第01讲 平面向量的概念、线性运算及坐标表示（练习）（解析版）

第01讲平面向量的概念、线性运算及坐标表示（模拟精练+真题演练）1．（2023·江苏·统考模拟预测）在中，，点P在CD上，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，所以，又P，C，D三点共线，所以，得.故选：D.2．（2023·广东广州·华南师大附中校考三模）已知向量，，且，则（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】，两边平方得，展开整理得.,解得.故选：C3．（2023·福建南平·统考模拟预测）已知正方形ABCD的边长为1，点M满足，则（

）A． B．1 C． D．【答案】C【解析】如图，，所以M是AC的中点，；故选：C.4．（2023·河南·校联考模拟预测）已知向量，，且，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】因为，所以，解得．故选：D5．（2023·江苏盐城·统考三模）已知是平面四边形，设：，：是梯形，则是的条件（

）A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【解析】在四边形中，若，则，且，即四边形为梯形，充分性成立；若当，为上底和下底时，满足四边形为梯形，但不一定成立，即必要性不成立；故是的充分不必要条件.故选：A6．（2023·辽宁·辽宁实验中学校联考模拟预测）在中，记，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为在中，若，所以点为中点，所以.故选：D7．（2023·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）在中，是中线的中点，过点的直线交边于点M，交边于点N，且，，则（

）A． B．2 C． D．4【答案】D【解析】因为三点共线，所以，且，因为是的中点，所以，因为，，所以，则，得.故选：D8．（2023·四川·校联考模拟预测）已知向量，，则下列命题不正确的是（

）A． B．若，则C．存在唯一的使得 D．的最大值为【答案】D【解析】由向量，，对于A中，由，所以A正确；对于B中，若，可得且，可得，所以B正确；对于C中，若，可得，整理得，所以，可得，因为，可得，所以C正确；对于D中，由，因为，所以，可得，所以的最大值为，即的最大值为，所以D错误.故选：D.9．（多选题）（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）已知向量，，则正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若与的夹角为钝角，则 D．若向量是与同向的单位向量，则【答案】ABD【解析】对于A，若，则，所以，故A正确；对于B，若，则，所以，故B正确；对于C，若与的夹角为钝角，则，且与不共线，即，解得，且，故C不正确；对于D，若向量是与同向的单位向量，则，故D正确.故选：ABD.10．（多选题）（2023·湖南·模拟预测）给出下面四个结论，其中正确的结论是（

）A．若线段，则向量B．若向量，则线段C．若向量与共线，则线段D．若向量与反向共线，则【答案】AD【解析】选项A：由得点B在线段上，则，A正确：选项B；三角形，，但，B错误；对于C：，反向共线时，，故，C错误；选项D：,反向共线时，，故D正确．故选：AD．11．（多选题）（2023·江苏苏州·模拟预测）在中，记，，点在直线上，且.若，则的值可能为（

）A． B． C． D．2【答案】BC【解析】当点在线段上时，如图，，所以，当点在线段的延长线上时，如图，，则，故选：BC.12．（多选题）（2023·辽宁·新民市第一高级中学校联考一模）已知，，是同一条直线上三个不同的点，为直线外一点．在正项等比数列中，已知，且，则的公比的值可能是（

）A． B． C． D．【答案】CD【解析】∵，，是同一条直线上三个不同的点，且，∴．∵为正项等比数列，所以公比．∴，∴，∵，∴，∴，即，解得（舍）或，∴对于A，，故选项A不正确；对于B，，故选项B不正确；对于C，，故选项C正确；对于D，，故选项D正确.故选：CD.13．（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第一中学校考三模）设，是两个不共线的向量，若向量与的方向相反，则__________.【答案】【解析】由题意可知与共线，所以存在实数使，因为，不共线，所以，解得或，因为向量与的方向相反，即.故答案为：.14．（2023·安徽·校联考模拟预测）给出下列命题：①若同向，则有；

②与表示的意义相同；③若不共线，则有；④恒成立；⑤对任意两个向量，总有；⑥若三向量满足，则此三向量围成一个三角形．其中正确的命题是__________填序号【答案】①⑤【解析】对于①，若同向，则与同向，所以，故正确；对于②，与前者表示向量，后者表示向量模的和，表示的意义不相同，故②不正确；对于③，若不共线，则有，故③不正确；对于④，若，则，故④不正确；对于⑤，对任意两个向量，总有，故⑤正确；对于⑥，若三向量满足，若中有零向量，则此三向量不能围成一个三角形，故⑥不正确．故答案为：①⑤．15．（2023·上海黄浦·上海市大同中学校考三模）在中，，，的平分线交BC于点D，若，则______．【答案】/【解析】在中，，，则，又平分，即有，

因此，即有，，整理得，而，且不共线，于是，所以.故答案为：16．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）已知向量，若，则___________.【答案】【解析】由可得：，又因为，由可得：，解得：.故答案为：.17．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考模拟预测）在中，已知，与相交于，若，则______．【答案】/【解析】因为，，所以，，因为，所以又与交于点O，所以，另一方面，设，因为，所以，则，代入中，可解得，则.故答案为：.

18．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考三模）在直角坐标平面内，横，纵坐标均为整数的点称为整点，点P从原点出发，在直角坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是5且落在整点处.则点P到达点所跳跃次数的最小值是__________.【答案】10【解析】每次跳跃的路径对应的向量为，因为求跳跃次数的最小值，则只取，设对应的跳跃次数分别为，其中，可得则，两式相加可得，因为，则或，当时，则次数为；当，则次数为；综上所述：次数最小值为10.故答案为：10.1．（2023•北京）已知向量，满足，，则A． B． C．0 D．1【答案】【解析】，，，，．故选：．2．（2022•全国）已知向量，．若，则A． B． C． D．【答案】【解析】，，．，，．故选：．3．（2022•乙卷）已知向量，，则A．2 B．3 C．4 D．5【答案】【解析】，故，故选：．4．（2022•新高考Ⅰ）在中，点在边上，．记，，则A． B． C． D．【答案】【解析】如图，，，即．故选：．5．（2020•全国）设点，，在上，若，则A． B． C． D．【答案】【解析】设，，，即，，解得，，同理可得，，，△是等边三角形，．故选：．6．（2020•海南）在中，是边上的中点，则A． B． C． D．【答案】【解析】在中，是边上的中点，则．故选：．7．（2019•新课标Ⅱ）已