考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷3（共288题）

考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷3（共9套）（共288题）考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷第1套一、选择题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)1、设A和B是任意两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论肯定正确的是（）A、不相容B、相容C、P（AB）=P（A）P（B）D、P（A一B）=P（A）标准答案：D知识点解析：因为AB=，所以A—B=A—AB=A—=A，从而P（A—B）=P（A），故选项D正确。对于选项A、B可举反例排除，如取Ω={l，2，3}，A={1}，B={2}，则AB=，所以P（AB）=0，但由题设知P（A）P（B）＞0，因此选项C不正确。undefined2、对于任意两事件A和B，若P（AB）=0，则（）A、B、C、P（A）P（B）=0D、P（A—B）=P（A）标准答案：D知识点解析：因为P（A—B）=P（A）—P（AB）=P（A）。故应选D。不难证明选项A、B、C不成立。设X～N（0，1），A={X＜0}，B={X＞0}，则P（AB=0，P（A）P（B）≠0且从而A项和C项不成立。若A和B互为对立事件，则故选项B也不成立。3、袋中有5个球，其中白球2个，黑球3个。甲、乙两人依次从袋中各取一球，记A=“甲取到白球”，B=“乙取到白球”。①若取后放回，此时记P1=P（A），P2=P（B）；②若取后不放回，此时记p3=P（A），p4=P（B）。则（）A、p1≠p2≠p3≠p4B、p1=p2≠p3≠p4C、p1=p2=p3≠p4D、p1=p2=p3=p4标准答案：D知识点解析：依据取球方式知p1=p2=p3，又因为“抽签结果与先后顺序无关”，得p3=p4，所以正确答案是D。4、在全概率公式P（B）=P（Ai）P（B|Ai）中，除了要求条件B是任意随机事件及P（Ai）＞0（i=1，2，…，n）之外，还可以将其他条件改为（）A、A1，A2，…，An两两独立，但不相互独立B、A1，A2，…，An相互独立C、A1，A2，…，An两两互不相容D、A1，An，…，An两两互不相容，其和包含事件B，即标准答案：D知识点解析：如果A1，A2，…，An两两互不相容，则A1B，A2B，…，AnB亦两两互不相容，且因应用加法与乘法两个公式可得出全概率公式，即应选D。5、设X1和X2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为f1（x）和f2（x），分布函数分别为F1（x）和F2（x），则（）A、f1（x）+f2（x）必为某一随机变量的概率密度B、F1（x）F2（x）必为某一随机变量的分布函数C、F1（x）+F2（x）必为某一随机变量的分布函数D、f1（x）f2（x）必为某一随机变量的概率密度标准答案：B知识点解析：由题设条件，有F1（x）F2（x）=P{X1≤x}P{X2≤x}=P{X1≤x，X2≤x}（因X1与X2相互独立）。令X=max{X1，X2}，并考虑到P{X1≤x，X2≤x}=P{max（X1，X2）≤x}，可知，F1（x）F2（x）必为随机变量X的分布函数，即FX（x）=P{X≤x}。故选项B正确。6、设随机变量X～N（μ，42），Y～N（μ，52）；记p1=P{X≤μ一4}，p2=P{Y≥μ+5}，则（）A、p1=p2B、p1＞p2C、p1＜p2D、因μ未知，无法比较p1与p2的大小标准答案：A知识点解析：P1=P{X≤μ—4}==Ф（一1）=1一Ф（1），p2=P{y≥μ+5}=1一P{Y＜μ+5}=1一=1—Ф（1）。计算得知P1=P2，故选项A正确。7、已知随机变量（X，Y）在区域D={（x，y）|—1＜x＜1，—1＜y＜1}上服从均匀分布，则（）A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：根据题设知（X，Y）的概率密度函数为所以选项A、B、C都不正确。故选D。8、设随机变量X和Y都服从正态分布，则（）A、X+Y一定服从正态分布B、X和Y不相关与独立等价C、（X，Y）—定服从正态分布D、（X，—Y）未必服从正态分布标准答案：D知识点解析：选项A不成立，例如，若Y=—X，则X+Y=0不服从正态分布。选项C不成立，（X，Y）不一定服从正态分布，因为边缘分布一般不能决定联合分布。选项B也不成立，因为只有当X和Y的联合分布是二维正态分布时“X和Y独立”与“X和Y不相关”二者等价。故应选D。虽然随机变量X和—Y都服从正态分布，但是因为边缘分布一般不能决定联合分布，故（X，—Y）未必服从正态分布。9、设随机变量X服从参数为1的指数分布。记Y=max{X，1}，则E（Y）=（）A、1B、1+e—1C、1—e—1D、e—1标准答案：B知识点解析：随机变量X的密度函数为f（x）=E（Y）=E[max{X，1}]=∫—∞+∞max{x，1}．f（x）dx=∫0+∞max{x，1}．e—Xdx=∫01e—xdx+∫1+∞xe—xdx=1+e—x。10、设随机变量X和Y独立同分布，记U=X—Y，V=X+Y，则随机变量U与V必然（）A、不独立B、独立C、相关系数不为零D、相关系数为零标准答案：D知识点解析：因为Cov（U，V）=E（UV）—E（U）．E（V）=E（X2—Y2）—E（X—Y）E（X+Y）=E（X2）—E（Y2）—E2（X）+E2（Y）=D（X）—D（Y）=0。则所以U与V的相关系数为零，故选D。11、设X1，X2，…，Xn，…相互独立且都服从参数为λ（λ＞0）的泊松分布，则当n→∞时，以Ф（x）为极限的是（）A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：由于X1，X2，…，X2n，…相互独立同分布，其期望和方差都存在，且E（Xi）=λ，D（Xi）=λ，根据方差与期望的运算法则，有Ф（x）为极限，故应选C。12、设总体X服从正态分布N（0，σ2），X1，X2，…，Xn是取自总体X的简单随机样本，统计量（1＜i＜10）服从F分布，则i等于（）A、5B、4C、3D、2标准答案：D知识点解析：根据题意，统计量Y～F（m，，n），所以4=解得i=2，选择D。故选D。二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)13、甲、乙两人轮流投篮，游戏规则规定为甲先开始，且甲每轮只投一次，而乙每轮连续投两次，先投中者为胜，设甲、乙每次投篮的命中率分别是p与0．5，则p=________时，甲、乙胜负概率相同。标准答案：知识点解析：根据题意，如果要使得甲、乙的取胜概率相同，则必定有p=（1—p）×0．5+（1—p）×0．5×0．5解得p=。所以只有当p=时，甲、乙胜负的概率相同。14、设离散型随机变量X的分布律为P{X=i}=pi+1，i=0，1，则p=________。标准答案：知识点解析：由于P{X=0}+P{X=1}=p+p2=1，所以p2+p一1=0，解得p=15、已知随机变量X服从参数为λ的指数分布，则概率标准答案：一e—2λ知识点解析：根据题设知P{X＞0}=1，P{X≤0}=0，应用全概率公式得16、设随机变量X服从参数为1的指数分布，随机变量函数y=1—e—X的分布函数为FY（y），则标准答案：知识点解析：17、假设随机变量X1，X2，X3，X4相互独立且都服从0—1分布：P{Xi=1}=p，P{Xi=0}=1—p（i=1，2，3，4，0＜p＜1），已知二阶行列式的值大于零的概率等于，则p=________。标准答案：知识点解析：记=X1X4—X2X3，则p应使P{△＞0}=P{X1X4—X2X3＞0}=P{X1X4＞X2X3}=，因为Xi仅能取1或0，且相互独立，故事件{X1X4＞X2X3}={X1X4=1，X2X3=0}，所以=P{X1=1，X4=1，X2=0，X3=0}+P{X1=1，X4=1，X2=o，X3=1}+P{X1=1，X4=1，X2=1，X3=0}=p2（1一p）2+p3（1一p）+p3（1一p）=p2（1一p2）=p2一p4，则p4一p2+18、相互独立的随机变量X1和X2均服从正态分布N（0，），则D（|X1一X2|）=________。标准答案：知识点解析：根据题意随机变量X1和X2相互独立，且服从正态分布N（0，），设Z=X1—X2，则Z～N（0，1），其概率密度函数为φ（z）=D（|X1—X2|）=D（|Z|）=E（|2|2）—E2（|Z|）=E（Z2）—E2|Z|=D（Z）+E2（2）—E2|Z|显然，D（Z）=1，E（Z）=0。E（|Z|）=∫—∞+∞|z|φ（z）dz19、设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为0．4，则X2的数学期望E（X2）=________。标准答案：18．4知识点解析：根据题意可知，X服从n=10，p=0．4的二项分布，因此有E（X）=np=4，D（X）=np（1—p）=2．4，因此E（X2）=D（X）+E2（X）=18．4。20、设随机变量X和Y的相关系数为0．9，若Z=2X—1，则Y与Z的相关系数为________。标准答案：0．9知识点解析：Cov（Y，Z）=Cov（Y，2X—1）=2Cov（X，Y），D（Z）=D（2X—1）=4D（X）。y与Z的相关系数ρYZ为21、设总体X的概率密度函数为f（x）=（—∞＜x＜+∞），X1，X2，…，Xn为取自总体X的简单随机样本，其样本方差为S2，则E（S2）=________。标准答案：2知识点解析：显然E（S2）=D（X），而D（X）=E{[X—E（X）]2}。E（X）=∫—∞+∞xf（x）dx=∫—∞+∞x．e—|x—μ|dx=[∫—∞μx．eμ—xdx+∫μ+∞xeμ—xdx]=[e—μ（xex—ex|—∞μ+eμ（—xe—x—e—x）|—∞μ]=μ。D（X）=∫—∞+∞（x一μ）2．e—|x—μ|dx=∫0+∞t2e—tdt=2∫0+∞te—tdt=2。22、设总体X的概率分布为为未知参数，对总体抽取容量为10的一组样本，其中五个取1，三个取2，一个取0。则θ的矩估计值为________，最大似然估计值为________。标准答案：知识点解析：根据矩估计，最（极）大似然估计及经验分布函数定义，即可求得结果。事实上，设E（X）=E（X）=2θ（1—0）+2（1—θ）2=2（1一θ）。令2（1—θ）=解得θ的矩估计量由样本值，可得（5×1+3×2+2×0）=，故θ矩估计值为1—又样本似然函数L（θ）=p（xi；0）=[2θ（1—θ）]5[（1—θ）2]3[θ2]2=25θ9（1—θ）11，则有InL=5ln2+9lnθ+11ln（l—θ），三、解答题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)23、已知在10件产品中有2件次品，在其中任取两次，做不放回抽样。求下列事件的概率：（Ⅰ）两件都是正品；（Ⅱ）两件都是次品；（Ⅲ）一件是正品，一件是次品；（Ⅳ）第二次取出的是次品。标准答案：令事件Ai表示“第i次取出正品”，则其对立事件Ai表示“第i次取出次品”（i=1，2）。依题意可知：（Ⅰ）A1A2表示“两件都是正品”，且由概率乘法公式可得：P（A1A2）=P（A1）P（A2|A1）=（Ⅱ）X表示“两件都是次品”，且由概率乘法公式可得：知识点解析：暂无解析24、设有四个编号分别为1，2，3；4的盒子和三只球，现将每只球随机地放入四个盒子，记X为至少有一只球的盒子的最小号码。（Ⅰ）求X的分布律；（Ⅱ）若当X=k（k=1，2，3，4）时，随机变量Y在[0，k]上服从均匀分布，求P{Y≤2}。标准答案：（Ⅰ）随机变量X可能取值为1，2，3，4，设事件Ai（i=1，2，3，4）表示第i个盒子是空的，则P{X=4}=P（A1A2A3）=P（A1）P（A2|A1）P（A3|A1A2）于是X的分布律为（Ⅱ）由于当X=k时，随机变量Y在[0，k]上服从均匀分布，故P{Y≤2|X=1}=P{Y≤2|X=2}=1,P{Y≤2|X=3}=由全概率公式既得知识点解析：暂无解析25、设随机变量X～且P{|x|≠|Y|}=1。（Ⅰ）求X与Y的联合分布律，并讨论X与Y的独立性；（Ⅱ）令U=X+Y，V=X—Y，讨论U与V的独立性。标准答案：（Ⅰ）由P{|X|≠|Y|}=1知，P{|X|=|Y|}=0。由此可得X与y的联合分布律为因为P{X=—1，Y=—1}≠P{X=—1}P{Y=—1}，所以X与Y不独立。（Ⅱ）由（X，Y）的联合分布律知所以U与V的联合分布律与边缘分布律为即可验证U与V独立。知识点解析：暂无解析26、设二维随机变量（X，Y）的联合概率密度为求：（Ⅰ）系数A；（Ⅱ）（X，Y）的联合分布函数；（Ⅲ）边缘概率密度；（Ⅳ）（X，Y）落在区域R:x＞0，y＞0，2x+3y＜6内的概率。标准答案：（Ⅰ）根据分布函数的性质∫—∞+∞∫—∞+∞f（x，y）dxdy=∫0+∞∫0+∞Ae一（2x+3y）dxdy=A．，解得A=6。（Ⅱ）将A=6代入得（X，Y）的联合概率密度为所以当x＞0，y＞0时，F（x，y）=∫0+∞∫0+∞Ae一（2x+3y）dxdy=6∫0xe—2xdx∫0ye—3ydy=（1—e—2x）（1—e—3y），而当x和y取其它值时，F（x，y）=0。综上所述，可得联合概率分布函数为（Ⅲ）当x＞0时，X的边缘密度为fX（x）=6e—（2x+3y）dy=2e—2x，当x≤0时，fX（x）=0。因此X的边缘概率密度为同理可得Y的边缘概率密度函数为（Ⅳ）根据公式已知R:x＞0，y＞0，2x+3y＜6，将其转化为二次积分，可表示为e—3ydy=2∫03（e—2x-—6）dx=1—7e—6≈0．983。知识点解析：暂无解析27、设二维随机变量（X，Y）的概率密度为（Ⅰ）求P{X＞2Y}；（Ⅱ）求Z=X+Y的概率密度。标准答案：（Ⅰ）已知X，Y的概率密度，所以（4）当z≥2时，FZ（z）=1。故Z=X+Y的概率密度为fZ（z）=F’Z（z）=知识点解析：暂无解析28、假设二维随机变量（X，Y）在矩形区域G={（x，y）|0≤x≤2，0≤y≤1}上服从均匀分布，记（Ⅰ）求U和V的联合分布；（Ⅱ）求U和V的相关系数ρ。标准答案：（Ⅰ）已知（U，V）是二维离散型随机变量，只取（0，0），（1，0），（1，1）各值，且知识点解析：暂无解析29、设总体X的概率密度为其中θ为未知参数且大于零，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本。（Ⅰ）求θ的矩估计量；（Ⅱ）求θ的最大似然估计量。标准答案：（Ⅱ）对于总体X的样本值x1，x2，…，xn，其似然函数为L（x1，x2，…，xn；θ）=f（x1；θ）f（x2；θ）…f（xn；θ）=θ2n（x1，x2，…，xn）—3ln=2n，lnθ—31n（x1x2…xn）一得到最大似然估计量为知识点解析：暂无解析考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷第2套一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、设随机事件A与B互不相容，则（）A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：暂无解析2、设A，B为随机事件，P（A）＞0，则P（B|A）=1不等价于（）A、P（A—B）=0B、P（B—A）=0C、P（A—B）≠0D、P（B—A）≠0标准答案：B知识点解析：P（B|A）=P（AB）=P（A），然而P（B—A）=P（B）—P（AB），所以选项B正确。容易验证其余三个选项与已知条件是等价的，事实上：3、某射手的命中率为p（0＜p＜1），该射手连续射击n次才命中k次（k≤n）的概率为（）A、pk（1—p）n—kB、Cnkpk（1—p）n—kC、Cn—1k—1pk（1—pn—kD、Cn—1k—1p—k—1（1—p）n—k标准答案：C知识点解析：n次射击视为n次重复独立试验，每次射击命中概率为p，没有命中的概率为1—p，设事件A=“射击n次命中k次”=“前n—1次有k—1次击中，且第n次也击中”，则P（A）=Ck—1n—1pk—1（1—p）n—1—（k—1）．p=Ck—1n—1pk（1—p）n—k。应选C。4、假设X是只可能取两个值的离散型随机变量，Y是连续型随机变量，则随机变量X+Y的分布函数（）A、是连续函数B、是阶梯函数C、恰有一个间断点D、至少有两个间断点标准答案：A知识点解析：对任意实数t，根据概率性质得0≤P{X+Y=t}=P{X+Y=t，X=a}+JP{X+Y=t，X=b}=P{Y=t—a，X=a}+P{Y=t—b，X=b}≤P{Y=t—a}+P{Y=t—b}，又Y是连续型随机变量，所以对任意实数c，有P{Y=c}=0。故对任意实数t，P{X+Y=t}=0X+Y的分布函数是连续函数，因此选A。5、设随机变量X的密度函数为fX（x），Y=—2X+3，则Y的密度函数为（）A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：y=—2x+3是x的单调可导函数，其反函数x=h（y）=根据随机变量函数的公式：故选项B正确。6、设随机变量（X，Y）的分布函数为F（x，y），边缘分布为FX（x）和FY（y），则概率P{X＞x，Y＞y}等于（）A、1—F（x，y）B、1—FX（x）—FY（y）C、F（x，y）—FX（x）—FY（y）+1D、FX（x）+FY（y）+F（x，y）—1标准答案：C知识点解析：记事件A={X≤x}，B={Y≤y}，则P{X＞x，Y＞y}=P（）=1—P（A∪B）=1—P（A）—P（B）+P（AB）=1—P{X≤x}—P{Y≤y}+P{X≤x，Y≤y}=1—FX（x）—FY（y）+F（x，y），故选项C正确。7、设相互独立的两随机变量X，Y均服从[0，3]上的均匀分布，则P{1＜max（X，Y）≤2}的值为（）A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：P{1＜max（X，Y）≤2}=P{max（X，Y）≤2}—P{max（X，Y）≤1}=P{X≤2，Y≤2}—P{X≤1，Y≤1}=P{X≤2}P{y≤2}一P{X≤1}P{y≤1}故选项C正确。8、设随机变量X1，X2，…，Xn（n＞1）独立同分布，且其方差σ2＞0，令Y=则（）A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：因为Cov（X1，Y）=Cov（X1，Xi）。而由X1，X2，…，Xn相互独立，可得Cov（X1，Xi）=0，i=2，3，…，n。所以Cov（X1，Y）=，故选A。9、将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于（）A、—1B、0C、D、1标准答案：A知识点解析：根据题意，Y=n—X，故ρXY=—1。应选A。一般来说，两个随机变量X与y的相关系数ρXY满足|ρXY|≤1。若Y=aX+b（a，b为常数），则当a＞0时，ρXY=1，当a＜0时，ρXY=—1。10、设X1，X2，…，Xm是取自正态总体N（0，σ2）的简单随机样本，X与S2分别是样本均值与样本方差，则（）A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：根据正态总体抽样分布公式知应选D。二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)11、若在区间（0，1）上随机地取两个数u，ν，则关于x的一元二次方程x2—2νx+u=0有实根的概率为________。标准答案：知识点解析：设事件A=“方程x2—2υx+u=0有实根”，因u，υ是从（0，1）中任意取的两个数，因此点（u，υ）与正方形区域D内的点一一对应（如图3—1—3所示），其中D={（u，υ）|0＜u＜1，0＜υ＜1}。事件A={（u，υ）|（2υ）2—4u≥0，（u，υ）∈D}，阴影D1满足事件A，其中D1={（u，υ）|υ2≥u，0＜u，υ＜1}。利用几何型概率公式，有12、每箱产品有10件，其中次品数从0到2是等可能的，开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品不合格而拒收。由于检验误差，一件正品被误判为次品的概率为2％，一件次品被误判为正品的概率为10％。则随机检验一箱产品，通过验收的概率p=________。标准答案：0．892知识点解析：设事件A=“一件产品能够通过验收”，则P（A）=p。事件B=“任取一件产品为正品”，=“任取一件产品为次品”，则A=根据题设可知=0．98P（B）+[1—P（B）]×0．1=0．1+0．88P（B）。显然P（B）与该箱产品中有几件次品有关，利用全概率公式计算P（B）。设Ci=“每箱产品含i件次品”（i=0，1，2），则C0，C1，C2是一完备事件组，P（C1）=，故B=C0B∪C1B∪C2B，且P（B）=P（C0）P（B|C0）+P（C1）P（B|C1）+P（C2）P（B|C2）故p=0．1+0．88×0．9=0．892。13、假设X服从参数λ的指数分布，对X做三次独立重复观察，至少有一次观测值大于2的概率为，则λ=________。标准答案：知识点解析：根据独立试验序列概型，可求得结果。事实上，已知记A={X＞2}，Y为对X做三次独立重复观察事件A发生的次数，则Y～B（3，p），其中p=P{X＞2}=∫2+∞λe—λxdx=e—2λ，依题意P{Y≥1}=1—P{Y=0}=1一（1一p）3=14、设随机变量X～N（μ，σ2），且二次方程y2+4y+X=0无实根的概率为0．5，则μ=________。标准答案：4知识点解析：设事件A表示“二次方程y2+4y+X=0无实根”，则A={16—4X＜0}={X＞4}，依题意，有P（A）=P{x＞4}=。而15、设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=则P{X+Y≤1}=________。标准答案：知识点解析：已知二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y），求满足一定条件的概率P{g（X，Y）≤z0}，一般可转化为二重积分P{g（X，16、设相互独立的两个随机变量X和Y均服从标准正态分布，则随机变量X—Y的概率密度函数的最大值等于________。标准答案：知识点解析：根据题意可知，X—Y～N（0，2），其概率密度函数f（x）的最大值在x=0处，最大值为17、某车间生产的圆盘其直径服从区间（a，b）上的均匀分布，则圆盘面积的数学期望为________。标准答案：知识点解析：设圆盘直径为X，其概率密度为18、设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X．服从区间[0，6]上的均匀分布，X2服从正态分布N（0，22），X3服从参数为3的泊松分布，则D（X1—2X2+3X3）=________。标准答案：46知识点解析：根据题设可知，D（X1）==3，D（X2）=22=4，D（X3）=3，于是D（X1—2X2+3X3）=D（X1）+4D（X2）+9D（X3）=3+4×4+9×3=46。19、设X1，X2，…，Xn为取自总体X～N（μ，σ2）的简单随机样本，记样本方差为S2，则D（S2）________。标准答案：知识点解析：根据性质～χ2（n—1）及D[χ2（n—1）]=2（n—1），三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)20、已知P（A）=0．5，P（B）=0．7，则（Ⅰ）在怎样的条件下，P（AB）取得最大值？最大值是多少？（Ⅱ）在怎样的条件下，P（AB）取得最小值？最小值是多少？标准答案：（Ⅰ）由于B。（Ⅱ）根据概率运算的加法原理，P（A∪B）=P（A）+P（B）—P（AB）=0．5+0．7—P（AB）=1．2—P（AB），因此可得P（AB）=1．2—P（A∪B）。因为P（A∪B）≤1，所以P（AB）=1．2—P（A∪B）≥1．2—1=0．2，即P（AB）取得的最小值是0．2，故P（AB）=0．2成立的条件是P（A∪B）=1。知识点解析：暂无解析21、随机地向圆x2+y2=2x内投一点，该点落在任何区域内的概率与该区域的面积成正比，令X表示该点与原点的连线与x轴正半轴的夹角，求X的分布函数和概率密度。标准答案：令F（x）为X的分布函数，则F（x）=P{X≤x}，由于F（x）=0的取值范围为[0，]，因此当x＜0时，F（x）=0；当x≥时，F（x）=1。当0≤x＜，X≤x所代表的区域如图3—2—5中阴影部分。现计算它的面积，如图所示，阴影部分可分为两个三角形和两个扇形。其中每个三角形的面积均为每个扇形的面积均为S2=×2x×12=z，则阴影部分的总面积S（x）=sin2x+2x，所以知识点解析：暂无解析22、袋中有1个红球，2个黑球和3个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以X，Y，Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。（Ⅰ）求P{X=1|Z=0}；（Ⅱ）求二维随机变量（X，Y）的概率分布。标准答案：（Ⅰ）在没有取白球的情况下取了一次红球，根据压缩样本空间原则，相当于只有1个红球，2个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球。所以知识点解析：暂无解析23、设随机变量X在区间（0，1）上服从均匀分布，当X取到x（0＜x＜1）时，随机变量Y等可能地在（x，1）上取值。试求：（Ⅰ）（X，Y）的联合概率密度；（Ⅱ）关Y的边缘概率密度函数；（Ⅲ）P{X+Y＞1}。标准答案：（Ⅰ）根据题设X在（0，1）上服从均匀分布，因此其概率密度函数为而变量Y，在X=x的条件下，在区间（x，1）上服从均匀分布，所以其条件概率密度为再根据条件概率密度的定义，可得联合概率密度f（x，y）=fX（x）fY|X（y|x）=（Ⅱ）根据求得的联合概率密度，不难求出关于Y的边缘概率密度fY（y）=f（x，y）dx==—ln（1—y）。（Ⅲ）如图3—3—4所示知识点解析：暂无解析24、设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为P{X=i}=（i=—1，0，1），Y的概率密度为fY（y）=记Z=X+Y。（Ⅰ）求（Ⅱ）求Z的概率密度fZ（z）。标准答案：知识点解析：暂无解析25、某箱装有100件产品，其中一、二和三等品分别为80、10和10件，现在从中随机抽取一件，记试求：（Ⅰ）随机变量X1与X2的联合分布；（Ⅱ）随机变量X1和X2的相关系数ρ。标准答案：（Ⅰ）（X1，X2）是二维离散型随机变量，其可能的取值为（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）。当（X1，X2）=（0，0）时，说明随机抽取的一件不是一等品，也不是二等品，则必为三等品，故P{X1=0，X2=0}=P{X3=1}=0．1。类似地P{X1=0，X2=1}=P{X2=1}=0．1，P{X1=1，X2=0}=P{X1=1}=0．8，P{X1=1，X2=1}=P{}=0，故X1与X2的联合分布：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，X1和X2的边缘分布均为0—1分布。由0—1分布的期望和方差公式得E（X1）=P{X1=1}=0．8，D（X1）=P{X1=1}P{X1=0}=0．8×0．2=0．16，E（X2）=P{X2=1}=0．1，D（X2）=P{X2=l}P{X2=0}=0．1×0．9=0．09，E（X1X2）=0×0×0．1+0×1×0．1+1×0×0．8+1×1x0=0．Cov（X1，X2）=E（X1X2）—E（X1）E（X2）=—0．08，则相关系数知识点解析：暂无解析26、设各零件的质量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为0．5kg，均方差为0．1kg，问5000只零件的总质量超过2510kg的概率是多少？标准答案：根据独立同分布中心极限定理，设Xi表示第i只零件的质量（i=1，2，…，5000），且E（Xi）=0．5，D（Xi）=0．12。设总质量为Y=则有E（Y）=5000×0．5=2500，D（Y）=5000×0．12=50，根据独立同分布中心极限定理可知Y近似服从正态分布N（2500，50），而近似服从标准正态分布N（0，1）所求概率为知识点解析：暂无解析27、设总体X的概率密度为其中θ是未知参数（0＜θ＜1），X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值X1，X2，…，Xn中小于1的个数，求θ的最大似然估计。标准答案：记似然函数为L（θ），则两边取对数得lnL（θ）=Nlnθ+（n—N）ln（l—θ），知识点解析：暂无解析28、设总体X服从几何分布：p（x；p）=p（1一p）x—1（x=1，2，3，…），如果取得样本观测值为x1，x2，…，xn，求参数p的矩估计值与最大似然估计值。标准答案：已知总体X的概率函数的未知参数为p，且总体X的一阶原点矩为用样本一阶原点矩的观测值作为υ1（X）的估计值，则可得参数p的估计值为所以可得参数p的矩估计值为参数p的似然函数为两边同时取对数，并对参数p求导，令导函数取值为0，解上述含参数p的方程，即得到p的最大似然估计值为知识点解析：暂无解析考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷第3套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设随机变量X的分布函数为F(x)，密度函数为f(x)=af1(x)+bf2(x)，其中f1(x)是正态分布N(0，σ2)的密度函数，f2(x)是参数为λ的指数分布的密度函数，已知F(0)=，则()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由∫－∞＋∞f(x)dx=a∫－∞＋∞f1(x)dx+b∫－∞＋∞f2(x)dx=a+b=1，知四个选项均满足这个条件，所以，再通过F(0)=确定正确选项．由于F(0)=∫－∞0f(x)dx=a∫－∞0f1(x)dx+b∫－∞0f2(x)dx=+0=aФ(0)=2、设随机变量X的分布函数为F(x)，密度函数为其中A为常数，则=()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：由∫01Ax(1－x)dx==1可得A=6．所以3、设随机变量x的密度函数为(λ＞0)，则概率P｛λ＜X＜λ+a}(a＞0)的值()A、与a无关，随λ增大而增大B、与a无关，随λ增大而减小C、与λ无关，随a增大而增大D、与λ无关，随a增大而减小标准答案：C知识点解析：由密度函数的性质，∫λ＋∞Ae－xdx=Ae－λ=1可得A=eλ．于是P｛λ＜X＜λ+a｝=∫λλ+aeλe－xdx=1－e－a，与λ无关，随a增大而增大．4、随机变量X与Y均服从正态分布，X～N(μ，42)，Y～N(μ，52)，记p1=P｛X≤μ－4｝，p2=P(Y≥μ+5)，则()A、对任意实数μ，都有p1=p2B、对任意实数μ，都有p1＜p2C、只对μ的个别值，才有p1=p2D、对任意实数μ，都有p1＞p2标准答案：A知识点解析：用Ф代表标准正态分布N(0，1)的分布函数，有由于Ф(－1)=1－Ф(1)，所以p1=p2．5、设X的概率密度为，则Y=2X的概率密度为()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：FY(y)=P｛Y≤y｝=P{2X≤y}=所以，，故选(C)．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)6、设随机变量X服从正态分布，其概率密度为则常数k=________．标准答案：知识点解析：因为f(x)=，所以，k=7、设随机变量X服从(0，2)上的均匀分布，则随机变量Y=X2在(0，4)内的密度函数为Fy(y)=_________．标准答案：知识点解析：fX(x)=当Y=X2在(0，4)内时fY(y)=8、设二维随机变量(X，Y)在区域D=｛(x，y)｜1≤x≤e2，0≤y≤｝上服从均匀分布，则(X，Y)的关于X的边缘概率密度Fx(x)在点x=e处的值为________．标准答案：知识点解析：D如图3-3阴影部分所示，它的面积S==2，所以(X，Y)的概率密度为f(x，y)=从而fX(e)=∫－∞＋∞f(e，y)dy=9、设二维随机变量(X，Y)在G={(x，y)｜＜x＜0，0＜y＜2x+1}上服从均匀分布，则条件概率=__________．标准答案：1知识点解析：G如图3-4的△OAB，它的面积S=，所以(X，Y)的概率密度为f(x，y)=由于关于Y的边缘概率密度其中D如图3-4带阴影的三角形．10、设二维随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)=则对x＞0，fY｜X(y｜x)=_________．标准答案：知识点解析：由f(x，y)的表达式知X与Y相互独立，且关于X与关于Y的边缘概率密度分别为由此可知，当x＞0时，由fX(x)＞0知fY｜X(y｜x)=fY(y)=11、设二维随机变量的分布律为则随机变量Z=y.min｛X，Y｝的分布律为__________．标准答案：知识点解析：Z全部可能取值为0，1，2，3，且P｛Z=0｝=P｛Y.min｛X，Y｝=0｝=P｛min｛X，Y｝=0｝=P｛X=0｝=P｛Z=1｝=P｛Y.min｛X，Y｝=1｝=P｛Y=1，min｛X，Y｝=1｝=P｛X=1，Y=1｝=P｛Z=2｝=P｛Y.min｛X，Y｝=2｝=P｛Y=2，min｛X，Y｝=1｝=P｛X=1，Y=2｝=P｛Z=3｝=P｛Y.min｛X，Y｝=3｝=P｛Y=3，min｛X，Y｝=1｝=P｛X=1，Y=3｝=所以Z的分布律为三、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)12、设随机变量(X，Y)的概率密度为求随机变量Z=X－Y的概率密度fZ(z)．标准答案：由于X，Y不是相互独立的，所以记V=－Y时，(X，V)的概率密度不易计算．应先计算Z的分布函数，再计算概率密度fZ(z)．记Z的分布函数为FZ(z)，则FZ(z)=P｛Z≤z｝=P｛X－Y≤z｝=f(x，y)dxdy，其中Dz=｛(x，y)｜x－y≤z｝(直线x－y=z的上方部分)，由Dz与D=｛(x，y)｜0＜x＜1，0＜y＜x｝(如图3-10的带阴影的△OSC)相对位置可得：当z＜0时，Dz与D不相交，所以f(x，y)dxdy=0；当0≤z＜1时，Dz∩D=四边形OABC，当z≥1时，Dz∩D=△OSC，=1．由此得到知识点解析：暂无解析13、设二维随机变量(X，Y)的概率密度为求二维随机变量(X2，Y2)的概率密度．标准答案：由f(x，y)的表达式知，X与Y相互独立，且它们的概率密度都为记U=g(x)=x2，它在f(x)≠0的区间(0，1)内单调可导，且反函数为x=h(u)=(0＜u＜1)，所以U=X2的概率密度同样地，V=Y2的概率密度为φ(v)=由X与Y相互独立知X2与Y2相互独立，从而(X2，Y2)的概率密度为f1(u，v)=φ(u).φ(v)=知识点解析：暂无解析14、设二次方程x2－Xx+Y=0的两个根相互独立，且都在(0，2)上服从均匀分布，分别求X与Y的概率密度．标准答案：设二次方程的两个根为X1，X2，则它们的概率密度都为f(t)=记X的概率密度为fX(x)，则由X=X1+X2得fX(x)=∫－∞＋∞f(t)f(x－t)dt，其中f(t)f(x－t)=即f(t)f(x－t)仅在如图3-11的带阴影的平行四边形中取值为，在tOx平面的其余部分取值为零．因此，当x＜0或x＞4时，fX(x)=0；当0≤x＜2时，fX(x)=当2≤x≤4时，fX(x)=即记Y的概率密度为fY(y)，则由Y=X1X2得fY(y)=∫－∞＋∞dt，其中仅在图如3-12的带阴影的三角形中取值为，在tOy平面的其余部分取值都为零．因此，当y≤0或y≥4时，fY(y)=0；当0＜y＜4时，知识点解析：暂无解析15、设X，Y是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n，p的二项分布，证明：Z=X+Y服从参数为2n，p的二项分布．标准答案：故Z=X+Y服从参数为2n，p的二项分布．知识点解析：暂无解析16、设ξη是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知ξ的分布律为P(ξ=i)=，i=1，2，3，又设X=max｛ξ，η｝，Y=min｛ξ，η｝，试写出二维随机变量(X，Y)的分布律及边缘分布律，并求P｛ξ=η｝．标准答案：X的可能值为1，2，3，Y的可能值为1，2，3．P｛X=1，Y=1｝=P｛max｛ξ，η｝=l，min｛ξ，η｝=1｝=P｛ξ=1，η=1｝=以此类推可求出(X，Y)的分布律及边缘分布列如下：P{ξ=η}=知识点解析：暂无解析17、设随机变量X与Y相互独立，都服从均匀分布U(0，1)．求Z=｜X－Y｜的概率密度及标准答案：U=X－Y的密度为fU(u)=∫－∞＋∞fX(u+y)fY(y)dy=∫01fX(u+y)dy．当u≤－1或u≥1时，fU(u)=0；当－1＜u≤0时，fU(u)=∫01fX(u+y)dy=∫－u1dy=1+u；当0＜u＜1时，fU(u)=∫01fX(u+y)dy=∫01－u1dy=1－u，即所以，Z=｜X－Y｜=｜U｜的密度为fZ(z)=fU(z)+fU(－z)=从而知识点解析：暂无解析18、设(X，Y)的概率密度为问X，Y是否独立?标准答案：边缘密度为fX(x)=∫－∞＋∞f(x，y)dy=fY(y)=因为f(x，y)=fX(x).fY(y)，所以X，Y独立．知识点解析：暂无解析19、设随机变量(X，Y)的概率密度为求Z=X2+Y2的概率密度FZ(z)．标准答案：设Z的分布函数为FZ(y)(z)，则故fZ(z)=FˊZ(z)=知识点解析：暂无解析20、设随机变量X1，X2，…，Xn相互独立，且Xi服从参数为λi的指数分布，其密度为求P｛X1=min｛X1，X2，…，Xn｝｝．标准答案：利用连续型的全概率公式．知识点解析：暂无解析21、设X关于y的条件概率密度为标准答案：(X，Y)的概率密度为如图3-13所示，则知识点解析：暂无解析22、设(X，Y)服从G=｛(x，y)｜x2+y2≤1｝上的均匀分布，试求给定Y=y的条件下X的条件概率密度函数fX，Y(x｜y)．标准答案：因为(X，Y)服从G=｛(x，y)｜x2+y2≤1)上的均匀分布，所以f(x，y)=故fY(y)=∫－∞＋∞f(x，y)dx=所以，当－1＜y＜1时，有知识点解析：暂无解析23、设随机变量(X，Y)的概率密度为求Z=X+2Y的分布函数FZ(z)．标准答案：如图3-14所示，FZ(z)=P｛Z≤z｝=P｛X+2Y≤z｝=f(x，y)dxdy知识点解析：暂无解析24、设试验成功的概率为，失败的概率为，独立重复试验直到成功两次为止，试求试验次数的数学期望．标准答案：设X表示“所需试验次数”，则X的可能取值为2，3，…，于是知识点解析：暂无解析25、有20位旅客乘民航的送客车自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以X表示停车的次数，求EX(设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车是相互独立的)．标准答案：引入随机变量Xi=i：1，2，…，10．则X=X1+X2+…+X10，由P｛Xi=0｝=，i=1，2，…，10知EXi=1－，i=1，2，…，10．进而EX==8．784(次)．知识点解析：暂无解析26、市场上有两种股票，股票A的价格为60元／股，每股年收益为R1元，其均值为7，方差为50．股票B的价格为40元／股，每股年收益为R2元，其均值为3．2，方差为25，设R1和R2互相独立．某投资者有10000元，拟购买s1股股票A，s2股股票B，剩下的s3元存银行，设银行1年期定期存款利率为5％，投资者希望该投资策略的年平均收益不少于800元，并使投资收益的方差最小，求这个投资策略(s1，s2，s3)，并计算该策略的收益的标准差．标准答案：设投资策略为(s1，s2，s3)，则该投资策略的收益为S=，平均收益及方差为：ES=s1×7+s2×3．2+(10000－60s1－40s2)×5％，DS=50s12+25s22，问题为求DS=50s12+25s22的最小值．约束条件为：ES=s1×7+s2×3．2+(10000－60s1－40s2)×5％≥800．用拉格朗日乘数法求解该问题，令L=50s12+25s22+δ(800－s1×7－s2×3．2－[10000－60s1－40s2)×5％]，其中δ是待定系数，最优解应满足的一阶条件为：解此方程组得：s1=63．56股，s2=38．14股，s3=4660．8元．该投资策略的方差和标准差分别为：DS=50×63．562+25×38．142≈238360，σ==488．22．知识点解析：暂无解析27、设随机变量服从几何分布，其分布律为P｛X=k｝=(1－P)k－1p，0＜p＜1，k=1，2，…，求EX与DX．标准答案：EX=其中q=1－P．由于又E(X2)=所以DX=E(X2)－(EX)2=知识点解析：暂无解析考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷第4套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、设随机向量(X，Y)服从二维正态分布，其边缘分布为X～N(1，1)，Y～N(2，4)，X与Y的相关系数为ρXY=，且概率P｛aX+bY≤1｝=，则()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：因为(X，Y)服从二维正态分布<=>aX+bY服从一维正态分布，又EX=1，EY=2则E(aX+bY)=a+2b，于是P｛aX+bY≤1｝=显然，只有1－(a+2b)=0时，P{aX+bY≤1}=才成立，只有选项(D)满足此条件．2、设X是随机变量，EX＞0且E(X2)=0．7，DX=0．2，则以下各式成立的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：EX=，于是由切比雪夫不等式知因此本题选(C)．3、已知随机变量Xn(n=1，2，…)相互独立且都在(－1，1)上服从均匀分布，根据独立同分布中心极限定理有=()(结果用标准正态分布函数φ(x)表示)A、φ(0)B、φ(1)C、φ()D、φ(2)标准答案：C知识点解析：由题设知EXn=0，DXn=．由中心极限定理，对任意x有4、设X1，X2，…，Xn是总体N(μ，σ2)的样本，是样本均值，记则服从自由度为n－1的t分布的随机变量是()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：故选(B)．5、设总体X服从正态分布N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn是取自总体的简单随机样本，样本均值为，样本方差为S2，则服从χ2(n)的随机变量为()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由于总体X～N(μ，σ2)，所以与S2独立，由χ2分布的可加性，我们仅需确定服从χ2(1)的随机变量．因为～N(0，1)，～χ2(1)，选择(D)．6、设总体X与Y都服从正态分布N(0，σ2)，已知X1，X2，…，Xm与Y1，Y2，…，Yn是分别来自总体X与Y的两个相互独立的简单随机样本，统计量=()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：应用t分布的典型模式．由于，而～N(0，1)，且相互独立，所以V=～χ2(n)，U与V相互独立，由t分布的典型模式～t(n)．由题意知7、设总体X服从正态分布N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn(n＞1)是取自总体的简单随机样本，样本均值为()A、与σ及n都有关B、与σ及n都无关C、与σ无关，与n有关D、与σ有关，与n无关标准答案：C知识点解析：由题设有，X～N(μ，σ2)，～N(0，1)，～N(0，1)，于是P{｜X－μ｜＜a)=P{－μ＜b｝，即所以因此比值与σ无关，与n有关．二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)8、设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且X～N(0，3)，Y～N(0，4)，相关系数ρXY=，则(X，Y)的概率密度f(x，y)为_________．标准答案：知识点解析：9、设二维随机变量(X，Y)的分布律为则X与Y的协方差Cov(X，Y)为________．标准答案：知识点解析：关于X与关于Y的边缘分布律分别为所以，10、设二维随机变量(X，Y)的概率密度为则随机变量U=X+2Y，V=－X的协方差Cov(U，V)为________．标准答案：知识点解析：Cov(U，V)=Cov(X+2Y，－X)=－DX－2Cov(X，Y)=－DX－2E(XY)+2EXEY，①其中E(XY)=关于X的边缘概率密度为所以EX=EY=②E(X2)=③将②③代入①得Cov(U，V)=11、设二维随机变量(X，Y)的概率密度为则随机变量Z=X－Y的方差DZ为_________．标准答案：知识点解析：DZ=DX+DY－2Cov(X，Y)=DX+DY－2E(XY)+2EXEY，①E(XY)=②其中D=｛(x，y)｜0＜x＜1，0＜y＜x｝如图3-5阴影部分所示．关于X的边缘概率密度为EX=∫01x.3x2dx=，E(X2)=∫01x2.3x2dx=DX=E(X2)－(EX)2=③关于Y的边缘概率密度为DY=E(Y2)－(EY)2=④将②③④代入①得DZ=12、设随机变量X的数学期望EX=75，方差DX=5，由切比雪夫不等式估计得P｛｜X－75｜≥k｝≤0．05，则k=________．标准答案：10知识点解析：P｛｜X－75｜≥k｝=P｛｜X－EX｜≥k｝≤，于是由题设得=0．05，即k=10．13、设X1，X2，…，Xn，…是相互独立的随机变量序列，且都服从参数为λ的泊松分布，则=________．标准答案：Ф(x)知识点解析：由列维-林德伯格中心极限定理即得．14、设总体X～P(λ)，X1，X2，…，Xn是来自X的简单随机样本，它的均值和方差分别为和S2，则E()和E(S2)分别为________．标准答案：+λ2，λ知识点解析：，E(S2)=DX=λ．三、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)15、设总体X服从正态分布N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn是其样本．标准答案：(1)可见当C=(Xi+1－Xi)2是σ2的无偏估计量．因为．于是故当k=是σ的无偏估计．知识点解析：暂无解析16、设X1，X2，…，Xn是来自总体X的一个样本，(X1，Xn)是θ的一个估计量，若=是θ的相合(一致)估计量．标准答案：由切比雪夫不等式，对任意的ε＞0有于是0≤=0．即依概率收敛于θ，故是θ的相合(一致)估计量．知识点解析：暂无解析17、设X1，X2，…，Xn是取自均匀分布在[0，θ]上的一个样本，试证：Tn=max(X1，X2，…，Xn)是θ的相合估计．标准答案：Tn=X(n)的分布函数为FT(t)=Fn(t)=Tn的密度为fT(t)=FˊT(t)=nf(t)Fn－1(t)=所以由切比雪夫不等式有当n→∞时，故Tn是θ的相合估计．知识点解析：暂无解析18、已知X具有概率密度求未知参数α的矩估计和最大似然估计．标准答案：先求矩估计．再求最大似然估计得α的最大似然估计知识点解析：暂无解析19、设总体X～N(μ，σ2)，X1，X2，X3是来自X的样本，证明：估计量都是μ的无偏估计，并指出它们中哪一个最有效．标准答案：故都是μ的无偏估计．所以最有效．知识点解析：暂无解析20、设X1，X2，…，Xn为总体X的一个样本，设EX=μ，DX=σ2，试确定常数C，使为μ2的无偏估计．标准答案：由题意知：E(－CS2)=μ2,则此时C=．知识点解析：暂无解析21、设总体服从u[0，θ]，X1，X2，…，Xn为总体的样本，证明：为θ的一致估计．标准答案：，由切比雪夫不等式有：→0(n→+∞)．因此得为θ的一致估计．知识点解析：暂无解析22、设从均值为μ，方差σ2＞0的总体中分别抽取容量为n1，n2的两个独立样本，样本均值分别为证明：对于任何满足条件a+b=1的常数a，b，T=是μ的元偏估计量，并确定常数a，b，使得方差DT达到最小．标准答案：由题意得：，所以ET==(a+b)μ=μ，故T是μ的无偏估计量．又DT=，令f(a)=σ2，对a求导并解方程如下：fˊ(a)=σ2=0，得到＞0，所以f(a)=处取得极小值，此时b=1－a=，方差DT达到最小．知识点解析：暂无解析23、设X1，X2，…，Xn独立同分布，X1的取值有四种可能，其概率分布分别为：p1=1－θ，p2=θ－θ2，p3=θ2－θ3，p4=θ3，记Nj为X1，X2，…，Xn中出现各种可能的结果的次数，N1+N2+N3+N4=n．确定a1，a2，a3，a4使为θ的无偏估计．标准答案：由于Ni～B(n，pi)，i=1，2，3，4，所以E(Ni)=npi，从而有：ET==a1n(1－θ)+a2n(θ－θ2)+a3n(θ2－θ3)+a4nθ3=na1+n(a2－a1)θ+n(a3－a2)θ2+n(a4－a3)θ3．若使T是θ的无偏估计，即要求解之得：a1=0，a2=a3=a4=即T=是θ的无偏估计．知识点解析：暂无解析24、设总体X～N(μ1，σ2)，Y～N(μ2，σ2)．从总体X，Y中独立地抽取两个容量为m，n的样本X1，Xm和Y1，Yn．记样本均值分别为若是σ2的无偏估计．求：(1)C；(2)Z的方差DZ．标准答案：同理．故则C=(2)因．则有知识点解析：暂无解析25、设有k台仪器，已知用第i台仪器测量时，测定值总体的标准差为σi，i=1，2，…，k，用这些仪器独立地对某一物理量θ各观察一次，分别得到X1，X2，…，Xk，设仪器都没有系统误差，即E(Xi)=θ，i=1，2，…，k，试求：a1，a2，…，ak应取何值，使用是无偏的，并且最小?标准答案：(1)=θ，即当是无偏的．(2)令函数g(a1，a2，…，ak)=，问题归结为求多元函数g(a1，a2，…，ak)在条件ai=1之下的最小值．作拉格朗日函数：G(a1，a2，…，ak，λ)=g(a1，a2，…，ak)+λ(a1+a2+…+ak－1)．若令，则λ=－2σ02，由此得：知识点解析：暂无解析26、设｛Xn｝是一随机变量序列，Xn的密度函数为：标准答案：对任意给定的ε＞0，由于知识点解析：暂无解析27、设X1，X2，…Xn，…是独立同分布的随机变量序列，EXi=μ，DXi=σ2，i=1，2，…，令证明：随机变量序列｛Yn｝依概率收敛于μ．标准答案：由切比雪夫不等式得：P｛｜Yn－E(Yn)｜≥ε｝=P｛｜Yn－μ｜≥ε｝≤，所以知识点解析：暂无解析28、一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重量50千克，标准差为5千克，若用最大载重为5吨的汽车承运，试用中心极限定理说明每辆车最多可装多少箱，才能保障不超载的概率大于0．977(φ(2)=0．977)．标准答案：设Xi是“装运的第i箱的重量”，n表示装运箱数．则EXi=50，DXi=52=25，且装运的总重量Y=X1+X2+…+Xn，｛Xn｝独立同分布，EY=50n，DY=25n．由列维—林德伯格中心极限定理知Y～N(50n，25n)．于是P｛Y≤5000｝=＞0．977=Ф(2)．故＞2=>n＜98．01099，也就是最多可以装98箱．知识点解析：暂无解析29、用概率论方法证明：标准答案：设｛Xn｝为一独立同分布随机变量序列，每个Xk服从参数为1的泊松分布，则EXk=1，DXk=1，Xk服从参数为n的泊松分布．故有由列维—林德伯格中心极限定理知：知识点解析：暂无解析30、截至2010年10月25日，上海世博会参观人数超过了7000万人．游园最大的痛苦就是人太多．假设游客到达中国馆有三条路径，沿第一条路径走3个小时可到达；沿第二条路径走5个小时又回到原处；沿第三条路径走7个小时也回到原处．假定游客总是等可能地在三条路径中选择一个，试求他平均要用多少时间才能到达中国馆．标准答案：设游客需要X小时到达中国馆，则X的可能取值为3，5+3，7+3，5+5+3，5+7+3，7+7+3，…要写出X的分布律很困难，所以无法直接求EX．为此令Y=｛第一次所选的路径｝，即｛Y=i｝表示“选择第i条路径”．则P｛Y=1｝=P｛Y=2｝=P｛Y=3｝=因为E(X｜Y=1)=3，E(X｜Y=2)5+EX，E(X｜Y=3)=7+EX，所以EX=[3+(5+EX)+(7+EX)]=5+Ex．故EX=15，即该游客平均要15个小时才能到达中国馆．知识点解析：暂无解析考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷第5套一、选择题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)1、若事件A和B同时出现的概率P（AB）=0，则（）A、A和B不相容（互斥）B、AB是不可能事件C、AB未必是不可能事件D、P（A）=0或P（B）=0标准答案：C知识点解析：不可能事件与零概率事件之间的区别和联系：不可能事件发生的概率为零，但零概率事件未必是不可能事件。由P（AB）=0不能推出AB是不可能事件，故选C。2、设A1，A2和B是任意事件，且0＜P（B）＜1，P{（A1∪A2）|B}=P（A1|B）+P（A2|B），则（）A、P（A1∪A2）=P（A1）+P（A2）B、P（A1∪A2）=P（A1|B）+P（A2|B）C、P（A1B∪A2B）=P（A|B）+P（A2B）D、P（（A1∪A2）标准答案：C知识点解析：由题设知，P（A1A2|B）=0，但是这不能保证P（A|A2）=0和P（A1A2|B）=0，故选项A和D不成立。由于P（A1|B）+P（A2|B）=P（（A1∪A2）|B）未必等于P（A1+A2），因此B一般也不成立。由P（B）＞0及P（（A1∪A2）|B）=P（A1|B）+P（A2|B），可见选项C成立：3、A、B、C三个随机事件必相互独立，如果它们满足条件（）A、A，B，C两两独立B、P（ABC）=P（A）P（B）P（C）C、P（A—B）=1D、P（A—B）=0标准答案：C知识点解析：当P（A—B）=1成立时，=1，故P（B）=0。再由多个事件相互独立的条件，易知A、B、C相互独立。4、假设X为随机变量，则对任意实数a，概率P{X=a}=0的充分必要条件是（）A、X是离散型随机变量B、X不是离散型随机变量C、X的分布函数是连续函数D、X的概率密度是连续函数标准答案：C知识点解析：对任意实数a有P{X=a}=0是连续型随机变量的必要条件但非充分条件，因此选项B、D不能选，又离散型随机变量必有a使P{X=a}≠0，选项A不能选，故正确选项是C。事实上，P{X=a}=0F（a）—F（a—0）=0对任意实数a，F（a）=F（a—0）F（x）是x的连续函数。5、设随机变量X的密度函数为φ（x），且φ（—x）=φ（x），F（x）为X的分布函数，则对任意实数a，有（）A、F（—a）=1—∫0αφ（x）dxB、F（—a）=—∫0αφ（x）dxC、F（—a）=F（a）D、F（—a）=2F（a）—1标准答案：B知识点解析：如图3—2—4所示，F（一a）=∫—∞—aφ（x）dx=一∫—a0φ（x）dx，而∫—a0φ（x）dx=∫—a0φ（x）dx，所以F（—a）=—∫0aφ（x）dx。故选项B正确。6、设随机变量X和Y独立同分布，已知P{X=k}=p（1—p）k—1，k=1，2，…，0＜p＜1，则P{X＞Y}的值为（）A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：根据对称性得知P{X＞Y}=P{X＜Y}=[1—P{X=Y}]。故选项B正确。7、设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2，则随机变量3X—2Y的方差是（）A、8B、16C、28D、44标准答案：D知识点解析：根据方差的运算性质D（C）=0（C为常数），D（CX）=C2D（X）以及相互独立随机变量的方差性质D（X±Y）=D（X）+D（Y）可得D（3X—2Y）=9D（X）+4D（Y）=44。故选项D正确。8、已知（X，Y）服从二维正态分布，E（X）=E（Y）=μ，D（X）=D（Y）=σ2，X和Y的相关系数ρ=0，则X和Y（）A、独立且有相同的分布B、独立且有不相同的分布C、不独立且有相同的分布D、不独立且有不相同的分布标准答案：A知识点解析：二维正态分布独立和不相关等价，故首先可以得到X和Y独立；又（X，Y）服从二维正态分布，故其边缘分布服从一维正态分布，且X～N（μ，σ2），Y～N（μ，σ2）。所以选A。9、设X1，X2，…，Xm和Y1，Y2，…，Yn是分别取自总体都为正态分布N（μ，σ2）的两个相互独立的简单随机样本，记它们的样本方差分别为SX2和SY2，则统计量T=（n—1）（SX2+SY2）的方差D（r）=（）A、2nσ4B、2（n—1）σ4C、4nσ4D、4（n—1）σ4标准答案：D知识点解析：根据已知可得=σ4[2（n—1）+2（n—1）]=4（n—l）σ4。二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)10、在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于的概率为________。标准答案：知识点解析：这是一个几何概型，设x，y为所取的两个数，则样本空间Ω={（x，y）|0＜x，y＜1}，记A={（x，y）|（x，y）∈Ω，|x—y|＜。所以P（A）=其中SA，Sn分别表示A与Ω的面积。11、三个箱子，第一个箱子中有4个黑球与1个白球，第二个箱中有3个黑球和3个白球，第三个箱子中有3个黑球与5个白球。现随机地选取一个箱子，从中任取1个球，则这个球为白球的概率是________；若已发现取出的这个球是白球，则它不是取自第二个箱子的概率是________。标准答案：知识点解析：设事件Ai=“取到第i箱”，i=1，2，3，B=“取到白球”，则第一个空应为P（B），第二个空应为显然A1，A2，A3是一完备事件组，由题意可得P（Ai）=,i=1，2，3，P（B|A1）=根据全概率公式和贝叶斯公式，可得12、设随机变量x服从几何分布G（θ，其中0＜θ＜1，若P{X≤2}=，则P{X=3}=________。标准答案：知识点解析：P{X≤2}=P{X=1}+P{X=2}=θ（1—θ）1—1+θ（1—0）2—1=2θ—θ2=解得（舍），故P{X=3}=θ（1一θ）2=13、设随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），已知P{X≤2}=0．062，P{X≥9}=0．025，则概率P{|X|≤4}=________。（Ф（1．54）=0．938，Ф（1．96）=0．975）标准答案：0．2946知识点解析：要计算正态分布随机变量在某范围内取值的概率，首先必须求出分布参数μ与σ。根据题意有14、已知（X，Y）的概率分布为且P{X2+Y2=1}=0．5，则P{X2Y2=1}=________。标准答案：0．3知识点解析：由于0．1+0．2+Q+p+0．1+0．2=0．6+a+β=1，即α+β=0．4，又0．5=P{X2+Y2=1}=P{X2=0，Y2=1}+P{X2=1，Y2=0}=P{X=0，Y=1}+P{X=0，Y=一1}+P{X=1，Y=0}=α+0．1+0．1。故α=0．3，β=0．1。那么P{X2Y2=1}=P{X2=1，Y2=1}=P{X=1，Y=l}+P{X=1，Y=—1}=0．2+β=0．3。15、设（X，Y）～N（μ，μ；σ2，σ2；0），则P{X＜Y}=________。标准答案：知识点解析：16、已知随机变量X服从（1，2）上的均匀分布，在X=x条件下Y服从参数为戈的指数分布，则E（XY）=________。标准答案：1知识点解析：根据题设知fY|X（y|x）=所以（X，Y）的联合密度函数f（x，y）=fx（x）fY|X（y|x）=E（XY）=∫—∞+∞∫—∞+∞xyf（xy）dxdy=∫12dx∫0+∞xyxe—xydy=∫122x．dx=1。17、已知随机变量X1，X2，X3相互独立，且都服从正态分布N（0，σ2），如果随机变量Y=X1X2X3的方差D（Y）=,则σ2=________。标准答案：知识点解析：已知随机变量X1，X2，X3相互独立，则X12，X22，X32相互独立。又因E（Xi）=0，E（X12）=D（X1）=σ2。故D（y）=D（X1X2X3）=E（X1X2X3）2一E2（X1X2X3）=[EX12X22X32]—[E（X1）E（X2）E（X3）]2=E（X12）E（X22）E（X32）=（σ2）3=18、假设总体X服从标准正态分布，X1，X2，…，Xn是取自总体X的简单随机样本，则统计量Y1=都服从________分布，且其分布参数分别为________和________。标准答案：t；2；n—1知识点解析：根据简单随机样本的性质，X1，X2，…，Xn是相互独立且同服从分布N（0，1），所以X1—X2与X32+X42相互独立，X1与Xi2也相互独立，且有X1—X2～N（0，2），～N（0，1），X32+X42～X2（2），Xi2—χ2（n—1），所以即E与Y2都服从t分布，分布参数分别为2和n—1。三、解答题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)19、设事件A与B互不相容，P（4）=0．4，P（B）=0．3，求标准答案：因A与B互不相容，所以知识点解析：暂无解析20、设随机变量X的概率密度为求X的分布函数F（x）。标准答案：当x＜1时，F（x）=0；当1≤x＜2时，则当x≥2时，F（x）=1。综上所述，X的分布函数F（x）为知识点解析：暂无解析21、设某班车起点站上客人数X服从参数为λ（λ＞0）的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p（0＜p＜1），且中途下车与否相互独立。Y为中途下车的人数，求：（Ⅰ）在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率；（Ⅱ）二维随机变量（X，Y）的概率分布。标准答案：（Ⅰ）P{Y=m}X=n}=Cnmpm（1—p）n—m，0≤m，≤n，n=0，1，2，…。．Cnmpm（1—p）n—m，0≤m≤n，n=0，1，2，…。知识点解析：暂无解析22、设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=（Ⅰ）计算两个边缘概率密度；（Ⅱ）求条件概率密度fX|Y（y|x=2）；（Ⅲ）求条件概率P{Y≤1|X≤1}。标准答案：（Ⅰ）当x≤0时，fX（x）=0；当x＞0时，fX（x）=e—ydy=e—x，即当y≤0时，fY（y）=0；当f1（x）．f2（x）=0时，fY（y）=∫0xe—ydx=ye—y，即（Ⅲ）X≤1，Y≤1所对应的区域如图3—3—3所示：知识点解析：暂无解析23、设随机变量X与Y相互独立，且都服从[0，1]上的均匀分布，试求：（Ⅰ）U=XY的概率密度fU（u）；（Ⅱ）V=|X—Y|的概率密度fV（υ）。标准答案：根据X与Y相互独立且密度函数已知，因此可以用两种方法：分布函数法和公式法求出U、V的概率密度。（Ⅰ）分布函数法。根据题设知（X，Y）联合概率密度f（x，y）=fX（x）fY（y）=所以U=XY的分布函数为（如图3—3—9所示）FU（M）=P{XY≤u}=（1）当u≤0时，FU（u）=0；当u≥1时，FU（u）=1；（2）当0＜u＜1时，（Ⅱ）公式法。设Z=X—Y=X+（—Y）。其中X与（—Y）独立，概率密度分别为根据卷积公式得Z的概率密度fZ（z）=∫—∞+≥（x—y）f—Y（y）dy=∫—10fX（x—y）dyV=|X—Y|=|Z|的分布函数为FV（v）=P{|Z|≤υ}，可得当υ≤0时，FV（υ）=0；当υ＞0时，FV（υ）=P{—v≤Z≤υ}=∫—υυ（z）dz。由此知，当0＜υ＜1时，FV（υ）=∫—υ—1（z+l）dz+∫0τ（1—z）dz=2υ一υ2；当υ≥1时，FV（υ）=∫—υ—10dz+∫—10（z+1）出+∫01（1一z）dz+∫1υ0dz=1。综上可得知识点解析：暂无解析24、设A，B为随机事件，且（Ⅰ）求二维随机变量（X，Y）的概率分布；（Ⅱ）求X和Y的相关系数ρXY。标准答案：故（X，Y）的概率分布为知识点解析：暂无解析25、设由流水线加工的某种零件的内径X（单位：毫米）服从正态分布N（μ，1），内径小于10或大于12的为不合格品，其余为合格品。销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损。已知销售利润T（单位：元）与销售零件的内径X有如下关系：问平均内径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大。标准答案：依据数学期望的计算公式及一般正态分布的标准化方法，有E（T）=—1×P{X＜10}+20×P{10≤X≤12}—5×P{X＞12}=—Ф（10一μ）+20[Ф（12一μ）一Ф（10一μ）]—5[1—Ф（12—μ）]=25Ф（12一μ）—21Ф（10一μ）—5，可知销售利