拔高点突破02 柯西不等式、反柯西不等式与权方和不等式（十一大题型）（原卷版）

拔高点突破02柯西不等式、反柯西不等式与权方和不等式目录TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧与总结 202题型归纳与总结 2题型一：柯西不等式之直接套公式型 2题型二：柯西不等式之根式下有正负型 3题型三：柯西不等式之高次定求低次型 3题型四：柯西不等式之低次定求高次型 4题型五：柯西不等式之整式与分式型 4题型六：柯西不等式之多变量型 5题型七：柯西不等式之三角函数型 5题型八：Aczel不等式 5题型九：权方和不等式之整式与分式综合型 6题型十：权方和不等式之三角函数型 6题型十一：权方和不等式之杂合型 703过关测试 7

1、柯西不等式（Cauchy不等式）（1）二元柯西不等式：对于任意的，都有．（2）元柯西不等式：，取等条件：或（）．2、Aczel不等式（反柯西不等式）设；均为实数，或，则有．当且仅当，成比例时取等．3、权方和不等式（1）二维形式的权方和不等式对于任意的，都有．当且仅当时，等号成立．（2）一般形式的权方和不等式若，，，则，当时等号成立．题型一：柯西不等式之直接套公式型【例1】已知且则的最小值是（

）A．1 B． C． D．2【变式1-1】若，则的最小值为（

）A．25 B．8 C． D．【变式1-2】已知a，b，，满足，则的最大值为（

）A．2 B．3 C．4 D．6题型二：柯西不等式之根式下有正负型【例2】（2024·高三·山东青岛·期中）柯西不等式（Caulhy-SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数的最大值为（

）A． B． C．12 D．20【变式2-1】柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式,而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的:已知向量,,由得到,当且仅当时取等号.现已知,,,则的最大值为（

）A． B． C． D．【变式2-2】（2024·浙江·模拟预测）已知，，且，则的最大值为（

）A． B． C． D．题型三：柯西不等式之高次定求低次型【例3】设a，b，c为正数，且，则的最大值为（

）A． B． C． D．【变式3-1】（2024·全国·模拟预测）柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数和，有等号成立当且仅当已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（

）A．14 B．12 C．10 D．8【变式3-2】已知实数满足，则的最大值是（

）A． B． C． D．题型四：柯西不等式之低次定求高次型【例4】若实数a，b，c，d满足，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．以上答案都不对【变式4-1】已知空间向量，，且，则的最小值为（

）A． B． C．2 D．4【变式4-2】已知，，为实数，且，则的最小值为（

）A． B．1 C．2 D．题型五：柯西不等式之整式与分式型【例5】（2024·高三·浙江台州·期末）已知正实数满足，则的最小值为．【变式5-1】已知、、，且满足，则的最小值为.【变式5-2】已知，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．题型六：柯西不等式之多变量型【例6】已知且，a，b，c为常数，则的最小值为（

）A． B．C． D．前三个答案都不对【变式6-1】已知实数a，b，c，d，e满足则e的取值范围是（

）A． B． C． D．以上答案都不对【变式6-2】已知，且，则的最小值是（

）A． B．C．417 D．以上答案都不对题型七：柯西不等式之三角函数型【例7】函数的最大值为（

）A． B．C． D．前三个答案都不对【变式7-1】（2024·浙江·一模）若，则的最小值是（

）A．0 B． C． D．【变式7-2】函数的最大值为（

）A． B．5 C．4 D．题型八：Aczel不等式【例8】的最小值为．【变式8-1】为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设了《数学探究与发现》选修课．在某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数量积知识证明了著名的柯西不等式（二维）；当向量时，有，即，当且仅当时等号成立；学生乙从这个结论出发．作一个代数变换，得到了一个新不等式：，当且仅当时等号成立，并取名为“类柯西不等式”．根据前面的结论可知：当时，的最小值是．题型九：权方和不等式之整式与分式综合型【例9】已知正数，，满足，则的最小值为【变式9-1】权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（

）A．16 B．25 C．36 D．49【变式9-2】已知a，b，c为正实数，且满足，则的最小值为.题型十：权方和不等式之三角函数型【例10】已知正实数、且满足，求的最小值.【变式10-1】已知为锐角，则的最小值为.【变式10-2】（2024·四川·模拟预测）“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，若，当取得最小值时，的值为（

）A． B． C． D．题型十一：权方和不等式之杂合型【例11】已知，则的最小值是．【变式11-1】已知，求的最小值为【变式11-2】求的最大值为1．（2024·吉林白山·一模）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数，，，，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（

）A．16 B．25 C．36 D．492．已知a，b，c均大于1，，则的最小值为（

）A．243 B．27 C．81 D．93．（2024·福建·模拟预测）设、，，则的最小值是（

）A． B． C． D．4．由柯西不等式，当时，求的最大值为（

）A．10 B．4 C．2 D．5．已知，则的取最小值时，为（

）A． B． C．3 D．6．已知：，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．7．实数x、y满足，则的最小值是（

）A． B． C．3 D．48．已知a，，，则的最大值为（

）A．18 B．9 C． D．9．若实数，则的最小值为（

）A．14 B． C．29 D．10．函数的最小值是A． B． C． D．11．若，则的最大值（

）A．3 B．6 C．9 D．2712．函数的最大值是()A． B． C．3 D．513．已知，，则的最大值是()A．1 B．2 C．3 D．414．函数，则的最大值是（）A． B． C． D．15．（2024·高三·河北衡水·期末）已知，，，且，则的最大值为（）A．3 B． C．18 D．916．已知x，y均为正数，且，则的最大值是（

）A．8 B．9 C．10 D．1117．（2024·广西南宁·二模）设实数满足关系：，，则实数的最大值为A． B． C． D．18．（2024·山西·二模）柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量，，由得到，当且仅当时取等号.现已知，，，则的最大值为.19．若不等式对任意正实数x，y都成立，则实数k的最小值为.20．已知x，y，，且，则的最小值为．21．（2024·高三·江苏苏州·开学考试）