2020-2021学年高中数学新教材第一册教案：21 等式性质与不等式性质 一 含答案

第二章一元二次函数、方程和不等式

2o1等式性质与不等式性质（共2课时）

（第1课时）

教材分析

本节内家是《普通高中课程标准实验教科书》（人民教育出

版社A版教材）,高中教学必修5第三章第一节不等关系与不等

式第2课时的内今，主要讲解不等关东及不等式的性质及其运用;

现卖世界和目常生活中存在着大量的不等关乳教学中，我

们用不等式来表示不等关系.不等式的性质是解决不等式问题的

基本依据，凡是不等式的变形、运算都要严格检照不等式的性

质进行。因此，不等式的性质是学习本章后续内参和选修4一5

不等式选讲的重要保障；

本节通过类比等式的性质，猜想并证明不等式的性质，并

用不等式的性质证明简单的不等式，是体会化归与转化，类比

等教学思想，和培养学生教学运算能力，乏属推理能力的彘好素

材。

在高中教学中，不等式的地位不伍特殊，而且重要，它与

高中教学几孑所有章节都有联系，尤其与函数、方程等联宗紧

密，因此，不等式才成为高考中经久不衰的热点、重点，有时也

是唯点…

教学目标与核心素养

课程目标学科素养

Ao通过具体情景，让lo教学抽象：在实际问

学生感受在现实世界题中发现不等关系，并表

和日常生活中存在的示出不等关余；

不等关系，理蟹和掌握

2o2角推理：作差法的

列不等式的步骤；

原理；

Bo能灵活用作差法比3o教学运算：用作差法比

较两个教与式的大小,较大小；

提高教学运算能力；

4.直观想象：在几何图形

Co培养学生观察、类中发现不等式；

比、辨

5.教学建模：能够在实际

折、运用问题中构建不等关条，斛

的决问题；

综合思维能力,体会化

归与转

教学过程

化、类比

等教学思想，提嵩学生

教学运

算和2

科

推理能力；

教学重难点

1.教学重点：将不等关余用不等式表示出来，用作差族比较两个

式子大小；

2o教学睢点：在实际情景中建立不等式CMJ,准确用作差

法比较大小;

课前准备

多媒体

教学过程教学设计

意图

核心素养

目标

-、情景引入，温故如新

通过生活

（一人情境导学

中熟悉的

1。购买火车票有一项规定：■

情景，引导

陵同成人旅行，身高超过

1.1mf含1.101）而不超过1。学生发现

5m的儿童，享受半价家票、不等关余，

加快票和空调票（简称儿童票），超1.5并学会运

m时应买全价票,每一成人於家可免用不等式

希携带一名身高不足・米的儿童，超

11（组）表示

过一名时，超过的人数应买儿童票，从

不等关余；

教学的角度，应如何理斛和表示“不超

培系学生

过”“超过”呢？

教学建模

2.展示新闻报道:明夭白夭广州的最低

的核心素

温度为18℃,由天最高温度为30℃。

养；

师：明夭&夭广州的温度t℃满足怎样

的不等关东？

生：t大于或等于18小于或等于30

老师引出课题板书：不等关余与不等

式

师：常见的不等号有？

生：大于。），小于（〈），大于或等于

屋），小于或等于（<）,不等于（4。

老师总结板书：不等式的定义：用不

等号2,<,力表示不等关余的

式子叫做不等灰。

lo师：你能用教学表达式表示情景中

的不等关系吗？

2.师：两个指示标志分别表示什么意

思？

生：速度大于或等于80,高度小于或

等于4。5

.师：在这两则报道中，同学们都准确

3由典型问

的描述出蕴含的不等关系。

题的分析

师：你能举出生活中含有不等关系的解决，体会

例子吗？建立不等

生：式（组）的一

般方法和

@©唯点所在；

培养和提

师：不等关余用什么表示？

升学生运

生：不等式用教学眼

（二人挑奈新知光分析表

达问题的

探究一用不等式表示不等关系

能力,发展

例1。某钢铁厂要把长度为4000mm教学抽象

的钢管布成500mm和600mm和教学建

模的核心

两种，检照生产的要求,600mm钢管的

素养

数量不能超过500mm钢管的3倍、试

写出满足上述所有不等关系的不等

式.

教师引导学生共同：［分析_7应先设

出相应变量，找出其中的不等关条，即

①两舛钢管的总长度不能超过4000

mm;②就得600mm钢管的数量不能超

过500mm钢管数量的3僖；③两种钢

管的数量都不能为负、于是可列不等用教

学语言表

式组表示上述不等关系、示不等关

［解析］设就得500mm的钢管x板,

截得600mm的钢管y根，

依题意，可得不等式组:错误!,即错误!。

归纳总结；用不等式（组）表示实际问

题中不等关系的步骤：

通过练

①审题、通读题目,分清楚已知量和

习巩固分

待求量，设出待求量、找出体现不等

析表达不

关系的关键词：“至少”“至多”“不少

等关东，教

于”“不多于”“超过”“不超过”等、②

会学生斛

列不等式组：分析题意,找出已知量和

决和研究

待求量之间的约束条件，将各约束条

问题，提升

件用不等式表示、

教学抽象

跟踪训练:1.某种杂志原以每本2。5元

能力。

的价格销售，可以售出8万本.根据市

场调查，若单价每提高0.1元,销售量

就可能相应戒少200。本,若把提价后

杂志的定价设为x元，怎样用不等式

表示销售的总收入仍不低于20万元？

2、某工厂在招标会上，购得甲材料xt,

乙材料yt,若维椅工厂正常生产，甲、乙

两种材料总量至少需要120t,则x、y

应满足的不等关系是()

A、x+y>120B、x

+y<120

C、x+y>120D,x

+月20

［解析］提价后杂志的定价为1元，则

销售的总收入为(8—错误!X。.2)1万元，

那么不等关系“销售的收入不低于20

万元''用不等式可以表示为：

x-2.5复习作

(8-—Q।xOo2)%N20O

差比较法，

［解析1由题意可得了+比120,故选代教式大

C、小的方法，

理斛作差

探究二比较数或式子的大小

法的原理，

我们学习了关于实数大小比较的一

通过练习

个基本事实：

达到灵话

C1)数轴上的任意两点中，右边点对应运用；

的实数比左边点对应的实数.

根据这个公理，我们可用什么方法来

比较实数的大小？

步骤是什么？第一步，第二步，第三步，

第四步

学生回答：

a-b>Ooa>b；a-b=O<^>a=b；a-b<O<^>a<bo

生：作差比较法

生：作差，变形，判号，定论.

指出：作差比较法是证明不等式的重

要方法，它将比较实数的大小转化为判

新差的符号

例2.已知xvyvO,比较(x2+y2)(x

一y)与Cx2-y2)(x+y)的大小、通过综

［解析］・「xvyv0/y>0,习巩固作

差法，发展

x-y<0,(x2+y1)(x-y)-(x2-y2)(x

学生教学

+y)=-2xy(x-y)>0,

运算素养,

/.(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+.提供运算

师生共同归纳总结：比较两个实数(或的准确性、

代教式)大小的步骤灵活性和

（1J作差：对要比较大小的两个数（或速度。

式子）作差；

（2J变形：对差进行变形（因式分解、

通分、配方等）;

（3J到新差的符号:结合变形的结果及

题设条件判断差的符号；（4）作出结

论,这种比较大小的方盛通常称为作

差比较法、其思维过程：作差一变形

一判断符号一结论，其中变形是判断

符号的,提、

跟踪训练1、谩M=x2,N=-X-1,则M

与N的大小关系是

（）

A、M>NB.M=N

C、M<ND、与％有关

［解析］M-N=x2+x+l=（x+

错误!）2+错误!〉O,；.M>N,故选A、

2o比较/+y2+］与2fx+J7-1）的

大小;

3o设iWRJL存0,比较〃与错误!的大

小、

［解析72ox2+y2+1-2(x+y-1)

=%2-2x+1+y2-2y+2

=(x-1)2+(y-1)2+1>0,

/.x2+y2+1>2G+y-l).

3o由〃一错误！=错误！

当a=±1时，a=错误！；

当一IvavO或。>1时,错误!；当。

<一1或Ovavl时,a<错误!.

三、达标检测

1.完成一项装修工程，靖木工需付工资

每人500元，靖瓦工需付工咨每人400

元，现有工人工资预算20000元，设木

工x(x>0)人，瓦工y(y>0)人，则

关于工资满足的不等关东是。)

Ao5x+4y<200B.5x+4y>200

C.5x+4尸200D.5x+4yW200

【答案】D通过练习

巩固本节

2。若A=9+3与5=；+2,则A与5的

所学知识，

大小关东是（）

通过学生

A.A>BB.A<B解决问题

CoA>BDo不确定的能力,感

传其中蕴

【解析】由于43=>3噌+2）=9丁+

含的教学

hPo

思想，增强

所以故选

A>BfA.学生的应

【答案】A用意识。

3.已知甲、乙两种食物的维生素A,B

含量如下表：

食物甲乙

维生素M单位/kg）600700

维生素B/（单位/kg）800400

设用xkg的甲种食物与ykg的乙种食

物配成混合食物,并使混合食物内至

少含有56000单核的维生素A和63

000单核的维生素B.试用不等式组表

示x,y所满足的不等关东.

【解析】由题意知xkg的甲种食物中

含有维生素A600%单住，含有维生素

B800x单传,ykg的乙种食物中含有维

生素A700y单住，含有维生素B400y

单行"则xkg的甲种食物与ykg的乙

种食物配成的混合食物总共含有维生

素A(600x+700y)单核，含有维生素B

(800x+400y)单住，

600x+700y>56000,(6%+7y>560,

800x4-400y>63000,0nI4x+2y>315,

x>0,Kl)x>0,

(y>0,ly>0.

4o将一个三边长度分别为5,12,13

的三角形的各边都缩短x,构成一个钝

角三角形，试用不等式［组)表示x

应满足的不等关东.

【斛圻】各边都缩短x后，长度仍然为

正教，只要最短边大于零即可，因此

5-x>0.而要构成三角形，还要满足

(5-x)+(12—x)>13-Xo当三角形是

钝角三角形时，应使最大角是钝角，此

时只需最长边所对的角是钝角即可，因

此(5—x)2+(12—刈2<(13—x)2,

故大应满足的不等关系为

(5-x>0,

)(5-x)+(12-%)>13-x,

((5-x)2+(12-x)2<(13-x)2.

5o比较下列各组中的两个实数或代教

式的大小：

(1J2炉+3与x+2,x€R;

(2)a+2与4€R,且。

【将析】(1)因为

(2x2+3)—(x+2)=2x2—x+l=2念

?。，

所以2x2+3>x+2o

(2)(。+2)—2_=(a+2)3=—J+a+i。

\7\71-a1-a1-aa-1

2

由于6Z+1=(a+^)2+>0,

所以当1时，黑1>0,即a+2)高；

当a<\时，等<0,即a+2仔

故当a>\时,。二；当。

+2)1-G<1

时,〃+工

7，2<1-a

四、小结生学生

根据课堂

1.不等式与不等关东

学习，4主

(1)不等式的定义所含的两个要点.总结知识

要点，及运

C＞不等符号〉，CNS或，.

用的思想

②所表示的关系是不等关系。

方法。注意

(2)不等式中的文字语言与符号语言之总结自己

闻的转换.在学习中

2、比较两个卖数或b大小的依据的易错点；

文字语言符号表示

a)

如果a＞by那么a-b

b=___

如果。＜h,那么a-h

a

巩固今

&_____;_______

天所学内

如果那么〃一

a=b,—裒题培养

b____,a=学生的自

学能力，,也

反之亦然b=___

为下一节

学习不等

式性质做

五、作业准备

lo习题2.11,2,3,4题

2o预习下节课内今

2o1等式性质与不等式性质

教学过程教学设计（第2课

意图时）

核心素养

目标

（一人温故知新

通过学生

你能回忆起等式的基本性质吗？

性质1若a=b,则b=a；熟悉的等

式性质出

性质2若a=b,b=c,则a=c;

发，设河，引

性质3若a=b,则a士c二b±c;

导学生类

性质4若a=b,则ac=bc;

比发现不

性质5若a=b,c,o,则-=-；

CC等的性质,

类比等式的性质,你能猜想出不等式的培系学生

性质，并加以证明吗？教学抽象

（二人探亲新知

和遐辑推

不等式的理的核心

性质素养；

口)对称性

不等式两边互换后，再将

文字语不等号改变方向，

所得不等式与原不等式

等价

符号语

a>b^b<a

言

写出与原不等式等价且

作用

异向的不等式

证明：b,,二〃-6>0.

由正教的相反教是负教，得-(〃-切<0。

用教

即b-a<0,/.b<a.

学语言表

同理可证，如果b〈a,那么〃)示不等式

跟踪训练。1.与m>(n—2)2等价的是的性质.

()。

Aom<[n一2)2B.(〃-2)2>m

C.(n-2)2<mDo(〃一2)2<m

答案:C

(2)传造性

文

如果第一个量大于第二个量，

李

第二个量大于第三个量，由不等式

语

七个性质

那么第一个量大于第三个量

的分析与

付证明,体会

证明不等

a>byb>cna>c

语式的基本

方法;培养

和发展教

变d>byb>c=>a>c；a<b,b<c=>a

学抽象和

形<c\a<b,b<c=>a<c

逻辑推理

作

比较大小或证明不等式的核心素

用养

你能证明吗？

(3)加法法则

文字不等式的两边都加上同一

语言个卖教，所得的不等式

与原不等式同向.

何万

a>b=a+c〉b+c

语言

a〈b=a+c<b+c

变形a<b^>a+c<b+c

a>b^a+c>b+c

作用不等式的移项，等价变形

证明：\\a+c)一(b+c)=a-b>0,,二

a+c>b+c.

(4)乘法法则

文不等式的两边都乘同一个正教

李时,不等号的方向不变;

语都乘同一个负数时，不等号的方

言

向一定要改变.

付

号a>b,c>U=ac>bc

语a>b,c<0=>ac<bc

言

a>b,c>0^ac>bc；a>b,

c<0=^ac<bc

变a<b,c>0=>ac<bc；

形a<b,c<0^ac>bc

a<b,c>O^cic<bc;a<b,c

及时归

<0=>ac>bc

纳总结，引

作

不等式的同斛变形导学生准

用确理解和

3正明：ac—be-(a-b)CoTcOb,运用不等

a-b>0.才艮据同号相乘得正，异号相乘得式的性质,

负，培养思维

的严谨性；

得当c>0时，(a-b)c>0,即ac>bc\当

c<0时，(a-b)c<0,ac<bco

归纳总集：lo该性质不能逆推，如

ac)bea>b.

2oac〉bcna>b,c>。或a〈b,c<0.

3。不等式两边仅能同乘(或除以)一

个符号确定的非零实教。

(5J加法单调性

文字语两个同句不等式相加，所得

言不等式与原不等式曳包.

符号语

a>byc>d=>a+c>b+d

言

a<byc<d=>a+c<b+d

变形ct>b,c>d=>a+c>b+d通过综

a<b,c<d=>a+c<b+d习双1固不

等式的性

由已知同向不等式推出其他

作用质,发展学

不等式

生建薜推

/正明严>1=：+c>?+Bn4+c>

c>d=>b+c>b+d)b+d.理,提高思

归纳念结:1。此性质可以推广到任维的灵落

意有F艮个同句不等式的两边分别相性和速度。

加，即两个或两个以上的同向不等式

两边分别相加，所得不等式与原不等

式同向。

2o两个同句不等式只能两边同时分别

相加，而不能两边同时分别相减.

3•该性质不能逆推，a+c>b+d=^a>

b,c>d.

(6J乘法单调性

两边都是正教的两个同向

文李

不等式相乘,所得的

语言

不等式与原不等式曳包。

心口

付万

a>b>0,c>d>Q=>ac>bd

语言

作用两个不等式相乘的变形

£正明：'a>b>Q,c>0,.\ac>bco通过典

丁。>">0,Z?>0,.\hc>bdo.\ac>bd.型例题的

解析和跟

归纳总结：1.这一性质可以推广到任

踪练习,让

意有限个两边都是正教的同向不等式

学生明确

两边分别相乘，这就是说，两个或更多

问题模型，

个两迹都是正教的同向不等式两边分

发展教学

别相乘，所得不等式与原不等式同句。

建模核心

2oa>b>0,c<d<G=>ac<bd\素养。

a<b<0,c<d<Q=>ac>hd.

3。该性质不能用推，如QC>bda>

b,c>d.

(7J正值不等式可乘方

当不等式的两边都是正教

文字时,不等式两边同时

语言乘方所得的不等式与原不

等式同句O

付万a>b>0=>an>bn(n€N,且

语言n>\)

作用不等式两边的乘方变形

性质(7)可看作性质(6)的推广：

nn

当n是正奇教时，由a>b可得a>bo

跟踪训练：1.给出下列结论：

Q)若acybe,则〃〉匕；②若。<匕,则

4C2〈历2；

③若错误！〈错误!<0,则a>氏④若a)byc>d.

贝Ia-c>b-d;

⑤若a>b,c>d,则ac>bd.

其中正确结论的序号是—6)_.

斛析(D当c>0时,由ac>bc=>a>b,

当c<0时,由ac>bc^a<bf故①错.②

当今0时，由a〈b0ad<b3,当c=0时，

由a<b与ac2<bc2,故②错，③二.错误！〈错误！

<0,.\a<0,b<0,.\ab)0,.二错误！・〃Z?v

g・ab,即bva,.\a)瓦故③正确、

④・.,c>d,・,•一cv-d,又〃〉b,两不等

式不等号的方向不同，不能相加，：.a

-c>b-d错误、

⑤错误!=>〃c>Z?d,错误!=>〃c<bd,

但错误!错误!bdy错误!错误!bd.

反思利用不等式性质判断不等式是否

成立的方法：

⑴运用不等式的性质判断.要注意不

等式成立的条件,不要弱化条件，尤其

是不能凭想象捏造性质。

(2)特殊值法。取特殊值时，要遵循如

下原则:一是满足题设条件；

二是取值要简单，便于验证计算。

典例解析：用不等式的性质证明不等

式

例1已知d>b>0,c<J<0,e<0,

求证：错误!>错误!.

斛折-/c<d<0,-c>-d>0,

又

・•・〃+(-c)>b+(-d)>0f

即a-c〉b-d>0,0v|v错误!,

c

又・・・e<0,.••错误!》错误!.

跟踪训练：L若be-〃妙0,bd)0,

求百E：错误!S错误!.

解折：\9he-ad>0,.\ad<bc,

/.ad+bd<bc+bdf

丁bd>0,「・错误!>0,「・错误匹错误！,

「・错误!S错误!.

归纳总结：利用不等式的性质证明不

等式注意事项

(1J利用不等式的性质及其推论可以

证明一些不等式、解决此类问题一定

要在理斛的基础上，记准、记熟不等

式的性质并注意在斛题中灵活准确地

加以应用.

(2)应用不等式的性质进行推导时，应

注意紧扣不等式的性质成立的条件，

且不可省略条件或跳步推导，更不能随

意构造性质与法则.

典例解析：利用不等式的性质求取值

花围

例12已唉。一错误!0。〈£二错误！,求错误！，错误！

的花围、

斛析:一错误!SaV夕S错误！，.二一错误!W错误！

〈错误！，一错误！〈错误!S错误!.两式相加，

得一错误!〈错误!〈错误！。二•一错误！〈错误匹错误！，

/.一错误！S一错误！＜错误！,二・一错误！S错误！

〈错误！。

又丁。</?,・••错误！〈0。.••一错误!S错误!<0。

规律总结：求取值范围的问题要注意

解题方法是否符合不等式的性质，是否

使范围^大或缩小、

跟踪训练1.已知1〈a<2,3<b〈4,求

下列各式的取值范围：

(1J2a+b；(2)。-6;(3)错误!.

解析(l)・.Tv〃v2,：.2〈2〃<4,,..3<。

<4,・・・5<2〃+*8；

(2),/3<Z?<4,/.-4<-Z?<-3,又..T

<a<2,

「・—3<。—b<—1；

(3JY3〈b〈4,・••错误！<错误！〈错误！,又

1<。<2,.•.错误!V错误!〈错误！。

三、达标检测

1、已知a<b<0,c<d<0,那公T列判

新中正确的是()

A,a-c<b-dB.ac>

bd

C.错误!(错误！D、ad)

be

通过练习

解析：根据不等式的同向同正的可乘巩固本节

性知,B正确、所学知识，

提高学生

答案：B