【专项精练】第11课 函数与方程-2024年新高考数学分层专项精练（解析版）

第11课函数与方程（分层专项精练）【一层练基础】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的零点个数为（

）.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】通过解法方程来求得的零点个数.【详解】由可得.当时，，或（舍去），当时，或.故是的零点，是的零点，是的零点.综上所述，共有个零点.故选：C2．（2012秋·上海·高三统考期中）已知是函数的零点，若，则的值满足A． B． C． D．的符号不确定【答案】B【分析】数形结合分析即可【详解】不妨设,则,作出图像如下:则可以得到点的横坐标即为的零点，此时，所以当时，故选：B3．（2023春·广东深圳·高一校考阶段练习）已知函数，若有4个零点，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】在同一坐标系中作出的图象，根据有4个零点求解.【详解】解：令，得，在同一坐标系中作出的图象，如图所示：由图象知：若有4个零点，则实数a的取值范围是，故选：A二、多选题4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数(即，)则（

）A．当时，是偶函数 B．在区间上是增函数C．设最小值为，则 D．方程可能有2个解【答案】ABD【分析】结合奇偶函数的定义和二次函数的性质逐一判断选项即可.【详解】：当时，，即，所以，所以是偶函数，故正确；：当时，，的对称轴为，开口向上，此时在上是增函数，当时，，的对称轴为，开口向上，此时在上是增函数，综上，在上是增函数，故正确；：当时，，当时，，因为不能确定的大小，所以最小值无法判断，故错误；：令，当时，，有2个解，故正确.故选：ABD5．（2022秋·湖北省直辖县级单位·高一校考阶段练习）若函数的图像在R上连续不断，且满足，，，则下列说法错误的是（

）A．在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点B．在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点C．在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点D．在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点【答案】ABD【解析】根据的图像在上连续不断，，，，结合零点存在定理，判断出在区间和上零点存在的情况，得到答案．【详解】由题知，所以根据函数零点存在定理可得在区间上一定有零点，又，无法判断在区间上是否有零点，在区间(1，2)上可能有零点．故选：．三、填空题6．（2019·浙江·高三专题练习）已知函数有3个零点，则实数的取值范围是．【答案】【分析】将函数的零点转化为有一个零点，有两个零点，结合零点分布分析运算．【详解】根据题意得：有一个零点，有两个零点若有一个零点，则当时，有两个零点则可得，得故答案为：．【二层练综合】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）求下列函数的零点，可以采用二分法的是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】不是单调函数，，不能用二分法求零点；是单调函数，，能用二分法求零点；不是单调函数，，不能用二分法求零点；不是单调函数，，不能用二分法求零点.故选：B2．（2023秋·高一课时练习）已知函数，则函数的零点个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】令，根据分别求出函数的零点或零点所在区间，再作出函数的图象，根据数形结合即可求出函数的零点个数；【详解】令．①当时，，则函数在上单调递增，由于，由零点存在定理可知，存在，使得；②当时，，由，解得．作出函数，直线的图象如下图所示：

由图象可知，直线与函数的图象有两个交点；直线与函数的图象有两个交点；直线与函数的图象有且只有一个交点．综上所述，函数的零点个数为5．故选：D．3．（2023·全国·高二专题练习）函数在内有极值，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由可导函数在开区间内有极值的充要条件即可作答.【详解】由得，，因函数在内有极值，则时，有解，即在时，函数与直线y=a有公共点，而，即在上单调递减，，则，显然在零点左右两侧异号，所以实数的取值范围是.故选：C【点睛】结论点睛：可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．二、多选题4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数若关于x的方程有5个不同的实根，则实数a的取值可以为（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】换元，将原方程根的个数问题转化二次函数零点的分布问题，结合图象可解.【详解】令，记的两个零点为，则由的图象可知：方程有5个不同的实根与的图象共有5个交点，且（不妨设）.则解得.故选：BCD5．（2023·广东广州·广州市培正中学校考模拟预测）已知函数，若关于x的方程恰有两个不同解，则的取值可能是（

）A． B． C．0 D．2【答案】BC【分析】利用函数的单调性以及已知条件得到，代入，令，求导，利用导函数的单调性分析原函数的单调性，即可求出取值范围.【详解】因为的两根为，所以，从而．令，则，．因为，所以，所以在上恒成立，从而在上单调递增．又，所以，即的取值范围是，故选：BC．【点睛】关键点睛：本题考查利用导数解决函数的范围问题.构造函数，利用导数求取值范围是解决本题的关键.三、填空题6．（2023·全国·高一专题练习）若，，，则x、y、z由小到大的顺序是.【答案】【分析】把给定的三个等式作等价变形，比较函数的图象与曲线交点的横坐标大小作答.【详解】依题意，，，，，因此，成立的x值是函数与的图象交点的横坐标，成立的y值是函数与的图象交点的横坐标，成立的z值是函数与的图象交点的横坐标，在同一坐标系内作出函数，的图象，如图，观察图象得：，即，所以x、y、z由小到大的顺序是.故答案为：【点睛】思路点睛：涉及某些由指数式、对数式给出的几个数大小比较，可以把这几个数视为对应的指数、对数函数与另外某个函数图象交点横坐标，利用图象的直观性质解决.【三层练能力】一、单选题1．（2023春·陕西西安·高二西安市第三中学校考阶段练习）已知函数，若函数恰有5个零点，且，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】将看成整体解出或，作出的大致图象，将式子化为，然后转化为的范围进行分类讨论即可判断.【详解】当时，，此时，，令，解得：，令，解得：，可得在上单调递减且恒负，在上单调递增且恒负，且，当时，，作出的大致图象如图所示，函数恰有5个零点，等价于方程有5个不同的实数根，解得：或，，该方程有5个根，且，则，，当时，，，故，所以；当时，，，故，所以，综上：的取值范围是：.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是对的理解，将看成一个，解出其值，然后通过图象分析，转化为直线与图象的交点情况.2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在上有唯一零点，若，，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】对函数求导得，再对k分类讨论以确定函数的单调性，函数有唯一零点的条件，转化为函数最值即可作答.【详解】因，，则，时，恒有，在上单调递增，，在上无零点，时，，而在上单调递增，从而在上单调递减，在上单调递增，，因函数在上有唯一零点，则，即，令，则，在单调递减，而，于是得的零点，所以.故选：B二、多选题3．（2023·全国·高三专题练习）已知，分别是函数和的零点，则（

）A． B． C．D．【答案】BCD【分析】利用函数与方程思想，得到两根满足的方程关系，然后根据结构构造函数，求导，研究单调性，得到及，结合指对互化即可判断选项A、B、C，最后再通过对勾函数单调性求解范围即可判断选项D.【详解】令，得，即，，令，得，即，即，，记函数，，则，所以函数在上单调递增，因为，，所以，故A错误；又，所以，，所以，故B正确；所以，故C正确；又，所以，结合，得，因为，所以，且，因为在区间上单调递减，所以，即，故D正确；故选：BCD【点睛】关键点点睛：本题考查函数的零点问题，解题方法是把函数的零点转化为方程的根，通过结构构造函数，利用函数单调性及指对互化找到根的关系得出结论.三、填空题4．（2023春·安徽滁州·高二校考期末）已知函数，若关于x的方程恰有两个不相等的实数根，且，则的取值范围是．【答案】【分析】根据给定分段函数，求出函数的解析式，确定给定方程有两个不等实根的a的取值范围，再将目标函数用a表示出即可求解作答.【详解】函数在上单调递增，，在上单调递增，，当，即时，，且，当，即时，，且，当，即时，，且，因此，在坐标系内作出函数的图象，如图，再作出直线，则方程