｜≥t0.025(8)=2．3060}，经计算t=0．724，故接受原假设，即认为两种零件的抗压强度无显著差异．知识点解析：暂无解析28、某无线电厂生产的一种高频管，其中一项指标服从正态分布N(μ，σ2)，从一批产品中抽取8只，测得该指标数据如下：66，43，70，65，55，56，60，72．(1)总体均值μ=60，检验σ2=82(取α=0．05)；(2)总体均值μ未知时，检验σ2=82(取α=0．05)．标准答案：本题是在显著性水平α=0．05下，检验假设H0：σ2=σ02=82，H1：σ2≠82．经计算χ2=10．2017，故接受原假设，即认为σ2=82．知识点解析：暂无解析考研数学二（概率论与数理统计）模拟试卷第3套一、填空题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)1、设二维随机变量(X，Y)服从正态分布N(μ，μ，σ2，σ2，0)，则E(XY2)=__________，E[(X+Y)2]=__________。标准答案：μσ2+μ3，2σ2+4μ2．知识点解析：由于(X，Y)服从正态分布N(μ，μ，σ2，σ2，0)，所以X服从N(μ，σ2)，Y也服从N(μ，σ2)，而ρ=0，所以X与Y是相互独立的．因此E(XY2)=E(X).E(Y2)=E(X)[D(Y)+(EY)2]=μ(σ2+μ2)=μσ2+μ3．E[(X+Y)2]=E(X2+2XY+Y2)=E(X2)+2E(X)E(Y)+E(Y2)=D(X)+[E(X)]2+2E(X)E(Y)+D(Y)+[E(Y)]2=σ2+μ2+2μ2+σ2+μ2=2σ2+4μ2．二、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)2、设X和Y是相互独立的且均服从正态分布N(0，)的随机变量，求Z=｜X—Y｜的数学期望。标准答案：由于X和Y是相互独立的且均服从正态分布N(0，)的随机变量，所以T=X—Y服从N(0，1)，其概率密度为知识点解析：本题考查独立条件下正态分布的性质及其函数的期望的计算．需要先判断X-Y的概率分布，然后再选择恰当的公式计算．3、设X1和X2是相互独立的且均服从正态分布N(μ，σ)的随机变量，求E(max(X1，X2))．标准答案：设X1，X2的分布函数为F(x)，Z=max{X1，X2}，则fZ(x)=2F(x)d(x)，知识点解析：暂无解析4、设随机变量X和Y相互独立，且均服从参数为1的指数分布，记U=max(X，Y)，V=min(X，Y)．(1)求V的概率密度fV(v)；(2)E(U+V)，E(UV)．标准答案：由于X和Y相互独立，都服从参数为1的指数分布，所以E(X)=E(Y)=1，且X的分布函数为(1)设V的分布函数为Fmin(v)，则Fmin(v)=1一[1-F(v)]2=1=e-2v，v＞0．故fV(v)=(2)E(U+V)=E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2．E(UV)=E(X)E(Y)=1×1=1．知识点解析：本题考查独立同分布条件下最大值和最小值的分布．先写出V的分布函数，再求导得到其概率密度．注意到U+V=X+Y，UV=XY，利用性质和指数分布期望的结果得到E(U+V)，E(UV)．5、设(X，Y)在区域D={(x，y)｜1≤x≤3，1≤y≤3}上服从均匀分布，事件A={X≤a}，B={Y＞a}．(1)若P(A∪B)=，求a；(2)设D0为事件A∪B所占的区域，随机地向D投点4次，Z为落入D0内的次数，求E(Z2)．标准答案：知识点解析：本题考查将问题提炼为几何型概率和伯努利概率模型的能力．首先利用加法公式求出常数a，而D0为事件A∪B所占的区域，随机地向D投点4次，因此该试验是4次伯努利试验，由于Z为落入D0内的次数，因此意识到Z服从B(4，P(A∪B))，进而可利用方差的计算公式求出E(Z2)．6、随机变量X的概率密度为f(x)=对X独立重复地观察4次，用Y表示观察值大于的次数，求E(Y2)．标准答案：于是E(Y2)=D(Y)+(EY)2=5．知识点解析：本题仍然是考查常用分布之二项分布的数字特征．对X独立重复地观察4次，用Y表示观察值大于．7、设X服从N(1，4)，Y服从N(2，9)，且X与Y相互独立，如果服从N(0，1)，求常数a，b．标准答案：由已知，E(X)=1，D(X)=4，E(Y)=2，D(Y)=9，由于X与Y相互独立，所以解得a=一2，b=±5．知识点解析：考查正态分布的数字特征．根据期望和方差的运算性质或独立条件下正态分布的性质求出a，b．8、设随机变量X3，X2，X3相互独立，其中X1在[0，6]上服从均匀分布，X2服从N(0，4)，X3服从参数为λ=3的泊松分布，记Y=X1-2X2+3X3，求D(Y)．标准答案：由已知条件，D(X1)==3，D(X2)=4，D(X3)=3．又X1，X2，X3相互独立，从而D(Y)=D(X1)+4D(X2)+9D(X3)=3+4×4+9×3=46．知识点解析：暂无解析9、设(x)表示标准正态分布函数，随机变量X的分布函数F(x)=(x一1)，求(1)a、b应满足的关系式；(2)E(X)．标准答案：(1)F(+∞)=1，有a+b=1．(2)以φ(x)表示标准正态分布的概率密度，则E(x)=∫-∞+∞xdF(x)=∫-∞+∞x[aφ(x)+bφ(x一1)]dx．=a∫-∞+∞xφ(x)dx+b∫-∞+∞xφ(x一1)dx．注意到∫-∞+∞xφ(x)dx=0，从而有E(x)=b∫-∞+∞xφ(x一1)dx=b∫-∞+∞(x一1+1)φ(x一1)dx=b∫-∞+∞(x一1)φ(x一1)dx+b∫-∞+∞φ(x—1)dx．令x一1=t，有E(x)=b∫-∞+∞tφ(t)dt+b∫-∞+∞φ(t)dt=b×0+b×1=b．知识点解析：考查分布函数的性质和计算数学期望的方法．由于X的分布已知，可以利用公式结合分布的性质出E(X)．10、设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且E(X)=E(Y)=0，D(X)=16，D(Y)=25，cov(X，Y)=12，求(X，Y)的概率密度．标准答案：知识点解析：本题考查二维正态分布的参数含义和概率密度的形式，将参数代入到概率密度表达式可得到概率密度的具体形式．11、已知随机变量X和Y分别服从正态分布N(1，32)和N(0，42)，且X与Y的相关系数ρXY=．(1)求E(Z)和D(Z)；(2)求X与Z的相关系数ρXY；(3)问X与Z是否相互独立，为什么?标准答案：(3)X与Z不一定相互独立．因为Z未必服从正态分布，(X，Z)也未必服从二维正态分布，X与Z不相关，但X与Z不一定是独立的．知识点解析：综合考查正态分布，二维正态分布的关系和数字特征．利用数字特征的性质直接求出E(Z)，D(Z)和ρXY．判断X与Z是否相互独立则需要利用正态分布的性质．12、设随机变量X1，X2，…，Xn(n＞1)相互独立同分布，且期望均为μ，方差均为σ2(σ2＞0)，令的相关系数ρ．标准答案：知识点解析：本题考查正确使用公式和性质计算数字特征的能力及Xi与的关系，是基本问题．中含有Xi，因此与Xi一般是不独立的．13、设随机变量X1，X2，…，Xn(n＞2)相互独立，且均服从N(0，1)，记，i=1，2，…，n．求(1)D(Yi)；(2)coy(Y1，Yn)．标准答案：知识点解析：暂无解析14、设随机变量X1，X2，…，Xn(n＞2)的期望都为0，方差都为1，且任意两个的相关系数都为ρ，设U=X1+X2+…+Xn，Y=Xn+1+Xn+2+…+X2n，求U和V的相关系数ρXY。标准答案：知识点解析：暂无解析15、已知X与Y服从相同的分布，且P{｜X｜=｜Y｜}=0，X的概率分布为(1)求X与Y的联合概率分布；(2)问X与Y是否不相关?标准答案：(1)根据已知条件，知(X，Y)的概率分布为从而cov(X，Y)=E(XY)一E(X)E(Y)=0，即X与Y不相关．知识点解析：暂无解析16、设A和B为两个随机事件，定义随机变量证明X与Y不相关的充分必要条件是A和B相互独立．标准答案：设P(A)=P1，P(B)=P2，P(AB)=P12，则有E(X)=2P1—1，E(Y)=2P2—1，E(XY)=4P12-2P1一2P2+1，COY(X，Y)=E(XY)一E(X)E(Y)=4(P12一P1P2)．X与Y不相关A与B相互独立．知识点解析：本题考查不相关与独立性的判断．严格按照定义证明．17、对于任意二事件A，B，0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，定义A与B的相关系数为(1)证明事件A，B相互独立的充分必要条件是其相关系数为零；(2)利用随机变量相关系数的基本性质，证明｜ρAB｜≤1．标准答案：而｜ρXY｜≤1，从而｜ρAB｜≤1．知识点解析：本题考查建立事件与随机变量联系的能力，题中给出事件相关系数的定义式，要求利用随机变量相关系数的性质证｜ρAB｜≤1，因此引入(0一1)分布，将事件A，B与随机变量建立起关系式．18、设X的概率密度为f(x)=，一∞＜x＜+∞，(1)求E(X)和D(X)；(2)求X与｜X｜的协方差，判断X与｜X｜是否不相关；(3)判断X与｜X｜是否相互独立．标准答案：(1)E(X)==2，从而D(X)=E(X2)一(EX)2=2．(2)cov(X，｜X｜)=E(X｜X｜)一E(X)E(｜X｜)=E(X｜X｜)==0，从而X与｜X｜不相关．(3)对于给定的实数a＞0，显然事件{｜x｜≤1}{X≤a}，且P{X≤a}＜1，于是P{X≤a，｜X｜≤a}=P{｜X｜≤a}＞P{X≤a}P{｜X｜≤a}，因此X与｜X｜不相互独立．知识点解析：本题考查二个随机变量的协方差及相关性的概念，相关性与独立性的关系．由于分布已知，可以利用公式计算数字特征．19、设某种商品每周的需求量X是服从区间[10，30]上均匀分布的随机变量，而经销商店进货数量为区间[10，30]中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利500元；若供大于求则削价处理，每处理1单位商品亏损100元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每1单位商品仅获利300元．为使商店所获利润期望值不少于9280元，试确定最少进货量．标准答案：设进货量为t，利润为L=L(t)，则知识点解析：考查利用期望解决实际问题的能力，关键要建立起利润函数的表达式再求解．20、设自动生产线加工的某种零件的内径X(单位：mm)服从正态分布N(μ，1)，内径小于10mm或大于12mm为不合格品，其余为合格品．销售合格品获利，销售不合格品亏损，已知一个零件的销售利润T元与X有如下关系：T=，问平均内径μ取何值时，销售一个零件的平均获利最大，是多少?标准答案：已知X服从正态分布N(μ，1)，所以X-μ服从N(0，1)，于是知识点解析：暂无解析21、假设一部机器在一天内发生故障的概率为0．2，机器发生故障时全天停止工作．若一周5个工作日无故障，可获利10万元；发生一次故障仍可获利5万元；发生二次故障所获利润O元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元，求一周内期望利润是多少?标准答案：设X表示一周5天内机器发生故障的天数，Y表示利润，则Y=：由已知X服从B(5，0．2)。E(Y)=10×P{X=0}+5×P{X=1}+0×P{X=2}-2×P{X≥3}=10×0．85+5×C51(0．2)(0．8)4+0—2×[1—0．85-C51(0．2)(0．8)4一C52(0．2)2(0．8)3]=5．216(万元)．知识点解析：暂无解析考研数学二（概率论与数理统计）模拟试卷第4套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、关于随机事件{X≤a，Y≤b}与{X＞a，Y＞b}，下列结论正确的是()A、为对立事件．B、为互不相容事件．C、为相互独立事件．D、P{X≤a，Y≤b}＞P{X＞a，Y＞b}．标准答案：B知识点解析：如图3—1所示，选项(A)、(D)都是不一定成立的．如果{X≤a，Y≤b}与{X＞a，Y＞b}相互独立，则应P{(X≤a，Y≤b)(X＞a，Y＞b)}=0，不一定与P{X≤a，Y≤b}P{X＞a，Y＞b}相等，故(C)不正确．综上，应选B．2、设随机变量(X，Y)的分布函数为F(x，y)，则(X，X)的分布函数G(x，y)为()A、F(x，y)．B、F(y，x)．C、F(一x，一y)．D、F(一y，一x)．标准答案：B知识点解析：G(x，y)=P{Y≤x，x≤y}=P{x≤y，Y≤x}=F(y，x)．故应选B．3、设二维随机变量(X，Y)的分布函数为F(x，y)=，则常数A和B的值依次为()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：V(x，y)能够作为分布函数，则需满足0≤F(x，y)≤1，F(+∞，+∞)=1，F(一∞，一∞)=F(x，一∞)=F(一∞，y)=0，关于x，y单调不减且右连续，故F(+∞，+∞)=Aπ(B+)=1，满足此条件的只有(C)．4、设随机变量X和Y相互独立，且有相同的分布函数F(x)，Z=X+Y，FZ(z)为Z的分布函数，则下列成立的是()A、FZ(2z)=2F(z)．B、FZ(2z)=[r(z)2C、FZ(2z)≤[F(z)]2．D、FZ(2z)≥[，(z)]2．标准答案：D知识点解析：如图3—2所示，FZ(2z)=P{Z≤2z}=P{X+Y≤2z}，X+Y≤2z对应区域为A，由于X和Y相互独立，且有相同的分布函数F(z)，从而[p(z)]2=F(z)F(z)=P{X≤z}P{y≤z}=P{X≤z，Y≤z}，X≤z，y≤z对应区域B，显然BA，故FZ(2z)≥[F(z)]2，因此选(D)．5、设X1和X2是两个相互独立的连续型随机变量，其概率密度分别为f1(x)和f2(x)，分布函数分别为F1(x)和F2(x)，则下列说法正确的是()A、f1(x)+f2(x)必为某一随机变量的概率密度．B、f1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度．C、F1(x)+F2(x)必为某一随机变量的分布函数．D、F1(x)F2(x)必为某一随机变量的分布函数．标准答案：D知识点解析：由已知条件，有∫-∞+∞f1(x)dx=∫-∞+∞f2(x)dx=1，F1(+∞)=F2(+∞)=1，∫-∞+∞[f1(x)+f2(x)]dx=∫-∞+∞f1(x)dx+∫-∞+∞f2(x)dx=1，选项(A)不正确；例如令f1(x)=，故选项(B)不正确；F1(+∞)+F2(+∞)=2，故选项(C)不正确，因此选(D)．6、已知随机变量X和Y相互独立，其概率分布为则下列式子正确的是()A、X=YB、P{X=Y}=0．?C、P{X=Y}=．D、P{X=Y}=1．标准答案：C知识点解析：P{X=Y}=P{X=一1，Y=一1}+P{x=1，Y=1}=P{X=一1}P{Y=一1}+P{X=1}P{Y=1}=7、设二维随机变量(X，Y)在平面区域G上服从均匀分布，其中G是由x轴，y轴以及直线y=2x+1所围成的三角形域，则(X，Y)的关于X的边缘概率密度为()标准答案：B知识点解析：由已知条件，如图3—4所示。8、设平面区域D是由x轴，y轴以及直线x+=1所围成的三角形域，二维随机变量(X，Y)在D上服从均匀分布，则fX｜Y(x｜y)=()(0＜y＜2)标准答案：A知识点解析：由已知条件，如图3-5所示，二、填空题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)9、设随机变量(X，Y)的联合分布函数为则关于X的边缘分布函数为FX(x)=__________．标准答案：知识点解析：考查由联合分布确定边缘分布的能力．由联合分布可以确定边缘分布，反之，一般不能由边缘分布确定联合分布，需要诸如独立等条件．使用公式F1(x)=F(x，+∞)．三、解答题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)10、已知二维随机变量(X，Y)的联合概率分布为分别按下列已知条件，求α，β(1)如果P{x+y=1}=0．4；(2)如果X与Y不相关；系数ρxy=0；(3)已知事件{X=0}与{Y=1}相互独立；(4)设F(x，y)为(X，Y)分布函数，且F()=0．4．标准答案：由题意α+β=0．4．(1)P{X+Y=1}=P{(X=0，Y=1)∪(X=1，Y=0)}=P{X=0，Y=1}+P{X=1，Y=0}=α+0．1=0．4，从而α=0．3，β=0．1；(2)X与Y不相关的充分必要条件是协方差cov(X，Y)=E(XY)一E(X)E(Y)=0．又E(XY)=0×(一1)×0．1+0×0×0．2+0×1×α+1×(一1)×β+1×0×0．1+1×1×0．2=β+0．2，同理可求E(X)E(Y)=0．2-β，从而0．3α+0．8β=0．17，即α=0．3，β=0．1；(3)已知P{Y=1，X=0}=P{Y=1}P{X=0}，即α=(a+0．2)(0．3+α)解得α=0．3，β=0．1或α=0．2，β=0．2．(4)，Y≤1}=PIX=0，Y=一1}+P{X=0，Y=1}+P(X=0，Y=0)=0．1+α+0．2=0．4，从而α=0．1，β=0．3．知识点解析：考查二维离散型随机变量概率分布，在题中所给出的几种比较典型的条件下确定分布中的未知参数，可以利用分布的性质结合题设条件联合求解．如果(X，Y)概率分布为P{X=xi，Y=yi}=pij，i,j=1，2，…，则=1，可得α，β的关系式，再利用其他题设条件可得α，β所满足的另一个关系式．11、在集合{1，2，3}中取数两次，每次任取一个数，作不放回抽样，以X与Y分别表示第一次和第二次取到的数，(1)求(X，Y)联合概率分布；(2)求在X=2的条件下关于Y的边缘分布律．标准答案：(1)(X，Y)可能取的值为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)．P{x=1，y=1}=P{x=1}P{y=1｜x=1}=×00=0，同理P{X=2，Y=2}=P{X=3，Y=3}=0．P{X=1，Y=2}=P{X=1}P{Y=2｜X=1}=，同理P{X=1，Y=3}=P{X=2，Y=3}=P{X=2，Y=1}=P{X=3，Y=1}=P{X=3，Y=2}=，故随机变量(X，Y)的联合分布律为知识点解析：考查离散型随机变量分布与条件分布以及利用乘法公式、条件概率计算事件概率的方法．先确定(X，Y)可能的取值，再计算取各值的概率得到(X，Y)，进而求得条件分布．12、已知随机变量X的概率分布为(1)求(X，Y)的概率分布；(2)X与Y是否相互独立?标准答案：(1)X可能取的值为0，1，2，Y可能取的值为0，1，而P{X=0，Y=0}=P{X+Y=0}=，P{X=2，Y=1}=P{X+Y=3}=，故可得如下表格形式(2)因为pij=pi．p.j(i=1，2，3；j=1，2．)，所以X与Y是相互独立的．知识点解析：考查离散型随机变量的分布与其函数的分布的计算与转化能力．关键是找到与(X，Y)取各值的事件相等的事件．13、已知随机变量X的概率分布为而且P{XY=0}=1．(1)求(X，Y)的联合概率分布；(2)问X与Y是否相互独立，为什么?(3)求P{X≠Y}．标准答案：(1)由已知条件P{XY=0}=1，知P{XY≠0}=0，P{XY≠0}=P{X=一1，Y=1}+P{X=1，Y=1}=0，从而P{X=一1，Y=1}=P{X=1，Y=1}=0．又P{X=一1}=P{X=一1，Y=0}+P{X=一1，Y=1}=，(3)P{X≠Y}=1一P{X=Y}=1-P{X=0，Y=0}-p{X=1，Y=1}=1．知识点解析：本题考查离散型随机变量联合分布和边缘分布的关系和相互转化．由已知条件P{XY=0}=1可知P{XY≠0}=0，从而得到联合概率分布．14、设随机变量X在1，2，3，4四个数字中等可能取值，随机变量Y在1～X中等可能地取一整数值．(1)求(X，Y)的概率分布；(2)P{X=Y}．标准答案：(1)X可能取值为1，2，3，4，Y可能取值为1，2，3，4．知识点解析：考查条件概率和乘法公式．先确定(X，Y)可能取值，再利用乘法公式计算．15、设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量(X，Y)的联合分布及关于X与Y的边缘分布中的数值，试求未知参数ai(i=1，2，3，…，8)．标准答案：知识点解析：考查判断二维离散型随机变量独立性的概念和方法．综合利用独立条件下联合分布与边缘分布的关系，可以避免比较繁琐的计算．事实上，如果X与Y相互独立，则表格中任意两行的概率元素是对应成比例的．16、一射手进行射击，击中目标的概率为p(0＜p＜1)，射击到击中目标两次为止，以X表示首次击中目标进行的射击次数，以Y表示总共射击的次数，求X和Y的联合概率分布及条件概率分布．标准答案：X可能取的值为1，2，…，Y可能取的值为2，3，…，P{X=m，Y=n}=(1—p)n-2p2，n=2，3，…，m=1，2，…，n—1．P{Y=n｜x=m}=p(1—p)n-m-1，n=m+1，…．知识点解析：暂无解析17、设A，B是两个事件，且求(1)(X，Y)的概率分布；(2)Z=X2+Y2的概率分布；(3)问X，Y是否相互独立．标准答案：知识点解析：暂无解析18、设某班车起点上车人数X服从参数为λ(λ＞0)的泊松分布，如果每位乘客在中途下车的概率为P(0＜p＜1)，并且他们在中途下车与否是相互独立的．用Y表示在中途下车的人数，求(1)在发车时有n个乘客的条件下，中途有m个人下车的概率；(2)(X，Y)的联合概率分布．标准答案：(1)设A表示事件“发车时有n个乘客上车”，B表示“中途有m个人下车”，则P(B｜A)=P{Y=m｜X=n}．由二项分布，有P(B｜A)=Cnmpm(1-p)n-m，0≤m≤n，n=0，1，2，…．(2)由乘法公式，有P{X=n，Y=m}=P(AB)=P(A)P(B｜A)．又由于x服从参数为A的泊松分布，因此P{X=n}=，从而(X，Y)的联合概率分布为P{X=n，Y=m}=，其中0≤m≤n，n=0，1，2，…．知识点解析：暂无解析19、已知二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x，y)=求(X，Y)的联合分布函数．标准答案：如图3-3，由密度函数的定义，将xOy平面分成5个部分．分布函数F(x，y)=∫-∞x∫-∞yf(u，v)dudv(1)当x＜0或y＜0时，r(x，y)=0．(2)当0≤x<1，0≤y＜1时，F(x，y)=∫0xudu∫0y4vdv=x2y2．(3)当0≤x≤1，y≥1时，F(x，y)=4∫0xudu∫01vdv=x2．(4)当x≥1，0≤y＜1时，F(x，y)=∫014udu∫0yvdv=y2．(5)当x≥1，y≥1时，F(x，y)=1．知识点解析：考查由概率密度求取联合分布函数的方法，直接用公式即可．20、设随机变量X关于随机变量Y的条件概率密度为fX｜Y(x｜y)=，而Y的概率密度为fY(y)=，求(1)(X,Y)的概率密度f(x，y)．(2)关于X的边缘概率密度fX(x)．(3)P{x＞)；(4)X与Y是否相互独立?标准答案：(1)由题设条件和条件概率密度公式可得(4)因为f(x，y)≠fX(x).Y(y)(0＜x＜y＜1)，所以X与Y不相互独立．知识点解析：暂无解析21、设X在区间(0，1)上服从均匀分布，在X=x(0＜x＜1)条件下Y在(0，x)上服从均匀分布，求(1)X与Y的联合概率密度f(x，y)及P(X+Y＞1)；(2)Y的概率密度fY(y)．标准答案：由于x在(0，1)上服从均匀分布，所以X的概率密度fX(x)=又Y在X=x的条件下在(0，x)上服从均匀分布，故条件概率密度知识点解析：考查条件概率密度计算公式的逆用，即f(x，y)=fX(x)fT｜X(y｜x)=fY(y)fX｜Y(x｜y)．考研数学二（概率论与数理统计）模拟试卷第5套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设X1，X2，…，Xn(n＞1)相互独立同分布，概率密度为f(x)=2x-3，x≥1，i=1，2，…，则有()A、对每一个Xi都满足切比雪夫不等式．B、Xi都不满足切比雪夫不等式．C、X1，X2，…，Xn满足切比雪夫大数定律．D、X1，X2，…，Xn不满足辛钦大数定律．标准答案：B知识点解析：由于切比雪夫不等式，切比雪夫大数定律要求随机变量序列的期望和方差存在．由题设条件E(Xi)=发散，从而D(Xi)不存在，因此(A)、(C)不正确，而辛钦大数定律仅要求E(Xi)存在，从而(D)也不正确，因此应选B．2、设X1，X2，…，Xn相互独立，且Xi(i=1，2，…)服从参数为λ(＞0)的泊松分布，则下列选项正确的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：由于E(Xi)=λ，D(Xi)=λ，从而=nλ，由列维一林德伯格中心极限定理，近似服从N(0，1)，因此选3、设随机变量X1，X2，…，Xn，…相互独立，则根据列维一林德伯格中心极限定理，当n定充分大时，X1+X2+…+Xn近似服从正态分布，只要Xi(i=1，2，…)满足条件()A、具有相同的数学期望和方差．B、服从同一离散型分布．C、服从同一连续型分布．D、服从同一指数分布．标准答案：D知识点解析：列维-林德伯格中心极限定理要求随机变量序列相互独立同分布，期望与方差存在，满足这三个条件的只有(D)．4、设X1，X2，X3，X4为来自总体N(1，σ)(σ＞0)的简单随机样本，则统计量的分布为()A、N(0，1)．B、t(1)．(c)χ2(1)．C、F(1，1)．D、考查产生t分布的典型模式．标准答案：B知识点解析：由于X服从N(1，σ2)，i=1，2，3，4，且相互独立，所以X。一X服从N(0，2σ2)，X3+X4一2服从N(0，2σ2)．5、设总体X服从参数为λ(λ＞0)的泊松分布，X1，X2，…，X2n(n≥2)为来自总体X的简单随机样本，统计量T1=，则有()A、E(T1)＞E(T2)，D(T1)＞D(T2)．B、E(T1)＞E(T2)，D(rm)＜D(T2)．C、E(T1)＜E(T2)，D(T1)＞D(T2)．D、E(T1)＜E(T2)，D(T1)＜D(T2)．标准答案：D知识点解析：故D(T1)＜D(T2)，从而应选D．二、填空题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)6、设随机变量X和Y的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0．5，则根据切比雪夫不等式，有P{｜X—Y｜＞6}≤__________．标准答案：知识点解析：由已知，E(X)=E(Y)=2，D(x)=1，D(Y)=4，ρXY=0．5，从而E(X-Y)=2-2=O，D(X-Y)=D(X)+D(Y)一2ρXY=1+4-2×0．5×1×2=3．由切比雪夫不等式，P{｜X—Y｜≥6≤．7、在每次试验中，事件A发生的可能性是0．5，则1000次独立试验中，事件A发生的次数在400次到600次之间的概率≥__________．标准答案：0．975．知识点解析：设X表示事件A发生的次数，则X服从β(1000，0．5)，E(X)=500，D(X)=250．P{400＜X＜600}=P{一100＜X-500＜100}=P{｜X一500｜＜100)．由切比雪夫不等式，有P{400＜X＜600}=P{｜X一500｜＜100}≥1—=U．975．三、解答题(本题共19题，每题1.0分，共19分。)8、设随机变量X1，X2，…，Xn相互独立同分布，且E(Xik)=ak(k=1，2，3，4)，证明当n充分大时，随机变量Zn=近似服从正态分布，并指出其分布参数．标准答案：由题意，X12，X22，…，Xn2相互独立同分布，且E(Xi2)=a2，D(Xi2)=E(xi2)一[E(Xi2)]2=a4一a22，又知识点解析：暂无解析9、某保险公司多年的统计资料表明，在索赔客户中被盗索赔占20％，以X表示在随机抽查的100个索赔客户中因被盗向保险公司索赔的户数．(1)写出X的概率分布；(2)利用德莫弗一拉普拉斯定理，求被盗索赔客户不少14户且不多于30户的概率的近似值．标准答案：(1)索赔户为X，则X～B(100，0．2)，(2)由DeMoivre—Laplace极限定理知识点解析：暂无解析10、设某种元件使用寿命(单位：小时)服从参数为λ的指数分布，其平均使用寿命为40小时，在使用中当一个元件损坏后立即更换另一个新的元件，如此继续下去．已知每个元件的进价为a元，试求在年计划中应为购买此种元件作多少预算，才可以有95％的把握保证一年够用(假定一年按照2000个工作小时计算)．标准答案：假设一年需要n个元件，则预算经费为na元．故年预算至少应为64a元．知识点解析：暂无解析11、一条生产线的产品成箱包装，每箱的重量是随机的．假设平均重50千克，标准差为5千克．如果用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保证不超载的概率大于0．977，((2)=0．977．)标准答案：设Xi是装运的第i箱的重量，n是箱数，且E(Xi)=50，=5，i=1，2…，n．P{Tn≤5000}=，解得n＜98．0199，即最多可以装98箱．知识点解析：暂无解析12、在天平上重复称量一重为a的物品，假设各次称量结果相互独立且服从正态分布N(a，0．22)，表示n次称量结果的算术平均值，则为使P{｜一a｜＜0．1}≥0．95，n的最小值应不小于多少?标准答案：由已知条件知识点解析：暂无解析13、设X1，X2，…，X6是来自正态总体N(0，32)的一个简单随机样本，求常数a，b，c使T=aX1+b(X2+X3)2+c(X4+X5+X6)2服从χ(3)．标准答案：由题意X1服从N(0，32)，X2+X3服从N(0，18)，X4+X5+X6服从N(0，27)，知识点解析：考查产生χ2分布的典型模式．χ2分布是由相互独立的服从标准正态分布的随机变量序列的平方和得到的，按照该定义，求出a，b，c．14、设随机变量X服从T(N)，判断Y=X2，Z=所服从的分布。标准答案：由于X服从t(n)，设U服从N(0，1)，V服从χ2(n)，且Y与Z相互独立，则X可表示为服从F(n，1)．知识点解析：考查产生F分布的典型模式．15、设和S2分别是来自正态总体N(0，σ2)的样本均值和样本方差，样本容量为n，判断所服从的概率分布．标准答案：知识点解析：暂无解析16、设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布N(0，σ2)，而X1，X2，X3，X4与Y1，Y2，Y3，Y4分别是来自总体X和Y的两个简单随机样本，判断统计量T=服从的分布．标准答案：由正态总体的抽样分布．知识点解析：暂无解析17、已知二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布N(0，1，22，32，0)，判断F=服从的概率分布。标准答案：由题意X服从N(0，22)，Y服从N(1，32)，且相互独立，知识点解析：由随机变量F的形式可推断其服从F分布．18、设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布N(0，9)，而X1，…，X9与Y1一，Y9分别是来自总体X和Y的两个简单随机样本，判断统计量T=所服从的分布．标准答案：知识点解析：暂无解析19、设X1，X2，…，Xn(n＞1)是取自总体X的一个简单随机样本，．在下列四种情况下，分别求，E(S2)．(1)X服从B(1，p)；(2)X服从E(λ)；(3)X服从N(μ，σ2)．标准答案：由于样本X1，X2，…，Xn(n＞1)是相互独立的，并且与总体服从相同的分布，知识点解析：暂无解析20、设总体X服从β(n，p)，又X1，X2，…，Xn为取自总体X的一个简单随机样本，统计量T1=—S2，求E(T1)和E(T2)．标准答案：知识点解析：暂无解析21、设总体X服从N(0，σ)，X1，X2，…，Xn为取自总体X的一个简单随机样本，与S2分别为样本均值和样本方差，统计量T=(n一1)，求E(T)和D(T)．标准答案：知识点解析：综合考查正态总体抽样分布的性质和数字特征．与，即是相互独立的，从而利用这些结论结合期望和方差的性质求出E(T)和D(T)．22、设总体X服从N(μ1，σ2)，Y服从N(μ2，σ2)，又X1，X2，…，Xn和Y1，Y2，…，Yn分别为取自总体X和Y的简单随机样本．求。标准答案：知识点解析：暂无解析23、设总体X服从N(μ，σ2)(σ＞0)，X1，X2，…，X2n(n≥2)为取自总体X的简单随机样本，样本均值为的数学期望E(Y)．标准答案：将(X1+Xn+1)，(X2+Xn+2)，…，(Xn+X2N)视为取自总体N(2μ，2σ2)的简单随机样本，则其样本均值为知识点解析：暂无解析24、设总体X～(μ，σ2)，X1，X2，…，X2n是一个样本，，S2分别为样本均值和样本方差，设C1，…，Cn是不全相等的常数，且所服从的分布；(2)求。标准答案：知识点解析：综合考查正态总体常用统计量的分布与数字特征，由于=0，故可将Y的形式化简，再利用独立条件下正态分布的运算性质判断出Y的分布．又与S2独立，从而．25、设X1，X2是取自正态总体X的简单随机样本，X服从N(0，σ2)，求。标准答案：由已知，X1和X2都服从N(0，σ2)，从而X1+X2服从N(0，2σ2)，X1一X2服从N(0，2σ2)．知识点解析：考查统计量所表示事件的概率，应从统计量的分布入手，再计算概率．26、从总体N(100，4)中抽取样本容量为16的简单随机样本，样本均值为=0．95，求k的值．标准答案：注：标准正态上α分位数U0.025=1．96．知识点解析：暂无解析考研数学二（概率论与数理统计）模拟试卷第6套一、选择题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)1、设随机变量X与Y都服从正态分布，则()A、X与Y一定独立．B、(X，Y)服从二维正态分布．C、X与Y未必独立．D、X+Y服从一维正态分布．标准答案：C知识点解析：事实上，X与Y都服从正态分布，二者在已知条件下得不到它们之间的必然联系．(X，Y)服从二维正态分布的充分必要条件是aX+bY服从一维正态分布，其中x，b不同时为0．即使(X，Y)服从二维正态分布，X与Y也未必服从正态分布，因此选项(B)和(D)都不正确．2、边缘分布均为正态分布的二维随机变量其联合分布()A、必为二维正态分布．B、必为均匀分布．C、不一定为二维正态分布．D、由两个边缘分布确定．标准答案：C知识点解析：边缘分布可由联合概率分布确定，但联合概率分布需要在诸如独立等条件下才能由边缘分布确定，因此(D)不正确．例如，如果(X，Y)的概率密度为f(x，y)=(1+sinxsiny)，一∞＜x，y＜+∞．其不服从二维正态分布，但X和Y都服从标准正态分布．3、设随机变量X，Y，Z相互独立，且X服从N(1，2)，Y服从N(2，2)，Z服从N(3，7)，a=P{X＜Y}，b=P{Y＜Z}，则()A、a＞b．B、a＜b．C、a=b．D、a，b大小不能确定．标准答案：A知识点解析：由于X服从N(1，2)，Y服从N(2，2)，且X与Y相互独立，从而X一Y服从N(一1，4)，同理Y-Z服从N(一1，9)．从而a＞b．4、设相互独立的随机变量X1和X2的分布函数分别为F1(x)和F2(x)，概率密度分别为f1(x)和f2(x)，则随机变量Y=min(X1，X2)的概率密度f(x)=()A、f1(x)f2(x)．B、f1(x)F1(x)+f2(x)F2(x)．C、f1(x)[1一F2(x)]+f2(x)[1一F1(x)]．D、f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)．标准答案：C知识点解析：Y=min(X1，X2)的分布函数为FY(x)=1一[1一F1(x)][1一F2(x)]，所以fY(x)=F’Y(x)=f1(x)[1一F2(x)]+f2(x)[1-F1(x)]，因此选(C)．5、设(X，Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，fX(x)，fY(y)分别表示X，Y的概率密度，则在Y=y的条件下，X的条件概率密度fX｜Y(x｜y)为()A、fX(x)．B、fY(y)．(c)fX(x)fY(y)．C、．D、考查二维正态分布的独立性的判断和应用，如果(X，Y)服从二维正态分布，X与Y独立的充分必要条件是X与Y不相关．标准答案：A知识点解析：由于X与Y不相关，从而X与Y独立，所以fX｜Y(x｜y)=fX(x)．6、设随机变量X和Y相互独立，且都服从指数分布E(λ)，则下列结论正确的是()A、X+Y服从E(2λ)．B、X-Y服从E(2λ)．C、min(X，Y)服从E(2λ)．D、max(X，Y)服从E(2λ)．标准答案：C知识点解析：由于X和Y相互独立，且都服从E(λ)，其分布函数为F(x)=min(X，Y)的分布函数Fmin(x)=1-[1-F(x)]2=1—e-2λx，x＞0．即min(X，Y)服从E(2λ)．7、设随机变量X与Y相互独立，且X在区间(0，1)上服从均匀分布，Y的概率分布为P{Y=0}=P{Y=1}=P{Y=2}=，记FZ(z)=的分布函数，则函数FZ(z)的间断点的个数为()A、0个．B、1个．C、2个．D、3个．标准答案：B知识点解析：因为X在区间(0，1)上服从均匀分布，显然，z=0是FZ(z)的间断点，因此选(B)．8、设X，Y为连续型随机变量，且P{XY≤0}=，则P{min(X，Y)≤0}=()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：事件{max(X，Y)≥0}的对立事件为{X＜0，Y＜0}，由P{max(X，Y)≥0}=．又{XY≤0}{min(X，Y)≤0}，且{X＜0，Y＜0}={min(X，Y)≤0}一{XY≤0}，故P{min(X，Y)≤0}=P{X＜0，Y＜0}+P{XY≤0}=．9、设X1，X2，…，Xn相互独立同分布，每个分布函数均为F(x)，记X=min(X1，…，Xn)，Y=max(X1，…，Xn)，则(X，Y)的分布函数F(x，y)当y＞x时在(x，y)处的值为()A、[F(x)F(y)]nB、[F(y)]n一[F(y)一F(x)]nC、[F(y)]n一[F(y)一F(x)F(y)]n．D、[r(x)]n一[F(x)一F(y)]n．标准答案：B知识点解析：r(x，y)=P{X≤x，Y≤y}=P{x≤+∞，Y≤y}一P{X＞x，Y≤y}=P{Y≤y}一P{X＞x，y≤y}=P{max(X1，X2，…，Xn)≤y}-P{min(X1，X2，…，Xn)＞x，max(X1，X2，…，Xn)≤y}=[F(y)]n一P{X1＞x，…，Xn＞x，X1≤y，…，Xn≤y}=[F(y)]n一P{x＜X1≤y，x＜X2≤y，…，x＜Xn≤y}=[F(y)]n一P{x＜X1≤)，}P{x＜X2≤y}…P{x＜Xn≤y}=[F(y)]n一[F(y)-F(x)]n(y＞x)．二、填空题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)10、设(X，Y)的概率密度为f(x，y)=，一∞＜x，y＜+∞，则Z=X—Y的概率密度fZ(z)=__________。标准答案：．知识点解析：由已知条件X和Y相互独立，且都服从正态分布N(0，1)，从而Z=X—Y服从N(0，2)，即fZ(x)=，一∞＜z＜+∞．三、解答题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)11、设随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)=，求(1)系数k；(2)边缘概率密度；(3)X和Y是否独立．标准答案：(1)由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x，y)dxdy=1，有k∫0+∞xe-xdx∫0+∞e-xydy=k∫0+∞e-xdx=k=1，得k=1．(2)当x＞0时fX(x)=f(x，y)dy=∫-∞+∞f(x，y)