考研数学（数学二）模拟试卷5（共212题）

考研数学（数学二）模拟试卷5（共9套）（共212题）考研数学（数学二）模拟试卷第1套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、已知当x→0时f(x)=tanx—ln(1+sinx)与kxn是等价无穷小量，则A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：利用洛必达法则计算如下含有待定正整数n的极限，可得2、设可导函数x=x(t)由方程sint一∫tx(t)f(u)du=0所确定，其中可导函数f(u)＞o，且f(0)=f’(0)=1，则x"(0)=A、3．B、1．C、—3．D、—1．标准答案：C知识点解析：令t=0，由题设方程可得x(0)=0．在题设方程两边对t求导，得cost—f[x(t)]x’(t)+f(t)=0，(*)在(*)式中令t=0，可得x’(0)=2．在(*)两边再对t求导，得—sint—f’[x(t)][x’(t)]2一f[x(t)]x"(t)+f’(t)=0，(**)在(**)式中令t=0，可得x"(0)=一3．故选C．3、设f(x)，g(x)二阶可导，又f(0)=0，g(0)=0，f’(0)＞0，g’(0)＞0，令F(x)=∫0xf(t)g(t)dt，则A、x=0是函数F(x)的极小值点．B、x=0是函数F(x)的极大值点．C、(0，F(0))是曲线y=F(x)的拐点．D、x=0不是函数F(x)的极值点，(0，F(0))也不是曲线y=F(x)的拐点．标准答案：C知识点解析：先求导数F’(x)=f(x)g(x)→F’(0)=0．再求二阶导数F"(x)=f’(x)g(x)+f(x)g’(x)→F"(0)=0．于是还要考察F(x)在x=0处的三阶导数：F’’’(x)=f"(x)g(x)+2f’(x)g’(x)+f(x)g"(x)→F’’’(0)=2f’(0)g’(0)≠0．因此(0，F(0))是曲线y=F(x)的拐点．故应选C．4、已知累次积分I=(rcosθ，rsinθ)rdr，其中a＞0为常数，则I可写成A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：这是把极坐标系下的累次积分转换成Oxy直角坐标系下的累次积分的问题．5、下列二元函数在点(0，0)处可微的是A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：本题中的这4个函数均有f(0，0)=0．按可微定义，若f(0，0)=0，则f(x，y)在点(0，0)处可微，且=0因此，B中的f(x，y)在点(0，0)处可微．故应选B．6、设f(x)在[a，b]上可导，又f’(x)+[f(x)]2一∫axf(t)dt=0，且∫abf(t)dt=0，则∫axf(t)dt在(a，b)内A、恒为零．B、恒为正．C、恒为负．D、可变号．标准答案：A知识点解析：令F(x)=∫axf(t)dt，则F(a)=F(b)=0，所给条件变为F"(x)+[F’(x)]2—F(x)=0．(*)若F(x)在(a，b)不恒为零，则F(x)在(a，b)取正的最大值或负的最小值．设F(x0)=＞0，则x0∈(a，b)，F’(x0)=0，F"(x0)≤0→F"(x0)+[F’(x0)]2一F(x0)＜0．与(*)矛盾．同理，若F(x1)=＜0，则同样得矛盾．因此F(x)≡0(x∈(a，b))．故应选A．7、下列矩阵中属于正定矩阵的是A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：正定的充分必要条件是顺序主子式全大于0，正定的必要条件是aii＞0．C中a33=—1＜0，必不正定；A中二阶顺序主子式=—1＜0，必不正定；D中三阶顺序主子式｜A｜=一1＜0，必不正定，由排除法可知，应选B．8、设矩阵A=，则下列矩阵中与矩阵A等价、合同但不相似的是A、

B、

C、

D、

标准答案：D．知识点解析：由｜λE—A｜==λ(λ一3)(λ+3)，可知矩阵A的特征值是3，—3，0，故秩r(A)=2，二次型xTAx的正、负惯性指数均为1．A中矩阵的秩为1，不可能与矩阵A等价；C中矩阵的特征值为3，—3，0，与矩阵A不仅等价、合同，而且也是相似的，不符合题意．对于(D)，记其矩阵为D，由可知D的特征值为1，—1，0．xTAx与xTDx的正、负惯性指数一样，所以它们合同但不相似(因为特征值不同)，符合题意，故应选D．注意，B中矩阵的特征值为1，4，0，正惯性指数P=2，负惯性指数q=1，与A既不合同也不相似，但等价(因为秩相等)．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、微分方程(3y一2x)dy=ydx的通解是________．标准答案：xy2一y3=C，其中C是任意常数．知识点解析：题设的方程是齐次微分方程，令y=xu或x=yu，可把方程化为关于x，u的可分离变量的方程求解．方程又可改写成的形式，这是以x为未知函数，以y为自变量的一阶线性微分方程．令x=yu，代入方程并整理化简可得积分后去对数即得通解y3(u一1)=Cy2(x一y)=C，其中C是任意常数．10、曲线y=的斜渐近线方程为________．标准答案：y=±x．知识点解析：因为因此斜渐近线方程为y=±x．11、设y=f(x)二阶可导，f’(x)≠0，它的反函数是x=φ(y)，又f(0)=1，f’(0)=，f"(0)=—1，则=________．标准答案：知识点解析：由反函数求导公式得12、设曲线的参数方程为的曲线段的弧长s=_________标准答案：ln2．知识点解析：因13、设动点P(x，y)在曲线9y=4x2上运动，且坐标轴的单位长是1cm，如果P点横坐标的速率是30cm／s，则当P点经过点(3，4)时，从原点到P点间距离r的变化率是________．标准答案：82(cm／s)．知识点解析：这是相关变化率的问题，x，y以及原点到P点的距离r=都是时间t的函数，在等式9y=4x2和r=两边对t求导，得14、设A=，B是3阶非零矩阵，满足BA=0，则矩阵B=________．标准答案：，其中k1，k2，k3不全为0．知识点解析：由BA=0知r(B)+r(A)≤3．又由B≠0知r(B)≥1．显然A中有2阶子式非0，知r(A)≥2．故必有r(A)=2，r(B)=1．由｜A｜==一(a一1)2=0，得a=1．因ATBT=0，所以齐次线性方程组ATx=0的解就是B的行向量．又由可知A2x=0的通解为k(一1，1，1)T．故B=，其中k1，k2，k3不全为0．三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、设函数f(x)在x=1的某邻域内连续，且有．(Ⅰ)求f(1)，及f’(1)；(Ⅱ)若又设f"(1)存在，求f"(1)．标准答案：(Ⅰ)由条件知[f(x+1)+1+3sin2x]=0→[f(x+1)+3sin2x]=f(1)+0=0→f(1)=0．又在x=0的某空心邻域内f(x+1)+3sin2x≠0，现利用等价无穷小因子替换：当x→0时，ln[1+f(x+1)+3sin2x]～f(x+1)+3sin2x，知识点解析：暂无解析16、过原点作曲线y=的切线L，该切线与曲线y=及y轴围成平面图形D．(Ⅰ)求切线L的方程．(Ⅱ)求D绕y轴旋转一周所得旋转体体积V．标准答案：(Ⅰ)设切线的切点为(x0，y0)，则切线的斜率为y’(x0)=，所以切线L的方程为即x0=2，y0=e因此所求切线L的方程为（Ⅱ）半面图彤D如右图．取积分变量为y．设y=ex，y=e，y轴所围平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体体积为V1，它是锥体，．y=(x∈[0，2])即x=21ny(y∈[1，e])，y=e，y轴所围平面图形绕Y轴旋转所得旋转体体积为V2，则V=V1—V2，知识点解析：暂无解析17、设f(x)=∫—1xt3｜t｜dt，(Ⅰ)求函数f(x)的单调性区间与正、负值区间．Ⅱ求曲线y=f(x)与x轴所围成的封闭图形的面积．标准答案：为求f(x)的正负值区间，先求出使f(x)=0的x值，易知f(—1)=∫—1—1t3｜t｜dt=0，f(1)=∫—11t3｜t｜dt=0再由f(x)的单调性知，f(x)＞f(一1)=0(x＜一1)，f(x)＞f(1)=0(x＞1)f(x)＜f(一1)=0(一1＜x≤0)，f(x)＜f(1)(0≤x＜1)因此f(x)＞0(x∈(一∞，一1)或x∈(1，+∞))f(x)＜0(x∈(一1，1))(Ⅱ)曲线y=f(x)与x轴所围成的封闭图形是{(x，y)｜一1≤x≤1，f(x)≤y≤0}见右图，该图形的面积知识点解析：暂无解析18、求凹曲线y=y(x)，使得曲线上任一点处的曲率k=，其中α为该曲线在相应点处的切线的倾角，且cosα＞0，此外曲线在点(1，1)处的切线为水平直线．标准答案：由题意知知识点解析：暂无解析19、计算二重积分[cosx2siny2+sin(x+y)]dσ，其中D={(x，y)｜x2+y2≤a2，常数a＞0}．标准答案：知识点解析：暂无解析20、设u=u(x，y)在全平面有连续偏导数，(Ⅰ)作极坐标变换x=rcosθ，y=rsinθ，求的关系式；(Ⅱ)若，求证：u(x，y)=u(0，0)为常数．标准答案：(Ⅰ)u=u(x，y)=u(rcosθ，rsinθ)，由复合函数求导法→又u(rcosθ，rsinθ)对r在[0，+∞)上连续→u作为r，θ的函数，当θ固定时u作为r的函数在[0，+∞)为常数．→(x，y)，有u(x，y)=u(Fcosθ，rsinθ)=u(Fcosθ，rsinθ)｜r=0=u(0，0)．知识点解析：暂无解析21、若函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内具有二阶导数，f(0)=f(1)=0，f"(x)＜0，且f(x)在[0，1]上的最大值为M．求证：(Ⅰ)f(x)＞0(x∈(0，1))；(Ⅱ)自然数n，存在唯一的xn∈(0，1)，使得f’(xn)=；(Ⅲ)极限，则f(x0)=M．标准答案：(Ⅰ)由题设条件及罗尔定理，a∈(0，1)，f’(a)=0．由f"(x)＜0(x∈(0，1))→f’(x)在(0，1)→f(x)＞f(0)=0(0＜x≤a)，f(x)＞f(1)=0(a≤x＜1)→f(x)＞0(x∈(0，1))．(Ⅱ)由题设知存在xM∈(0，1)使得f(xM)=M＞0．要证[]在(0，1)存在零点．对n=1，2，3，…引入辅助函数→Fn(x)在[0，1]连续，在(0，1)可导，要证F’(x)=f’(x)—零点，只须在[0，1]中找两点，Fn(x)的函数值相等，Fn(0)=f(0)=0，再找Fn(x)在(0，1)的一个零点。知识点解析：暂无解析22、已知A=(α1，α2，α3，α4)是4阶矩阵，α1，α2，α3，α4是4维列向量，若方程组Ax=β的通解是(1，2，2，1)T+k(1，—2，4，0)T，又B=(α3，α2，α1，β—α4)，求方程组Bx=α1—α2的通解．标准答案：由方程组Ax=β的解的结构，可知r(A)=r(α1，α2，α3，α4)=3，且α1+2α2+2α3+α4=β，α1—2α2+4α3=0．因为B=(α3，α2，α1，β—α4)=(α3，α2，α1，α1+2α2+2α3)，且α1，α2，α3线性相关，而知秩r(B)=2．可知(4，一2，1，0)T，(2，一4，0，1)T是Bx=0的两个线性无关的解．故Bx=α1一α2的通解是：(0，一1，1，0)T+k1(4，一2，1，0)T+k2(2，一4，0，1)T．知识点解析：暂无解析23、已知矩阵(Ⅰ)求可逆矩阵P，使(AP)T(AP)为对角矩阵；(Ⅱ)若A+kE正定，求k的取值．标准答案：(Ⅰ)因为AT=A，则(AP)T(AP)=PTATAP=PTA2P，又构造二次型xTA2X=x12+x22+5x32+20x42+20x3x4，经配方，有xTA2x=x12+x22+5(x3+2x4)2，则二次型化为标准形xTA2x=y12+y22+5y32，于是，二次型合同．故(Ⅱ)由｜λE—A｜=(λ2一1)(λ一5λ)，知矩阵A的特征值为：1，5，0，一1，进而可知A+kE的特征值为k+1，k+5，k，k一1．于是由A+kE正定可知，k＞1．知识点解析：暂无解析考研数学（数学二）模拟试卷第2套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设f(x)二阶连续可导，g(x)连续，且fˊ(x)=lncosx+∫0xg(x－t)dt，=－2，则()A、f(0)为f(x)的极大值B、f(0)为f(x)的极小值C、(0，f(0))为y=f(x)的拐点D、f(0)不是f(x)的极值，(0，f(0))也不是y=f(x)的拐点标准答案：C知识点解析：显然fˊ(0)=0，由=－2得g(0)=0，gˊ(0)=－2．由∫0xg(x－t)dt∫0xg(u)du得fˊ(x)=lncosx+∫0xg(u)du．fˊˊ(x)=－+g(x)，fˊˊ(0)=0．fˊˊ(0)==－1—2=－3<0，故(0，f(0))为y=f(x)的拐点，选(C)．2、当x>0时，f(1nx)=，则∫－22xfˊ(x)dx为()．A、B、C、D、标准答案：C知识点解析：由f(1nx)=得f(x)=，则选(C)．3、设z=z(x，y)由F(az—by，bx—by，cy—ax)=0确定，其中函数F连续可偏导且afˊ1－cfˊ2≠0，则=()．A、aB、bC、cD、a+b+c标准答案：B知识点解析：F(az－by，bx－cz，cy－ax)=0两边对x求偏导得=0，解得；F(az－by，bx－cz，cy－ax)=0两边对y求偏导得故=b，选(B)．4、设函数f(x)在(—∞，+∞)上连续，其导函数的图形如右图所示，则f(x)有()．A、一个极小值点和两个极大值点B、两个极小值点和一个极大值点C、两个极小值点和两个极大值点D、三个极小值点和一个极大值点标准答案：C知识点解析：设导函数的图形与x轴的交点从左至右依次为A，B，C，在点A左侧fˊ(x)>0，右侧fˊ(x)<0．所以点A为f(x)的极大值点，同理可知点B与C都是f(x)的极小值点．关键是点O处，在它左侧fˊ(x)>0，右侧fˊ(x)<0，而f(x)在点O连续，所以点O也是f(x)的极大值点(不论在x=0处f(x)是否可导，见极值第一充分条件)，选(C)．5、用定积分表示曲线(x2+y2)2=x2－y2所围成的平面区域的面积A为()．A、B、C、D、标准答案：C知识点解析：双纽线(x2+y2)2=x2－y2的极坐标方程形式为r2＝cos2θ，在第一卦限部分的区域可表示为D1{(r，θ)｜0≤θ≤，0≤r≤}，根据对称性得A=4A1，其中A1为区域D1的面积．而A1=r2(θ)dθ=cos2θdθ,所以A=4×cos2θdθ=2cos2θdθ,选(C)．6、设函数u=f(xz，yz，x)的所有二阶偏导数都连续，则[*360]=()．A、0B、xzfˊˊ11+yzfˊˊ22+z2fˊˊ12C、z2fˊˊ12+zfˊˊ32D、xzfˊˊ11+yzfˊˊ22标准答案：C知识点解析：，选(C)．7、设矩阵B的列向量线性无关，且BA=C，则()。A、若矩阵C的列向量线性无关，则矩阵A的列向量线性相关B、若矩阵C的列向量线性无关，贝矩阵A的行向量线性相关C、若矩阵A的列向量线性无关，则矩阵C的列向量线性相关D、若矩阵C的列向量线性无关，则矩阵A的列向量线性无关标准答案：D知识点解析：设B为m×n矩阵，A为n×s矩阵，则C为m×s矩阵，且r(B)=n．因为BA=C，所以r(C)≤r(A)，r(C)≤r(B)．若r(C)=s，则r(A)≥s，又r(A)≤s，所以r(A)=s，A的列向量组线性无关，(A)不对；若r(C)=s，则r(A)=s，所以A的行向量组的秩为s，故n≥s．若n>s，则A的行向量组线性相关，若n=s，则A的行向量组线性无关，(B)不对；若r(A)=s，因为r(C)≤s，所以不能断定C的列向量组线性相关还是无关，(C)不对；若r(C)=s，则r(A)=s，选(D)8、设n阶方阵A的n个特征值全为0，则()．A、A=OB、A只有一个线性无关的特征向量C、A不能与对角阵相似D、当A与对角阵相似时，A=O标准答案：D知识点解析：若A的全部特征值皆为零且与对角矩阵相似，则存在可逆矩阵P，使得p－1AP=，于是A=O，选(D)．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、sin(xt)2dt＝_________．标准答案：知识点解析：10、设y＝y(x)由确定，则＝_________．标准答案：知识点解析：当t=0时，x=1．y=ln(1+u)du=uln(1+u)du=2ln2—1exsint－x+1=0两边对t求导，得exsint+excost—=0，于是=e；y=ln(1+u)du两边对t求导，得=ln(t+2)，于是=ln2．故11、设Dt｛(x，y)｜0≤x≤y，t≤y≤1｝(t>0),则dxdy＝_________．标准答案：知识点解析：12、＝________．标准答案：知识点解析：改变积分次序得13、yˊˊ－2yˊ－3y＝e－x的通解为________．标准答案：y=C1e－x+C2e3x—e－x知识点解析：特征方程为λ2－2λ－3=0，特征值为λ1=－1，λ2=3，则方程yˊˊ－2yˊ－3y=0的通解为y=C1e－x+C2e3x．令原方程的特解为y0(x)=Axe－x，代入原方程得A=，于是原方程的通解为y=C1e－x+C2e3x－e－x．14、设A为三阶实对称矩阵，α1＝(m，－m，1)T是方程组AX＝0的解，α2＝(m，1，1－m)T是方程组(A+E)X＝0的解，则m＝_________．标准答案：1知识点解析：由AX=0有非零解得r(A)<3，从而λ=0为A的特征值，α1(m，－m，1)T为其对应的特征向量；由(A+E)X=0有非零解得r(A+E)<3，｜A+E｜=0，λ=－1为A的另一个特征值，其对应的特征向量为α2=(m，1，1－m)T，因为A为实对称矩阵，所以A的不同特征值对应的特征向量正交，于是有m=1．三、解答题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)15、设f(x)在[0，1]上连续可导，f(1)=0,∫01xfˊ(x)dx=2，证明：存在ξ∈[0，1]，使得fˊ(ξ)=4．标准答案：由分部积分，得∫01xfˊ(x)dx=xf(x)｜01－∫01f(x)dx=－∫01f(x)dx=2，于是∫01f(x)dx=－2.由拉格朗日中值定理，得f(x)=f(x)－f(1)=fˊ(η)(x－1)，其中η∈(x，1)，f(x)=fˊ(η)(x－1)两边对x从0到1积分，得∫01f(x)dx=∫01fˊ(η)(x－1)dx=－2．因为fˊ(x)在[0，1]上连续，所以fˊ(x)在[0，1]上取到最小值m和最大值M，由M(x－1)≤fˊ(η)(x－1)≤m(x－1)两边对x从0到1积分，得－≤∫01fˊ(η)(x－1)dx≤－，即m≤4≤M，由介值定理，存在ξ∈［0，1］，使得fˊ(ξ)=4．知识点解析：暂无解析16、设u=f满足,且fˊ(x)=0．(Ⅰ)求fˊ(x)．(Ⅱ)若f(0)=0，求．标准答案：(Ⅰ)令r=，则知识点解析：暂无解析17、设φ连续，且x2+y2+z2=∫xyφ(x+y－t)dt，求2z.标准答案：知识点解析：暂无解析18、设f(x)，g(x)满足fˊ(x)=g(x)，gˊ(x)=2ex-f(x)，又f(0)=0，g(0)=2，求标准答案：由fˊˊ(x)=gˊ(x)=2ex－f(x)得fˊˊ(x)+f(x)=2ex，解得f(x)=C1cosx+C2sinx+ex，由f(0)=0，fˊ(0)=g(0)=2得，解得C1＝－1，C2=1，故f(x)=－cosx+sinx+ex．知识点解析：暂无解析设f(x)为[－a，a]上的连续的偶函数且f(x)>0，令F(x)=∫－aa｜x－t｜f(t)dt．19、证明：Fˊ(x)单调增加．标准答案：F(x)=∫－aa｜x－t｜f(t)dt=∫－ax(x－t)f(t)dt+∫xa(t－x)f(t)dt=x∫－axf(t)dt－∫－axtf(t)dt+∫xatf(t)dt－x∫xaf(t)dt=x∫－axf(t)dt－∫－axtf(t)dt－∫axtf(t)dt+x∫axf(t)dtFˊ(x)=∫－axf(t)dt+xf(x)－xf(x)－xf(x)+∫axf(t)dt+xf(x)=∫－axf(t)dt－∫xaf(t)dt因为Fˊˊ(x)=2f(x)>0，所以Fˊ(x)为单调增加的函数．知识点解析：暂无解析20、当x取何值时，F(x)取最小值?标准答案：因为Fˊ(0)=∫－a0f(x)dx－∫0af(x)dx且f(x)为偶函数，所以Fˊ(0)=0，又因为Fˊˊ(0)>0，所以x=0为F(x)的唯一极小点，也为最小点．故最小值为F(0)=∫－aa｜t｜f(t)dt=2∫0atf(t)dt．知识点解析：暂无解析21、当F(x)的最小值为f(a)－a2－1时，求函数f(x)．标准答案：由2∫0atf(t)dt=f(a)－a2－1两边求导得2af(a)=fˊ(a)－2a，于是fˊ(x)－2xf(x)=2x，解得f(x)=在2∫0atf(t)dt=f(a)－a2－1中令a=0得f(0)=1，则C=2，于是f(x)=2ex2－1.知识点解析：暂无解析22、计算，其中D：x2+y2≤a2．标准答案：因为区域D关于y轴对称，所以又因为区域D关于直线y=x对称，所以知识点解析：暂无解析23、现有两只桶分别盛有10L浓度为15g／L的盐水，现同时以2L／min的速度向第一只桶中注入清水，搅拌均匀后以2L／min的速度注入第二只桶中，然后以2L／min的速度从第二只桶中排出，问5min后第二只桶中含盐多少克?标准答案：设t时刻第一、二只桶中所含盐的质量分别为m1(t)，m2(t)，则有知识点解析：暂无解析设A为三阶实对称矩阵，其特征值为λ1=0，λ2=λ3=1．α1，α2为A的两个不同特征向量，且A(α1+α2)=α2．24、证明：α1，α2正交．标准答案：若α1，α2是属于特征值λ1=0的特征向量，则A(α1+α2)=Aα1+Aα2=0≠α2，矛盾；若α1，α2是属于特征值λ2=λ3=1的特征向量，则A(α1+α2)=Aα1+Aα2=α1+α2≠α2，矛盾，从而α1，α2是分属于两个不同特征值对应的特征向量，因为A是实对称矩阵，所以α1，α2正交．知识点解析：暂无解析25、求AX=α2的通解．标准答案：因为A相似于，所以r(A)=2，方程组AX=0基础解系含一个线性无关的解向量．若α1是属于特征值1的特征向量，α2为属于特征值0的特征向量，此时A(α1+α2)=Aα1+Aα2=α1≠α2，矛盾，从而α1是属于特征值0的特征向量，α2是属于特征值1的特征向量，由Aα1=0，Aα2=α2得AX=α2的通解为X=kα1+α2．知识点解析：暂无解析设α=(1，1，－1)T是A=的一个特征向量．26、确定参数a，b的值及特征向量α所对应的特征值；标准答案：由Aα=λα，得，解得a=－3，b＝0，λ=－1．知识点解析：暂无解析27、问A是否可以对角化?说明理由．标准答案：由｜λE－A｜=(λ+1)3=0，得λ=－1是三重特征值．因为r(－E－A)=2，所以λ=－1对应的线性无关的特征向量只有一个，所以A不可以对角化．知识点解析：暂无解析考研数学（数学二）模拟试卷第3套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、设f(χ)在χ＝0的某一邻域内有连续的四阶导数，且当χ≠0时，f(χ)≠0，若F(χ)＝在χ＝0点连续，则必有()A、f′(0)＝1B、f′(0)＝2C、f″′(0)＝3D、f(4)＝4标准答案：C知识点解析：因为F(χ)在χ＝0点连续，故有F(χ)＝1，即因此f″′(0)＝3，故选C．2、设F(χ)＝∫0χtf(χ－t)dt，其中f(0)可导，且f(0)＝0，f′(χ)＞0，则y＝F(χ)在(0，＋∞)内是()A、递增且为凹弧B、递减且为凸弧C、递减且为凹弧D、递增且为凸弧标准答案：A知识点解析：令χ－t＝u，则F(χ)＝∫0χtf(χ－t)dt＝∫0χ(χ－u)f(u)du＝χ∫0χf(u)du－∫0χuf(u)du，F′(χ)＝∫0χf(χ)dχ，F〞(χ)＝f(χ)，因为f′(χ)＞0，故f(χ)单调增加，当χ＞0时，f(χ)＞f(0)＝0，所以F〞(χ)＞0，F′(χ)＞0，故选A．3、设f(χ)在[0，＋∞)上连续，f(χ)＝1．则对于微分方程＋y＝f(χ)的任一解y均有()A、y＝0B、y＝1C、y＝＋∞D、不存在标准答案：B知识点解析：＋y＝f(χ)的通解为y＝e-χ[∫0χf(t)etdt＋C]对于任意给定的常数C，此极限为＞0型未定式，由洛必达法则得4、设函数f(χ，y)＝(a＞0)，则f(χ，y)在(0，0)点()A、连续，但不可偏导B、可偏导，但不连续C、偏导函数，均连续D、偏导函数，均不连续标准答案：C知识点解析：偏导函数连续．5、微分方程y〞－2y′＋y＝3χeχ＋sinχ的特解形式为()A、(aχ＋b)χ2eχ＋Acosχ＋BsinχB、(aχ＋b)eχ＋Acosχ＋BsinχC、(aχ＋b)χ2eχ＋AsinχD、(aχ＋b)χeχ＋Asinχ标准答案：A知识点解析：y〞－2y′＋y＝0的特征方程为r2－2r＋1＝0，解得r1＝r2＝1所以y〞－2y′＋y＝3χeχ的特解形式为(aχ＋b)χ2eχ，y〞－2y′＋y＝sinχ的特解形式为Acosχ＋Bsinχ，由叠加原理知选A．6、设n阶方阵A＝(α1，α2，…，αn)，B＝(β1，β2，…，βn)，AB＝(γ1，γ2，…，γn)，记向量组Ⅰ：α1，α2，…，αn，Ⅱ：β1，β2，…，βn，Ⅲ：γ1，γ2，…，γn，如果向量组Ⅲ线性相关，则()A、向量组Ⅰ线性相关B、向量组Ⅱ线性相关C、向量组Ⅰ与Ⅱ都线性相关D、向量组Ⅰ与Ⅱ至少有一个线性相关标准答案：D知识点解析：由｜AB｜＝0，得｜A｜＝0或｜B｜＝0，故向量组Ⅰ与Ⅱ至少有一个线性相关，故选D．7、设A是秩为3的4阶矩阵，α1，α2，α3是非齐次线性方程组Aχ＝b的三个解．若α1＋α2＋α3＝(0，6，3，9)T，2α2－α3＝(1，3，3，3)T，k为任意常数，则Aχ＝b的通解为()A、(0，6，3，9)T＋k(1，1，2，0)TB、(0，2，1，3)T＋k(－1，3，0，6)TC、(1，3，3，3)T＋k(1，1，2，0)TD、(－1，3，0，6)T＋k(－2，0，－3，0)T标准答案：C知识点解析：本题考查非齐次线性方程组解的结构，属于基础题．由r(A)＝3，知齐次方程组Aχ＝0的基础解系只有一个解向量．由非齐次线性方程组解的性质，知(α1＋α2＋α3)－3(2α2－α3)＝(α1－α2)＋4(α3－α2)＝(－3，－3，－6，0)T，是Aχ＝0的解，所以Aχ＝0的基础解系为(1，1，2，0)T．又2α2－α3＝α2＋(α2－α3)＝(1，3，3，3)T是Aχ＝b的解，所以Aχ＝b的通解为(1，3，3，3)T＋k(1，1，2，0)T，故应选C．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)8、设曲线y＝f(χ)在点(1，0)处的切线在y轴上截距为－1．则＝_______．标准答案：e．知识点解析：y＝f(χ)在点(1，0)处的切线方程为y＝f′(1)(χ－1)，由题设知当χ＝0时，y＝－1．故f′(1)＝1，又f(1)＝0，故由导数定义知从而当n→∞时，所以9、若∫0χf(t)dt＝χe-χ，则∫1＋∞dχ＝_______．标准答案：0知识点解析：10、设f(χ，y)满足f〞yy(χ，y)＝2，且f(χ，0)＝1，f′y(χ，0)＝χ，则f(χ，y)＝_______．标准答案：f(χ，y)＝y2＋χy＋1．知识点解析：由f〞yy(χ，y)＝2，知f′y(χ，y)＝2y＋φ(χ)．因为f′y(χ，0)＝φ(χ)＝χ，故f′y(χ，y)＝2y＋χ，所以f(χ，y)＝y2＋χy＋φ(χ)．又f(χ，0)＝1，从而φ(χ)＝1，故f(χ，y)＝y2＋χy＋1．11、设y1＝eχ－e-χsin2χ，y2＝eχ＋e-χcos2χ是某二阶常系数非齐次线性方程的两个解，则该方程是_______．标准答案：y〞＋2y′＋5y＝8eχ．知识点解析：由解的性质与解的结构知y2－y1＝e-χ(cos2χ＋sin2χ)是对应的齐次方程的解，所以r＝－1±2i是对应的特征方程的根，故特征方程为(r＋1)2＋4＝0，即r2＋2r＋5＝0，于是所求方程为y〞＋2y′＋5y＝f(χ)，又因为y1为非齐次方程的特解，代人方程得f(χ)＝8eχ，故所求方程为y〞＋2y′＋5y＝8eχ．12、＝_______．标准答案：sin1．知识点解析：13、设A是n阶矩阵，｜A｜＝2，若矩阵A＋E不可逆，则A*必有特征值_______．标准答案：－2．知识点解析：本题考查特征值的求法与性质，属于基础题．由矩阵A＋E不可逆，知｜A＋E｜＝0，从而｜－E－A｜＝(－1)n｜E＋A｜＝0，于是λ＝－1是矩阵A的特征值．又｜A｜＝2，所以A*必有特征值－2．三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)14、已知f(1)＝0，f′(1)＝2，求标准答案：知识点解析：暂无解析15、已知f(χ)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且＝0，∫12f(χ)dχ＝f(2)．证：ヨε∈(0，2)，使f′(ε)＋f〞(ε)＝0．标准答案：令f(χ)＝eχf′(χ)，因＝0，所以f(1)＝－1，从而原极限＝＝]0，因为≠0，故＝0，从而f′(1)＝0，故F(b)＝F(1)，原命题得证．知识点解析：暂无解析16、计算积分标准答案：原积分在直坐标下为dχdy，积分区域如图所示，由D关于y轴对称，故dχdy＝0，所以知识点解析：暂无解析17、设f(χ，y)有二阶连续导数，g(χ，y)＝f(eχy，χ2＋y2)且＝0，证明g(χ，y)在(0，0)处取得极值，并求出此极值．标准答案：fχ(1，0)＝－1，fy(1，0)＝－1．A＝g〞χχ(χ，y)｜(0，0)＝－2，B＝g〞χy(χ，y)｜(0，0)＝－1，C＝g〞yy(0，0)＝－2，B2－AC＝1－4＜0，且A＜0．所以g(0，0)是极大值．知识点解析：暂无解析18、设抛物线y＝aχ＋bχ＋c过原点，当0≤χ≤1时，y≥0，又已知该抛物线与χ轴及直线χ＝1所围图形的面积为，试确定a，b，c使此图形绕χ轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小．标准答案：由题知曲线过点(0，0)，得c＝0，即y＝aχ2＋bχ．从χ→χ＋dχ的面积dS＝ydχ，所以S＝∫01ydχ＝∫01(aχ2＋bχ)dχ＝＝由题知当y＝aχ2＋bχ绕χ轴旋转一周，旋转体积V＝b用a代人消去b，得V＝令其等于0得唯一驻点a＝在该处由负变正，此点为极小值点，故体积最小，这时b＝，故所求函数y＝aχ2＋bχ＋c＝－知识点解析：暂无解析19、设f(χ)为可微函数，解方程f(χ)＝eχ＋eχ∫0χ[f(t)]2dt．标准答案：f(χ)＝eχ＋eχ∫0χ[f(t)]2dt，f′(χ)＝eχ＋eχ∫0χ(t)]2dt＋eχ[f(χ)]2，所以f′(χ)＝f(χ)＋eχ[f(χ)]2，故＋eχ，令，故原等式可化为－u′，＝u＝eχ，解得u＝－故f(χ)＝知识点解析：暂无解析20、证：设χ＞0，则标准答案：证令t＝，得f(t)＝ln(1＋t)－ln(1＋t)＜令1＋t＝ω2，g(ω)＝ω－－2lnω，用单调性即可得证．知识点解析：暂无解析21、设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χTAχ(其中χ＝(χ1，χ2，χ3)T，A是三阶实对称矩阵)经正交变换χ＝Qy(其中y＝(y1，y2，y3)T，Q是三阶正交矩阵)化为标准形2y12－y22－y32，又设A*α＝α(其中A*是A的伴随矩阵，α＝(1，1，－1)T)．求(Ⅰ)Q及A；(Ⅱ)可逆线性变换χ＝Cz(其中z＝(z1，z2，z3)T，C是三阶可逆矩阵)，它将f(χ1，χ2，χ3)化为规范形．标准答案：(Ⅰ)A的特征值为2，－1，－1，｜A｜＝2．当λ＝2时，A*的特征值为1，故λ＝2所对应的特征向量为(1，1－1)T．设λ＝－1对应的特征向量为(a，b，c)，即a＋b－c＝0，其解为α1＝(－1，1，0)T，α2＝(1，0，1)T，对其正交化β1＝(－1，1，0)T，β2＝(1，1，2)T，再单位化于是所求的正交矩阵为(Ⅱ)f(χ1，χ2，χ3)在正交变换χ＝Qy下的标准形为，2y12－y22－y32．则2y12－y22－y32＝z12－z22－z33；(规范形)知识点解析：暂无解析22、设α1，α2，β1，β2为三维列向量组，且α1，α2与β1，β2都线性无关．(Ⅰ)证明：至少存在一个非零向量可同时由α1，α2和β1，β2线性表示；(Ⅱ)设，求出可由两组向量同时表示的向量．标准答案：(Ⅰ)因为α1，α2，β1，β2线性相关，故存在不全为零的数k1，k2，l1，l2，使k1α1＋k2α2＋l1β1＋l2β2＝，即k1α1＋k2α2＝－l1β1－l2β2(Ⅱ)令r＝k1α1＋k2α2＝－l1β1－l2β2，A＝(α1，α2，β1，β2)＝则所以r＝kα1－3kα2＝－kβ1＋0β2．知识点解析：暂无解析考研数学（数学二）模拟试卷第4套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、曲线y＝的渐近线的条数为()A、4B、3C、2D、1标准答案：C知识点解析：该函数的定义域为－3＜χ＜5且χ≠1，因此此曲线无水平渐近线和斜渐近线，又＝∞，f(χ)＝∞，所以此曲线有两条铅直渐近线χ＝5及χ＝－3，故选C．2、设f(χ)在点χ＝0处可导，则f(｜χ｜)在点χ＝0处可导的充分必要条件是()A、f(0)＝0B、f′(0)＝0C、f(0)＝0且f′(0)＝0D、f(0)＝0或f′(0)＝0标准答案：B知识点解析：由题意知＝f′(0)存在，所以f(｜χ｜)在χ＝0处可导的充分必要条件为f′(0)＝－f′(0)，即f′(0)＝0，故选B．3、设函数f(χ)在χ＝2处连续，且，函数g(χ)在χ＝2的某邻域内可导，且，则()A、函数f(χ)在χ＝2处导数存在，g(χ)在χ＝2处二阶导数存在B、函数f(χ)在χ＝2处取极小值，g(χ)在χ＝2处也取极小值C、函数f(χ)在χ＝2处导数存在，g(χ)在χ＝2处取极小值D、函数χ(χ)在χ－2处取极小值，g(χ)在χ＝2处二阶导数存在标准答案：C知识点解析：由题意知f(2)＝0，进而由，得f′(2)＝．因为＞0，由保号性知，存在δ＞0，当χ∈U(2，δ)时，＞0，因此当2－δ＜χ＜2时，g′(χ)＜0；当2＜χ＜2＋δ时，g′(χ)＞0，所以g′(χ)在χ＝2处取极小值．4、设函数f(χ)连续，则下列函数中必为偶函数的是()A、∫0χt[f(t)－f(－t)]dtB、∫0χt[f(t)－f(－t)]dtC、∫0χf(t2)dtD、∫0χ[f(t)]2dt标准答案：B知识点解析：令t＝－u，∫0-χt[f(t)＋f(－t)]dt＝∫0χ(－u)[f(－u)＋f(u)](－du)＝∫0χt[f(t)＋f(－t)]dt5、设y＝y(χ)是方程2χydχ＋(χ2－1)dy＝0及条件y(0)＝1的解，则y(χ)dχ＝()A、－ln3B、ln3C、－ln3D、ln3标准答案：D知识点解析：原方程可化为d(χ2y)＝dy，故χy2＝y＋C，由y(0)＝1得C＝－1，y＝，6、设f(χ，y)为连续函数，则使f(χ，y)dχdy＝4∫01dχf(χ，y)dy成立的充分条件是()A、f(－χ，－y)＝－f(χ，y)B、f(－χ，－y)＝f(χ，y)C、f(－χ，－y)＝－f(χ，y)且f(－χ，y)＝f(χ，y)D、f(－χ，y)＝f(χ，y)且f(χ，－y)＝f(χ，y)标准答案：D知识点解析：此时f(χ，y)既是关于χ的偶函数，又是关于y的偶函数，故选D．7、已知4维列向量α1，α2，α3线性无关，若β(i＝1，2，3，4)非零且与α1，α2，α3均正交，则(β1，β2，β3，β4)＝()A、1B、2C、3D、4标准答案：A知识点解析：本题主要考查向量组正交及齐次线性方程组基础解系定理，是一道有一定难度的综合题．由题设，知αiTβj＝0(i＝1，2，3；j＝1，2，3，4)．令则矩阵A是秩为3的3×4阶矩阵，且即β1，β2，β3，β4均为齐次线性方程组Aχ＝0的解，从而r(β1，β2，β3，β4)≤n－r(A)＝4－3＝1．故应选A．8、下列矩阵中与其他矩阵不合同的是()A、B、C、D、标准答案：C知识点解析：本题考查矩阵合同的判定，属于基础题．(特征值法)对于矩阵，其特征多项式为＝[(λ－1)2－1](λ－3)＝λ(λ－2)(λ－3)解得特征值0，2，3，所以其正惯性指数为2，负惯性指数为0．同理可得矩阵的正惯性指数均为2，负惯性指数均为0．对于矩阵，其特征多项式为解得特征值1，3，3，所以其正惯性指数为3，负惯性指数为0．由于矩阵合同的充要条件为有相同的正、负惯性指数，所以选项A、B、D合同，故应选C．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、sin2χdχ_______．标准答案：知识点解析：10、y＝(χ2－5χ＋6)｜χ3－3χ2＋2χ｜的不可导点的个数为_______个．标准答案：2．知识点解析：本题考查y＝(χ－a)｜χ－a｜在χ＝a点可导．y＝(χ2－5χ＋6)｜χ3－3χ2＋2χ｜＝(χ－2)(χ－3)｜χ(χ－1)(χ－2)｜，从而本函数有两个不可导点．11、设单调函数y＝f(χ)有二阶连续导数，其反函数为χ＝φ(y)，且f(1)＝1，f′(1)＝2，f〞(1)＝3，则φ〞(1)＝_______．标准答案：知识点解析：12、y＝e2χ＋(1＋χ)eχ是二阶常系数线性微分方程y〞＋αy′＋βy＝reχ的一个特解，则α2＋β2＋r2＝_______．标准答案：14．知识点解析：根据解的结构定理可得y＝e2χ＋eχ＋χeχ．进而可求得α＝－3，β＝2，r＝－1α2＋β2＋γ2＝14．13、设f(χ)二阶可导，且满足＝1，则y＝f(χ)在点(1，f(1))处的曲率＝________．标准答案：2．知识点解析：由曲率公式得14、A＝，r(A)＝2，则A*χ＝0的通解为_______．标准答案：k1(1，0，－1)T＋k2(5，3，4)T．知识点解析：r(A)＝2＜3(A*)＝1，所以A*χ＝0的基础解系中有两个线性无关的解向量，A*A＝｜A｜E＝0，即A的每一列均为A*χ＝0的解，两个线性无关解为通解为三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、设χ→0时，f(χ)＝eχ－为χ的三阶无穷小，求a，b．标准答案：f(χ)＝eχ－1－＝(χ＋＋o(χ3))－(a－b)χ(1－bχ＋b2χ2＋o(χ2))所以1－(a－b)＝0，＋b(a－b)＝0，所以a＝，b＝－．知识点解析：暂无解析16、令t＝tanχ，把cos4χ＋2cos2χ(1－sinχcosχ)＋y＝tanχ化为y关于t的微分方程，并求原方程的通解．标准答案：此微分方程为二阶常系数非齐次线性微分方程．其齐次通解为Y(t)＝(c1＋c2t)e-t，非齐次特解设为Y*(t)＝at＋b，代人y〞＋2y′＋y＝t中得a＝1，b＝－2．所以其非齐次特解为y*(t)＝t－2．故其非齐次通解为y(t)＝Y(t)＋y*(t)＝(c1＋c2t)e-t＋t－2．又由t＝tanχ得最终原微分方程的通解为y＝(c1＋c2tanχ)e-tanχ＋tanχ－2．知识点解析：暂无解析17、f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，又b＞a＞0．求证：在(a，b)内存在ε，η，使标准答案：令g(χ)＝，因为b＞a＞0，由题设知，f(χ)，g(χ)在[a，b]上满足柯西中值定理．于是η∈(a，b)，使得知识点解析：暂无解析18、求函数z＝χ2＋y2在(χ－)2＋(y－)2≤9上的最大值与最小值．标准答案：先求z＝χ2＋y2在圆内(χ－)2＋(y－)2＜9的驻点：－2χ＝0，＝2y＝0，(0，0)是驻点，z(0，0)＝0，显然这是最小值点，最大值必在圆周上达到．再求z＝χ2＋y2在圆周上的最大值，圆周方程可写成代入z＝χ2＋y2得，当t＝时，z＝25；当t＝时z＝1；端点处，当t＝0时，z＝13＋＜25，当t＝2π时，z＝13＋＜25．所以z在圆周上的最大值(也就是z在圆盘上的最大值)为25，最大值点为，最小值点为(0，0)，最小值为0．知识点解析：暂无解析19、设f(χ，y)，可微，f′χ(χ，y)，f(0，)＝1，且满足＝ecoty，求f(χ，y)．标准答案：两边对y积分lnf(0，y)＝lnsiny＋lnc，f(0，y)＝csiny而f(0，)＝1C＝1，f(0，y)＝siny，＝－1lnf(χ，y)＝χ＋lnC1(y)，f(χ，y)＝C1(y)e-χ，f(0，y)＝C1(y)＝siny，所以f(χ，y)＝sinye-χ．知识点解析：暂无解析20、I＝sgn(χ2－y2＋2)dχdy其中sgnχ为符号函数．标准答案：如图所示，知识点解析：暂无解析21、设函数f(χ)＝∫1χ(3－)dt(χ≥0)，求由曲线f(χ)及χ轴围成的图形的面积．标准答案：知识点解析：暂无解析22、设四维向量组α1＝(1，1，4，2)T，α2＝(1，－1，－2，b)T，α3＝(－3，－1，a，－9)T，β＝(1，3，10，a＋b)T．问(Ⅰ)当a，b取何值时，β不能由α1，α2，α3线性表出；(Ⅱ)当a，b取何值时，β能由α1，α2，α3线性表出，并写出此时的表达式．标准答案：设β＝χ1α1＋χ2α2＋χ3α3．对增广矩阵＝(α1，α2，α3｜β)作初等行变换．(1)当a≠－6，a＋2b－4≠0时，r(A)≠r()．β不可由α1，α2，α3线性表示．(2)当a≠－6，a＋2b－4＝0时β可由α1，α2，α3唯一线性表示，β＝2α1－α2＋0α3．(3)当a＝－6时β可由α1，α2，α3唯一线性表示，β＝6α1＋α2＋2α3．②当a＝－6，b＝5时，β可由α1，α2，α3线性表示，β＝(2k＋2)α1＋(k－1)α2＋kα3，其中k为任意常数．知识点解析：暂无解析23、设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χTAχ＝3χ12＋aχ22＋3χ33－4χ1χ2－8χ1χ3－4χ2χ3，其中－2是二次型矩阵A的一个特征值．(Ⅰ)用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用正交变换；(Ⅱ)如果A*＋kE是正定矩阵，求k的取值范围．标准答案：(Ⅰ)A＝由已知可得｜－E－A｜＝0a＝6对于λ1＝λ2＝7，(7E－A)χ＝0，α1＝(1，－2，0)T，α2＝(－1，0，1)T．对于λ3＝－2，(－2E－A)χ＝0，χ3＝(2，1，2)因为α1，α2不正交，由Schmidt正交化，有再单位化，得令Q＝(γ1，γ2，γ3)＝，则在正交变换χ＝Qy下，有χTAχ＝yTAy7y12＋7y22－2y32．(Ⅱ)｜A｜＝7×7×(－2)＝－98．所以A*的特征值为－14，－14，49．从而A*＋kE的特征值为k－14，k－14．k＋49．因此k＞14时，A*＋kE正定．知识点解析：暂无解析考研数学（数学二）模拟试卷第5套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、当n→∞时数列的A、同阶非等价无穷小．B、等价无穷小．C、高阶无穷小．D、低阶无穷小．标准答案：A知识点解析：归结为求数列极限用等价无穷小因子替换．2、设f’(1)=a，则数列极限=_______．A、0．B、a．C、2a．D、标准答案：B知识点解析：这是已知导数求某数列的极限．若已知f’(b)=a，可求得数列极限只要其中数列xn满足=0．为了用条件f’(1)=a，将所求极限，改写成求导数的形式．因此I=f’(1).1一f’(1).0=a因此选B．3、设g(x)可微，f(x)=ln2(1+g(x))+2ln(1+g(x)，f’(1)=1，g’(1)=，则g(1)=________A、1．B、0．C、2．D、．标准答案：B知识点解析：f(x)=(ln(1+g(x))+1)2—1→即g(1)=ln(1+g(1))→g(1)=0．选B．4、设P(x)在(—∞，+∞)连续，且以T为周期，则∫0TP(x)dx=0是方程+P(x)y=0(*)有解y=y(x)≠0且以T为周期的A、必要非充分条件．B、充分非必要条件．C、充分且必要条件．D、既不充分也不必要条件．标准答案：C知识点解析：方程(*)的解y(x)≠0以T为周期且C≠0，又故选C．5、设f(x)，g(x)均有二阶连续导数且满足f(0)＞0，f’(0)=0，g(0)=0，则函数u(x，y)=f(x)∫1yg(t)dt在点(0，0)处取极小值的一个充分条件是A、f"(0)＞0，g’(x)＜0(0≤x≤1)．B、f"(0)＜0，g’(x)＞0(0≤x≤1)．C、f"(0)＞0，g’(x)＞0(0≤x≤1)．D、f"(0)＜0．g’(x)＜0(0≤x≤1)．标准答案：B知识点解析：利用极值点的充分判别法．→AC—B2＞0．因此(0，0)是u(x，y)的极小值点．选B．6、设，则A、I2＞1＞I1．B、I2＞I1＞1．C、1＞I2＞I1．D、1＞I1＞2．标准答案：B知识点解析：于是I2＞I1＞I．故选B．7、已知4维列向量α1，α2，α3线性无关，若βi(i=1，2，3，4)非零且与α1，α2，α3均正交，则秩r(β1，β2，β3，β4)=________。A、1．B、2．C、3．D、4．标准答案：A知识点解析：设α1=(a11，a12，a13，a14)T，α2=(a21，a22，a23，a24)T，α3=(a31，a32，a33，a34)T，那么βi与α1，α2，α3均正交，即内积βiTαi=0(j=1，2，3，4)．亦即βi(j=1，2，3，4)是齐次方程组的非零解．由于α1，α2，α3线性无关，故系数矩阵的秩为3．所以基础解系有4—3=1个解向量．从而r(β1，β2，β3，β4)=1．故应选A．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)8、设正数列{an}满足=________．标准答案：1知识点解析：9、设f(x)=(1+x+x2)esinx，则f"(0)=________．标准答案：5知识点解析：10、设方程组确定隐函数y=y(x)与z=z(x)，且y(1)=1，z(1)=0，则y’(1)+2z’(1)=________．标准答案：一2．知识点解析：将题设两个方程分别对x求导数，得由此可解出y’(1)=，y’(1)+2z’(1)=3y’(1)一1．故y’(1)+2z’(1)=一2．11、积分值=________．标准答案：知识点解析：12、设极坐标系下的累次积分I=(rcosθ，rsinθ)rdθ，将I写成先对r后对θ的累次积分，则________．标准答案：知识点解析：按累次积分限，在Oθr’直角坐标系中画出积分区域D’的图形，则D’可表示为13、已知A2=，那么矩阵A=________．标准答案：知识点解析：由于A(A2)2=A5，故A=[(A2)2]—1A5=[(A2)—1]2A5．三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)14、试证明：(Ⅰ)当x＞0时，存在θ(x)∈(0，1)，使得，(Ⅱ)当x＞0时θ(x)为单调增加函数且．标准答案：(Ⅰ)令f(x)=，当x＞0时由拉格朗日中值定理得f(x+1)一f(x)=f’(ξ)，即，其中x＜ξ＜x+1．记θ(x)=ξ一x，则ξ=x+θ，并且θ∈(0，1)，从而有知识点解析：暂无解析15、设D是曲线y=2x一x2与x轴围成的平面图形，直线y=kx把D分成为D1和D2两部分(如图)，满足D1的面积S1与D2的面积S2之比S1：S2=1：7．(Ⅰ)求常数k的值及直线y=kx与曲线y=2x一x2的交点．(Ⅱ)求平面图形D1的周长以及D1绕y轴旋转一周所得旋转体的体积．标准答案：(Ⅰ)由方程组可解得直线y=kx与曲线y=2x一x2有两个交点(0，0)和(2一k，k(2一k))，其中0＜k＜2．于是于是k=1，相应的交点是(1，1)．(Ⅱ)注意这时Dl的边界由y=x上0≤x≤1的线段与曲线y=2x一x2上0≤x≤1的弧构成，从而D1的周长知识点解析：暂无解析16、设1≤a＜b，函数f(x)=xln2x，求证f(x)满足不等式(Ⅰ)0＜f"(x)＜2(x＞1)．(Ⅱ)f(a)+f(b)一(b一a)2．标准答案：(Ⅰ)求出→f"(x)在[1，+∞)单调下降→f"(x)＜f"(1)=2(x＞1)．知识点解析：暂无解析17、求f(x，y，z)=2x+2y一z2+5在区域Ω：x2+y2+z2≤2上的最大值与最小值．标准答案：f(x，y，z)在有界闭区域Ω上连续，一定存在最大、最小值．第一步，先求f(x，y，z)在Ω内的驻点．由=2→f(x，y，z)在Ω内无驻点，因此f(x，y，z)在Ω的最大、最小值都只能在Ω的边界上达到．第二步，求f(x，y，z)在Ω的边界x2+y2+z2=2上的最大、最小值，即求f(x，y，z)在条件x2+y2+z2—2=0下的最大、最小值．令F(x，y，z，λ)=2x+2y—z2+5+λ(x2+y2+z2—2)，解方程组由①，②→x=y，由③→x=0或λ=1．由x=y，z=0代入④→x=y=±1，z=0．当λ=1时由①，②，④也得x=y=—1，z=0．因此得驻点P1(一1，一1，0)与P2(1，1，0)．计算得知f(P1)=1，f(P2)=9．因此，f(x，y，z)在Ω的最大值为9，最小值为1．知识点解析：暂无解析18、计算二重积分I=(x+y2)dxdy，其中D={(x，y)｜x2+y2≤x+y}.标准答案：知识点解析：暂无解析19、一子弹穿透某铁板，已知入射子弹的速度为v0，穿出铁板时的速度为v1，以子弹入射铁板时为起始时间，又知穿透铁板的时间为t1．子弹在铁板内的阻力与速度平方成正比，比例系数k＞0．(Ⅰ)求子弹在铁板内的运动速度v与时间t的函数关系v=v(t)；(Ⅱ)求铁板的厚度．标准答案：(Ⅰ)首先考察子弹在铁板内的运动速度v=v(t)满足的规律，子弹在铁板内所受阻力为一kv2，于是由牛顿第二定律得=kv2，其中m为子弹的质量，以入射时为起始时间，得初条件v(0)=v0．解这个变量分离的微分方程得知识点解析：暂无解析20、设函数f(x)在[a，+∞)内二阶可导且f"(x)＜0，又b＞a，f(b)＞0，f’(b)＜0，求证：(Ⅰ)；(Ⅱ)方程f(x)=0在[b，+∞)内有且仅有一个实根．(Ⅲ)设又有f(a)＞0，则方程f(x)=0在[a，+∞)内有且仅有一个实根．标准答案：(Ⅰ)f"(x)＜0(x∈[0，+∞))→f(x)在[a，+∞)是凸函数→f(x)＜f(b)+f’(b)(x一b)(x∈[a，+∞)，x≠b)．(Ⅱ)f(x)在[a，+∞)连续，f(b)＞0，(a，+∞)有一个零点．因f"(x)＜0(x∈[a，+∞))→f’(x)在[a，+∞)．由f’(b)＜0→f’(x)＜0(x＞b)→f(x)在[b，+∞)→f(x)在(b，+∞)只有唯一零点．(Ⅲ)由题(Ⅱ)只须证f(x)＞0(x∈[a，b])．当x∈[a，b]时，由于f’(b)＜0，f’(x)，只有以下两种情形：1°f’(a)≤0，f’(x)＜0(x∈(a，b])→f(x)在[a，b]，如图(1)→f(x)≥f(b)＞0(x∈[a，b])；→f(x)≥f(a)＞0(0≤x≤x0)，f(x)≥f(b)＞0(x0≤x≤b)→f(x)＞0(x∈[a，b])．因此f(x)在[a，+∞)有唯一零点，即方程f(x)=0在[a，+∞)有且仅有一个实根．知识点解析：暂无解析21、已知A=(α1，α2，α3，α4)是4阶矩阵，其中α1，α2，α3，α4是4维列向量．若齐次方程组Ax=0的通解是后(1，0，—3，2)T，证明α2，α3，α4是齐次方程组A*x=0的基础解系．标准答案：由解的结构知n—r(A)=1，故秩r(A)=3．又由=0，得α1一3α2+2α3=0．因A*A=｜A｜E=0，即A*(α1，α2，α3，α4)=0，故α2，α3，α4都是A*X=0的解．由α1=3α3—2α4与r(A)=3有A=(α1，α2，α3，α4)=(3α3—2α4，α2，α3，α4)→(0，α2，α3，α4)，可知α2，α3，α4线性无关．由r(A)=3得r(A*)=1，那么n—r(A*)=3．综上可知，α2，α3，α4是A*x=0的基础解系．知识点解析：暂无解析22、设n阶实对称矩阵A满足A2=E，且秩r(A+E)=k＜n．(Ⅰ)求二次型xTAx的规范形；(Ⅱ)证明B=E+A+A2+A3+A4是正定矩阵，并求行列标准答案：(Ⅰ)设A为矩阵A的特征值，对应的特征向量为α，即Aα=λα，α≠0，则A2α=λ2α由于A2=E，从而(λ2—1)α=0．又因α≠0，故有λ2—1=0，解得λ=1或λ=一1．因为A是实对称矩阵，所以必可对角化，且秩r(A+E)=k，于是那么矩阵A的特征值为：1(k个)，一1(n一k个)．故二次型xTAx的规范形为y12+…+yk2一yk+12+1一…一yn2．(Ⅱ)因为A2=E，故B=E+A+A2+A3+A4=3E+2A．所以矩阵B的特征值是：5(k个)，1(n—k个)．由于B的特征值全大于0且B是对称矩阵，因此B是正定矩阵，且｜B｜=5k.1n—k=5k．知识点解析：暂无解析考研数学（数学二）模拟试卷第6套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、设函数f(x)在区间(—1，1)内二次可导，已知f(0)=0，f’(0)=1，且f"(x)＜0当x∈(一1，1)时成立，则A、当x∈(—1，0)时f(x)＞x，而当x∈(0，1)时f(x)＜x．B、当x∈(—1，0)时f(x)＜x，而当x∈(0，1)时f(x)＞x．C、当x∈(—1，0)与x∈(0，1)时都有f(x)＞x．D、当x∈(—1，0)与x∈(0，1)时都有f(x)＜x．标准答案：D知识点解析：由题设知，曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=x，而曲线y=f(x)在区间(一1，1)内是凸弧．由凸弧与其上某点处的切线的位置关系即知结论(D)正确，故应选D．2、设f(x)，g(x)在点x=x0处可导且f(x0)=g(x0)=0，f’(x0)g’(x0)＜0，则A、x0不是f(x)g(x)的驻点．B、x0是f(x)g(x)的驻点，但不是f(x)g(x)的极值点．C、x0是f(x)g(x)的驻点，且是f(x)g(x)的极小值点．D、x0是f(x)g(x)的驻点，且是f(x)g(x)的极大值点．标准答案：D．知识点解析：由于[f(x)g(x)]’=f’(x0)g(x0)+f(x0)g’(x0)=0，因此x=x0是f(x)g(x)的驻点，进一步考察是否是它的极值点．由条件f’(x0)g’(x0)＜0→f’(x0)＜0，g’(x0)＞0(或f’(x0)＞0，g’(x0)＜0)．由→x∈(x0，x0+δ)时f(x)＜0(＞0)，g(x)＞0(＜0)；x∈(x0一δ，x0)时f(x)>0(<0)，g(x)<0(>0)→x∈(x0—δ，x0+δ)，x≠x0时f(x)g(x)＜0=f(x0)g(x0)→x=x0是f(x)g(x)的极大值点．因此选D．3、曲线y=的拐点的个数为A、0个．B、1个．C、2个．D、3个．标准答案：D．知识点解析：4、设D={(x，y)｜x+y≥1，x2+y2≤1}，则I=(x2+y2)dσ的值为A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：直接用极坐标变换(x=rcosθ，y=rsinθ)．D的极坐标表示是因此选B．5、函数u=xyz2在条件x2+y2+z2=4(x＞0，y＞0，z＞0)下的最大值是A、．B、1．C、2．D、3．标准答案：C知识点解析：用拉格朗日乘子法求解．令F(x，y，z)=xyz2+λ(x2+y2+z2—4)，则因存在最大值，又驻点唯一，所以最大值为u==2．应选C．6、已知｜A｜==9，则代数余子式A21+A22=A、3．B、6．C、9．D、12．标准答案：B知识点解析：对行列式｜A｜按第2行展开，有2A21+2A22+A23+A24=9．①构造行列式则｜A｜和｜B｜第2行元素代数余子式相同．对｜B｜按第2行展开，又有A21+A22+2A23+2A24=｜B｜=0．②联立①，②可得A21+A22=6．故选B．7、设n维列向量，矩阵A=E一4ααT，其中E是n阶单位矩阵，若n维列向量β=(1，1，…，1)T，则向量AB的长度为A、．B、．C、n．D、n2标准答案：B知识点解析：利用向量内积可计算出向量的长度．由于又ATA=(E一4ααT)T(E一4ααT)=(E一4ααT)(E一4ααT)=E一8ααT+16α(αTα)αT=E一8ααT+8ααT=E，二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)8、设函数f(x)在(—1,1)内具有二阶连续导数，且满足f’(0)=1，则=________标准答案：知识点解析：所求极限是“∞一∞”型未定式，可通分化为“”型未定式求极限。9、x轴上方的星形线：=1(—1≤x≤1)与x轴所围区域的面积S=_________．标准答案：知识点解析：x轴上方的星形线表达式为10、设y=sin4x，则y(n)=_________．标准答案：知识点解析：先分解11、函数f(x)=e—xsinx(x∈[0，+∞))的值域区间为________．标准答案：知识点解析：定义在某区间上的连续函数y(x)，若有最大值M和最小值m，则y(x)的值域就是[m，M]．f(x)=e—xsinx在[0，+∞)内连续．由f’(x)=e—x(cosx—sinx)==0，解得f(x)的驻点为xk=kπ+(k=0，1，2，…)，于是f(xk)=，其中f(x0)，f(x2)，f(x4)，…为正数，最大者为f(x0)=；而f(x1)，f(x3)，f(x5)，…为负数，最小者为f(x1)=．又f(0)=0，=0，所以f(x)在[0，+∞)的最小值为，因此f(x)的值域为。12、设x=rcosθ，y=rsinθ，则直角坐标系xOy中的累次积分可化为极坐标系(r，θ)中的累次积分是_________．标准答案：知识点解析：设累次积分，对应的二重积分为，则积分区域D：{(x，y)｜0≤x≤2，x≤y≤}，如图，令x=rcosθ，y=rsinθ，在极坐标系(r，θ)中，y=x的极坐标方程是的极坐标方程是，x=2的极坐标方程是r=，从而积分区域13、已知α1=(1，2，—1)T，α2=(1，—3，2)T，α3=(4，11，一6)T，若Aα1=(0，2)T，Aα2=(5，2)T，Aα3=(一3，7)T，则A=__________．标准答案：知识点解析：用分块矩阵把已知条件组合起来，有A(α1，α2，α3)=因为｜α1，α2，α3｜=≠0，所以矩阵(α1，α2，α3)可逆．于是三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)14、设函数f(x)在(0，+∞)内可导，f(x)＞0，，且，x∈(0，+∞)．(Ⅰ)求f(x)；(Ⅱ)求证：f(x)在(0，+∞)上有界．标准答案：(Ⅰ)题设中等式左端的极限为1∞型，先转化成(Ⅱ)因f(x)在(0，+∞)连续，又，所以f(x)在(0，+∞)上有界．知识点解析：暂无解析15、设f(x)=(Ⅰ)求证：f(x)在[0，+∞)上连续又f’(x)=(x＞0)；(Ⅱ)求f(x)在[0，+∞)的单调性区间；(Ⅲ)求f(x)在[0，+∞)的最大值与最小值．标准答案：(Ⅰ)当x＞0时f(x)与初等函数e—x+相同，故连续．又即f(x)在x=0处右连续，因此f(x)在[0，+∞)上连续．再求知识点解析：暂无解析16、设曲线L的参数方程为x=φ(t)=t—sint，y=ψ(t)=1一cost(0≤t≤2π)．(Ⅰ)求证：由L的参数方程确定连续函数y=y(x)，并求它的定义域；(Ⅱ)求曲线L与x轴所围图形绕Oy轴旋转一周所成旋转体的体积V；(Ⅲ)设曲线L与x轴围成的平面图形的形心为。标准答案：(Ⅰ)φ’(t)=1一cost＞0(t∈(0，2π)，φ’(0)=φ’(2π)=0，又φ(t)在[0，2π]连续→φ(t)在[0，2π]，值域为[φ(0)，φ(2π)]=[0，2π]→x=φ(t)在[0，2π]连续的反函数t=t(x)，定义域为[0，2π]→y=ψ[t(x)]y(x)在[0，2π]上连续．Ⅱ由旋转体的体积公式，有知识点解析：暂无解析17、设函数f(x)在[0，+∞)内二阶可导，并当x＞0时满足xf"(x)+3x[f’(x)]2≤1一e—x．(Ⅰ)求证：当x＞0时f"(x)＜1．(Ⅱ)又设f(0)=f’(0)=0，求证：当x＞0时f(x)＜x2．标准答案：(Ⅰ)由假设条件有令F(x)=x一(1一e—x)=x+e—x一1，→F(0)=0，F’(x)=1—e—x＞0(x＞0)→F(x)在[0，+∞)单调增加，F(x)＞F(0)=0(x＞0)，知识点解析：暂无解析18、设函数f(u)有连续的一阶导数，f(0)=1，且函数(x≠0)，求x的表达式．标准答案：知识点解析：暂无解析19、计算二重积分I=｜sin(x—y)｜dxdy，其中D：0≤x≤2π，x≤y≤2π．标准答案：利用对称性，与D关于y=x对称的区域记为D*，又记f(x，y)=｜sin(x一y)｜=f(y，x)，则知识点解析：暂无解析20、设f(x)在(—∞，+∞)内一阶可导，求证：(Ⅰ)若f(x)在(—∞，+∞)是凹函数，则；(Ⅱ)若f(x)在(—∞，+∞)内二阶可导，又存在极限，则存在ξ∈(—∞，+∞)，使得f"(ξ)=0．标准答案：(Ⅰ)由f’(x)≠0→存在x0∈(一∞，+∞)，f’(x0)＞0或f’(x0)＜0．由凹性→’Ⅱ反证法．若结论不成立，则x∈(一∞，+∞)，f"(x)＞0或f"(x)＜0．若f"(x)＞0(x)→y=f(x)在(一∞，+∞)为凹函数，由题(Ⅰ)→=+∞或=+∞，与已知矛盾．若f"(x)＜0(x)→y=一f(x)在(一∞，+∞)为凹函数，同样得矛盾．因此，存在ξ∈(一∞，+∞)，使得f"(ξ)=0．知识点解析：暂无解析21、已知A是2×4矩阵，齐次方程组Ax=0的基础解系是η1=(1，3，0，2)T，η2=(1，2，—1，3)T，又知齐次方程组Bx=0的基础解系是β1=(1，1，2，1)T，β2=(0，—3，1，0)T，(Ⅰ)求矩阵A；(Ⅱ)如果齐次线性方程组Az=0与Bx=0有非零公共解，求a的值并求公共解．标准答案：(Ⅰ)记C=(η1，η2)，由AC=A(η1，η2)=0知CTAT=0，则矩阵AT的列向量(即矩阵A的行向量)是齐次线性方程组CTx=0的解．对CT作初等行变换，有得到CTx=0的基础解系为α=(3，一1，1，0)T，α=(一5，1，0，1)T．所以矩阵A=(Ⅱ)设齐次线性方程组Ax=0与Bx=0的非零公共解为γ，则γ既可由η1，η2线性表出，也可由β1，β2线性表出，故可设y=x1η1+x2η2=一x3β1一x4β2，于是x1η1+x2η2+x3β1一x4β2=0．对(η1，η2，β1，β2)作初等行变换，有当a=0时，解出x4=t，x3=一t，x2=一t，x1=2t．因此Ax=0与Bx=0的公共解为y=2tη1—tη2=t(1，4，1，1)T，其中t为任意常数．知识点解析：暂无解析22、已知A是3阶矩阵，α1，α2，α3是3维线性无关列向量，且Aα1=3α1+3α2—2α3，Aα2=一α2，Aα3=8α+6α2—5α3．(Ⅰ)写出与A相似的矩阵B；(Ⅱ)求A的特