考研数学三（微积分）模拟试卷9（共266题）

考研数学三（微积分）模拟试卷9（共9套）（共266题）考研数学三（微积分）模拟试卷第1套一、选择题(本题共19题，每题1.0分，共19分。)1、f(x)在0处可导，则|f(x)|在x0处()．A、可导B、不可导C、连续但不一定可导D、不连续标准答案：A知识点解析：由f(x)在x0处可导得|f(x)|在x0处连续，但|f(x)|在x0处不一定可导，如f(x)=x在x=0处可导，但}f(x)|=|x|在x=0处不可导，选(C)．2、设f(x)为二阶可导的奇函数，且x＜0时有f"(x)＞0，f’(x)＜0，则当x＞0时有()．A、f"(x)＜0，f’(x)＜0B、f"(x)＞0，f’(x)＞0C、f"(x)＞0，f’(x)＜0D、f"(x)＜0，f’(x)＞0标准答案：A知识点解析：因为f(x)为二阶可导的奇函数，所以f(一x)=一f(x)，f’(一x)=f’(x)，f"(一x)=一f"(x)，即f’(x)为偶函数，f"(x)为奇函数，故由x＜0时有f"(x)＞0，f’(x)＜0，得当x＞0时有f"(x)＜0，f’(x)＜0，选(A)．3、设f(x)为单调可微函数，g(x)与f(x)互为反函数，且f(2)=4，f’(2)=，f’(4)=6，则g’(4)等于()．A、B、C、D、4标准答案：B知识点解析：因为所以选(B)．4、设f(x)在x一a的邻域内有定义，且f’+(a)与f’一(a)都存在，则()．A、f(x)在x=a处不连续B、f(x)在x=a处连续C、f(x)在x=a处可导D、f(x)在x=a处连续可导标准答案：B知识点解析：因为f+’(a)存在，所以存在，于是=f(a)，即f(x)在x=a处右连续，同理由f一’(a)存在可得f(x)在x=a处左连续，故f(x)在x=a处连续，选(B)．5、下列命题成立的是()．A、若f(x)在x0处连续，则存在δ＞0，使得f(x)在|x一x0|＜δ内连续B、若f(x)在x0处可导，则存在δ＞0，使得f(x)在|x一x0|＜δ内可导C、若f(x)在x0的去心邻域内可导，在x0处连续且f’(x)存在，则f(x)在x0处可导，且f’(x0)=’(x)D、若f(x)在x0的去心邻域内可导，在x0处连续且f’(x)不存在，则f(x)在x0处不可导标准答案：C知识点解析：设显然f(x)在x=0处连续，对任意的x0≠0，因为不存在，所以f(x)在x0处不连续，(A)不对；同理f(x)在x=0处可导，对任意的x0≠0，因为f(x)在x0处不连续，所以f(x)在x0，处也不可导，(B)不对；因为=f’(ξ)，其中ξ介于x0与x之间，且存在，所以也存在，即f(x)在x0处可导且f’(x0)=,选(C)；令不存在，(D)不对．6、f(x)=则f(x)在x=0处()．A、不连续B、连续不可导C、可导但f’(x)在x=0处不连续D、可导且f’(x)在x=0处连续标准答案：D知识点解析：显然f(x)在x=0处连续，因为所以f(x)在x=0处可导，当x＞0时，当x＜0时，所以f’(x)在x=0处连续，选(D)．7、函数f(x)在x=1处可导的充分必要条件是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：存在，所以f(x)在x=1处可导．所以选(D)．8、设f(x)可导，则下列正确的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：9、下列说法正确的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：10、下列说法中正确的是()．A、若f’(x0)＜0，则f(x)在x0的邻域内单调减少B、若f(x)在x0取极大值，则当x∈(x0一δ，x0)时，f(x)单调增加，当x∈(x0，x0+δ)时，f(x)单调减少C、f(x)在x0取极值，则f(x)在x0连续D、f(x)为偶函数，f"(0)≠0，则f(x)在x=0处一定取到极值标准答案：D知识点解析：则f(x)在x=0的任意邻域内都不单调减少，(A)不对；f(x)在x=0处取得极大值，但其在x=0的任一邻域内皆不单调，(B)不对；f(x)在x=1处取得极大值，但f(x)在x=1处不连续，(C)不对；由f"(0)存在，得f’(0)存在，又f(x)为偶函数，所以f(0)=0，所以x=0一定为f(x)的极值点，选(D)．11、设f(x)二阶连续可导，则()．A、f(2)是f(x)的极小值B、f(2)是f(x)的极大值C、(2，f(2))是曲线y=f(x)的拐点D、f(2)不是函数f(x)的极值，(2，f(2))也不是曲线y=f(x)的拐点标准答案：A知识点解析：即当x∈(2一δ，2)时，f’(x)＜0；当x∈(2，2+δ)时，f’(x)＞o，于是x=2为f(x)的极小点，选(A)．12、设f(x)在x=0的邻域内连续可导，g(x)在x=0的邻域内连续，且=0，又f’(x)=一2x2+∫0xg(x一t)dt，则()．A、x=0是f(x)的极大值点B、x=0是f(x)的极小值点C、(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点D、x=0不是f(x)的极值点，(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点标准答案：C知识点解析：由=0得g(0)=g’(0)=0，f’(0)=0，f’(x)=一2x2+∫0xg(x一t)dt=一2x2一∫0xg(x一t)d(x一t)=一2x2+∫0xg(u)du，f"(x)=一4x+g(x)，f"(0)=0，f"(x)=一4+g’(x)，f"(0)=一4＜0，因为所以存在δ＞0，当0＜|x|＜δ时，＜0，从而当x∈(δ，0)时，f"(x)＞0，当x∈(0，δ)时，f"(x)＜0，选(C)．13、设f(x)二阶连续可导，且=一1，则()．A、f(0)是f(x)的极小值B、f(0)是f(x)的极大值C、(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点D、x=0是f(x)的驻点但不是极值点标准答案：C知识点解析：因为f(x)二阶连续可导，且=0，即f(0)=0．又=一1＜0．由极限的保号性，存在δ＞0，当0＜|x|＜δ时，有＜0，即当x∈(一δ，0)时，f"(x)＞0，当x∈(0，δ)时，f"(x)＜0，所以(0，f(0))为曲线y=f(x)的拐点，选(C)．14、设函数f(x)满足关系f"(x)+f’2(x)=x，且f’(0)=0，则()．A、f(0)是f(x)的极小值B、f(0)是f(x)的极大值C、(0，f(0))是y=f(x)的拐点D、(0，f(0))不是y=f(x)的拐点标准答案：C知识点解析：由f’(0)=0得f"(0)=0，f"’(x)=1—2f’(x)f"(x)，f"’(0)=1＞0，由极限保号性，存在δ＞0，当0＜|x|＜δ时，f"’(x)＞0，再由f"(0)=0，得故(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点，选(C)．15、下列说法正确的是()．A、设f(x)在x0二阶可导，则f"(x)在x=x0处连续B、f(x)在[a，b]上的最大值一定是其极大值C、f(x)在(a，b)内的极大值一定是其最大值D、若f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(x)在(a，b)内有唯一的极值点，则该极值点一定为最值点标准答案：D知识点解析：令不存在，所以(A)不对；若最大值在端点取到则不是极大值，所以(B)不对；(C)显然不对，选(D)．16、设f(x)在[a，+∞)上二阶可导，f(a)＜0，f’(a)=0，且f"(x)≥k(k＞0)，则f(x)在(a，+∞)内的零点个数为()．A、0个B、1个C、2个D、3个标准答案：B知识点解析：因为f’(a)=0，且f"(x)≥k(k＞0)，所以f(x)=f(a)+f’(a)(x一a)+故=+∞，再由f(a)＜0得f(x)在(a，+∞)内至少有一个零点，又因为f’(a)=0，且f"(x)≥k(k＞0)，所以f’(x)＞0(x＞a)，即f(x)在[a，+∞)单调增加，所以零点是唯一的，选(B)．17、设k＞0，则函数f(x)=1nx一+k的零点个数为()．A、0个B、1个C、2个D、3个标准答案：C知识点解析：函数f(x)的定义域为(0，+∞)，由f’(x)==0得x=e，当0＜x＜e时，f’(x)＞0；当x＞e时，f’(x)＜0，由驻点的唯一性知x=e为函数f(x)的最大值点，最大值为f(e)=k＞0，又=一∞，于是f(x)在(0，+∞)内有且仅有两个零点，选(C)．18、曲线y=的渐近线的条数为()．A、0条B、1条C、2条D、3条标准答案：D知识点解析：因为=∞，所以曲线y=无水平渐近线；由=+∞，得曲线y=有两条铅直渐近线；由(y一x)=0，得曲线y=有一条斜渐近线y=x，选(D)．19、设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，其导数的图形如下页图，则f(x)有()．A、两个极大点，两个极小点，一个拐点B、两个极大点，两个极小点，两个拐点C、三个极大点，两个极小点，两个拐点D、两个极大点，三个极小点，两个拐点标准答案：C知识点解析：设当x＜0时，f’(x)与x轴的两个交点为(x1，0)，(x2，0)，其中x1＜x2；当x＞0时，f’(x)与x轴的两个交点为(x3，0)，(x3，0)，其中x3＜x4．当x＜x1时，f’(x)＞0，当x∈(x1，x2)时，f’(x)＜0，则x=x1为f(x)的极大点；当x∈(x2，0)时，f’(x)＞0，则x=x2为f(x)的极小点；当x∈(0，x3)时，f’(x)＜0，则x=0为f(x)的极大点；当x∈(x3，x4)时，f’(x)＞0，则x=x3为f(x)的极小点；当x＞x4时，f’(x)＜0，则x=x4为f(x)的极大点，即f(x)有三个极大点，两个极小点，又f(x)有两个零点，根据一阶导数在两个零点两侧的增减性可得，y=f(x)有两个拐点，选(C)．二、解答题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)20、设x=x(t)由sint一∫1x一teu2du=0确定，求标准答案：知识点解析：暂无解析21、设x3一3xy+y3=3确定y为x的函数，求函数y=y(x)的极值点．标准答案：知识点解析：暂无解析22、设f(x)=求f(x)的极值．标准答案：因为f一’(0)≠f+’(0)，所以f(x)在x=0处不可导．于是令f’(x)=0得x=一1或x=当x＜一1时，f’(x)＜0；当一1＜x＜0时，f’(x)＞0；当0＜x＜时，f’(x)＜0；当x＞时，f’(x)＞0．故x=一1为极小点，极小值f(一1)=1一；x=0为极大点，极大值．f(0)=1；x=为极小点，极小值知识点解析：暂无解析23、设f(x)连续，φ(x)=∫01f(xt)dt，且=A．求φ’(x)，并讨论φ’(x)在x=0处的连续性．标准答案：因为所以φ’(x)在x=0处连续．知识点解析：暂无解析24、设函数f(x)在x=1的某邻域内有定义，且满足|f(x)一2ex≤(x一1)2，研究函数f(x)在x=1处的可导性．标准答案：把x=1代入不等式中，得f(1)=2e．当x≠1时，不等式两边同除以|x一1|，得知识点解析：暂无解析25、设，求y’．标准答案：知识点解析：暂无解析26、设f(x)=且f"(0)存在，求a，b，c．标准答案：因为f(x)在x=0处连续，所以c=0，即由f(x)在x=0处可导，得b=1，即由f"(0)存在，得，b=1，c=0．知识点解析：暂无解析设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0，f()一1，f(1)=0．证明：27、存在η∈(，1)，使得f(η)=η；标准答案：令φ(x)=f(x)一x，φ(x)在[0，1]上连续，φ(1)=一1＜0，由零点定理，存在使得φ(η)=0，即f(η)=η．知识点解析：暂无解析28、对任意的k∈(一∞，+∞)，存在ξ∈(0，η)，使得f’(ξ)一k[f(ξ)一ξ]=1．标准答案：设F(x)=e一kx(x)，显然F(x)在[0，η]上连续，在(0，17)内可导，且F(0)=F(η)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(0，η)，使得F’(ξ)=0，整理得f’(ξ)一k[f(ξ)一ξ]=1．知识点解析：暂无解析29、设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且=0，又f(2)=，证明：存在ξ∈(0，2)，使得f’(ξ)+f"(ξ)=0．标准答案：所以f’(1)=0.由积分中值定理得由罗尔定理，存在x0∈(f，2)(1，2)，使得f’(x0)=0．令φ(x)=exf’(x)，则φ(1)=cp(x0)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(1，x0)(0，2)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=ex[f’(x)+f"(x)]且ex≠0，所以f’(ξ)+f"(ξ)=0．知识点解析：暂无解析30、质量为lg的质点受外力作用作直线运动，外力和时间成正比，和质点的运动速度成反比，在t=10s时，速度等于50cm/s．外力为39．2cm/s2，问运动开始1min后的速度是多少？标准答案：由题意得F=，因为当f=10时，υ=50，F=39．2，所以k=196，从而F=分离变量得υdυ=196tdt，知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第2套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设f(x)，g(x)是连续函数，当x→0时，f(x)与g(x)是等价无穷小，令F(x)=∫0xf(x—t)dt，G(x)=∫01xg(xt)dt，则当x→0时，F(x)是G(x)的()．A、高阶无穷小B、低阶无穷小C、同阶但非等价无穷小D、等价无穷小标准答案：D知识点解析：F(x)=∫0xf(x一t)dt=一∫0xf(x—t)d(x一t)=∫0xf(u)du，G(x)=∫01xg(xt)dt=∫0xg(u)du，则，选D．2、设F(x)=∫xx+2πesintsintdt，则F(x)()．A、为正常数B、为负常数C、为零D、取值与x有关标准答案：A知识点解析：由周期函数的平移性质，F(x)=∫xx+2πesintsintdt=∫-ππesintsintdt，再由对称区间积分性质得F(x)=∫0π(esintsint—e-sintsint)dt=∫0π(esint一e-sint)sintdt，又(esint一e-sint)sint连续、非负、不恒为零，所以F(x)＞0，选A．3、设α=，则当x→0时，两个无穷小的关系是()．A、高阶无穷小B、低阶无穷小C、同阶非等价无穷小D、等价无穷小标准答案：C知识点解析：因为，所以两无穷小同阶但非等价，选C．二、填空题(本题共14题，每题1.0分，共14分。)4、设f(sin2x)==________．标准答案：知识点解析：5、设f(lnx)=，则∫f(x)dx=________．标准答案：知识点解析：6、设∫xy(x)dx=arcSinz+C，则=________．标准答案：知识点解析：7、设f(x)为连续函数，且满足∫01f(xt)dt=f(x)+xsinx，则f(x)=________．标准答案：cosx—xsinx+C知识点解析：由∫01f(xt)dt=f(x)+xsinx，得∫01f(xt)d(xt)=xf(x)+x2sinx，即∫0xf(t)dt=xf(x)+x2sinx，两边求导得f’(x)=一2sinx—xcosx，积分得f(x)=cosx—xsinx+C．8、求=________．标准答案：知识点解析：9、求=________．标准答案：知识点解析：10、求=________．标准答案：知识点解析：11、求=________．标准答案：知识点解析：12、=________．标准答案：知识点解析：13、=________．标准答案：知识点解析：14、=________．标准答案：知识点解析：15、=________．标准答案：知识点解析：16、∫max{x+2，x2}dx=________．标准答案：知识点解析：17、=________．标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共19题，每题1.0分，共19分。)18、设f(x)连续，且f(x)=2∫0xf(x一t)dt+ex，求f(x)．标准答案：∫0xf(x—t)dt∫x0f(u)(一du)=∫0xf(u)du，f(x)=2∫0xf(u)du+ex两边求导数得f’(x)一2f(x)=ex，则f(x)=(∫ex．e∫-2dxdx+C)e-∫-2dx=Cex一ex，因为f(0)=1，所以C=2，故f(x)=2e2x一ex．知识点解析：暂无解析19、求标准答案：知识点解析：暂无解析20、求标准答案：因为(x2ex)’=(x2+2x)ex，所以知识点解析：暂无解析21、求标准答案：知识点解析：暂无解析22、设F(x)为f(x)的原函数，且当x≥0时，f(x)F(x)=，又F(0)=1，F(x)＞0，求f(x)．标准答案：知识点解析：暂无解析23、设，求f(x)．标准答案：令lnx=t，则f’(t)=，当t≤0时，f(t)=t+C1；当t＞0时，f(t)=et+C2．显然f’(t)为连续函数，所以f(t)也连续，于是有C1=1+C2，故f(x)=知识点解析：暂无解析24、求标准答案：知识点解析：暂无解析25、设f(x)连续，∫0xtf(x-t)dt=1一cosx，求f(x)dx．标准答案：由∫0xtf(x—t)dt∫x0(x一u)f(u)(一du)=∫0x(x—u)f(u)du=x∫0xf(u)du—∫0xuf(u)du，得x∫0xf(u)du—∫0xuf(u)du=1一cosx，两边求导得∫0xf(u)du=sinx，令x=f(x)dx=1．知识点解析：暂无解析26、设S(x)=∫0x｜cost｜dt．(1)证明：当nπ≤x＜(n+1)π时，2n≤S(x)＜2(n+1)；(2)求．标准答案：(1)当nπ≤x＜(n+1)π时，∫0nπ｜cost｜dt≤∫0x｜cost｜dt＜∫0(n+1)πcost｜dt，∫0nπ｜cost｜dt=n∫0π｜cost｜dt==2n，∫0(n+1)π｜cost｜dt=2(n+1)，则2n≤S(x)＜2(n+1)．(2)知识点解析：暂无解析27、设f(x)在[0，+∞)上连续，非负，且以T为周期，证明：标准答案：对充分大的x，存在自然数n，使得nT≤x＜(n+1)T，因为f(x)≥0，所以∫0nTf(t)dt≤∫0xf(t)df≤∫0(n+1)Tf(t)dt，知识点解析：暂无解析28、设f(x)在[0，1]上连续，f(0)=0，∫01f(x)dx=0．证明：存在ξ∈(0，1)，使得∫0ξ(x)dx=ξf(ξ)．标准答案：令φ(x)=，因为f(x)在[0，1]上连续，所以φ(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，又φ(0)=0，φ(1)=∫01f(x)dx=0，由罗尔定理，存在ξ∈(0，1)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=，所以∫0ξf(x)dx=ξf(ξ)．知识点解析：暂无解析29、设f(x)在(一a，a)(a＞0)内连续，且f’(0)=2．(1)证明：对0＜x＜a，存在0＜θ＜1，使得∫0xf(t)dt+∫0-xf(t)dt=x[f(θx)一f(-θx)]；(2)求．标准答案：(1)令F(x)=∫0xf(t)dt+∫0-xf(t)dt，显然F(x)在[0，x]上可导，且F(0)=0，由微分中值定理，存在0＜θ＜1，使得F(x)=F(x)一F(0)=F’(θx)x，即∫0xf(t)dt+∫0-xf(t)dt=x[f(θx)一f(-θx)]．(2)知识点解析：暂无解析30、设标准答案：知识点解析：暂无解析31、设f(x)有界，且f’(x)连续，对任意的x∈(一∞，+∞)有｜f(x)+f’(x)｜≤1．证明：｜f(x)｜≤1．标准答案：令φ(x)=exf(x)，则φ’(x)=ex[f(x)+f’(x)]，由｜f(x)+f’(x)｜≤1得｜φ’(x)｜≤ex，又由f(x)有界得φ(一∞)=0，则φ(x)=φ(x)一φ(一∞)=φ’(x)dx，两边取绝对值得ex｜f(x)｜≤∫-∞x｜φ’(x)｜dx≤∫-∞xexdx=ex，所以｜f(x)｜≤1．知识点解析：暂无解析32、设f(x)在(一∞，+oo)上有定义，且对任意的x，y∈(一∞，+∞)有｜f(x)一f(y)｜≤｜x—y｜．证明：｜∫abf(x)dx一(b一a)f(a)｜≤(b一a)2．标准答案：因为(b一a)f(a)=∫abf(a)dx，所以｜∫abf(x)dx一(b一a)f(a)｜=｜∫ab[f(x)一f(a)]dx｜≤∫ab｜f(x)一f(a)｜dx≤∫ab(x一a)dx=知识点解析：暂无解析33、设f(x)在[0，1]上连续，且0＜m≤f(x)≤M．对任意的x∈[-0．1]．证明：标准答案：因为0＜m≤f(x)≤M，所以f(x)一m≥0，f(x)一M≤0，从而知识点解析：暂无解析34、设f(x)在[a，b]上连续且单调增加，证明：∫abxf(x)dx≥标准答案：知识点解析：暂无解析35、设f(x)在(0，+∞)内连续且单调减少．证明：∫1n+1f(x)dx≤≤f(1)+∫1nf(x)dx．标准答案：∫1n+1f(x)dx=∫12f(x)dx+∫23f(x)dx+…+∫nn+1f(x)dx，当x∈[1，2]时，f(x)≤f(1)，两边积分得∫12f(x)dx≤f(1)，同理∫23f(x)dx≤f(2)，…，∫nn+1f(x)dx≤f(n)，相加得∫12f(x)dx≤；当x∈[1，2]时，f(2)≤f(x)，两边积分得f(2)≤∫12f(x)dx，同理f(3)≤∫23f(x)dx，…，f(n)≤∫n-1nf(x)dx，相加得f(2)+…+f(n)≤∫1nf(x)dx，于是≤f(1)+∫1nf(x)dx。知识点解析：暂无解析36、设f(x)在[a，b]上连续且单调减少．证明：当0＜k＜1时，∫0kf(x)dx≥k∫01f(x)dx．标准答案：∫0kf(x)dx一k∫01f(x)dx=∫0kf(x)dx-k[∫0kf(x)+∫k1f(x)dx]=(1一k)∫0kf(x)dx—k∫k1f(x)dx=k(1一k)[f(ξ1)一f(ξ2)]其中ξ1∈[0，k]，ξ2∈[k，1]．因为0＜k＜1且f(x)单调减少，所以∫0kf(x)dx一k∫01f(x)dx=k(1一k)[f(ξ1)一f(ξ2)]≥0，故∫0kf(x)dx≥k∫01f(x)dx．知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第3套一、选择题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)1、设f（x）和φ（x）在（一∞，+∞）上有定义，f（x）为连续函数，且f（x）≠0，φ（x）有间断点，则（）A、φ（f（x））必有间断点B、[φ（x）]2必有间断点C、f（φ（x））必有间断点D、必有间断点标准答案：D知识点解析：取f（x）=1，x∈（一∞，+∞），φ（x）=则f（x），φ（x）满足题设条件。由于φ（f（x））=1，[φ（x）]2=1，f（φ（x））=1都是连续函数，故可排除A、B、C，应选D。2、设函数f（x）=则f（x）在x=0处（）A、极限不存在B、极限存在但不连续C、连续但不可导D、可导标准答案：C知识点解析：显然f（0）=0，对于极限是无穷小量，为有界变量，故由无穷小量的运算性质可知，因此f（x）在x=0处连续，排除A、B。又因为不存在，所以f（x）在x=0处不可导，故选C。3、已知函数y=y（x）在任意点x处的增量△y=+α，且当Ax→0时，α是△x的高阶无穷小，y（0）=π，则y（1）等于（）A、2—πB、πC、D、标准答案：D知识点解析：因为函数y=y（x）在任意点X处的增量△y==0，故由微分定义可知此为一阶可分离变量的微分方程，分离变量得两边积分，得ln|y|=arctanx+C1，即y=Ceaarctanx，由y（0）=π得C=π，于是y（x）=πearctanx。因此y（1）=πearctanx=故选D。4、设函数f（x）在（一∞，+∞）上有定义，则下述命题中正确的是（）A、若f（x）在（一∞，+∞）上可导且单调增加，则对一切∈（一∞，+∞），都有f’（x）＞0B、若f（x）在点x0处取得极值，则f’（x0）=0C、若f"（x0）=0，则（x0，f（x0））是曲线y=f（x）的拐点坐标D、若f’（x0）=0，f"（x0）=0，f"’（x0）≠0，则x0一定不是f（x）的极值点标准答案：D知识点解析：若在（一∞，+∞）上f’（x）＞0，则一定有f（x）在（一∞，+∞）上单调增加，但可导函数f（x）在（一∞，+∞）上单调增加，可能有f’（x）≥0。例如f（x）=x3在（一∞，+∞）上单调增加，f’（0）=0。故不选A。f（x）若在x0处取得极值，且f’（x0）存在，则有f’（x0）=0，但当f（x）在x0处取得极值，在x0处不可导，就得不到f’（x0）=0，例如f（x）=|x|在x0=0处取得极小值，它在x0=0处不可导，故不选B。如果f（x）在x0处二阶导数存在，且（x0，f（x0））是曲线的拐点坐标，则f"（x0）=0，反之不一定，例如f（x）=x4在x0=0处，f"（0）=0，但f（x）在（一∞，+∞）没有拐点，故不选C。由此选D。5、设某商品的需求函数为Q=160—2P，其中Q，P分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（）A、100B、200C、300D、400标准答案：D知识点解析：商品需求弹性的绝对值等于=1，因此得P=40，故选D。6、设f（x）=∫0x（ecost—e—cost）dt，则（）A、f（x）=f（x+2—π）B、f（x）＞f（x+2π）C、f（x）＜f（x+2π）D、当x＞0时，f（x）＞f（x+2π）；当x＜0时，f（x）＜f（x+2π）标准答案：A知识点解析：考查f（x+2π）—f（x）=∫xx+2π（ecost—e—cost）dt，被积函数以2π为周期且为偶函数，由周期函数的积分性质得f（x+2π）—f（x）=∫—ππ（ecost—e—cost）dt=2∫0π（ecost—e—cost）dt一2∫0π（ecosu—ecosu）du，因此，f（x+2π）—f（x）=0，故选A。7、已知f（x，y）=，则（）A、fx’（0，0），fy’（0，0）都存在B、fx’（0，0）不存在，fy’（0，0）存在C、fx’（0，0）不存在，fy’（0，0）不存在D、fx’（0，0），fy’（0，0）都不存在标准答案：B知识点解析：所以fy’（0，0）存在。故选B。8、A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：结合二重积分的定义可得9、f（rcosθ，rsinθ）rdr（a＞0），则积分域为（）A、x2+y2≤a2B、x2+y2≤a2（x≥0）C、x2+y2≤axD、x2+y2≤ax（y≥0）标准答案：C知识点解析：由r=acosθ知r2=arcosθ，即x2+y2=ax（a＞0），故选C。10、设常数λ＞0，且级数A、发散B、条件收敛C、绝对收敛D、敛散性与λ有关标准答案：C知识点解析：取an=显然满足题设条件。而此时于是由比较判别法知，级数绝对收敛，故选C。11、微分方程y"一λ2y=eλx+e—λx（λ＞0）的特解形式为（）A、a（eλx+e—λx）B、ax（eλx+e—λx）C、x（aeλx+be—λx）D、x2（aeλx+be—λx）标准答案：C知识点解析：原方程对应的齐次方程的特征方程为r2—λ2=0，其特征根为r1，2=+A，所以y"—λ2y=eλx的特解为y1*=axeλx，y"一λ2y=eλ2x的特解为y2=bxe—λx，根据叠加原理可知原方程的特解形式为y=y1*+y2*=x（aeλx+be—λx），因此选C。二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)12、标准答案：知识点解析：13、sin（x—t）2dt=________。标准答案：slnx2知识点解析：令x—t=u，则sinu2du=sinx2。14、设f（x）=则f（x）的极值为________，f（x）的拐点坐标为________。标准答案：0；知识点解析：对f（x）求导，并令f’（x）=．2x=0，得x=0，且当x＜0时，f’（x）＜0；当x＞0时，f’（x）＞0，所以极小值点为x=0，极小值为f（0）=0。15、已知∫f’（x3）dx=x3+C（C为任意常数），则f（x）=________。标准答案：+C，C为任意常数知识点解析：对等式∫f’（x3）dx=x3+C两边求导，得f’（x3）=3x2。令t=x3，则f’（t）=+C，C为任意常数。16、已知∫—∞+∞ek|x|dx=1，则k=________。标准答案：—2知识点解析：由已知条件，已知要求极限存在，所以k＜0．于是有1=0—，因此k=—2。17、设函数z=z（x，y）由方程z=e2x—3z+2y确定，则标准答案：2知识点解析：偏导数法。在z=e2x+3z+2y的两边分别对z，y求偏导，z为x，y的函数。18、设f（x，y）连续，且f（x，y）=x+，x=1，y=2所围成的区域，则f（x，y）=________。标准答案：知识点解析：19、幂级数的收敛域为_________。标准答案：[—1，1）知识点解析：因为=1，则收敛半径R=1。当x=—1时，原级数为收敛；当x=l时，原级数为发散。因此收敛域为[—1，1）。20、微分方程y"一y’+=0的通解为________。标准答案：y=（C1+C2x），C1，C2为任意常数知识点解析：二阶齐次微分方程的特征方程为λ2—λ+。因此齐次方程的通解为y=（C1+C2x），C1，C2为任意常数。三、解答题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)21、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析22、求方程karctanx—x=0不同实根的个数，其中k为参数。标准答案：令f（x）=karctanx—x，则f（0）=0，且当k＜1时，f’（x）＜0，f（x）在（一∞，+∞）单调递减，故此时f（x）的图象与x轴只有一个交点，也即方程karctanx—x=0只有一个实根。当k=1时，在（一∞，0）和（0，+∞）上都有f’（x）＜0，所以f（x）在（一∞，0）和（0，+∞）上是严格单调递减的，又f（0）=0，故f（x）的图象在（一∞，0）和（0，+∞）与x轴均无交点。综上所述，k≤1时，方程karctanx一x=0只有一个实根；k＞1时，方程karctanx一x=0有三个实根。知识点解析：暂无解析23、设函数f（x）在[0，+∞）上可导，f（a）=0且=2，证明：（Ⅰ）存在a＞0，使得f（a）=1；（Ⅱ）对（Ⅰ）中的a，存在ξ∈（0，a），使得f’（ξ）=标准答案：（Ⅰ）设F（x）=f（x）—1，x≥0。因为（0，+∞），使得F（a）=0，即f（A）=1。（Ⅱ）函数在[0，a]上连续，在（0，a）内可导，由拉格朗日中值定理，存在ξ∈（0，a）使得知识点解析：暂无解析24、标准答案：使用分部积分法和换元积分法。知识点解析：暂无解析25、设z=（x2一y2，exy），其中f具有连续二阶偏导数，求标准答案：因为由已知条件可得=2x[f11’．（—2y）+f12’．xexy]+exyf2’+xyexyf2’+yexy[f21"．（—2y）+f22"?xexy]=—4xyf11"+2（x2一y2）exyf12"+xye2xyf22"+exy（1+xy）f2’。知识点解析：暂无解析26、求二重积分max（xy，1）dxdy，其中D={（x，y）|0≤x≤2，0≤y≤2}。标准答案：曲线xy=1将区域分成两个区域D1和D2+D3（如图1—4—15）知识点解析：暂无解析27、求其中D是由圆x2+y2=4和（x+1）2+y2=1所围成的平面区域（如图1—4—2）。标准答案：令D1={（x，y）|x2+y2≤4}，D2={（x，y）|（x+1）2+y2≤1}，（如图1—4—21所示）知识点解析：暂无解析28、设f（x）在x=0的某邻域内连续且具有连续的导数，又设=A＞0，试讨论级数是条件收敛，绝对收敛，还是发散？标准答案：由=A，且在x=0处f（x）连续，有由于f（x）在x=0的某邻域内存在连续的导数，所以当x＞0且x足够小时f’（x）＞0，由拉格朗日中值定理，有知识点解析：暂无解析29、将函数f（x）=展开成x的幂级数。标准答案：知识点解析：暂无解析30、在xOy坐标平面上，连续曲线L过点M（1，0），其上任意点P（x，y）（x≠0）处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax（常数a＞0）。（Ⅰ）求L的方程；（Ⅱ）当L与直线y=ax所围成平面图形的面积为时，确定a的值。标准答案：（Ⅰ）设曲线L的方程为y=f（x），则由题设可得这是一阶线性微分方程，其中代入通解公式得=x（ax+C）=ax2+Cx，又f（1）=0，所以C=—a故曲线L的方程为y=ax2—ax（x≠0）（Ⅱ）L与直线y=ax（a＞0）所围成的平面图形如图1—5—1所示。所以D=∫02[ax一（ax2—ax）]dx=a∫0x（2x一x2）dx=故a=2。知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第4套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、曲线的渐近线有()．A、1条B、2条C、3条D、4条标准答案：B知识点解析：由为水平渐近线，显然该曲线没有斜渐近线，又因为x→1及x→一2时，函数值不趋于无穷大，故共有两条渐近线，应选B．2、函数f(x)=x3一3x+k只有一个零点，则k的范围为()．A、｜k｜＜1B、｜k｜＞1C、｜k｜＞2D、k＜2标准答案：C知识点解析：，令f’(x)=3x2一3=0，得x=±1，f"(x)=6x，由f"(一1)=一6＜0，得x=一1为函数的极大值点，极大值为f(—1)=2+k，由f"(1)=6＞0，得x=1为函数的极小值点，极小值为f(1)=一2+k，因为f(x)=x3一3x+k只有一个零点，所以2+k＜0或一2+k＞0，故｜k｜＞2，选C．3、设f(x)在x=0的邻域内有定义，f(0)=1，且，则f(x)在x=0处()．A、可导，且f’(0)=0B、可导，且f’(0)=一1．C、可导，且f’(0)=2D、不可导标准答案：B知识点解析：4、设，则在x=a处()．A、f(x)在x=a处可导且f’(a)≠0B、f(a)为f(x)的极大值C、f(a)不是f(x)的极值D、f(x)在x=a处不可导标准答案：B知识点解析：由，根据极限的保号性，存在δ＞0，当0＜｜x—a｜＜δ时，有＜0，从而有f(x)＜f(a)，于是f(a)为f(x)的极大值，选B．5、设函数f(x)在｜x｜＜δ内有定义且｜(x)｜≤x2，则f(x)在x=0处()．A、不连续B、连续但不可微C、可微且f’(0)=0D、可微但f’(0)≠0标准答案：C知识点解析：6、设f(x)=，其中g(x)为有界函数，则f(x)在x=0处()．A、极限不存在B、极限存在，但不连续C、连续，但不可导D、可导标准答案：D知识点解析：因为f’+(0)=f’—(0)=0，所以f(x)在x=0处可导，应选D．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)7、设y=x5+5x一tan(x2+1)，则y’=__________．标准答案：5x4+5xln5—2xsec2(x2+1)．知识点解析：y’=5x4+5xln5—2xsec2(x2+1)．8、y=，则y’=__________．标准答案：知识点解析：9、f(sinx)=cos2x+3x+2，则f’(x)=__________．标准答案：知识点解析：由f(sinx)=cos2x+3x+2，得f(sinx)=1—2sin2x+3x+2，f(x)—1—2x2+3arcsinx+2，f’(x)=一4x+．10、y=，则y’=__________．标准答案：知识点解析：11、xy=yx，则y’=__________．标准答案：知识点解析：由xy=yx，得ylnx=xlny，两边求导数得三、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)12、设f(x)=g(a+bx)一g(a—bx)，其中g’(a)存在，求f’(0)．标准答案：知识点解析：暂无解析13、设f(x)=｜x一a｜g(x)，其中g(x)连续，讨论f’(a)的存在性．标准答案：当g(a)=0时，由f’—(a)一f’+(a)=0得f(x)在x=a处可导且f’(a)=0；当g(a)≠0时，由f’—(a)≠f’+(a)得f(x)在x=a处不可导．知识点解析：暂无解析14、设，求y’．标准答案：知识点解析：暂无解析15、设，求y’．标准答案：知识点解析：暂无解析16、设，求y’．标准答案：知识点解析：暂无解析17、设，求y’．标准答案：知识点解析：暂无解析18、设f(x)=x(x一1)(x+2)(x一3)…(x+100)，求f’(0)．标准答案：由f’(x)=(x一1)(x+2)…(x+100)+x(x+2)…(x+100)+…x(x—1)…(x一99)得f’(0)=(一1)．2．(一3)．…．100=1001．知识点解析：暂无解析19、设y=ln(2+x—x)，求dy｜x=0．标准答案：知识点解析：暂无解析20、设y=y(x)由方程ey+6xy+x2一1=0确定，求y"(0)．标准答案：将x=0代入得y=0，将x=0，y=0，y’(0)=0代入得y"(0)=一2．知识点解析：暂无解析21、由方程sinxy+ln(y—x)=x确定函数y=y(x)，求．标准答案：将x=0代入sinxy+ln(y—x)=x得y=1，sinxy+ln(y—x)=x两边对x求导得，将x=0，y=1代入得．知识点解析：暂无解析22、求。标准答案：知识点解析：暂无解析23、设y=x2lnx，求y(n)．标准答案：y(n)=Cn0x2(lnx)(n)+Cn12x．(lnx)(n—1)+Cn22.(lnx)n—2知识点解析：暂无解析24、设f(x)=，求f(n)(x)。标准答案：知识点解析：暂无解析25、设f(x)，求f"(x)。标准答案：知识点解析：暂无解析26、设f(x)连续，且对任意的x，y∈(一∞，+∞)有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，f’(0)=1，求f(x)．标准答案：当x=y=0时，f(0)=2f(0)，于是f(0)=0．对任意的x∈(—∞，+∞)，则f(x)=x2+x+C，因为f(0)=0，所以C=0，故f(x)=x+x2．知识点解析：暂无解析27、设f(x)=讨论函数f(x)在x=0处的可导性．标准答案：因为0≤｜f(x)｜==0=f(0)，故f(x)在x=0处连续．因为f’—(0)≠f’+(0)，所以f(x)在x=0处不可导．知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第5套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、函数f(x)一ln|x一1|的导数是()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：应当把绝对值函数写成分段函数，即得(B)．2、函数y=xx在区间上()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：y’=xx(lnx+1)，令y’=0，得x=，y’＞0，函数单调增加，故选(D)．3、设函数f(x)在x=0处连续，且=1，则()A、f(0)=0且f’-(0)存在B、f(0)=1且f’-(0)存在C、f(0)=0且f’+(0)存在D、f(0)=1且f’+(0)存在标准答案：C知识点解析：因为f(x)在x=0处连续，4、设函数f(x)与g(x)在(a，b)上可导，考虑下列叙述：(1)若f(x)＞g(x)，则f’(x)＞g’(x)；(2)若f’(x)＞g’(x)，则f(x)＞g(x)．则()A、(1)，(2)都正确B、(1)，(2)都不正确C、(1)正确，但(2)不正确D、(2)正确，但(1)不正确标准答案：B知识点解析：考虑f(x)=e-x与g(x)=e-x，显然f(x)＞g(x)，但f’(x)=-e-x，g’(x)=e-x，f’(x)＜g’(x)，(1)不正确。将f(x)与g(x)交换可说明(2)不正确．5、设其中f(x)在x=0处可导，f’(0)≠0，f(0)=0，则x=0是F(x)的()A、连续点B、第一类间断点C、第二类间断点D、连续点或间断点不能由此确定标准答案：B知识点解析：6、设f(x)有连续的导数，f(0)=0，f’(0)≠0，F(x)=[(x2一t2)f(t)dt，且当x→0时，F’(x)与xk是同阶无穷小，则k等于()A、1B、2C、3D、4标准答案：C知识点解析：用洛必达法则，所以k=3，选(C)。其中洛必达法则的使用逻辑是“右推左”，即右边存在(或为无穷大)，则左边存在(或为无穷大)，本题逻辑上好像是在“左推右”，事实上不是，因为存在，即最右边的结果存在，所以洛必达法则成立．7、曲线的渐近线有()A、1条B、2条C、3条D、4条标准答案：B知识点解析：曲线y=f(x)无斜渐近线．8、在区间[0，8]内，对函数f(x)=，罗尔定理()A、不成立B、成立，并且f’(2)=0C、成立，并且f’(4)=0D、成立，并且f’(8)=0标准答案：C知识点解析：因为f(x)在[0，8]上连续，在(0，8)内可导，且f(x)=f(8)，故f(x)在[0，8]上满足罗尔定理条件．得f’(4)=0，即定理中ξ可以取为4．二、填空题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)9、设曲线y=ax3+bx2+cx+d经过(一2，44)，x=-2为驻点，(1，一10)为拐点，则a，b，c，d分别为________．标准答案：1，一3，一24，16知识点解析：解方程可得a=1，b=-，C=一24，d=16．10、p(x)为二次三项式，要使得ex=p(x)+o(x2)(x→0)，则p(x)=________．标准答案：知识点解析：设p(x)=ax2+bx+c，由题意知，当x→0时，ex一p(x)=0(x2)，于是p(x)=+x+1．11、设函数y=y(x)由方程ex+y+cosxy=0确定，则=________．标准答案：知识点解析：方程两边同时对x求导，可得12、y=sin4x+cos4x，则y(n)=________(n≥1)．标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共21题，每题1.0分，共21分。)13、求函数的导数．标准答案：知识点解析：暂无解析14、设曲线f(x)=xn在点(1，1)处的切线与x轴的交点为(xn，0)，计算标准答案：由导数几何意义，曲线f(x)=xn在点(1，1)处的切线斜率k=f’(1)=nxn-1|x=1=n，所以切线方程为y=1+n(x一1)，令y=1+n(x一1)=0解得xn=1-，因此知识点解析：暂无解析15、讨论方程axex+b=0(a＞0)实根的情况．标准答案：令f(x)=axex+b，因为=+∞，求函数f(x)=axex+b的极值，并讨论极值的符号及参数b的值．f’(x)=aex+axex=aex(1+x)，驻点为x=-1，f(x)=2aex+axex=aex(2+x)，f"(一1)＞0，所以，x=-1是函数的极小值点，极小值为(1)当(＞0)时，函数f(x)无零点，即方程无实根；(2)当(＞0)时，函数f(x)有一个零点，即方程有一个实根；(3)当0＜b＜时，函数f(x)有两个不同的零点，即方程有两个不同的实根；(4)当b≤0时，函数f(x)有一个零点，即方程有一个实根．知识点解析：暂无解析16、设0＜k＜1，f(x)=kx—arctanx．证明：f(x)在(0，+∞)中有唯一的零点，即存在唯一的x0∈(0，+∞)，使f(x1)=0．标准答案：知识点解析：暂无解析17、已知标准答案：知识点解析：暂无解析18、设y=(a＞0，b＞0)，求y’．标准答案：两边取对数知识点解析：暂无解析19、设y=exsinx，求y(n)．标准答案：y’=exsinx+cosx.ex=归纳可得：y(n)=知识点解析：暂无解析20、防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图1．2—1)，截面的面积为5平方米，问底宽x为多少时才能使建造时所用的材料最省?标准答案：设截面周长为S，矩形高为y，则故唯一极值可疑点为由问题的实际意义知，截面周长必有最小值，并且就在此驻点处取得，因此当底宽为2．367米时，截面的周长最小，因而所用材料最省．知识点解析：暂无解析21、设f(x)可导，证明：f(x)的两个零点之间一定有f(x)+f’(x)的零点．标准答案：构造辅助函数F(x)=f(x)ex，由于f(x)可导，故F(x)可导，设x1和x2为f(x)的两个零点，且x1＜x2，则F(x)在[x1，x2]上满足罗尔定理条件，由罗尔定理，至少存在一点ξ∈(x1，x2)，使得F’(ξ)=0，即f’(ξ)eξ+f(ξ)eξ=eξ[f’(ξ)+f(ξ)]=0．由于eξ≠0，因此必有f’(ξ)+f(ξ)=0．知识点解析：f(x)的两个零点x1，x2(不妨设x1＜x2)之间有f(x)+f’(x)的零点问题，相当于在(x1，x2)内有f(x)+f’(x)=0的点存在的问题．若能构造一个函数F(x)，使F’(x)=[f(x)+f’(x)]φ(x)，而φ(x)≠0，则问题可以得到解决．由(ex)’=ex可以得到启发，令F(x)=f(x)ex．22、设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)上可导且f(A)≠f(b)．证明：存在η，ξ∈(a，b)，使得标准答案：由拉格朗日中值定理知f(b)一f(A)=f’(η)(b一a)，又由柯西中值定理知知识点解析：暂无解析设f(x)为[a，b]上的函数且满足，x1，x2∈[a，b]，则称f(x)为[a，b]上的凹函数，证明：23、若f(x)在[a，b]上二阶可微，且f"(x)＞0，则f(x)为[a，b]上的凹函数；标准答案：由于x，x0∈[a，b]，有f(x)=f(x0)+f’(x0)(x—x0)+(ξ(x))(x—x0)2＞f(x0)+f’(x0)(x一x0)，在上式中分别取x=x1，x=x2，x0=，得到上述两式相加即得证．知识点解析：暂无解析24、若f(x)为[a，b]上的有界凹函数，则下列结论成立：①∈[0，1]，f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)，x1，x2∈[a，b]；④f(x)为(a，b)上的连续函数．标准答案：先证(i)．由(1)有f(x)≥f(x0)+f’(x0)(x—x0)，分别取x—x1，x=x2，x0一λx1+(1一λ)x2，得到f(x1)≥f(x0)+(1一λ)f’(x0)(x1一x2)，①f(x2)≥f(x0)+λf’(x0)(x2一x1)．②λ×①+(1一λ)×②得λf(x1)+(1—λ)f(x2)≥f(x0)一f(λx1+(1一λ)x2)．得证．(i)可写成由归纳法即可得证(iii)，这里略去．(iii)中令λi=，i=1，…，n，即得证(ii)．再证(iv)．∈[a，b]，设G为|f(x)|的上界，取绝对值充分小的δ，m＜n，使得x1=x2=…=xm=x+nδ，xm+1=…=xn=x．由(ii)知令δ→0，则n→∞，故有f(x+δ)一f(x)→0，从而证明了f(x)的连续性．知识点解析：暂无解析25、求函数f(x)一nx(1一x)n在[0，1]上的最大值M(n)及limM(n)．标准答案：容易求得f’(x)=n[1一(n+1)x](1一x)n-1，f"(x)=n2[(n+1)x一2](1一x)n-2．知识点解析：暂无解析26、设=1，且f"(x)＞0．证明：f(x)＞x．标准答案：得f(0)=0，f’(0)=1．因f(x)二阶可导，故f(x)在x=0处的一阶泰勒公式成立，因f“(x)＞0，故f(x)＞x，原命题得证．知识点解析：暂无解析27、设f(x)在(a，b)内可导，满足(1)(2)f’(x)+f2(x)+1≥0，∈(a，b)．求证：b—a≥π．标准答案：＜x2∈(a，b)，对函数arctanf(x)在[x1，x2]上用拉格朗日中值定理，便知∈(x1，x2)，使得知识点解析：暂无解析28、利用导数证明：当x＞1时，标准答案：设f(x)=(1+x)ln(1+x)一xlnx，有f(1)=2ln2＞0．由＞0(x＞0)知，f(x)单调递增，且当x＞1时，f(x)＞f(1)=2ln2＞0，lnx＞0，从而得，其中x＞1．知识点解析：暂无解析设x∈(0，1)，证明下面不等式：29、(1+x)ln2(1+x)＜x2；标准答案：令φ(x)=x2一(1+x)ln2(1+x)，有φ(0)=0，且φ’(x)=2x—ln2(1+x)一2ln(1+x)，φ’(0)=0．当x∈(0，1)时，知φ’(x)单调递增，从而φ’(x)＞φ’(0)=0，知φ(x)单调递增，则φ(x)＞φ(0)=0，即(1+x)ln2(1+x)＜x2．知识点解析：暂无解析30、标准答案：令由(1)得，当x∈(0，1)时f’(x)＜0，知f(x)单调递减，从而f(x)＞f(1)=又因为当x∈(0，1)时，f’(x)＜0，知f(x)单调递减，且f(x)＜f(0+)=所以知识点解析：暂无解析31、求使不等式对所有的自然数n都成立的最大的数α和最小的数β．标准答案：已知不等式等价于令g(x)=(1+x)ln2(1+x)一x2，x∈[0，1]，则g(0)=0，且g’(x)=ln2(1+x)+2ln(1+x)一2x，g’(0)=0，故g’(x)在[0，1]上严格单调递减，所以g’(x)＜g’(0)=0．同理，g(x)在[0，1]上也严格单调递减，故g(x)＜g(0)=0，即(1+x)ln2(1+x)一x2＜0，从而f’(x)＜0(0＜x≤1)，因此f(x)在(0，1]上也严格单调递减．令x=，α≤f(x)≤β，有故使不等式对所有的自然数n都成立的最大的数知识点解析：暂无解析32、证明：当0＜a＜b＜π时，bsinb+2cosb+nb＞asina+2cosa+πa．标准答案：令F(x)=xsinz+2cosx+πx，只需证明F(x)在(0，π)上单调递增．F’(x)=sinx+xcosx一2sinx+π=π+xcosx—sinx，由此式很难确定F’(x)在(0，π)上的符号，为此有F"(x)=-xsinx＜0，x∈(0，π)，即函数F’(x)在(0，π)上单调递减，又F’(π)=0，所以F(x)＞0，x∈(0，π)，于是F(6)＞F(a)，即bsinb+2cosb+πb＞asina+2cosa+πa．知识点解析：暂无解析33、某集邮爱好者有一个珍品邮票，如果现在(t=0)就出售，总收入为R0元，如果收藏起来待来日出售，t年末总收入为R(t)=R0eξ(t)，其中ξ(t)为随机变量，服从正态分布，假定银行年利率为r，并且以连续复利计息，试求收藏多少年后，再出售可使得总收入的期望现值最大，并求r=0．06时，t的值．标准答案：由连续复利公式，t年末售出总收入R的现值为：A(t)=R.e-rt．于是A(t)=R0eξ(t)e-rt=R0eξ(t)-rt，知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第6套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、设f(x)=｜x3一1｜g(x)，其中g(x)连续，则g(1)=0是f(x)在x=1处可导的()．A、充分条件B、必要条件C、充分必要条件D、非充分非必要条件标准答案：C知识点解析：设g(1)=0，，，因为f’一(1)=f’+(1)=0，所以f(x)在x=1处可导．设f(x)在x=1处可导，，因为f’—(1)=f’+(1)=0，所以g(1)=0，故g(1)=0为f(x)在x=1处可导，应选C．2、设f(x)连续，且F(x)=，则F’(x)=()．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：3、当x∈[0，1]时，f"(x)＞0，则f’(0)，f’(1)，f(1)一f(0)的大小次序为()．A、f’(0)＞f(1)一f(0)＞f’(1)B、f’(0)＜f’(1)＜f(1)一f(0)C、f’(0)＞f’(1)＞f(1)一f(0)D、f’(0)＜f(1)一f(0)＜f’(1)标准答案：D知识点解析：由拉格朗日中值定理得f(1)一f(0)=f’(c)(0＜c＜1)，因为f"(x)＞0，所以f’(x)单调增加，故f’(0)＜f’(c)＜f’(1)，即f’(0)＜f(1)一f(0)＜f’(1)，应选D．4、设f(x)在[0，+∞)上连续，在(0，+∞)内可导，则()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：5、设f(x)，g(x)(a＜x＜b)为大于零的可导函数，且f’(x)g(x)一f(x)g’(x)＜0，则当a＜x＜b时，有()．A、f(x)g(b)＞f(b)g(x)B、f(x)g(a)＞f(a)g(x)C、f(x)g(x)＞f(b)g(b)D、f(x)g(x)＞f(a)g(a)标准答案：B知识点解析：6、设f(x)在x=0的某邻域内连续，若，则f(x)在x=0处()．A、不可导B、可导但f’(0)≠0C、取极大值D、取极小值标准答案：D知识点解析：由得f(0)=0，由极限保号性，存在δ＞0，当0＜｜x｜＜δ时，，从而f(x)＞0=f(0)，由极值的定义得f(0)的极小值，应选D．7、设f(x)连续，且f’(0)＞0，则存在δ＞0，使得()．A、f(x)在(0，δ)内单调增加B、f(x)在(一δ，0)内单调减少C、对任意的x∈(一δ，0)，有f(x)>f(0)D、对任意的x∈(0，δ)，有f(x)>f(0)标准答案：D知识点解析：因为f’(0)=＞0，所以由极限的保号性，存在δ＞0，当0＜｜x｜＜δ时，＞0，当x∈(一δ，0)时，f(x)＜f(0)；当x∈(0，δ)时，f(x)＞f(0)，应选D．二、填空题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)8、设，其中f连续，则φ”(x)=__________标准答案：知识点解析：9、设f(x)连续，则=________标准答案：f(x)知识点解析：10、曲线y=的斜渐近线为__________．标准答案：y=x+3知识点解析：则斜渐近线为y=x+3．11、曲线y=x+的斜渐近线为__________．标准答案：y=x知识点解析：由的斜渐近线为y=x．三、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)12、证明：当x＞1时，标准答案：令f(x)=(1+x)ln(1+x)一xlnx，f(1)=21n2＞0，因为f’(x)=ln(1+x)+1一lnx一1=ln(1+)＞0(x＞1)，所以f(x)在[1，+∞)上单调增加，再由f(1)=2ln2＞0得当x＞1时，f(x)＞0，．知识点解析：当x＞1时，，等价于(1+x)ln(1+z)一xlnx＞0．13、证明：当x＞0时，arctanx+。标准答案：知识点解析：暂无解析14、证明：当0＜x＜1，证明：标准答案：知识点解析：15、当标准答案：令f(x)=x—sinx，f(0)=0，知识点解析：暂无解析16、设f(x)在[0，1]上连续，且f(x)＜1，证明：2x—f(t)dt=1在(0，1)有且仅有一个根．标准答案：令φ(x)=，因为f(x)＜1，所以f(t)dt＜1，从而φ(0)φ(1)＜0，由零点定理，存在c∈(0，1)，使得φ(c)=0．因为φ’(x)=2一f(x)＞0，所以φ(x)在[0，1]上单调增加，故方程2x—f(t)dt=1有且仅有一个根．知识点解析：暂无解析17、求曲线y=的上凸区间．标准答案：知识点解析：暂无解析18、求曲线的斜渐近线．标准答案：知识点解析：暂无解析19、求的渐近线．标准答案：得y=x+3为斜渐近线．知识点解析：暂无解析20、证明．当x＞0时，标准答案：令φ(t)=ln(x+y)，由拉格朗日中值定理得知识点解析：暂无解析21、设0＜a＜1，证明：方程arctanx=ax在(0，+∞)内有且仅有一个实根．标准答案：知识点解析：暂无解析22、设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f(b)—f(a)=．标准答案：令F(x)=lnx，F’(x)=≠0，知识点解析：暂无解析23、设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(6)=0，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)+f(ξ)g’(ξ)=0．标准答案：令φ(x)=f(x)eg(x)，由f(a)=f(b)=0得φ(a)=φ(b)=0，则存在ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0，因为φ’(x)=eg(x)[f’(x)+f(x)g’(x)]且eg(x)≠0，所以f’(ξ)+f(ξ)g’(ξ)=0．知识点解析：暂无解析24、设f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内二阶可导，且2f(0)=∫02f(t)dt=f(2)+f(3)．证明：(1)ξ1，ξ2∈(0，3)，使得f’(ξ1)=f’(ξ2)=0．(2)存在ξ∈(0，3)，使得f"(ξ)一2f’(ξ)=0．标准答案：(1)令F(x)=∫0xf(t)dt，F’(x)=f(x)，∫02f(t)dt=F(2)一F(0)=F’(c)(2一0)一2f(c)，其中0＜c＜2．因为f(x)在[2，3]上连续，所以f(x)在[2，3]上取到最小值m和最大值M，由介值定理，存在x0∈[2，3]，使得f(x0)=，即f(2)+f(3)=2f(x0)，于是f(0)=f(c)=f(x0)，由罗尔定理，存在，使得f’(ξ1)=f’(ξ2)=0．(2)令φ(x)=e—2xf’(x)，φ(ξ1)=φ(ξ2)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(ξ，ξ)(0，3)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=e—2x[f"(x)一2f’(x)]且e—2x≠0，故f"(ξ)一2f’(ξ)=0．知识点解析：暂无解析25、设f(x)在[1，2]上连续，在(1，2)内可导，且f(x)≠0(1＜x＜2)，又存在，证明：(1)存在ξ∈(1，2)，使得.(2)存在7E(1，2)，使得∫18f(t)dt=ξ(ξ一1)f’(η)ln2．标准答案：(1)令h(x)=lnx，F(x)=∫1xf(t)dt，且F’(x)=f(x)≠0，由柯西中值定理，存在ξ∈(1，2)，使得．(2)由得f(1)=0，由拉格朗日中值定理得f(ξ)=f(ξ)一f(1)=f’(η)(ξ一1)，其中1＜η＜ξ，故∫12f(t)dt=ο(ξ一1)f’(η)ln2．知识点解析：暂无解析26、设f(x)在[a，b]上二阶可导且f"(x)＞0，证明：f(x)在(a，b)内为凹函数．标准答案：对任意的x1，x2∈(a，b)且x1≠x2，取x0=，由泰勒公式得f(x)=f(x0)+f’(x0)(x—x0)+(x—x0)2，其中ξ介于x0与x之间．因为f"(x)>0，所以f(x)≥f(x0)+f’(x0)(x—x0)，“=”成立当且仅当“x=x0”，由凹函数的定义，f(x)在(a，b)内为凹函数．知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第7套一、选择题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)1、设x→0时，（1+sinx）x—1是比xtanxn低阶的无穷小，而xtanxn是比l）ln（1+x2）低阶的无穷小，则正整数n等于（）A、1B、2C、3D、4标准答案：B知识点解析：当x→0时，（1+sinx）x—1～ln[（1+sinx）x—1+1]=xln（1+sinx）～xsmx～x2，ln（1+x2）—sln2x而xtanxn～x．x=xn+1。因此2＜n+1＜4，则正整数n=2，故选B。2、设f（x）在x=0的某邻域内连续，在x=0处可导，且f（0）=0。则φ（x）在x=0处（）A、不连续B、连续但不可导C、可导但φ’（x）在x=0不连续D、可导且φ’（x）在x=0连续标准答案：D知识点解析：因为因此φ’（x）在x=0连续。故选D。3、设y=f（x）在（a，b）可微，则下列结论中正确的个数是（）①x0∈（a，b），若f’（x0）≠0，则Ax→0时dy|x=x0与△x是同阶无穷小。②df（x）只与x∈（a，b）有关。③△y=f（x+Ax）—f（x），则dy≠△y。④△x→时，dy—△y是△x的高阶无穷小。A、1B、2C、3D、4标准答案：B知识点解析：逐一分析。①正确。因为=f’（x0）≠0，因此△x→0时dy|x=x0与△x是同阶无穷小。②错误。df（x）=f’（x）△x，df（x）与x∈（a，b）及△x有关。③错误。当），=f（x）为一次函数，f（x）=ax+b，则dy=a△x=△y。④正确。由可微概念知f（x+△x）—f（x）=f’（x）△x+o（△x）（△x→0），即△y—dy=o（△x）（△x→0）。故选B。4、设f（x）=xsmx+cosx，下列命题中正确的是（）A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：f’（x）=slnx+xcosx—slnx=xcosx，因此又f"（x）=cosx—xsinx，且故f（0）是极小值，是极大值。应选B。5、曲线y=1—x+A、既有垂直又有水平与斜渐近线B、仅有垂直渐近线C、只有垂直与水平渐近线D、只有垂直与斜渐近线标准答案：A知识点解析：函数y的定义域为（一∞，一3）∪（0，+∞），且只有间断点x=—3，又6、设F（x）=∫xx+2πesintdt，则F（x）（）A、为正常数B、为负常数C、恒为零D、不为常数标准答案：A知识点解析：由于被积函数以2π为周期，所以F（x）=F（0），而F（0）=∫02πesintsintdt=—∫02πesintdcost=—esintcost|02π+∫02πesintcos2tdt=∫02πesintcos2tdt＞0故选A。7、设f（x，y）=则f（x，y）在点（0，0）处（）A、两个偏导数都不存在B、两个偏导数存在但不可微C、偏导数连续D、可微但偏导数不连续标准答案：B知识点解析：由偏导数定义，有故f（x，y）在（0，0）点不可微。应选B。8、设f（x，y）与φ（x，y）均为可微函数，且φy’（x，y）≠0。已知（x0，y0）是f（x，y）在约束条件φ（x，y）=0下的一个极值点，下列选项正确的是（）A、若fx’（x0，y0）=0，则fy’（x0，y0）=0B、若fx’（x0，y0）=0，则fy’（x0，y0）≠0C、若fx’（x0，y0）≠0，则fy’（x0，y0）=0D、若fx’（x0，y0）≠0，则fy’（x0，y0）≠0标准答案：D知识点解析：令F=f（x，y）+λφ（x，y），若fx’（x0，y0）=0，由（1）得λ=0或φx’（x0，y0）=0。当λ=0时，由（2）得fy’（x0，y0）=0，但λ≠0时，由（2）及φ（x0，y0）≠0得fy’（x0，y0）≠0。因而A、B错误。若fx’（x0，y0）≠0，由（1），则λ≠0，再由（2）及φy’（x0，y0）≠0，则fy’（x0，y0）≠0。9、累次积分∫0cosθf（rcosθ，rsinθ）rdr可以写成（）A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由累次积分可知，积分区域D为由r=cosθ为圆心在x轴上，直径为1的圆可作出D的图形如图1—4—6所示。该圆的直角坐标方程为+y2=。故用直角坐标表示区域D为可见A、B、C均不正确，故选D。10、级数（a＞0，β＞0）的敛散性（）A、仅与β取值有关B、仅与α取值有关C、与α和β的取值都有关D、与α和β的取值都无关标准答案：C知识点解析：由于（1）当0＜β＜1时，级数发散。（2）当β＞1时，级数收敛。（3）当β=1时，原级数为当α＞1时收敛，当α≤1时发散，故选C。11、微分方程y"+y=x2+1+sinx的特解形式可设为（）A、y*=ax2+bx+c+x（Asinx十Bcosx）B、y*=x（ax2+bx+c+Asinx+Bcosx）C、y*=ax2+bx+c+AsinxD、y*=ax2+bx+c+Acosx标准答案：A知识点解析：对应齐次方程y"+y=0的特征方程为λ2+1=0．特征根为λ=±i，对于方程y"+y=x2+1=e0（x2+1），0不是特征根，从而其特解形式可设为y1*=ax2+bx+c，对于方程y"+y=sinx，i为特征根，从而其特解形式可设为y2*=x（Asinx+Bcosx），因此y"+y=x2+1+sinx的特解形式