人教版高中数学必修第二册 课时作业(一) 【含解析】

数学必修第二册课时作业(一)【原卷版】1．给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤路程；⑥功；⑦加速度．其中是向量的有()A．4个 B．5个C．6个 D．7个2．【多选题】下列结论正确的是()A．若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－bB．非零向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反C．起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量D．与非零向量a平行的单位向量有1个3．设O是△ABC的外心，则eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(BO,\s\up6(→))，eq\o(CO,\s\up6(→))是()A．相等向量 B．模相等的向量C．平行向量 D．起点相同的向量4．【多选题】如图，O是正方形ABCD的中心，则下列结论正确的是()A.eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→)) B.eq\o(AO,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))共线 D.eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(BO,\s\up6(→))5．在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则()A.eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))共线 B.eq\o(DE,\s\up6(→))与eq\o(CB,\s\up6(→))共线C.eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(AE,\s\up6(→))相等 D.eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(BD,\s\up6(→))相等6．四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，则四边形ABCD为()A．平行四边形 B．矩形C．梯形 D．菱形7．在坐标平面上，把所有单位向量的起点平移到坐标系的原点，则它们的终点所构成的图形是________．8．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝________．9．某人向正东方向行进100m后，再向正南方向行进100eq\r(3)m，则此人位移的方向是________．10.如图，若四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形，则：(1)图中与eq\o(AB,\s\up6(→))共线的向量有________________________________________________________________；(2)图中与eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量有________；(3)图中与eq\o(AB,\s\up6(→))的模相等的向量有_______________________________________；(4)图中与eq\o(EC,\s\up6(→))相等的向量有________．11.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，则以A，B，C，D，E，F这六个点中任意两点分别作为起点和终点的所有向量中，与向量eq\o(EF,\s\up6(→))方向相反的向量是________．12．若A地位于B地正西方向5km处，C地位于A地正北方向5km处，则C地相对于B地的位移是________．13．一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2km到达D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6km到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2km才到达B地．(1)在图中画出向量eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))；(2)描述B地相对于A地的位置．14．如图，在四边形ABCD中，已知M，N分别是BC，AD的中点，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，求证：CN綉MA.15．中国象棋中规定：马走“日”字．下图是中国象棋的半个棋盘，若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量eq\o(AA1,\s\up6(→))或eq\o(AA2,\s\up6(→))表示马走了“一步”．试在图中画出马在B，C处走了“一步”的所有情况．1．O是△ABC内一点，若|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|，则O是△ABC的()A．重心 B．内心C．外心 D．垂心2．【多选题】下列命题中是真命题的是()A．向量eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))(eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))为非零向量)就是eq\o(AB,\s\up6(→))所在的直线平行于eq\o(CD,\s\up6(→))所在的直线B．零向量与任一向量平行C．相等向量一定是平行向量D．平行向量一定是相等向量3.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，O是两条对角线的交点，设点集M＝{A，B，C，D，O}，向量集合T＝{eq\o(PQ,\s\up6(→))|P∈M，Q∈M，且P，Q不重合}，求集合T中元素的个数．4．对于下列各种情况，各向量的终点的集合分别是什么图形？(1)把所有单位向量的起点平行移动到同一点P；(2)把平行于直线l的所有向量的起点平移到直线l上的点P；(3)把平行于直线l的所有单位向量的起点平移到直线l上的点P.5．民间流传的一种智力玩具七巧板是将一块正方形切割为五个等腰直角三角形和一个正方形、一个平行四边形，如图所示．试写出图中与eq\o(FE,\s\up6(→))模相等的向量．6．指出下图中的平行向量和相等向量．7.如图所示，在四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，N，M是AD，BC上的点，且eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→)).(1)求证：eq\o(DN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))；(2)试写出图中与向量eq\o(DN,\s\up6(→))共线的向量．数学必修第二册课时作业(一)【解析版】1．给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤路程；⑥功；⑦加速度．其中是向量的有()A．4个 B．5个C．6个 D．7个答案A解析速度、位移、力、加速度这4个物理量是向量，它们都有大小和方向．2．【多选题】下列结论正确的是()A．若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－bB．非零向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反C．起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量D．与非零向量a平行的单位向量有1个答案BC解析A中两个向量未必共线；D中与非零向量a平行的单位向量有2个．3．设O是△ABC的外心，则eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(BO,\s\up6(→))，eq\o(CO,\s\up6(→))是()A．相等向量 B．模相等的向量C．平行向量 D．起点相同的向量答案B4．【多选题】如图，O是正方形ABCD的中心，则下列结论正确的是()A.eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→)) B.eq\o(AO,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))共线 D.eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(BO,\s\up6(→))答案ABC解析根据正方形的特征，结合相等向量，平行向量作出判断，只有D是错误的，eq\o(AO,\s\up6(→))与eq\o(BO,\s\up6(→))只是模相等，由于方向不相同，所以不是相等向量．5．在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则()A.eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))共线 B.eq\o(DE,\s\up6(→))与eq\o(CB,\s\up6(→))共线C.eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(AE,\s\up6(→))相等 D.eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(BD,\s\up6(→))相等答案B解析如图，因为D，E分别是AB，AC的中点，所以由三角形的中位线定理可得DE∥BC.所以eq\o(DE,\s\up6(→))与eq\o(CB,\s\up6(→))共线．6．四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，则四边形ABCD为()A．平行四边形 B．矩形C．梯形 D．菱形答案C解析∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，∴AB∥DC且AB≠DC.∴四边形ABCD为梯形．7．在坐标平面上，把所有单位向量的起点平移到坐标系的原点，则它们的终点所构成的图形是________．答案单位圆8．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝________．答案2eq\r(3)解析由题意知AC⊥BD，且∠ABD＝30°，设AC，BD交点为O，在Rt△ABO中，|eq\o(BO,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·cos30°＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，∴|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝2|eq\o(BO,\s\up6(→))|＝2eq\r(3).9．某人向正东方向行进100m后，再向正南方向行进100eq\r(3)m，则此人位移的方向是________．答案南偏东30°解析如图所示，此人从点A出发，经点B，到达点C，则tan∠BAC＝eq\f(BC,BA)＝eq\f(100\r(3),100)＝eq\r(3)，∵∠BAC是三角形的内角，∴∠BAC＝60°，即位移的方向是南偏东30°.10.如图，若四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形，则：(1)图中与eq\o(AB,\s\up6(→))共线的向量有________________________________________________________________；(2)图中与eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量有________；(3)图中与eq\o(AB,\s\up6(→))的模相等的向量有_______________________________________；(4)图中与eq\o(EC,\s\up6(→))相等的向量有________．答案(1)eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(EB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(EA,\s\up6(→))(2)eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))(3)eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(EB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))(4)eq\o(BD,\s\up6(→))11.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，则以A，B，C，D，E，F这六个点中任意两点分别作为起点和终点的所有向量中，与向量eq\o(EF,\s\up6(→))方向相反的向量是________．答案eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(FE,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))解析由平行四边形的性质，可知AB綉EF綉DC.则与向量eq\o(EF,\s\up6(→))方向相反的向量有eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(FE,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→)).12．若A地位于B地正西方向5km处，C地位于A地正北方向5km处，则C地相对于B地的位移是________．答案西北方向5eq\r(2)km解析根据题意画出图形如图所示，由图可知|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝5eq\r(2)km，且∠ABC＝45°，故C地相对于B地的位移是西北方向5eq\r(2)km.13．一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2km到达D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6km到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2km才到达B地．(1)在图中画出向量eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))；(2)描述B地相对于A地的位置．解析(1)作向量eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))如图所示．(2)由题意知eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，所以四边形ABCD为平行四边形，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，所以B地相对于A地的位置为“北偏东60°，相距6km”．14．如图，在四边形ABCD中，已知M，N分别是BC，AD的中点，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，求证：CN綉MA.证明因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，所以AB＝DC，且AB∥DC.所以四边形ABCD是平行四边形．所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→)).又因为M，N分别是BC，AD的中点，所以AN＝MC，且AN∥MC.所以四边形AMCN是平行四边形．所以CN綉MA.15．中国象棋中规定：马走“日”字．下图是中国象棋的半个棋盘，若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量eq\o(AA1,\s\up6(→))或eq\o(AA2,\s\up6(→))表示马走了“一步”．试在图中画出马在B，C处走了“一步”的所有情况．解析根据规则，作出符合要求的所有向量，如图．1．O是△ABC内一点，若|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|，则O是△ABC的()A．重心 B．内心C．外心 D．垂心答案C解析由条件知点O到△ABC三个顶点的距离相等，所以O是△ABC的外心．2．【多选题】下列命题中是真命题的是()A．向量eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))(eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))为非零向量)就是eq\o(AB,\s\up6(→))所在的直线平行于eq\o(CD,\s\up6(→))所在的直线B．零向量与任一向量平行C．相等向量一定是平行向量D．平行向量一定是相等向量答案BC解析向量eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))包含eq\o(AB,\s\up6(→))所在的直线与eq\o(CD,\s\up6(→))所在的直线平行和重合两种情况，故A是假命题；零向量的方向是任意的，因此与任一向量平行，故B是真命题；相等向量的方向相同，因此相等向量一定是平行向量，故C是真命题；平行向量的长度不一定相同，即使长度相同，方向也有可能相反，因此平行向量不一定是相等向量，故D是假命题．3.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，O是两条对角线的交点，设点集M＝{A，B，C，D，O}，向量集合T＝{eq\o(PQ,\s\up6(→))|P∈M，Q∈M，且P，Q不重合}，求集合T中元素的个数．解析从模和方向两个角度考虑，以下向量是互不相等的向量：eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(BO,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(DB,\s\up6(→))，其他向量都与它们中的某一个相等，故集合T中有12个元素．4．对于下列各种情况，各向量的终点的集合分别是什么图形？(1)把所有单位向量的起点平行移动到同一点P；(2)把平行于直线l的所有向量的起点平移到直线l上的点P；(3)把平行于直线l的所有单位向量的起点平移到直线l上的点P.解析(1)是以P点为圆心，以1个单位长度为半径的圆．(2)是直线l.(3)是直线l上与点P的距离为1个单位长度的两个点．5．民间流传的一种智力玩具七巧板是将一块正方形切割为五个等腰直角三角形和一个正方形、一个平行四边形，如图所示．试写出图中与eq\o(FE,\s\up6(→))模相等的向量．解析与eq\o(FE,\s\up6(→))模相等的向量有eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(DO,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))，eq\o(GH,\s\up6(→))，eq\o(HG,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(BO,\s\up6(→))，eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(OA,\s\up6(→))，共9个．6．指出下图中的平行向量和相等向量．解析平行向量有eq\o(CD,\s\up6(→))∥eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(IJ,\s\up6(→))∥eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→))∥eq\o(GH,\s\up6(→))∥eq\o(KL,\s\up6(→)).相等向量有eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(IJ,\s\up6(→)).7.如图所示，在