【专项精练】第26课 平面向量的概念及线性运算-2024年新高考数学分层专项精练（解析版）

第26课平面向量的概念及线性运算（分层专项精练）【一层练基础】一、单选题1．（2023春·重庆酉阳·高一重庆市酉阳第二中学校校考阶段练习）下列说法中正确的是（

）A．单位向量都相等B．平行向量不一定是共线向量C．对于任意向量，必有D．若满足且与同向，则【答案】C【分析】对于A：根据单位向量的概念即可判断；对于B：根据共线向量的定义即可判断；对于C：分类讨论向量的方向，根据三角形法则即可判断；对于D：根据向量不能比较大小即可判断.【详解】依题意，对于A，单位向量模都相等，方向不一定相同，故错误；对于B，平行向量就是共线向量，故错误；对于C，若同向共线，，若反向共线，，若不共线，根据向量加法的三角形法则及两边之和大于第三边知.综上可知对于任意向量，必有，故正确；对于D，两个向量不能比较大小，故错误.故选：C.2．（2023春·新疆·高一八一中学校考期末）如图，中，，，点E是的三等分点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据向量的加法法则和减法法则进行运算即可.【详解】故选：B.3．（2023春·江苏连云港·高一校考阶段练习）如图所示，在中，点是线段上靠近A的三等分点，点是线段的中点，则（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由向量线性运算的几何意义即可计算【详解】.故选：B4．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第四中学校校考阶段练习）已知向量，不共线，向量，，若O，A，B三点共线，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据O，A，B三点共线，则，，，代入整理．【详解】因为O，A，B三点共线，则所以，，即整理得：又∵向量，不共线，则，则故选：A．二、多选题5．（2023·全国·高三专题练习）给出下面四个结论，其中正确的结论是（

）A．若线段，则向量B．若向量，则线段C．若向量与共线，则线段D．若向量与反向共线，则【答案】AD【分析】A选项，根据得到点B在线段上，进行判断A正确；BC选项，可举出反例；D选项，根据向量线性运算推导出答案.【详解】选项A：由得点B在线段上，则，A正确：选项B；三角形，，但，B错误；对于C：，反向共线时，，故，C错误；选项D：,反向共线时，，故D正确．故选：AD．6．（2023·广东·高三专题练习）在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，下列结论正确的是（

）A． B．C．的余弦值为 D．【答案】ABD【分析】求得的长度判断选项A；求得的长度判断选项B；求得的余弦值判断选项C；求得的化简结果判断选项D.【详解】连接PC，并延长交AB于Q，中，，，，则，,，，，选项A:.判断正确；选项B:.判断正确；选项C:.判断错误；选项D:.判断正确.故选：ABD7．（2022·全国·高三专题练习）下列说法正确的是（

）A．若为平面向量，，则B．若为平面向量，，则C．若，，则在方向上的投影为D．在中，M是AB的中点，＝3，BN与CM交于点P，＝+，则λ＝2μ【答案】CD【分析】利用向量共线的概念判断A、B，；利用向量数量积的定义可判断C；利用向量共线的推论即可判断D.【详解】A，若，则与任意向量共线，所以与不一定平行，故A错误；B，若，则，，当共面时，，若不共面时，与不平行，故B错误；C，若，则，所以，在方向上的投影为，故C正确；D，，设,则，设，则，即，①，设，，，即，②由①②可得，，即，故D正确.故选：CD三、填空题8．（2023春·上海浦东新·高一校考期中）在中,,且在方向上的数量投影是-2,则的最小值为.【答案】【分析】根据在方向上的数量投影先求出,取,则,即求的最小值,过点作的垂线即可求得.【详解】解:由题知在方向上的数量投影是-2,,,,即,记,则,若求的最小值即求的最小值,过点作的垂线交于点,此时最小,如图所示:,故答案为:9．（2023春·山东菏泽·高一山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）如图,在平行四边形中,点E是CD的中点,点F为线段BD上的一个三等分点,且,若,则.【答案】【分析】根据题意可知,,根据平面向量基本定理,将用线性表示,根据两个向量相等即可得的值,进而得出结果.【详解】解:由题知点F为线段BD上的一个三等分点,所以,所以,因为不共线,所以,故.故答案为:四、解答题10．（2022春·广东茂名·高一校联考阶段练习）设，是两个不共线的向量，已知，，.（1）求证：A，B，D三点共线；（2）若，且B，D，F三点共线，求k的值.【答案】（1）证明见解析；（2）12.【分析】（1）通过证明可得结果；（2）由共线定理得，列出关于的方程解出即可.【详解】（1）证明：由已知得，∵，∴.又与有公共点B，∴A，B，D三点共线．（2）由（1）可知，∵，且B，D，F三点共线，∴，即，∴，解得.【二层练综合】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知不共线的平面向量两两所成的角相等，且，则（

）A． B．2 C．3 D．2或3【答案】D【分析】先求出，转化，列方程即可求出.【详解】由不共线的平面向量，，两两所成的角相等，可设为θ，则.设||=m.因为，所以，即，所以即，解得：或3.所以||=2或3故选：D二、多选题2．（2023春·高一单元测试）中华人民共和国的国旗图案是由五颗五角星组成，这些五角星的位置关系象征着中国共产党领导下的革命与人民大团结．如图，五角星是由五个全等且顶角为36°的等腰三角形和一个正五边形组成．已知当时，，则下列结论正确的为（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】连接DH，AF，CH，BH，利用五角星的结构特征逐项分析判断作答.【详解】对于A，连接DH，如图，由DF=FH，得：，，A正确；对于B，连接AF，由得：AF垂直平分DH，而，即，则，B正确；对于C，与不共线，C不正确；对于D，连接CH，BH，由选项A知，，而，则四边形是平行四边形，，D不正确.故选：AB三、填空题3．（2023春·江西宜春·高一校考期中）已知四边形中，，，，点E是的中点，则.【答案】【分析】如图，分别过点作,垂足分别为,求出，再利用平面向量的线性运算和数量积运算求解.【详解】解：如图，分别过点作,垂足分别为.由题得四边形为等腰梯形，,所以.由题得.故答案为：四、解答题4．（2022春·广东茂名·高一校联考阶段练习）设，是两个不共线的向量，已知，，.（1）求证：A，B，D三点共线；（2）若，且B，D，F三点共线，求k的值.【答案】（1）证明见解析；（2）12.【分析】（1）通过证明可得结果；（2）由共线定理得，列出关于的方程解出即可.【详解】（1）证明：由已知得，∵，∴.又与有公共点B，∴A，B，D三点共线．（2）由（1）可知，∵，且B，D，F三点共线，∴，即，∴，解得.【三层练能力】一、多选题1．（2023·全国·高一专题练习）定义平面向量的一种运算“”如下：对任意的两个向量，，令，下面说法一定正确的是（

）A．对任意的，有B．存在唯一确定的向量使得对于任意向量，都有成立C．若与垂直，则与共线D．若与共线，则与的模相等【答案】AD【分析】由表示出和，即可判断A；假设存在唯一确定的向量使得对于任意向量，都有成立，即方程组，对任意恒成立，解方程可判断B；若与垂直，则，设，分别表示出与即可判断C；若与共线，则，设，分别表示出与即可判断D.【详解】设向量，，对于A，对任意的，有，故A正确；对于B，假设存在唯一确定的向量使得对于任意向量，都有成立，即恒成立，即方程组，对任意恒成立，而此方程组无解，故B不正确；对于C，若与垂直，则，设，则，，其中，故C不正确；对于D，若与共线，则，设，，，所以与的模相等，故D正确.故选：AD.【点睛】本题在平面向量的基础上，加以创新，属于创新题，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力.二、填空题2．（2023春·江西九江·高一校考期中）设是平面直角坐标系中关于轴对称的两点，且.若存在，使得与垂直，且，则的最小值为.【答案】【分析】根据向量的线性运算，令，，从而得出有共线，结合题设推出，当且仅当时，取最大值2，此时面积最大，则O到的距离最远，此时取到最小值，即可求解.【详解】如图示，是平面直角坐标系中关于轴对称的两点，且，由题意得：，令，则三点共线