2025高考总复习专项复习-一元函数的导数及其应用专题九（含解析）

21世纪教育网精品试卷·第2页（共2页）2024年高考导数复习专题九知识点一求在曲线上一点处的切线方程（斜率）,用导数判断或证明已知函数的单调性,利用导数证明不等式典例1、设函数，其中为自然对数的底数.（1）当时，判断函数的单调性（2）若直线是函数的切线，求实数的值；（3）当时，证明：.随堂练习：已知函数，且曲线在处的切线平行于直线．（1）求a的值；（2）求函数的单调区间；（3）已知函数图象上不同的两点，试比较与的大小．典例2、已知函数（1）若曲线在点处的切线与轴平行.（i）求的值；（ii）求函数的单调区间；（2）若，求证：.随堂练习：已知函数，g.（1）求在点处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）当时，求证：.典例3、形如的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取对数得，两边对求导数，得，于是.已知，.（1）求曲线在处的切线方程；（2）若，求的单调区间；（3）求证：恒成立.

随堂练习：已知函数，．（1）求曲线在处的切线方程；（2）求函数在上的单调区间；（3）证明：对任意的实数，，，都有恒成立．知识点二函数单调性、极值与最值的综合应用,利用导数证明不等式典例4、已知函数在处的切线过点，a为常数．（1）求a的值；（2）证明：．随堂练习：已知函数(为自然对数的底数，为常数)的图像在(0，1)处的切线斜率为.（1）求的值及函数的极值；（2）证明：当时，.典例5、已知函数.（1）当时，恒成立，求的取值范围；（2）若曲线的一条切线为，证明：当时，恒成立.随堂练习：：已知函数（），曲线在点处的切线在轴上的截距为.（1）求的最小值；（2）证明：当时，.典例6、已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）若恒成立，求a的值；（3）求证：对任意正整数，都有（其中e为自然对数的底数）.随堂练习：已知曲线在处的切线方程为．其中a、b均为实数．（1）求的值；（2）若是函数的极小值点，证明：．2024年高考导数复习专题九答案典例1、答案：（1）在区间上单调递增.（2）（3）见证明解：（1）函数的定义域为.因为，所以，所以在区间上单调递增.（2）设切点为，则，因为，所以，得，所以.设，则，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以.因为方程仅有一解，所以.（3）因为，设，则，所以在单调递增.因为，，所以存在，使得.当时，，，单调递减，当时，，，单调递增，所以.因为，所以，，所以.随堂练习：答案：（1）；（2）函数的单调增区间是，单调减区间是；（3）解:（1）的定义域为．曲线在处的切线平行于直线，，．（2），．当时，是增函数；当时，是减函数．函数的单调增区间是，单调减区间是．（3），，．又，．设，则，在上是增函数．令，不妨设，，，即．又，，．典例2、答案：（1）（i），（ii）单增区间为，单递减区间为（2）证明见解析.解:（1）（i）定义域为，由可得，因为曲线在点处的切线与轴平行，所以，可得：，（ii）当时，，，令，则，所以在上单调递减，且，所以当时，，；当时，，；所以单增区间为，单递减区间为；（2）要证明，即证，等价于令，只需证明，，，由得有异号的两根，令其正根为，则，当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增，所以，因为，，所以，所以，，可得，所以，即.随堂练习：答案：（1）（2）当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；（3）证明见解析解：（1）定义域为，，则，所以在点处的切线方程为：，即（2）定义域为R，，当时，恒成立，在R上单调递增，当时，令，解得：，令，解得：，故在上单调递减，在上单调递增，综上：当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（3）令，，，当时，，单调递减，故，即，故，令，，其中，则，令，则，令，解得：，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，由于，故，所以在上恒成立，故在上单调递增，，所以，证毕.典例3、答案：（1）；（2）的单调增区间为，无单调减区间；（3）证明见解析.解:（1）由幂指函数导数公式得，所以，又，所以，曲线在处的切线方程为.（2），则，所以的单调增区间为，无单调减区间.（3）构造，，则，令，所以，因为与同号，所以，所以，又，所以，所以即为上增函数，又因为，所以，当时，；当时，.所以，为上减函数，为上增函数，所以，，即，因此，恒成立，即证.随堂练习：答案：（1）；（2）单调递增区间是，单调递减区间是；（3）证明见解析.解:（1）由题意可知，，，所以，所以在处的切线方程为，即．（2），当时，；当时，；所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是．（3）证明：不等式可化为．设，即证函数在上是增函数，即证在上恒成立，即证在上恒成立．令，则，在上单调递减，在上单调递增，，所以，即．因为，所以，所以要证成立，只需证．令，，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，所以，即在上恒成立，即证．典例4、答案：（1）（2）证明见解析.解：（1）由，得，所以，，因为在处的切线过点，所以，所以，解得，（2）证明：要证，即证，即证，即证，因为，所以即证，令，则，当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，所以，所以恒成立，令，则，所以在递增，所以当时，取得最小值0，所以原不等式成立.随堂练习：答案：（1），极小值，无极大值（2）证明见解析解：（1）由，得.由题意得，，即，所以，.令，得，当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增．所以当时，取得极小值，且极小值为，无极大值．（2）证明：令，则.由(1)知，，故在上单调递增．所以当时，，即.典例5、答案：（1）（2）证明见解析解：（1）由，得，当时，在上恒成立，所以在上单调递增，，此时恒成立，当时，令则，解得，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减.当时，取得最小值为，不满题意，综上所述，的取值范围为.（2）由题意可知，，所以，设切线为的切点为，则，解得，所以，所以，要证，只需证即可，所以表示点与点连线的斜率，因为，所以当距的距离越远，斜率越小，当b趋近a时，，所以成立，即证.随堂练习：答案：（1）的最小值为0.（2）详见解析.解：（1），，故曲线在点处的切线方程为：将代入求得，所以.当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以，故的最小值为0.（2）由（1）知当时，，从而所以有，，（当时等号成立），所以有，要证成立，只要证成立，令，且，，故在上为增函数，所以即恒成立，故成立，所以成立.典例6、答案：（1）单调增区间是，单调减区间是和（2）（3）证明见解析解：（1）的定义域为，，令得或，当时，；当时，；当时，，∴的单调增区间是，单调减区间是和.（2）由，得对恒成立.记，，1°若，则恒成立，在上单调递减，当时，，不符合题意.2°若，令，得，当时，；当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，∴.记，.令得，当时，；当时，，∴在上单调递减，在上单调递增.∴，即（当且仅当时取等号），∴.又因为，故.（3）由（2）可知：，（当且仅当时等号成立）.令，则，（，3，4…，n）.∴，即，也即，所以，故对任意正整数，都有.随堂练习：答案：（1）（2）证明见解析解：（1）定义域为，，由题意知，,解得,∴;（2）由（1）知