【专项精练】第01课 集合-2024年新高考数学分层专项精练（解析版）

第01课集合（分层专项精练）【一层练基础】一、单选题1．（2023·天津·三模）已知为全集的两个不相等的非空子集，若，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．2．（2022秋·河南安阳·高一汤阴县第一中学校考阶段练习）已知集合只有一个元素，则的取值集合为（

）A． B． C． D．3．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，若中只有一个元素，则实数的值为（

）A．0 B．0或 C．0或2 D．24．（2013·全国·高考真题）设集合，，，则M中元素的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．65．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，则集合（

）A． B． C． D．6．（2022秋·高一课时练习）若，则的可能取值有（

）A．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，37．（2012·全国·高考真题）已知集合,则中所含元素的个数为A． B． C． D．8．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）已知集合，则（

）A． B． C． D．9．（2023·全国·高三专题练习）定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（

）A． B． C． D．10．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，则有（

）个真子集.A．3 B．16 C．15 D．411．（2022秋·云南昆明·高一云南民族大学附属中学校考阶段练习）集合，则集合的子集的个数为()A．7 B．8 C．15 D．1612．（2022秋·山东青岛·高一校考阶段练习）若集合，，满足，则下面选项中一定成立的是（

）A． B． C． D．13．（2021秋·陕西渭南·高三校考阶段练习）若集合，，且，则（

）A．0 B．1 C． D．0或114．（2022·高一单元测试）已知非空集合A，B满足以下两个条件：（1），；（2）A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素.则有序集合对的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题15．（2023·全国·高三专题练习）若非空集合满足：，则（

）A． B．C． D．16．（2022秋·安徽·高一安徽省怀宁县新安中学校联考期末）已知集合，，则下列命题中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则或 D．若时，则或17．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，则下列命题中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则或 D．若，则18．（2023·全国·高三专题练习）集合在平面直角坐标系中表示线段的长度之和记为.若集合，，则下列说法中正确的有（

）A．若，则实数的取值范围为B．存在，使C．无论取何值，都有D．的最大值为19．（2022秋·湖北荆州·高一沙市中学校考阶段练习）已知集合，是两个非空整数集，若，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．20．（2021秋·高一课时练习）已知全集，集合，，则（

）A． B．C． D．的真子集个数是7三、填空题21．（2020·江苏南通·海安高级中学校考模拟预测）已知集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{x|x＝2n﹣1，n∈Z}，则A∩B中元素的个数为．22．（2020春·江苏南京·高三南京师范大学附属扬子中学校考开学考试）已知集合，，若，则．23．（2010·重庆·高考真题）设集合，集合，若，则实数_____.24．（2015·湖南·高考真题）已知集合U=，A=,B=,则A（）=.25．（2020·江苏·校联考一模）若，，则下图中阴影表示的集合为.26．（2023·江苏·高一假期作业）若X是一个集合，是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于，属于；②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于.则称是集合X上的一个拓扑.已知集合，对于下面给出的四个集合：①；②；③；④.其中是集合X上的拓扑的集合的序号是.【二层练综合】一、单选题1．（2014·上海·高考真题）已知互异的复数满足，集合={,},则=（）A．2 B．1 C．0 D．2．（2023·宁夏银川·银川一中校考一模）以下四个写法中：①；②；③；④，正确的个数有（）A．个 B．个 C．个 D．个3．（2010·福建·高考真题）设非空集合S={x|m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x2∈S.给出如下三个命题：①若m=1，则S={1}；②若m=，则≤l≤1；③l=，则其中正确命题的个数是A．0 B．1 C．2 D．34．（2019秋·黑龙江绥化·高一阶段练习）已知集合只有一个元素，则a的值为（）A．0 B．1 C．0或1 D．—15．（2023春·河南·高二信阳高中校考阶段练习）已知集合，，，则实数的值为（

）A． B． C． D．6．（2023·河北·统考模拟预测）已知集合，则的元素个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．47．（2023·全国·统考高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（

）A．－1 B． C．0 D．8．（2023·江苏徐州·江苏省沛县中学校考模拟预测）已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．9．（2008·江西·高考真题）定义集合运算:.设,,则集合的所有元素之和为（）A．0 B．2 C．3 D．610．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，则A中元素的个数为（

）A．9 B．10 C．11 D．1211．（2023春·江苏南通·高二海安高级中学校考阶段练习）从集合的非空子集中随机选择两个不同的集合A，B，则的概率为（

）A． B． C． D．12．（2022秋·河北邯郸·高一大名县第一中学校考阶段练习）设集合，，则的子集个数为A．4 B．8 C．16 D．3213．（2023春·江苏徐州·高二校考期末）已知集合,，则A． B． C． D．14．（2022秋·上海浦东新·高三上海市进才中学校考阶段练习）已知集合且，定义集合，若，给出下列说法：①；②；③；其中所有正确序号是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③15．（2023·山东·模拟预测）已知集合，，若，则的取值集合为（

）A． B． C． D．二、多选题16．（2023·全国·高三专题练习）设表示不大于的最大整数，已知集合，，则（）A． B．C． D．17．（2021·高一课时练习）若集合，，则正确的结论有（

）A． B．C． D．18．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，，则（

）A． B．C． D．或19．（2023·全国·高一假期作业）图中阴影部分用集合符号可以表示为（

）A． B．C． D．三、填空题20．（2020·江苏·高三专题练习）已知集合，，且，则实数的取值范围是．21．（2011·河北石家庄·统考一模）已知，则A

B(用填空)．22．（2023·上海金山·统考一模）若集合，，且，则实数的取值范围是.23．（2001·全国·高考真题）设集合，，则的元素个数为个．24．（2021秋·江苏·高一专题练习）已知集合，，，则实数的取值范围是.25．（2020·北京丰台·统考一模）如果对某对象连续实施两次变换后的结果就是变换前的对象，那么我们称这种变换为“回归”变换.如：对任意一个实数，变换：取其相反数.因为相反数的相反数是它本身，所以变换“取实数的相反数”是一种“回归”变换.有下列3种变换：①对，变换：求集合A的补集；②对任意，变换：求z的共轭复数；③对任意，变换：（k，b均为非零实数）.其中是“回归”变换的是.【三层练能力】一、单选题1．（2022秋·福建福州·高三校考阶段练习）若函数满足对都有，且为R上的奇函数，当时，，则集合中的元素个数为（

）A．11 B．12 C．13 D．142．（2011·福建·高考真题）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k丨n∈Z}，k=0，1，2，3，4．给出如下四个结论：①2011∈[1]；②﹣3∈[3]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a﹣b∈[0]”．其中，正确结论的个数是A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题3．（2022·江苏·高一期中）设集合，则对任意的整数，形如的数中，是集合中的元素的有A． B． C． D．4．（2023·全国·高三专题练习）两个集合和之间若存在一一对应关系，则称和等势，记为．例如：若为正整数集，为正偶数集，则，因为可构造一一映射．下列说法中正确的是（

）A．两个有限集合等势的充分必要条件是这两个集合的元素个数相同B．对三个无限集合、、，若，，则C．正整数集与正实数集等势D．在空间直角坐标系中，若表示球面：上所有点的集合，表示平面上所有点的集合，则三、填空题5．（2020秋·上海奉贤·高一校考阶段练习）已知集合，若则实数的取值范围是．6．（2010·湖南·高考真题）若规定E=的子集为E的第k个子集，其中k=，则（1）是E的第____个子集；（2）E的第211个子集是_______【一层练基础】参考答案1．D【分析】根据，为的两个不相等的非空子集，且，知，再判断选项中的命题是否正确．【详解】解：，，，，，，故选：．2．D【分析】对参数分类讨论，结合判别式法得到结果.【详解】解：①当时，，此时满足条件；②当时，中只有一个元素的话，，解得，综上，的取值集合为，．故选：D．3．C【分析】根据题意转化为抛物线与轴只有一个交点，只需即可求解.【详解】若中只有一个元素，则只有一个实数满足，即抛物线与轴只有一个交点，∴，∴或2.故选：C【点睛】本题考查了集合元素的个数求参数的取值范围，考查了转化与化归的思想，属于基础题.4．B【详解】由题意知，，则x的可能取值为5,6,7,8.因此集合M共有4个元素，故选B.【考点定位】集合的概念5．D【分析】根据求解即可【详解】由题，当时最小为，最大为，且可得，故集合故选：D6．C【分析】根据元素与集合的关系及集合中元素的性质，即可判断的可能取值.【详解】，则，符合题设；时，显然不满足集合中元素的互异性，不合题设；时，则，符合题设；∴或均可以.故选：C7．D【详解】列举法得出集合，共含个元素．故答案选8．A【分析】先求出集合A,B,然后取交集即可.【详解】,则,故选：A9．C【分析】根据集合的新定义确定集合中的元素.【详解】因为，，，所以，故集合中的元素个数为3，故选：C.10．A【分析】计算，得到真子集个数.【详解】，，则，真子集个数为.故选：A11．B【分析】解分式不等式化简集合A，根据集合A元素个数确定其子集个数.【详解】由，可得，且解得又,可得∴集合A的子集的个数为【点睛】本题考查分式不等式、集合子集等概念，计算集合A元素个数时，要注意这一条件的应用.12．D【分析】根据交集的结果可知，结合韦恩图即可判断各选项的正误.【详解】由知：，即A错误，∴，即B错误；仅当时，即C错误；，即D正确.故选：D.13．A【分析】根据集合相等，结合集合元素的互异性，即可求得参数值.【详解】，，或1，显然，.故选：A.【点睛】本题考查由集合相等求参数值，涉及集合的互异性，属基础题.14．B【分析】根据集合中元素个数分类讨论．【详解】中元素个数不能为0，否则有4个元素，不合题意，中元素个数不能为2，否则中有一个含有元素2，且集合中元素个数为2，不合题意，中元素个数只能是1或3，因此有或．共2对．故选：B．15．BC【分析】根据题意可得：，然后根据集合的包含关系即可求解.【详解】由可得：，由，可得，则推不出，故选项错误；由可得，故选项正确；因为且，所以，则，故选项正确；由可得：不一定为空集，故选项错误；故选：.16．ABC【分析】求出集合，根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念求解判断．【详解】，若，则，且，故A正确.时，，故D不正确.若，则且，解得，故B正确.当时，，解得或，故C正确.故选：ABC．17．ABC【分析】解一元二次不等式求集合A，根据各选项中集合的关系，列不等式或方程求参数值或范围，判断A、B、C的正误，已知参数，解一元二次不等式求集合B，应用交运算求判断正误即可.【详解】由已知得：，令A：若，即是方程的两个根，则，得，正确；B：若，则，解得，正确；C：当时，，解得或，正确；D：当时，有，所以，错误；故选：ABC.18．ACD【分析】对于A，要使，只要原点到直线的距离小于等于5即可，从而可求出的取值范围；对于B，C，由于直线过定点，而点在圆内，从而可得；对于D，设原点到直线的距离为，则，分母有理化后可求出其最大值，从而可判断D【详解】对于A，因为，所以，解得，故A正确.对于B和C，直线过定点，因为，故C正确，B错误.对于D，设原点到直线的距离为，则，所以的最大值，即的最大值，于是的最大值为，故D正确.故选：ACD19．BC【分析】根据题意,作出Venn图，结合图形即可得答案.【详解】依题意，作出Venn图如图所示，由图知，，，，.故选：BC.20．ACD【分析】求出集合，再由集合的基本运算以及真子集的概念即可求解.【详解】，，，故A正确；，故B错误；，所以，故C正确；由，则的真子集个数是，故D正确.故选：ACD21．1【解析】按照交集的概念直接运算可得A∩B＝{﹣1}，即可得解.【详解】∵A＝{﹣1，0，2}，B＝{x|x＝2n﹣1，n∈Z}，∴A∩B＝{﹣1}，∴A∩B中元素的个数为1．故答案为：1．【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.22．{4}【详解】试题分析：a=3，则B={3，4}，所以；考点：1．集合的运算；23．-3【详解】因为集合，，A={0,3}，故m=-3.24．{1，2，3}.【详解】由题={2}，所以A（）={1，2，3}.考点：集合的运算【名师点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A或不属于集合B的元素的集合.本题需注意检验集合的元素是否满足互异性，否则容易出错．25．【分析】根据韦恩图表示的是，再利用交集的定义计算即可.【详解】解：韦恩图表示的是，由，，则.故答案为：【点睛】本题考查交集的运算，韦恩图的应用，属于基础题.26．②④.【分析】根据集合X上的拓扑的集合的定义，逐个验证即可：①，③，因此①③都不是；②④满足：①X属于，属于；②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于，因此②④是，从而得到答案.【详解】①；而，故①不是集合X上的拓扑的集合；②，满足：①X属于，属于；②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于，因此②是集合X上的拓扑的集合；③；而，故③不是集合X上的拓扑的集合；④.满足：①X属于，属于；②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于，因此④是集合X上的拓扑的集合；故答案为②④.【点睛】本题主要考查学生理解能力和对知识掌握的灵活程度的问题，重在理解题意.本题是开放型的问题，要认真分析条件，探求结论，对分析问题解决问题的能力要求较高，此题是基础题.【二层练综合】参考答案1．D【详解】由题意或，因为，，，因此．选D.【考点】集合的相等，解复数方程．2．C【分析】根据元素与集合，集合与集合的关系，空集，交集的概念做出判断.【详解】对于①，正确；对于②，因为空集是任何集合的子集，所以正确；对于③，根据集合的互异性可知正确；对于④，，所以不正确；四个写法中正确的个数有个，故选:C.3．D【分析】根据集合中元素与集合的关系，分别列不等式求出范围，即可判断．【详解】非空集合S={x|m⩽x⩽l}满足：当x∈S时,有∈S.对于①，若m=1,可得，则，则，∴①对；对于②，若m=,满足∈S时,有，∴≤l≤1，②对；对于③，若l=，可得，则.∴③对故选：D.【点睛】本题主要考查集合与元素的关系，理清元素的性质，根据三个结论列不等式是解题的关键，属于难题.4．C【详解】因为集合只有一个元素，所以或或，选C.5．A【分析】由题设知，讨论、求a值，结合集合的性质确定a值即可.【详解】由知：，当，即，则，与集合中元素互异性有矛盾，不符合；当，即或，若，则，与集合中元素互异性有矛盾，不符合；若，则，，满足要求.综上，.故选：A6．B【分析】先化简集合,求出即得解.【详解】解：所以，所以的元素个数为2.故选：B.7．B【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答.【详解】依题意，等差数列中，，显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又，则在中，或，于是有，即有，解得，所以，.故选：B8．C【分析】化简集合A，根据集合B中元素的性质求出集合B.【详解】，，,故选：C9．D【详解】试题分析：根据题意，结合题目的新运算法则，可得集合A*B中的元素可能的情况；再由集合元素的互异性，可得集合A*B，进而可得答案解：根据题意，设A={1，2}，B={0，2}，则集合A*B中的元素可能为：0、2、0、4，又由集合元素的互异性，则A*B={0，2，4}，其所有元素之和为6；故选D．考点：元素的互异点评：解题时，注意结合集合元素的互异性，对所得集合的元素的分析，对其进行取舍10．C【分析】由椭圆的性质得，再列举出集合的元素即得解.【详解】解：由椭圆的性质得，又,所以集合共有11个元素.故选：C11．A【分析】写出集合的非空子集，求出总选法，再根据，列举出集合的所有情况，再根据古典概型公式即可得解.【详解】解：集合的非空子集有共7个，从7个中选两个不同的集合A，B，共有种选法，因为，当时，则可为共3种，当时，共1种，同理当时，则可为共3种，当时，共1种，则符合的共有种，所以的概率为.故选：A.12．C【详解】分析：求出集合A,B，得到，可求的子集个数详解：，的子集个数为故选C.点睛：本题考查集合的运算以及子集的个数，属基础题.13．C【分析】由绝对值和指数函数的性质求出集合M，N，再判断．【详解】由题意，∴，，∴．故选C．【点睛】本题考查集合间的关系，掌握指数函数与绝对值的性质是解题关键．注意指数函数的值域．14．D【分析】由集合的新定义结合，可得，由此即可求解【详解】因为集合且，若，则中也包含四个元素，即，剩下的，对于①：由得，故①正确；对于②：由得，故②正确；对于③：由得，故③正确；故选：D15．D【分析】由题意知，分别讨论和两种情况，即可得出结果.【详解】由，知，因为，，若，则方程无解，所以满足题意；若，则，因为，所以，则满足题意；故实数取值的集合为.故选：D.16．ABD【分析】由对数运算可知，，由的定义可知AC正误；解不等式求得集合，由交集和并集定义可知BD正误.【详解】对于A，，，，A正确；对于C，，，C错误；对于BD，，，，，BD正确.故选：ABD.17．AB【分析】根据正弦函数可得集合，由集合间的关系和运算，对选项进行逐一判断.【详解】由，又，显然集合所以，则成立，所以选项A正确.成立，所以选项B正确，选项D不正确.，所以选项C不正确.故选：AB【点睛】本题考查解三角方程，集合关系的判断与应用，集合的包含关系与补集关系的应用，属于中档题.18．AB【解析】化简集合A,B，即得解.【详解】，，所以，，或，故选:AB【点睛】易错点睛：化简集合A时，容易漏掉函数的定义域，导致得到，导致后面运算出错，所以函数的问题必须要注意定义域优先的原则.19．AD【分析】在阴影部分区域内任取一个元素，分析与集合、、的关系，利用集合的运算关系，逐个分析各个选项，即可得出结论.【详解】如图，在阴影部分区域内任取一个元素，则或，所以阴影部分所表示的集合为，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为，所以选项AD正确，选项CD不正确，故选：AD.20．.【分析】首先求得，然后利用集合之间的包含关系得到关于m的不等式，求解不等式即可确定m的取值范围.【详解】由题意可得：，据此结合题意可得：，即，即实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，由集合间的关系求解参数的取值范围等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21．【分析】由题意首先确定集合B，注意到集合B中的元素都是集合A的子集，然后确定集合B，从而确定最终答案.【详解】由题意可得：集合B中的元素都是集合形式，即集合B是集合的集合，题中集合B中的元素都是集合A的子集，又因为，所以的子集有4个，所以用列举法表示集合，所以集合是集合中的一个元素,故答案为：∈.22．【分析】化简集合，其表示两平行线线上及其中间部分的点(如阴影部分所示)，集合表示以为圆心，为半径的圆及其圆内的点，而，即表示该圆与阴影部分有交点，可利用直线与圆的位置关系来解决此题.【详解】因为，所以集合是被两条平行直线夹在其中的区域，如图所示，，其中由，解得或，当时，B表示点或，当时，表示以为圆心，为半径的圆及其内部的点，其圆心在直线上，依题意，即表示圆应与阴影部分相切或者相交，当时，显然满足题意，当时，不满足题意，当时，因为，所以，即，所以，所以；当时，因为，所以，即，所以，无解；综上，头数的取值范围足.故答案为：23．1【分析】解对数方程确定集合，由余弦函数性质确定集合，求出后可得．【详解】∵，∴，解得或，∴，，∴，其中元素个数为1．故答案为：1．【点睛】本题考查求集合交集中元素个数，求出交集是基本方法，还考查了对数方程，余弦函数的性质，属于中档题．24．【分析】根据知，,即可分与两种情况求解.【详解】因为，所以，当时，即，解得.当时，则，解得.综上，即实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了并集，子集的概念，涉及分类讨论的思想，属于中档题.25．①②【解析】由集合的运算性质，复数的性质结合题意，进行判断即可.【详解】对①，集合的补集为集合，集合的补集为集合，故①为“回归”变换对②，设，，复数的共轭复数为，复数的共轭复数为，故②为“回归”变换对③，当时，，，由于k，b均为非零实数，则不一定为，则③不是“回归”变换故答案为：①②【点睛】本题主要考查了集合的运算以及共轭复数的定义，属于中档题.【三层练能力】参考答案1．C【分析】根据已知可推出函数周期性，单调性以及函数值情况，由此可作出函数的图象，将问题转化为函数图象的交点问题解决.【详解】由为R上的奇函数,①，又②，由②－①为周期为2的周期函数,而又，当时当时,．又当时，单调递增，且．故可作出函数的大致图象如图：而集合A中的元素个数为函数与图象交点的个数，由以上分析结合函数性质可知，3为集合A中的一个元素，且y=f（x）与在（1，3），（3，5），...，（23，25）中各有一个交点，∴集合中的元素个数为13．故选：C．2．C【详解】试题分析：根据题中“类”的理解，在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，对于各个结论进行分析：①∵2011÷5=402…1；②∵﹣3÷5=0…2，③整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④从正反两个方面考虑即可．解：①∵2011÷5=402…1，∴2011∈[1]，故①对；②∵﹣3=5×（﹣1）+2，∴对﹣3∉[3]；故②错；③∵整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故③对；④∵整数a，b属于同一“类”，∴整数a，b被5除的余数相同，从而a﹣b被5除的余数为0，反之也成立，故“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a﹣b∈[0]”．故④对．∴正确结论的个数是3．故选C．点评：本题主要考查了选修3同余的性质，具有一定的创新，关键是对题中“类”的题解，属于创新题．3．ABD【分