2025高考总复习专项复习-圆锥曲线的方程专题八

21世纪教育网精品试卷·第2页（共2页）人教A版数学--高考解析几何复习专题八知识点一轨迹问题——椭圆,根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围,求椭圆中的弦长典例1、在平面直角坐标系中，点，，，点M的轨迹为C.（1）求C的方程：（2）设点P在直线上，过点P的两条直线分别交C于A，B两点和G，H两点，若直线AB与直线GH的斜率之和为0，证明：.随堂练习：平面直角坐标系xOy中，点，，点M满足.记M的轨迹为C.（1）说明C是什么曲线，并求C的方程；（2）已知经过的直线l与C交于A，B两点，若，求.典例2、在平面直角坐标系中，已知点，，过点的动直线与过点的动直线的交点为P，，的斜率均存在且乘积为，设动点Р的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程;（2）若点M在曲线C上，过点M且垂直于OM的直线交C于另一点N，点M关于原点O的对称点为Q.直线NQ交x轴于点T，求的最大值.

随堂练习：在平面直角坐标系xOy中，已知点，，点M满足．记M的轨迹为C．（1）求C的方程；（2）设点P为x轴上的动点，经过且不垂直于坐标轴的直线l与C交于A，B两点，且，证明：为定值．典例3、在平面直角坐标系中，为坐标原点，动点到，的两点的距离之和为．（1）试判断动点的轨迹是什么曲线，并求其轨迹方程．（2）已知直线与圆交于、两点，与曲线交于、两点，其中、在第一象限，为原点到直线的距离，是否存在实数，使得取得最大值，若存在，求出和最大值；若不存在，说明理由．

随堂练习：设是圆：上的一动点，已知点，线段的垂直平分线交线段于点，记点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）过点且斜率为的直线l与曲线交于两点，若线段的垂直平分线交轴于点T，若，求实数的取值范围．知识点二根据双曲线的渐近线求标准方程,求双曲线中的弦长,由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数,根据韦达定理求参数典例4、已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点．（1）求双曲线的方程；（2）已知双曲线的左右焦点分别为，，直线经过，斜率为，与双曲线交于A，两点，求的值．

随堂练习：已知双曲线C的渐近线方程为，右焦点到渐近线的距离为.（1）求双曲线C的方程；（2）过F作斜率为k的直线交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于D，求证：为定值.典例5、已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切，（1）求圆心的轨迹方程（2）若过点且斜率的直线与交与两点，线段的垂直平分线交轴与点，证明的值是定值.

随堂练习：已知点，，动点满足直线的斜率与直线的斜率乘积为．当时，点的轨迹为；当时点的轨迹为．（1）求，的方程；（2）是否存在过右焦点的直线，满足直线与交于，两点，直线与交于，两点，且？若存在，求所有满足条件的直线的斜率之积；若不存在，请说明理由，典例6、已知双曲线C的两焦点在坐标轴上，且关于原点对称.若双曲线C的实轴长为2，焦距为，且点P（0，-1）到渐近线的距离为.（1）求双曲线C的方程；（2）若过点P的直线l分别交双曲线C的左、右两支于点A、B，交双曲线C的两条渐近线于点D、E（D在y轴左侧）.记和的面积分别为、，求的取值范围.

随堂练习：双曲线的中心在原点，焦点在轴上，且焦点到其渐近线的距离为2．（1）求双曲线的标准方程；（2）过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，与其渐近线分别交于，（从左至右）两点．①证明：；②是否存在这样的直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．人教A版数学--高考解析几何复习专题八答案典例1、答案：（1）；（2）证明见解析.解：（1）根据椭圆的定义可得，点的轨迹是以为左右焦点，且长轴长为的椭圆，设其方程为，故可得，故的方程为：.（2）设，设，，则，联立直线与椭圆的方程得：，则，，则故，故.随堂练习：答案：（1）C是以点，为左右焦点的椭圆，（2）解：（1）因为，，所以C是以点，为左右焦点的椭圆.于是，，故，因此C的方程为.（2）当垂直于轴时，，，舍去.当不垂直于轴时，可设，代入可得.因为，设，，则，.因为，所以.同理.因此.由可得，，于是.根据椭圆定义可知，于是.典例2、答案：（1）（2）解：（1）设点坐标为，定点，，直线与直线的斜率之积为，，（2）设，，，则，，所以又，所以，又即，则直线：，直线：，由，解得，即，所以令，则，所以因为，当且仅当即时取等号，所以的最大值为；随堂练习：答案：（1）（2）证明过程见解析解：（1）由椭圆的定义可知：M的轨迹为以，为焦点的椭圆，且，，所以，所以C的方程为（2）设直线l为：，则联立得：，设，则，，，则，AB中点坐标为，所以AB的垂直平分线为，令得：，所以，，典例3、答案：（1）动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，（2）2时取得最大值解：（1）由题意知，，所以动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，且，，又因为，所以，所以的轨迹方程为．（2）当时，解得，又圆的半径，所以在椭圆外，在椭圆内，点在内，在外，在直线上的四点满足：，，由，消去整理得，因为直线经过椭圆内的右焦点，所以该方程的判别式恒成立，设，，所以，，，又因为的直径，所以，化为，因为为点到直线的距离，，当且仅当，即时等号成立，所以时取得最大值．随堂练习：答案：（1）；（2）解：（1）因为点在线段的垂直平分线上，所以，所以，所以点的轨迹是焦点为的椭圆，故，可得，所以曲线的方程为（2）由题意，得直线的方程为：.联立方程组得，所以，，则，的中点坐标为，所以直线的垂直平分线的方程为，则与轴交点，所以，因为，所以，因为，所以，即，所以的取值范围为.典例4、答案：（1）（2）6解：（1）设所求双曲线方程为，代入点得：，即，双曲线方程为，即；（2）由（1）知：，，即直线的方程为，设，，联立，得，满足，且，，由弦长公式得.随堂练习：答案：（1）；（2）证明见解析.解:（1）设双曲线方程为由题知双曲线方程为：（2）设直线l的方程为代入整理得，设所以：由弦长公式得：设AB的中点则，代入l得：AB的垂直平分线方程为令y=0得，即，所以：为定值.典例5、答案：（1）（2）证明见解析解：（1）因为圆C与圆A、圆B外切，设C点坐标，圆C半径为，则，，所以<4，所以点C的轨迹是双曲线的一支，又，，，所以其轨迹方程为；（2）设直线为，联立，消去y得：，所以，设MN中点坐标为G，则，所以，，直线GP的方程为:，，所以，所以=1.随堂练习：答案：（1）C1：，C2：（2）存在，解：（1）设，．对于，由题可得，整理得，故的方程为．对于由题可得，整理得．故的方程为．（2）由（1）可得，，的右焦点为，设，，，．当直线的斜率不存在时，直线与无交点，不满足题意，故直线的斜率存在，于是可设直线的方程为，联立直线方程与椭圆方程可得，恒成立，由韦达定理：，．①于是，将①代人整理得．同理其中，故．因为，所以．设，则即．平方整理得，因式分解得，解得，，（舍去），即，．于是所有满足条件的直线的斜率之积为．典例6、答案：（1）；（2）.解:（1）由，知，，，故双曲线C的方程为或.由点到渐近线的距离为，知双曲线方程为.（2）设l：，，.由可得；由可得.由得，∴，.∴.由和的高相等，可，由得，所以，.随堂练习：答案：（1）；（2）①见详解；②.详解:（1）因为双曲线C的渐近线为y＝±2x，由双曲线的焦点在x轴上时，则双曲线，渐近线的方程为，焦点F（±c，0），所以解得a＝1，b＝2，所以双曲线的方程为；（2）①由（1）知双曲线的方程为，其渐近线的方程为y＝±2x，设直线l：y＝kx+2，因为直线l交C双曲线的左右两支分别于A，B，所以﹣2＜k＜2，联立，得（4﹣k2）x2﹣4kx﹣8＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），所以x1+x2＝，x1x2＝，联立，解得x＝，y＝，则M（，），联立，解得x＝，