考研数学二（常微分方程）模拟试卷1（共267题）

考研数学二（常微分方程）模拟试卷1（共9套）（共267题）考研数学二（常微分方程）模拟试卷第1套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、已知微分方程y’’+by’+y=0的每个解都在区间(0，+∞)上有界，则实数b的取值范围是()A、[0，+∞)．B、(一∞，0]．C、(一∞，4]．D、(一∞，+∞)．标准答案：A知识点解析：方程y’’+by’+y=0的特征方程为r2+6r+1=0，特征根为(1)b2＜4时，原方程通解为(2)b2=4时，原方程通解为(3)b2＞4时，原方程通解为由以上解的形式可知，当b≥0时，每个解都在[0，+∞)上有界，故选A．2、具有特解y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex的三阶常系数齐次线性微分方程是()A、y’’’一y’’一y’+y=0．B、y’’’+y’’一y’一y=0．C、y’’’一6y’’+11y’一6y=0．D、y’’’一2y’’一y’+2y=0．标准答案：B知识点解析：由y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex是所求方程的三个特解知，r=一1，一1，1为所求三阶常系数齐次微分方程的特征方程的三个根，则其特征方程为(r—1)(r+1)2=0，即r3+r2一r—1=0，对应的微分方程为y’’’+y’’一y’一y=0，故选B．3、函数y=C1ex+C2e-2x+xex满足的一个微分方程是()A、y’’一y’一2y=3xex．B、y’’一y’一2y=3ex．C、y’’+y’一2y=3xex．D、y’’+y’一2y=3ex．标准答案：D知识点解析：根据所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为λ1=1，λ2=一2．因此对应的齐次微分方程的特征方程为λ2+λ一2=0．故对应的齐次微分方程为y’’+y’一2y=0．又因为y*=xex为原微分方程的一个特解，而λ=1为特征根且为单根，故原非齐次线性微分方程右端的非齐次项形为f(x)=Cex(C为常数)．比较四个选项，应选D．4、设是微分方程的解，则的表达式为()A、1B、1C、1D、1标准答案：A知识点解析：15、微分方程xdy+2ydx=0满足初始条件y｜x=2=1的特解为()A、xy2=4．B、xy=4．C、x2y=4．D、一xy=4．标准答案：C知识点解析：原微分方程分离变量得，两端积分得ln｜y｜=一2ln｜x｜+lnC，x2y=C，将y｜x=2=1代入得C=4，故所求特解为x2y=4．应选C．6、已知y1(x)和y2(x)是方程y’+p(x)y=0的两个不同的特解，则方程的通解为()A、y=Cy1(x)．B、y=Cy2(x)．C、y=C1y1(x)+C2y2(x)．D、y=C(y1(x)一y2(x))．标准答案：D知识点解析：由于y1(x)和y2(x)是方程y’+p(x)y=0的两个不同的特解，则y1(x)一y2(x)为该方程的一个非零解，则y=C(y1(x)一y2(x))为该方程的解．7、设线性无关的函数y1，y2，y3都是二阶非齐次线性方程y’’+P(x)y’+q(x)y=f(x)的解，C1，C2是任意常数，则该非齐次方程的通解是()A、C1y1+C2y2+y3．B、C1y1+C2y2一(C1+C2)y3．C、C1y1+C2y2一(1一C1—C2)y3．D、C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3．标准答案：D知识点解析：因为y1，y2，y3是二阶非齐次线性方程y’’+p(x)y’+g(x)y=f(x)线性无关的解，所以(y1一y3)，(y2一y3)都是齐次线性方程y’’+p(x)y’+q(x)y=0的解，且(y1一y3)与(y2一y3)线性无关，因此该齐次线性方程的通解为y=C1(y1一y3)+C2(y2一y3)．比较四个选项，且由线性微分方程解的结构性质可知，故选D．8、已知，y1=x，y2=x2，y3=ex为方程y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)的三个特解，则该方程的通解为()A、y=C1x+C2x2+ex．B、y=C1x2+C2ex+x．C、y=C1(x一x2)+C2(x一ex)+x．D、y=C1(x一x2)+C2(x2一ex)．标准答案：C知识点解析：方程y’’+p(x)y’+g(x)y=f(x)是一个二阶线性非齐次方程，则(x一x2)和(x一ex)为其对应齐次方程的两个线性无关的特解，则原方程通解为y=C1(x一x2)+C2(x一ex)+x，故选C．二、填空题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)9、微分方程y’’一2y’+2y=ex的通解为____________．标准答案：y=C1excosx+C2exsinx+ex知识点解析：对应的特征方程为r2一2r+2=0，解得其特征根为r1,2=1±i．由于α=1不是特征根，可设原方程的特解为y*=Ae2，代入原方程解得A=1．因此所求的通解为y=C1exeosx+C2exsinx+ex．10、二阶常系数非齐次线性方程y’’一4y’+3y=2e2x的通解为y=______________．标准答案：y=C1ex+C2e3x－2e2x知识点解析：特征方程为r2一4r+3=0，解得r1=1，r2=3．则对应齐次线性微分方程y’’-4y’+3y=0的通解为y=C1ex+C2e3x．设非齐次线性微分方程y’’-4y’+3y=2e2x的特解为y*=ke2x，代入非齐次方程可得k=-2．故通解为y=C1ex+C2e3x一2e2x．11、微分方程满足初始条件y｜x=2=1的特解是___________．标准答案：x=y2+y知识点解析：将x看作未知函数，则上式为x对y的一阶线性方程，又因y=1＞0，则将x=2，y=1代入，得C=1．故x=y2+y．12、微分方程y’+ytanx=cosx的通解y=____________．标准答案：(x+C)cosx，C是任意常数知识点解析：直接利用一阶线性微分方程的通解公式可知13、已知y1=e3x一xe2x，y2=ex一xe2x，y3=一xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解为y=_____________．标准答案：y=C1e3x+C2ex一xe2x，C1，C2为任意常数知识点解析：显然y1一y3=e3x和y2－y2=ex是对应的二阶常系数线性齐次微分方程的两个线性无关的解．且y*=一xe2x是非齐次微分方程的一个特解．由解的结构定理，该方程的通解为y=C1e3x+C2e一xe2x，其中C1，C2为任意常数．14、设y=ex(asinx+bcosx)(a，b为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为____________.标准答案：y’’-2y’+2y=0知识点解析：由通解的形式可知，特征方程的两个根是r1，r2=1±i，因此特征方程为(r-r1)(r—r2)=r一(r1+r2)r+r1r2=r2一2r+2=0．故，所求微分方程为y’’一2y’+2y=0．15、微分方程满足初始条件y(1)=1的特解是y=_____________.标准答案：xe1-x知识点解析：此方程为一阶齐次微分方程，令y=ux，则有，所以原方程可化为解此微分方程得ln｜lnu一1｜=ln｜C1x｜，去绝对值可得lnu=C1x+1，u=eC1x+1，将u｜x=1=1代入，得C1=一1，u=e1-x，因此原方程的解为y=xe1-x．16、微分方程xy’’+3y’=0的通解为_______________．标准答案：知识点解析：令p=y’，则原方程化为，其通解为p=Cx-3．因此，17、微分方程的通解是____________．标准答案：y=Cxe-x(x≠0)知识点解析：原方程等价为两边积分得lny=lnx—x+C1．取C=eC1，整理得y=Cxe-x(x≠0)．18、微分方程y’=1+x+y2+xy2的通解为__________．标准答案：知识点解析：将已知微分方程变形整理得，19、微分方程的通解为____________．标准答案：知识点解析：二阶齐次微分方程的特征方程为20、微分方程满足y｜x=1=1的特解为_____________．标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)21、设f(u，v)具有连续偏导数，且fu’(u，v)+fu’(u，v)=sin(u+v)eu+v，求y(x)=e-2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解标准答案：由y(x)=e-2xf(x，x)，有y’(x)=一2-2xf(x，x)+e-2x[f1’(x，x)+f2’(x，x)]，由fu’(u，v)+fv’(u，v)=sin(u+v)eu+v可得f1’(x，x)+f2’(x，x)=(sin2x)e2x．于是y(x)满足一阶线性微分方程y’(x)+2y(x)=sin2x．通解为y(x)=e-2x[∫sin2x.e2xdx+C]，由分部积分公式，可得知识点解析：暂无解析已知函数f(x)满足方程f''(x)+f'(x)一2f(x)=0及f''(x)+f(x)=2ex．22、求f(x)的表达式；标准答案：齐次微分方程f’’(x)+f’(x)一2f(x)=0的特征方程为r2+r一2=0，特征根为r1=1，r2=一2，因此该齐次微分方程的通解为f(x)=C1ex+C2e-2x．再由f’’(x)+f(x)=2ex得2C1ex一3C2e-2x=2ex．因此可知C1=1，C2=0．所以f(x)的表达式为f(x)=ex．知识点解析：暂无解析23、求曲线y=f(x2)∫0xf(-t2)dt的拐点．标准答案：曲线方程为令y’’=0得x=0．下面证明x=0是y’’=0唯一的解，当x＞0时，2x＞0,2(1+2x2)ex2∫0xe-t2dt＞0，可知y’’＞0：当x＜0时，2x＜0，2(1+2x2)e-t2∫0xe-t2dt＜0，可知y’’＜0．可知x=0是y’’=0唯一的解．同时，由上述讨论可知曲线y=f(x2)∫0x[一t2)dt，在x=0左右两边的凹凸性相反，可知(0，0)点是曲线y=(x2)=∫0xf(一t2)dt唯一的拐点．知识点解析：暂无解析24、设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y’(x)＞0，y(0)=1．过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1一S2恒为1，求曲线y=y(x)的方程．标准答案：设曲线y=y(x)上的点P(x，y)处的切线方程为Y—y=y’(X一x)．它与x轴的交点为由于y’(x)＞0，y(0)=1，因此y(x)＞1(x＞0)．于是又S2=∫0xy(t)dt.根据题设2S1一S2=1，有并且y’(0)=1，两边对x求导并化简得yy’’=(y’)2，这是可降阶的二阶常微分方程，令P(y)=y’，则上述方程可化分离变量得从而有y=C2eC1x根据y’(0)=1，y(0)=1，可得C1=1，C2=1．故所求曲线的方程为y=ex．知识点解析：暂无解析设函数y=y(x)在(一∞，+∞)内具有二阶导数，且y'≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．25、试将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)满足的微分方程；标准答案：由反函数的求导公式知于是有代入原微分方程得y’’－y=sinx．(*)知识点解析：暂无解析26、求变换后的微分方程满足初始条件的解．标准答案：方程(*)所对应的齐次方程y’’一y=0的通解为Y=C1ex+C2e-x．设方程(*)的特解为y*=Acosx+Bsinx，代入方程(*)，求，因此y’’一y=sinx的通解是知识点解析：暂无解析考研数学二（常微分方程）模拟试卷第2套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、微分方程y’’-4y=e2x+x的特解形式为()．A、ae2x+bx+cB、ax2e2x+bx+cC、axe2x+bx2+cxD、axe2x+bx+c标准答案：D知识点解析：y’’-4y=0的特征方程为λ2-4=0，特征值为λ1=-2，λ2=2．y’’-4y=e2x的特解形式为y=axe2x，y’’-4y=x的特解形式为y2=bx+C，故原方程特解形式为axe2x+bx+c，选(D)．2、设三阶常系数齐次线性微分方程有特解y1=ex，y2=2xex，y3=3e-x，则该微分方程为()．A、y’’’-y’’-y’+y=0B、y’’’+y’’-y’-y=0C、y’’’+2y’’-y’-2y=0D、y’’’-2y"-y’+2y=0标准答案：A知识点解析：由y1=ex，y2=2xe-x，y3=3e-x为三阶常系数齐次线性微分方程的特解可得其特征值为λ1=λ2=1，λ3=-1，其特征方程为(λ-1)2(λ+1)=0，即λ3-λ2-λ+1=0，所求的微分方程为y’’’-y’’-y’+y=0，选(A)．3、设φ1(x)，φ2(x)为一阶非齐次线性微分方程y’+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为()．A、C[φ1(x)+φ2(x)]B、C[φ1(x)-φ2(x)]C、C[φ1(x)-φ2(x)]+φ2(x)D、[φ1(x)-φ2(x)]+Cφ2(x)标准答案：C知识点解析：因为φ1(x)，φ2(x)为方程y’+P(x)y=Q(x)的两个线性无关解，所以φ1(x)-φ2(x)为方程y’+P(x)y=0的一个解，于是方程y’+P(x)y=Q(x)的通解为C[φ1(x)-φ2(x)]+φ2(x)，选(C)．二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)4、yy’’=1+y’2满足初始条件y(0)=1，y’(0)=0的解为______标准答案：±x知识点解析：令y’=p，则，解得In(1+p2)=lny2+lnC1，则1+p2=C1y2，由y(0)=1，y’(0)=0得y’=+C2=±x，由y(0)=1得C2=0，所以特解为5、微分方程y’’+4y=4x-8的通解为_______标准答案：C1cosx+C2sin2x+x-2．知识点解析：微分方程两个特征值为λ1=-2i，λ2=2i，则微分方程的通解为y=C1cosx+C2sin2x+x-2．6、设y=y(x)过原点，在原点处的切线平行于直线y=2x+1，又y=y(x)满足微分方程y’’-6y’+9y=e3x，则y(x)=________标准答案：知识点解析：由题意得y(0)=0，y’(0)=2，y’’-6y’+9y=e3x的特征方程为λ2-6λ+9=0，特征值为λ1=λ2=3，令y’’-6y’+9y=e3x的特解为y0(x)=ax2e3x，代人得a=故通解为y=(C1+C2x)e3x+由y(0)=0，y’(0)=2得C1=0，C2=2，则y(x)=2xe3x+7、微分方程2y’’=3y2满足初始条件y(-2)=1，y’(-2)=1的特解为_________标准答案：知识点解析：令y’=p，则y’’=，解得p2=y3+C1，由y(-2)=1，y’(-2)=1，得C1=0，所以y’=，再由y(-2)=1，得C2=0，所求特解为=8、微分方程xy’=的通解为________标准答案：ln｜x｜+C知识点解析：由xy’=9、设二阶常系数非齐次线性微分方程y’’+y’+qy=Q(x)有特解y=3e-4x+x2+3x+2，则Q(x)=______，该微分方程的通解为_______标准答案：-12x2-34x-19，C1e-4x+C2e2+x2+3x+2知识点解析：显然λ=-4是特征方程λ2+λ+q=0的解，故q=-12，即特征方程为λ2+λ-12=0，特征值为λ1=-4，λ2=3．因为x2+3x+2为特征方程y’’+y’-12y=Q(x)的一个特解，所以Q(x)=2+2x+3-12(x2+3x+2)=-12x2-34x-19，且通解为y=C1e-4x+C2e2+x2+3x+2(其中C1，C2为任意常数)．10、以y=C1e-2x+C2ex+cosx为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为______标准答案：-sinx-3cosx，y’’+y’-2y=-sinx-3cosx．知识点解析：特征值为λ1=-2，λ2=1，特征方程为λ2+λ-2=0，设所求的微分方程为y’’+y’-2y=Q(x)，把y=cosx代入原方程，得Q(x)=-sinx-3cosx，所求微分方程为y’’+y’-2y=-sinx-3cosx．11、设y’’-3y’+ay=-5e-x的特解形式为Axe-x，则其通解为______标准答案：y=C1e-x+C2e4x+xe-x知识点解析：因为方程有特解Axe-x，所以-1为特征值，即(-1)2-3×(-1)+a=0a=-4，所以特征方程为λ2-3λ-4=0λ1=-1，λ2=4，齐次方程y’’-3y’+ay=0的通解为y=C1e-x+C2e4x，再把Axe-x代入原方程得A=1，原方程的通解为y=C1e-x+C2e4x+xe-x12、设f(x)可导，且[f(x)+xf(xt)]dt=1，则f(x)=________标准答案：e-x知识点解析：由整理得f(x)+f(u)du=1，两边对x求导得f’(x)+f(x)=0，解得f(x)=Ce-x，因为f(0)=1，所以C=1，故f(x)=e-x三、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)13、求满足初始条件y’’+2x(y’)2=0，y(0)=1，y’(0)=1的特解．标准答案：令y’=p，则y’’=由y’(0)=1得C1=1，于是y’=，y=arctanx+C2，再由y(0)=1得C2=1，所以y=arctanx+1．知识点解析：暂无解析14、求微分方程yy’’-y’2满足初始条件y(0)=y’(0)=1的特解．标准答案：令y’=p，则y’’==0．当p=0时，y=1为原方程的解；当p≠0时，由由y(0)=y’(0)=1得C1=1，于是-y=0，解得y=C2e-∫dx=C2ex，由y(0)-1得C2=1，所以原方程的特解为y=ex．知识点解析：暂无解析15、求微分方程y’’-y’-6y=0的通解．标准答案：特征方程为λ2-λ-6=0，特征值为λ1=-2，λ2=3，则原方程的通解为y=C1e-2x+C2e3x知识点解析：暂无解析16、求微分方程y’’+4y’+4y=0的通解．标准答案：特征方程为λ2+4λ+4=0，特征值为λ1=λ2=-2，则原方程的通解为y=(C1+C2x)e-2x知识点解析：暂无解析17、求微分方程y’’-y’+2y=0的通解．标准答案：特征方程为λ2-λ+2=0，特征值为λ1,2=则原方程的通解为y=知识点解析：暂无解析18、设二阶常系数齐次线性微分方程以y1=e2x，y2=2e-x-3e2x为特解，求该微分方程．标准答案：因为y1=e2x，y2=2e-x-3e2x为特解，所以e2x，e-x也是该微分方程的特解，故其特征方程的特征值为λ1=-1，λ2=2，特征方程为(λ+1)(λ-2)=0即λ2-λ-2=0，所求的微分方程为y’’-y’-2y=0．知识点解析：暂无解析19、求微分方程y’’+2y’-3y=(2x+1)ex的通解．标准答案：特征方程为λ2+2λ-3=0，特征值为λ1=1，λ2=-3，则y’’+2y’-3y=0的通解为y=C1ex+C2e-3x．令原方程的特解为y0=x(ax+b)ex，代入原方程得a=所以原方程的通解为y=C1ex+C2e-3x+(2x2+x)ex．知识点解析：暂无解析20、求y’’-2y’-ex=0满足初始条件y(0)=1，y’(0)=1的特解．标准答案：原方程化为y’’-2y’=e2x．特征方程为λ2-2λ=0，特征值为λ1=0，λ2=2，y’’-2y’=0的通解为y=C1+C2e2x．设方程y’’-2y’=e2x的特解为y0=Axe2x，代入原方程得A=原方程的通解为y=C1+C2e2x+由y(0)=1，y’(0)=1得故所求的特解为y=知识点解析：暂无解析21、求微分方程y’’+4y’+4y=eax的通解．标准答案：特征方程为λ2+4λ+4=0，特征值为λ1=λ2=-2，原方程对应的齐次线性微分方程的通解为y=(C1+C2x)e-2x(1)当a≠-2时，因为a不是特征值，所以设原方程的特解为y0(x)=Aeax，代入原方程得A=，则原方程的通解为y=(C1+C2x)e-2x+(2)当a=-2时，因为a=-2为二重特征值，所以设原方程的特解为y0(x)=Ax2e-2x，代入原方程得A=，则原方程的通解为y=(C1+C2x)e-2x+知识点解析：暂无解析22、求微分方程y’’+y=x2+3+cosx的通解．标准答案：特征方程为λ2+1=0，特征值为λ1=-i，λ2=i，方程y’’+y=0的通解为y=C1cosx+C2sinx．对方程y’’+y=x2+3，特解为y=x2+1；对方程y’’+y=cosx，特解为xsinx，原方程的特解为x2+1+则原方程的通解为y=C1cosx+C2sinx+x2+1+知识点解析：暂无解析23、设单位质点在水平面内作直线运动，初速度v｜t=0=v0．已知阻力与速度成正比(比例系数为1)，问t为多少时此质点的速度为?并求到此时刻该质点所经过的路程．标准答案：设t时刻质点运动的速度为v(t)，阻力F=ma=解此微分方程得v(t)=v0e-t．由v0e-t=得t=ln3，从开始到t=ln3的时间内质点所经过的路程为知识点解析：暂无解析24、设f(x)在[0，+∞)上连续，且f(0)＞0，设f(x)在[0，x]上的平均值等于f(0)与f(x)的几何平均数，求f(x)．标准答案：根据题意得知识点解析：暂无解析25、设曲线L位于xOy平面的第一象限内，L上任意一点M处的切线与y轴总相交，交点为A，已知｜MA｜=｜OA｜，且L经过点，求L的方程．标准答案：设点M的坐标为(x，y)，则切线MA：Y-y=y’(X-x)．令X=0，则Y=y-xy’，故A点的坐标为(0，y-xy’)．由｜MA｜=｜OA｜，得｜y-xy’｜=即2yy’-因为曲线经过点，所以C=3，再由曲线经过第一象限得曲线方程为知识点解析：暂无解析26、在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ的长度的倒数(Q为法线与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与z轴平行．标准答案：设所求曲线为y=y(x)，该曲线在点P(x，y)的法线方程为令Y=0，得X=x+yy’，该点到z轴法线段PO的长度为由题意得，即yy’’-1+y’2．令y’=p，则y’’=，由y(1)=1，y’(1)=0得C1=1，所以y’=知识点解析：暂无解析27、一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正比，比例系数为k＞0，设融化过程中形状不变，设半径为r0的雪堆融化3小时后体积为原来的，求全部融化需要的时间．标准答案：设t时刻雪堆的半径为r，则有，令r=0得t=6，即6小时雪堆可以全部融化．知识点解析：暂无解析28、设f(x)在[0，1]上连续且满足f(0)=1，f’(x)-f(x)=a(x-1)．y-f(x)，=0，x=1，y=0围成的平面区域绕z轴旋转一周所得的旋转体体积最小，求f(x)．标准答案：由f’(x)-f(x)=a(x-1)得f(x)=[a∫(x-1)e∫-1dxdx+C]e-∫-dx=Cex-ax，由f(0)=1得C=1，故f(x)=ex-ax．由V’(a)=，所以当a=3时，旋转体的体积最小，故f(x)=ex-3x．知识点解析：暂无解析考研数学二（常微分方程）模拟试卷第3套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、方程y’’一3y’+2y=ex+1+excos2x的特解形式为()A、y=axex+b+Aexeos2x。B、y=aex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)。C、y=axex+b+xex(Acos2x+Bsin2x)。D、y=axex+b+ex(Aeos2x+Bsin2x)。标准答案：D知识点解析：齐次微分方程y’’一3y’+2y=0的特征方程为λ2一3λ+2=0．特征根为λ=1，λ=2，则方程y’’一3y’+2y=ex+1+excos2x的特解为y=axex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)，故选D。2、微分方程y’’+y=x2+1+sinx的特解形式可设为()A、y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)。B、y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Beosx)。C、y*=ax2+bx+c+Asinx。D、y*=ax2+bx+c+Acosx。标准答案：A知识点解析：对应齐次方程y’’+y=0的特征方程为λ2+1=0，特征根为λ=±i，对于方程y’’+y=x2+1=e0(x2+1)，0不是特征根，从而其特解形式可设为y*=ax2+bx+c，y1*=ax2+bx+c对于方程y’’+y=sinx，i为特征根，从而其特解形式可设为y2*=x(Asinc+Bcosx)，因此y’’+y=x2+1+sinx的特解形式可设为y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)。3、微分方程y’’一λ2y=eλx+e-λx(λ＞0)的特解形式为()A、a(eλx+e-λx)。B、ax(eλx+e-λx)。C、x(aeλx+be-λx)。D、x2(aeλx+be-λx)。标准答案：C知识点解析：原方程对应的齐次方程的特征方程为r2一λ2=O，其特征根为r1,2=±λ，所以y’’一λ2y=eλx的特解为y1*=axeλx，y’’一λ2y=eλ2x的特解为y2*=bxe-λx，根据叠加原理可知原方程的特解形式为y*=y1*+y2*=x(ae+be－λx)，y*=y1*+y2*=s(aeλx+be-λx)，因此选C。二、填空题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)4、微分方程xy’+2y=xlnx满足的特解为__________。标准答案：知识点解析：5、微分方程(y+x2e-x)dx一xdy=0的通解是y=__________。标准答案：x(一e-x+C)知识点解析：微分方程(y+x2e-x)dx一xdy=0，6、微分方程(y+x3)dx一2xdy=0满足的特解为__________。标准答案：知识点解析：7、微分方程满足初始条件y｜x=2=1的特解是__________。标准答案：x=y2+y知识点解析：将x看作未知函数，则上式为x对y的一阶线性方程，又因y=1＞0，则将x=2,y=1代入，得C=1故x=y2+y。8、微分方程ydx+(x一3y2)dy=0，x＞0满足条件y｜x=1=1的特解为__________。标准答案：x=y2知识点解析：对原微分方程变形可得此方程为一阶线性微分方程，所以又y=1时x=1，解得C=0，因此x=y2。9、已知y1=e3x一xe2x，y2=ex一xe2x，y3=一xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解为y=__________。标准答案：y=C1e3x+C2ex一xe2x知识点解析：显然y1一2=e3x和y2一y3=ex是对应的二阶常系数线性齐次微分方程的两个线性无关的解，且y*=一xe2x是非齐次微分方程的一个特解。由解的结构定理，该方程的通解为y=C1e3x+C2ex一xe2x。10、设y=ex(asinx+bcosx)(a，b为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为__________。标准答案：y’’一2y’+2y=0知识点解析：由通解的形式可知，特征方程的两个根是λ1，λ2=1±i，因此特征方程为(λ一λ1)(λ一λ2)=λ2一(λ1+λ2)λ+λ1λ2=λ2一2λ+2=0，故所求微分方程为y’’一2y’+2y=0。11、微分方程xy’’+3y’=0的通解为__________。标准答案：知识点解析：令P=y’，则原方程化为，其通解为P=Cx-3。因此，12、微分方程的通解为__________。标准答案：知识点解析：二阶齐次微分方程的特征方程为13、微分方程y’’+2y’+5y=0的通解为__________。标准答案：y=e-x(C1cos2x+C2sin2x)知识点解析：由题干可知，方程y’’+2y’+5y=0的特征方程为λ2+2λ+5=0解得则原方程的通解为y=e-x(C1cos2x+C2sin2x)。14、微分方程y’’一4y=e2x的通解为__________。标准答案：知识点解析：对应齐次微分方程的特征方程为λ2一4=0，解得λ1=2，λ2=一2。故y’’一4y=0的通解为y1=C1e+C2eh，其中C1，C2为任意常数。由于非齐次项为f(x)=e2x，α=2为特征方程的单根，因此原方程的特解可设为y=Axe2x，代入原方程可求出故所求通解为15、微分方程y’’一2y’+2y=ex的通解为__________。标准答案：y=C1excosx+C2exsinx+ex知识点解析：对应的特征方程为λ2一2λ+2=0．解得其特征根为λ1,2=1±i。由于α=1不是特征根，可设原方程的特解为y*=Aex，代入原方程解得A=1。因此所求的通解为y=C1excosx+C2exsinx+ex。16、二阶常系数非齐次线性方程y’’一4y’+3y=2e2x的通解为y=__________。标准答案：y=C1ex+C2e3x一2e2x知识点解析：特征方程为λ2一4λ+3=0，解得λ1=1，λ2=3。则对应齐次线性微分方程y’’一4y’+3y=0的通解为y=C1ex+C2e3x。设非齐次线性微分方程y’’一4y’+3y=2e2x的特解为y*=ke2x，代入非齐次方程可得k=一2。故通解为y=C1ex+C2e3x一2e2x。17、微分方程y’’一3y’+2y=2ex满足的特解为__________。标准答案：y=一3ex+3e2x一2xex知识点解析：y’’一3y’+2y=2ex对应的齐次方程的特征方程是λ2一3λ+2=0，它的两个特征根分别是λ1=1，λ2=2。因此对应齐次方程的通解为Y=C1ex+C2e2x。又因为x=1是特征方程的单根，所以，设非齐次方程的特解为y*=Axex，则(y*)’=Aex+Axex，(y*)’’=2Aex+Axex，将以上三式代入方程得A=一2。因此，此非齐次线性微分方程的通解为y=C1ex+C2e2x一2xex。由所给题设条件可得y(0)=0，y’(0)=1，代入上式解得y=一3ex+3e2x一2xex。18、若二阶常系数齐次线性微分方程y’’+ay’+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程y’’+ay’+by=戈满足条件y(0)=2，y’(0)=0的特解为y=____________。标准答案：x(1一ex)+2知识点解析：由常系数齐次线性微分方程y’’+ay’+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex可知y1=ex，y2=xex为其两个线性无关的解，代入齐次方程，有y1’’+ay1’+by1=(1+a+b)ex=0=→1+a+b=0，y2’’+ay2’+6y2=[2+a+(1+a+b)x]ex=0→2+a=0，从而a=一2，b=1，故非齐次微分方程为y’’+ay’+by=x。设特解y*=Ax+B，代入非齐次微分方程，得一2A+Ax+B=x，即所以特解为y*=x+2，非齐次方程的通解为y=(C1+C2x)ex+x+2。把y(0)=2，y’(0)=0代入通解，得C1=0，C2=一1。故所求特解为y=一xex+x+2=x(1一ex)+2。19、三阶常系数线性齐次微分方程y’’’一2y’’+y’一2y=0的通解为y=_____________。标准答案：C1e2x+C2cosx+C3sinx知识点解析：微分方程对应的特征方程为λ3一2λ2+λ一2=0。解上述方程可得其特征值为2，±i，于是其中一组特解为e2x，cosx，sinx。因此通解为y=C1e2x+C2cosx+C3sinx。三、解答题(本题共21题，每题1.0分，共21分。)设函数y=y(x)在(一∞，+∞)内具有二阶导数，且y'≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数。20、试将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)满足的微分方程；标准答案：由反函数的求导公式知，于是有代入原微分方程得y’’一y=sinx。(*)知识点解析：暂无解析21、求变换后的微分方程满足初始条件的特解。标准答案：方程(*)所对应的齐次方程y’’一y=0的通解为Y=C1ex+C2e-x。设方程(*)的特解为y’’=Acosx+Bsinx．代入方程(*)，求得因此y’’一y=sinx的通解是由得C1=1，C2=一1。故所求初值问题的特解为知识点解析：暂无解析22、设f(u，v)具有连续偏导数，且fu’(u，v)+fv’(u，v)=sin(u+v)eu+v，求y(x)=e-2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。标准答案：由y(x)=e-2xf(x，x)，有y’(x)=一2e-2xf(x，x)+e-2x[f1’(x，x)+f2’(x，x)]，由fu’(u，v)+fv’(u，v)=sin(u+v)eu+v可得f1’(x，x)+f2’(x，x)=(sin2x)e2x。于是y(x)满足一阶线性微分方程y’(x)+2y(x)=sin2x，通解为y(x)=e-2x[fsin2x.e2xdx+c]，由分部积分公式，可得知识点解析：暂无解析23、设f(u，v)具有连续偏导数，且满足fu’(u，v)+fv’(u，v)=uv。求y(x)=e-2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。标准答案：由y(x)=e一2xf(x，x)，两边对x求导有，y’=一2e一2xf(x，x)+e一2xf1’(x，x)+e一2xy2’(x，x)=一2e一2xf(x，x)+e一2x[f1’(x，x)+f2’(x，x)]=一2y+e一2x[f1’(x，x)+f2’(x，x)]。已知fu’(u，v)+fv’(u，v)=uv，即f1’(u，v)+f2’(u，v)=uv，则f1’(u，v)+f2’(x，x)=x2。因此，y(x)满足一阶微分方程y’+2y=x2e-2x。由一阶线性微分方程的通解公式得知识点解析：暂无解析24、设y=y(x)是区间(一π，π)内过的光滑曲线，当一π＜x＜0时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0≤x＜π时，函数y(x)满足y’’+y+x=0。求函数y(x)的表达式。标准答案：由题意，当一π＜x＜0时，法线均过原点，所以有，得y2=一x2+C。又，代入y2=一x2+C得C=π2，从而有x2+y2=π2。当0≤x＜π时，y’’+y+x=0，得其对应齐次微分方程y’’+y=0的通解为y*=C1cosx+C2sinx。设其特解为y1=Ax+B，则有0+Ax+B+x=0，得A=一1，B=0，故y1=一x是方程的特解，因此y’’+y+x=0的通解为y=C1cosx+C2sinx一x。因为y=y(x)是(一π，π)内的光滑曲线，故y在x=0处连续且可导，所以由已知得y｜x=0=π，y’｜x=0=0，故得C1=π，C2=1，所以知识点解析：暂无解析25、设位于第一象限的曲线y=f(x)过点其上任一点P(x，y)处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分。求曲线y=f(x)的方程。标准答案：曲线y=f(x)在点P(x，y)处的法线方程为令X=0，则它与y轴的交点为由题意，此点与点P(x，y)所连的线段被x轴平分，由中点公式得，即2ydy+xdx=0．上式两端积分得代入初始条件，故曲线y=f(x)的方程为即x2+2y2=1。知识点解析：暂无解析在xOy坐标平面上，连续曲线L过点M(1，0)，其上任意点P(x，y)(x≠0)处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax(常数a＞0)。26、求L的方程；标准答案：设曲线L的方程为y=f(x)，则由题设可得这是一阶线性微分方程，其中代入通解公式得又f(1)=0，所以C=一s。故曲线L的方程为y=ax2一ax(x≠0)。知识点解析：暂无解析27、当L与直线y=ax所围成平面图形的面积为时，确定a的值。标准答案：L与直线y=ax(a＞0)所围成的平面图形如图1—5—2所示。所以故a=2。知识点解析：暂无解析设L是一条平面曲线，其上任意一点m(x，y)(x＞0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点28、试求曲线L的方程；标准答案：设曲线L过点P(x，y)的切线方程为Y—y=y’(X一x)，令X=0，则Y=一xy’+y，即它在y轴上的截距为一xy’+y。根据距离公式，点P(x，y)到坐标原点的距离为。故由题设条件得此为一阶齐次微分方程，令y=ux，则，代入上式，方程变为知识点解析：暂无解析29、求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围图形面积最小。标准答案：由(I)知曲线的方程为。则y’=一2x，点，所以在点P处的切线方程为分别令X=0，Y=0，解得在y轴，x轴上的截距分别为此切线与两坐标轴围成的三角形面积为由于该曲线在第一象限中与两坐标轴所围成的面积为定值，记为S0，于是题中所求的面积为求最值点时与S0无关，而根据极值存在的第一充分条件知是S(x)在x＞0时的唯一极小值点，即最小值点，于是所求切线方程为知识点解析：暂无解析30、设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l：y=y(x)与直线y=x相切于原点，记a为曲线l在点(x，y)处切线的倾角，若，求y(x)的表达式。标准答案：由，两边对x求导得，即(1+y’2)y’=y’’，因此可知令．分离变量得知识点解析：暂无解析31、设y=y(x)是凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为，且此曲线上点(0，1)处的切线方程为y=x+1，求该曲线的方程，并求函数y=y(x)的极值。标准答案：由题设及曲率公式，有由题设，曲线上点(0，1)处的切线方程为y=x+1，可知y(0)=1，y’(0)=1(本题选择是因为已知曲线在x=0处有值，且曲线是一条连续曲线，因此该解的范围应该包含x=0在内并且使y(x)连续的一个区间。)对上式积分得又由题设可知y(0)=1，代入上式，得，于是所求的曲线方程为由于，且lnx在定义域内是增函数，所以当且仅当时，即x=时，y取得最大值，由于，所以此时y取极大值，极大值为，显然y在没有极小值。知识点解析：暂无解析32、设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y’(x)＞0，y(0)=1。过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1一S2恒为1，求曲线y=y(x)的方程。标准答案：设曲线y=y(x)上的点P(x，y)处的切线方程为Y—y=y’(X一x)．它与x轴的交点为由于y’(x)＞0，y(0)=1，因此y(x)＞1(x＞0)。于是又可得S2=∫0-xy(t)dt根据题设2S1一S2=1，有并且y’(0)=1，两边对x求导并化简得yy’’=(y’)2，这是可降阶的二阶常微分方程，令P(y)=y’，则上述方程可化分离变量得从而有y=C2eC1x根据y’(0)=1，y(0)=1，可得C1=1，C2=1。故所求曲线的方程为y=ex。知识点解析：暂无解析33、设y=f(x)是第一象限内连接点A(0，1)，B(1，0)的一段连续曲线，M(x，y)为该曲线上任意一点，点C为M在x轴上的投影，O为坐标原点。若梯形OCMA的面积与曲边三角形CBM的面积之和为，求f(x)的表达式。标准答案：由题意得即有1+f(x)+xf’(x)一2f(x)=x2。当x≠0时，化简得即此方程为标准的一阶线性非齐次微分方程，其通解为曲线过点B(1，0)，代入上式，得C=一2.所以f(x)=x2+1—2x=(x一1)2。知识点解析：暂无解析34、假设：①函数y=f(x)(0≤x≤+∞)满足条件f(0)=0和0≤f(x)≤ex一1；②平行于y轴的动直线MN与曲线y=f(x)和y=ex一1分别相交于点P1和P2；③曲线y=f(x)，直线MN与x轴所围成的封闭图形的面积S恒等于线段P1P2的长度。求函数y=f(x)的表达式。标准答案：由题设可得∫0xf(x)dx=ex一1一f(x)，两端求导，得f(x)=ex-f’(x)，即有f’(x)+f(x)=ex。由一阶线性方程求解公式，得由f(0)=0得，因此所求函数为知识点解析：暂无解析35、如图1—5一1，C1和C2分别是和y=ex的图象，过点(0，1)的曲线C3是一单调增函数的图象。过C2上任一点M(x，y)分别作垂直于x轴和y轴的直线lx和ly。记C1，C2与lx所围图形的面积为S1(x)；C2，C3与ly所围图形的面积为S2(y)。如果总有S1(x)=S2(y)，求曲线C3的方程x=φ(y)。标准答案：由已知条件知识点解析：暂无解析36、设曲线y=f(x)，其中y=f(x)是可导函数，且f(x)＞0。已知曲线y=f(x)与直线y=0，x=1及x=t(t＞1)所围成的曲边梯形绕戈轴旋转一周所得立体的体积值是该曲边梯形面积值的，πt倍，求该曲线方程。标准答案：根据旋转体的体积公式，V=∫1tπf2(x)dx=π∫1tf2(x)dx，而曲边梯形的面积为s=∫1tf(x)dx，则由题意可知V=πts可以得到V=π∫1t(x)dx=πt∫1tf(x)dx，因此可得∫1tf2(x)dx=t∫1tf(x)dx上式两边同时对t求导可得f2(t)=∫1tf(x)dx+tf(t)，即f2(t)一tf(t)=∫1tf(x)dx。继续求导可得2f(t)-f’(t)一tf’(t)=f(t)，化简[2f(t)一t]f’(t)=2f(t)．亦即解这个微分方程得在f2(t)一tf(t)=∫1tf(x)dx中令t=1，则f2(1)一f(1)=0，又f(t)＞0，即f(1)=1，将其代入因此该曲线方程为知识点解析：暂无解析37、设f(x)是区间[0，+∞)上具有连续导数的单调增加函数，且f(0)=1。对任意的t∈[0，+∞)，直线x=0，x=t，曲线y=f(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体。若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数f(x)的表达式。标准答案：因此，所求函数为知识点解析：暂无解析有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面，容器的底面圆的半径为2m。根据设计要求，当以3m3／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm2／min的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体)。38、根据t时刻液面的面积，写出t与φ(y)之间的关系式；标准答案：设在t时刻，液面的高度为y，此时液面的面积为A(t)=πφ2(y)，由题设，液面的面积将以πm2／min的速率均匀扩大，可得知识点解析：暂无解析39、求曲线x=φ(y)的方程。标准答案：液面的高度为y时，液体的体积为V(t)=π∫0-2φ2(u)du，由题设，以3m3／min的速率向容器内注入液体，得知识点解析：暂无解析40、从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系。设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用。设仪器的质量为m，体积为β，海水比重为ρ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为k(k＞0)。试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数关系式y=y(v)。标准答案：选取沉放点为原点O，Oy轴正向取铅直向下，则根据牛顿第二定律得知识点解析：暂无解析考研数学二（常微分方程）模拟试卷第4套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设y(x)是微分方程y’’+(x-1)y’+x2y=ex满足初始条件y(0)=0，y’(0)=1的解，则()．A、等于1B、等于2C、等于0D、不存在标准答案：A知识点解析：微分方程y’’+(x-1)y’+x2y=ex中，令x=0，则y’’(0)=2，于是，y’’(0)=1，选(A)．2、二阶常系数非齐次线性微分方程y’’-2y’-3y=(2x+1)e-x的特解形式为()．A、(ax+b)exB、x2e-xC、x2(ax+b)e-xD、x(ax+b)e-x标准答案：D知识点解析：方程y’’-2y’-3y=(2x+1)e-x的特征方程为λ2-2λ-3=0，特征值为λ1=-1，λ2=3，故方程y’’-2y’-3y=(2x+1)e-x的特解形式为x(ax+b)e-x，选(D)．3、设φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)为二阶非齐次线性方程y’’+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解，则该方程的通解为()．A、C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2φ3(x)B、C1[φ1(x)-φ2(x)]+C2φ3(x)C、C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2[φ1(x)-φ3(x)]D、C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C1+C2+C3=1标准答案：D知识点解析：因为φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)为方程y’’+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解，所以φ1(x)-φ3(x)，φ2(x)-φ3(x)为方程y’’+a1(x)y’+a2(x)y=0的两个线性无关解，于是方程y’’+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的通解为C1[φ1(x)-φ3(x)]+C2[φ2(x)-φ3(x)]+φ3(x)即C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C3=1-C1-C2或C1+C2+C3=1，选(D)．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)4、设y=y(z)满足△y==______标准答案：知识点解析：由△x+o(△x)得函数y=y(x)可微且y’=，积分得y(x)=，因为y(1)=1，所以C=0，5、微分方程y’-xe-y+=0的通解为______标准答案：知识点解析：由令z=ey，则所以原方程的通解为ey=6、微分方程yy’’-2(y’)2=0的通解为_______标准答案：知识点解析：令y’=p，得y’’=，代入原方程得当p=0时，yy=C；7、微分方程xy’=(x＞0)的通解为________标准答案：lnx+C知识点解析：8、以y=C1ex+ex(C2cosx+C3sinx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为_______标准答案：y’’-3y"+4y’-2y=0．知识点解析：特征值为λ1=1，λ2,3=1±i，特征方程为(λ-1)(λ-1+i)(λ-1-i)=0，即λ3-λ2+4λ-2=0，所求方程为y’’-3y"+4y’-2y=0．9、设y(x)为微分方程y’’-4y’+4y=0满足初始条件y(0)=1，y’(0)=2的特解，则=______标准答案：知识点解析：y’’-4y’+4y=0的通解为y=(C1+C2x)e2x，由初始条件y(0)=1，y’(0)=2得C1=1，C2=0，则y=e2x，于是三、解答题(本题共26题，每题1.0分，共26分。)设f(x)是连续函数．10、求初值问题，的解，其中a＞0；标准答案：y’+ay=f(x)的通解为y=由y(0)=0得C=0，所以y=知识点解析：暂无解析11、若｜f(x)｜≤k，证明：当x≥0时，有｜y(x)｜≤(eax-1)．标准答案：当x≥0时，知识点解析：暂无解析12、设有微分方程y’-2y=φ(c)，其中φ(x)=，在(-∞，+∞)求连续函数y(x)，使其在(-∞，1)及(1，+∞)内都满足所给的方程，且满足条件y(0)=0．标准答案：当x＜1时，y’-2y=2的通解为y=C1e2x-1，由y(0)=0得C1=1，y=e2x-1；当x＞1时，y’-2y=0的通解为y=C2e2x，根据给定的条件，y(1+0)=C2e2=y(1-0)=e2-1，解得C2=1-e-2，y=(1-e-2)e2x，补充定义y(1)=e2-1，则得在(-∞，+∞)内连续且满足微分方程的函数知识点解析：暂无解析13、设f(x)二阶连续可导，f(0)=0，f’(0)=1，且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f’(x)+x2y]dy=0为全微分方程，求f(x)及该全微分方程的通解．标准答案：令P(x，y)=xy(x+y)-f(x)y，Q(x，y)=f’(x)+x2y，因为[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f’(x)+x2y]dy=0为全微分方程，所以，即f’’(x)+f(x)=x2，解得f(x)=C1cosx+C2sinx+x2-2，由f(0)=0，f’(0)=1得C1=2，C2=1，所以f(x)=2cosx+sinx+x2-2．原方程为[xy2-(2cosx+sinx)y+2y-]dx+(-2sinx+cosx+2x+z2y)dy=0，整理得(xy2dx+x2ydy)+2(ydx+xdy)-2(ycosxdx+sinxdy)+(-ysinxdx+cosxdy)=0，即原方程的通解为x2y2+2xy-2ysinx+ycosx=C．知识点解析：暂无解析14、利用变换x=arctant将方程化为y关于t的方程，并求原方程的通解．标准答案：的特征方程为λ2+2λ+1=0，特征值为λ1=λ2=-1，则的通解为y=(C1+C2t)e-t+t-2，故原方程通解为y=(C1+C2tanx)e-tanx+tanx-2．知识点解析：暂无解析15、设f(x)为偶函数，且满足f’(x)+2f(x)-f(t-x)dt=-3x+2，求f(x)．标准答案：则有f’(x)+2f(x)-=-3x+2，因为f(x)为偶函数，所以f’(x)是奇函数，于是f’(0)=0，代入上式得f(0)=1．将f’(x)+2f(x)-=-3x+2两边对x求导数得f’’(x)+2f’(x)-3f(x)=-3，其通解为f(x)=C1ex+C2e-3x+1，将初始条件代人得f(x)=1．知识点解析：暂无解析16、设二阶常系数线性微分方程，y’’+ay’+by=cex有特解y=e2x+(1+x)ex，确定常数a，b，c，并求该方程的通解．标准答案：将y=e2x+(1+x)ex代入原方程得(4+2n+b)e2x+(3+2a+b)ex+(1+a+b)xex=cex，则有解得a=-3，b=2，c=-1，原方程为y’’-3y’+2y=-ex．原方程的特征方程为λ2-3λ+2—0，特征值为λ1=1，λ2=2，则y’’-3y’+2y=0的通解为y=C1ex+C2e2x，于是原方程的通解为y=C1ex+C2e2x+e2x+(1+x)ex．知识点解析：暂无解析17、设，求f(x)．标准答案：由=2得f(1)=0，f’(1)=2，令，则解得rf’(r)=C1，由f’(1)=2得C1=2，于是f’(r)=f(r)=lnr2+C2，由f(1)=0得C2=0，所以f(x)=lnx2．知识点解析：暂无解析设函数f(x)在[0，+∞)内可导，f(0)=1，且f'(x)+f(x)-18、求f’(x)；标准答案：(x+1)f’(x)+(x+1)f(x)-=0，两边求导数，得(x+1)f’’(x)=-(x+2)f’(x)再由f(0)=1，f’(0)+f(0)-0，得f’(0)=-1，所以C=-1，于是f’(x)=知识点解析：暂无解析19、证明：当x≥0时，e-x≤f(x)≤1．标准答案：当x≥0时，因为f’(x)＜0且f(0)=1，所以f(x)≤f(0)=1．令g(x)=f(x)-e-x，g(0)=0，g’(x)=f’(x)+e-x=≥0，由知识点解析：暂无解析20、设y=y(x)二阶可导，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．(1)将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)所满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y’(0)=的解．标准答案：代入原方程得y’’-y=sinx，特征方程为r2-1=0，特征根为r1,2=±1，因为i不是特征值，所以设特解为y*=acosx+bsinx，代入方程得a=0，b=，于是方程的通解为y=C1ex+C2e-xsinx，由初始条件得C1=1，C2=-1，满足初始条件的特解为y=ex-e-x-知识点解析：暂无解析21、设函数f(x，y)可微，，求f(x，y)．标准答案：由，解得f(0，y)=siny+C．由，得C=0，即f(0，y)=siny．又由=-f(x，y)，得lnf(x，y)=-x+lnφ(y)，即f(x，y)φ=(y)e-x，由f(0，y)=siny，得φ(y)=siny,所以f(x，y)=e-xsiny．知识点解析：暂无解析设函数f(x)(x≥0)可微，且f(x)＞0．将曲线y=f(x)，x=1，x=a(a＞1)及x轴所围成平面图形绕x轴旋转一周得旋转体体积为，求：22、f(x)；标准答案：由题设知，[a2f(a)-f(1)]，两边对a求导，得3f2(a)=2af(a)+a2f’(a)知识点解析：暂无解析23、f(x)的极值．标准答案：因为f’(x)=知识点解析：暂无解析设函数f(x)满足xf'(x)-2f(x)=-x，且由曲线y=f(x)，x=1及x轴(x≥0)所围成的平面图形为D．若D绕x轴旋转一周所得旋转体体积最小，求：24、曲线y=f(x)；标准答案：由xf’(x)-2f(x)=-xf(x)=x+cx2．设平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为V，则知识点解析：暂无解析25、曲线在原点处的切线与曲线及直线x=1所围成的平面图形的面积．标准答案：f’(x)=在原点处的切线方程为y=x，则知识点解析：暂无解析26、位于上半平面的上凹曲线y=y(x)过点(0，2)，在该点处的切线水平，曲线上任一点(x，y)处的曲率与及1+y’2之积成反比，比例系数为k=，求y=y(x)．标准答案：根据题意得令y’=p，则有因为p(2)=0，所以C1=0，故y’=p=进一步解得因为y(0)=2，所以C2=0，故曲线方程为知识点解析：暂无解析27、一条曲线经过点(2，0)，且在切点与y轴之间的切线长为2，求该曲线．标准答案：曲线在点(x，y)处的切线方程为Y-y=y’(X-x)，令X=0，则Y=y-xy’，切线与y轴的交点为(0，y-xy’)，由题意得x2+x2y’2=4，解得因为曲线经过点(2，0)，所以C=0，故曲线为知识点解析：暂无解析28、设曲线L1与L2皆过点(1，1)，曲线L1在点(x，y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为2，曲线L2在点(x，y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为2，求两曲线所围成区域的面积．标准答案：对曲线L1，由题意得=2，解得t=x(2x+C1)，因为曲线L1过点(1，1)，所以C1=-1，故L1：y=2x2-x．对曲线L2，由题意得因为曲线L2过点(1，1)，所以C2=-1，故L2：y=2-由2x2-x=2-得两条曲线的交点为(，0)及(1，1)，故两条曲线所围成区域的面积为知识点解析：暂无解析29、用变量代换x=sint将方程(1-x2)化为y关于t的方程，并求微分方程的通解．标准答案：故原方程的通解为y=C1e-2arcsinx+C2e2arcsinx知识点解析：暂无解析30、用变量代换x=lnt将方程化为y关于t的方程，并求原方程的通解．标准答案：故原方程的通解为y=C1cosex+C2sinex．知识点解析：暂无解析31、设y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为，又此曲线上的点(0，1)处的切线方程为y=x+1，求该曲线方程，并求函数y(x)的极值．标准答案：因为曲线是上凸的，所以y’’＜0，由题设得因为曲线y=y(x)在点(0，1)处的切线方程为y=x+1，所以p｜x=0=1，从而y’=因为曲线过点(0，1)，所以C2=1+所求曲线为知识点解析：暂无解析飞机以匀速v沿y轴正向飞行，当飞机行至O时被发现，随即从x轴上(x0，0)处发射一枚导弹向飞机飞去(x0＞0)，若导弹方向始终指向飞机，且速度大小为2v．32、求导弹运行的轨迹满足的微分方程及初始条件；标准答案：设t时刻导弹的位置为M(x，y)，根据题意得所以导弹运行轨迹满足的微分方程及初始条件为知识点解析：暂无解析33、导弹运行方程．标准答案：令知识点解析：暂无解析34、细菌的增长率与总数成正比．如果培养的细菌总数在24h内由100增长到400，求前12h后的细菌总数．标准答案：设t时刻细菌总数为S，则有=kS，S(0)=100，S(24)=400，知识点解析：暂无解析35、某湖泊水量为V，每年排人湖泊中内含污染物A的污水量为，流入湖泊内不含A的水量为，流出湖的水量为．设1999年底湖中A的含量为5m0，超过国家规定指标．为了治理污染，从2000年初开始，限定排人湖中含A污水的浓度不超过．问至多经过多少年，湖中污染物A的含量降到m0以内(设湖中A的浓度是均匀的)?标准答案：设从2000年初开始，第￡年湖中污染物A的总量为m，则浓度为，任取时间元素[t，t+dt]，排人湖中污染物A的含量为，流出湖的污染物A的含量为，则在此时间元素内污染物A的改变量为，令m=m0，得t=6ln3，即至多经过7年，湖中污染物A的含量不超过m0．知识点解析：暂无解析考研数学二（常微分方程）模拟试卷第5套一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、微分方程xdy+2ydx=0满足初始条件y｜x=2=1的特解为()A、xy2=4。B、xy=4。C、x2y=4。D、一xy=4。标准答案：C知识点解析：原微分方程分离变量得两端积分得ln｜y｜=一2ln｜x｜+lnC，x2y=C，将y｜x=2=1代入得C=4，故所求特解为x2y=4。应选C。2、设曲线y=y(x)满足xdy+(x一2y)dx=0，且y=y(x)与直线x=1及x轴所围的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积最小，则y(x)=()A、B、C、D、标准答案：C知识点解析：原方程可化为，其通解为曲线y=x+Cx2与直线x=1及x轴所围区域绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为3、已知y1(x)和y2(x)是方程y’+p(x)y=0的两个不同的特解，则方程的通解为()A、y=Cy1(x)。B、y=Cy2(x)。C、y=C1y1(x)+C2y2(x)。D、y=c[y1(x)一y2(x)]。标准答案：D知识点解析：由于y1(x)和y2(x)是方程y’+p(x)y=0的两个不同的特解，则y1(x)一y2(x)为该方程的一个非零解，则y=C[y1(x)一y2(x)]为该方程的解。4、设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1一μy2是该方程对应的齐次方程的解，则()A、B、C、D、标准答案：A知识点解析：由已知条件可得由λy1+μy2仍是该方程的解，得(λy1’+μy2’)+p(x)(λy1+μy2)=(λ+μ)q(x)，则λ+μ=1；由λy1一μy2是所对应齐次方程的解，得(λy1’一μy2’)+ρ(x)(λy1一μy2)=(λ一μ)q(x)，那么λ一μ=0。综上所述5、设线性无关的函数y1，y2，y3都是二阶非齐次线性方程y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解，C1，C2是任意常数，则该非齐次方程的通解是()A、C1y1+C2y2+y3。B、C1y1+C1y2一(C1+C2)y3。C、C1y1+C2y2一(1一C1—C2)y3。D、C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3。标准答案：D知识点解析：因为y1，y2，y3是二阶非齐次线性方程y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)线性无关的解，所以(y1一y3)，(y2一y3)都是齐次线性方程y’’+p(x)y’+q(x)y=0的解，且(y2一y3)与(y2一y3)线性无关，因此该齐次线性方程的通解为y=C1(y1一y3)+C2(y2一y3)。比较四个选项，且由线性微分方程解的结构性质可知，故本题的答案为D。6、已知，y1=x，y2=x2，y3=ex为方程y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)的二个特解，则该方程的通解为()A、y=C1x+C2x2+ex。B、y=C1x2+C2ex+x。C、y=C1(x一x2)+C2(x一ex)+x。D、y=C1(9C一x2)+C2(x2一ex)。标准答案：C知识点解析：方程y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)是一个二阶线性非齐次方程，则(x一x2)和(x—ex)为其对应齐次方程的两个线性无关的特解，则原方程通解为y=C1(x一x2)+C2(x一ex)+x，故选C。7、具有特解y1=e-x，y2=2xe-x，y2=3ex的三阶常系数齐次线性微分方程是()A、y’’’一y’’一y’+y=0。B、y’’’+y’’一y’一y=0。C、y’’’一6y’’+11y’一6y=0。D、y’’’一2y’’一y’+2y=0。标准答案：B知识点解析：由y1=e，y2=2xe-x，y3=3ex是所求方程的三个特解知，λ=一1，一1，1为所求三阶常系数齐次微分方程的特征方程的三个根，则其特征方程为(λ一1)(λ+1)2=0，即λ3+λ2一λ一1=0，对应的微分方程为y’’’+y’’一y’一y=0，故选B。8、在下列微分方程中，以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是()A、y’’’+y’’一4y’一4y=0。B、y’’’+y’’+4y’+4y=0。C、y’’’一y’’一4y’+4y=0。D、y’’’一y’’+4y’一4y=0。标准答案：D知识点解析：已知题设的微分方程的通解中含有ex、cos2x、sin2x，可知齐次线性方程所对应的特征方程的特征根为λ=1，λ=±2i，所以特征方程为(λ一1)(λ一2i)(λ+2i)=0，即λ3一λ2+4λ一4=0。因此根据微分方程和对应特征方程的关系，可知所求微分方程为y’’’一y’’+4y’一4y=0。9、函数y=C1ex+C2e-2x+xex满足的一个微分方程是()A、y’’一y’一2y=3xex。B、y’’一y’一2y=3ex。C、y’’+y’一2y=3xex。D、y’’+y’一2y=3ex。标准答案：D知识点解析：根据所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为λ1=1，λ2=一2。因此对应的齐次微分方程的特征方程为λ2+λ一2=0．故对应的齐次微分方程为y’’+y’一2y=0。又因为y*=xex为原微分方程的一个特解，而λ=1为特征根且为单根，故原非齐次线性微分方程右端的非齐次项形式为f(x)=Cex(C为常数)。比较四个选项，应选D。10、若y=xex+x是微分方程y’’一2y’+ay=bx+c的解，则()A、a=1，6=1，c=1。B、a=1，b=1，c=一2。C、a=一3，b=一3，c=0。D、a=一3，b=1，c=1。标准答案：B知识点解析：由于y=xex+x是方程y’’一2y’+ay=bx+c的解，则xex是对应的齐次方程的解，其特征方程有二重根λ1=λ2=1，则a=1。x为非齐次方程的解，将y=x代入方程y’’一2y’+y=bx+c，得b=1，c=一2，故选B。二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)11、微分方程的通解是__________。标准答案：y=Cxe-x(x≠0)知识点解析：原方程等价为两边积分得ln｜y｜=ln｜x｜一x+C。取C=eC1，整理得y=Cxe-x(x≠0)。12、微分方程的通解为__________。标准答案：y=x.eCx+1知识点解析：令y=xu，代入原方程，则有zu’+u=ulnu，即两边求积分，即得ln｜lnu一1｜=ln｜x｜+C，去掉对数符号与绝对值符号得y=xeCx+1，C为任意常数。13、微分方程y’=1+x+y2+xy2的通解为__________。标准答案：知识点解析：将已知微分方程变形整理得14、微分方程xy’+y=0满足初始条件y(1)=2的特解为__________。标准答案：知识点解析：原方程可化为(xy)’=0，积分得xy=C，代入初始条件得C=2，故所求特解为xy=2，即15、微分方程3extanydx+(1一ex)sec2ydy=0的通解是__________。标准答案：tany=C(ex一1)3知识点解析：两边同乘以，方程分离变量为16、微分方程满足初始条件y(1)=1的特解是y=__________。标准答案：xe1-x知识点解析：此方程为一阶齐次微分方程，令y=ux，则有所以原方程可化为解此微分方程得ln｜lnu一1｜=ln｜C1x｜，去绝对值