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文档简介

2021-2022高考数学模拟试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.在中,“”是“”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件2.已知函,,则的最小值为()A. B.1 C.0 D.3.如图是正方体截去一个四棱锥后的得到的几何体的三视图,则该几何体的体积是()A. B. C. D.4.定义在R上的函数y=fx满足fx≤2x-1A. B. C. D.5.若x∈(0,1),a=lnx,b=,c=elnx,则a,b,c的大小关系为()A.b>c>a B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c6.某工厂只生产口罩、抽纸和棉签,如图是该工厂年至年各产量的百分比堆积图(例如:年该工厂口罩、抽纸、棉签产量分别占、、),根据该图,以下结论一定正确的是()A.年该工厂的棉签产量最少B.这三年中每年抽纸的产量相差不明显C.三年累计下来产量最多的是口罩D.口罩的产量逐年增加7.函数f(x)=sin(wx+)(w>0,<)的最小正周期是π,若将该函数的图象向右平移个单位后得到的函数图象关于直线x=对称,则函数f(x)的解析式为()A.f(x)=sin(2x+) B.f(x)=sin(2x-)C.f(x)=sin(2x+) D.f(x)=sin(2x-)8.连接双曲线及的4个顶点的四边形面积为,连接4个焦点的四边形的面积为,则当取得最大值时,双曲线的离心率为()A. B. C. D.9.设,是双曲线的左,右焦点,是坐标原点,过点作的一条渐近线的垂线,垂足为.若,则的离心率为()A. B. C. D.10.函数的单调递增区间是()A. B. C. D.11.1777年,法国科学家蒲丰在宴请客人时,在地上铺了一张白纸,上面画着一条条等距离的平行线,而他给每个客人发许多等质量的,长度等于相邻两平行线距离的一半的针,让他们随意投放.事后,蒲丰对针落地的位置进行统计,发现共投针2212枚,与直线相交的有704枚.根据这次统计数据,若客人随意向这张白纸上投放一根这样的针,则针落地后与直线相交的概率约为()A. B. C. D.12.设复数,则=()A.1 B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在三棱锥中,,三角形为等边三角形,二面角的余弦值为,当三棱锥的体积最大值为时,三棱锥的外接球的表面积为______.14.若,则__________.15.如图,在直四棱柱中,底面是平行四边形,点是棱的中点,点是棱靠近的三等分点,且三棱锥的体积为2,则四棱柱的体积为______.16.已知数列满足,且恒成立,则的值为____________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数的图象向左平移后与函数图象重合.(1)求和的值;(2)若函数,求的单调递增区间及图象的对称轴方程.18.(12分)已知椭圆C:(a>b>0)的两个焦点分别为F1(-,0)、F2(,0).点M(1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.(1)求椭圆C的方程;(2)已知点N的坐标为(3,2),点P的坐标为(m,n)(m≠3).过点M任作直线l与椭圆C相交于A、B两点,设直线AN、NP、BN的斜率分别为k1、k2、k3,若k1+k3=2k2,试求m,n满足的关系式.19.(12分)以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的参数方程是(为参数,常数),曲线的极坐标方程是.(1)写出的普通方程及的直角坐标方程,并指出是什么曲线;(2)若直线与曲线,均相切且相切于同一点,求直线的极坐标方程.20.(12分)已知,,(1)求的最小正周期及单调递增区间;(2)已知锐角的内角,,的对边分别为,,,且,,求边上的高的最大值.21.(12分)已知函数是自然对数的底数.(1)若,讨论的单调性;(2)若有两个极值点,求的取值范围,并证明:.22.(10分)已知数列{an}满足条件,且an+2=(﹣1)n(an﹣1)+2an+1,n∈N*.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=,Sn为数列{bn}的前n项和,求证:Sn.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】

由余弦函数的单调性找出的等价条件为,再利用大角对大边,结合正弦定理可判断出“”是“”的充分必要条件.【详解】余弦函数在区间上单调递减,且,,由,可得,,由正弦定理可得.因此,“”是“”的充分必要条件.故选:C.【点睛】本题考查充分必要条件的判定,同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用,考查推理能力,属于中等题.2.B【解析】

,利用整体换元法求最小值.【详解】由已知,又,,故当,即时,.故选:B.【点睛】本题考查整体换元法求正弦型函数的最值,涉及到二倍角公式的应用,是一道中档题.3.C【解析】

根据三视图作出几何体的直观图,结合三视图的数据可求得几何体的体积.【详解】根据三视图还原几何体的直观图如下图所示:由图可知,该几何体是在棱长为的正方体中截去四棱锥所形成的几何体,该几何体的体积为.故选:C.【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积,考查空间想象能力与计算能力,属于基础题.4.D【解析】

根据y=fx+1为奇函数,得到函数关于1,0中心对称,排除AB,计算f1.5≤【详解】y=fx+1为奇函数,即fx+1=-f-x+1,函数关于f1.5≤2故选:D.【点睛】本题考查了函数图像的识别,确定函数关于1,0中心对称是解题的关键.5.A【解析】

利用指数函数、对数函数的单调性直接求解.【详解】∵x∈(0,1),∴a=lnx<0,b=()lnx>()0=1,0<c=elnx<e0=1,∴a,b,c的大小关系为b>c>a.故选:A.【点睛】本题考查三个数的大小的判断,考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.6.C【解析】

根据该厂每年产量未知可判断A、B、D选项的正误,根据每年口罩在该厂的产量中所占的比重最大可判断C选项的正误.综合可得出结论.【详解】由于该工厂年至年的产量未知,所以,从年至年棉签产量、抽纸产量以及口罩产量的变化无法比较,故A、B、D选项错误;由堆积图可知,从年至年,该工厂生产的口罩占该工厂的总产量的比重是最大的,则三年累计下来产量最多的是口罩,C选项正确.故选:C.【点睛】本题考查堆积图的应用,考查数据处理能力,属于基础题.7.D【解析】

由函数的周期求得,再由平移后的函数图像关于直线对称,得到,由此求得满足条件的的值,即可求得答案.【详解】分析:由函数的周期求得,再由平移后的函数图像关于直线对称,得到,由此求得满足条件的的值,即可求得答案.详解:因为函数的最小正周期是,所以,解得,所以,将该函数的图像向右平移个单位后,得到图像所对应的函数解析式为,由此函数图像关于直线对称,得:,即,取,得,满足,所以函数的解析式为,故选D.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换,以及函数的解析式的求解,其中解答中根据三角函数的图象变换得到,再根据三角函数的性质求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.8.D【解析】

先求出四个顶点、四个焦点的坐标,四个顶点构成一个菱形,求出菱形的面积,四个焦点构成正方形,求出其面积,利用重要不等式求得取得最大值时有,从而求得其离心率.【详解】双曲线与互为共轭双曲线,四个顶点的坐标为,四个焦点的坐标为,四个顶点形成的四边形的面积,四个焦点连线形成的四边形的面积,所以,当取得最大值时有,,离心率,故选:D.【点睛】该题考查的是有关双曲线的离心率的问题,涉及到的知识点有共轭双曲线的顶点,焦点,菱形面积公式,重要不等式求最值,等轴双曲线的离心率,属于简单题目.9.B【解析】

设过点作的垂线,其方程为,联立方程,求得,,即,由,列出相应方程,求出离心率.【详解】解:不妨设过点作的垂线,其方程为,由解得,,即,由,所以有,化简得,所以离心率.故选:B.【点睛】本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识,考查运算求解、推理论证能力,属于中档题.10.D【解析】

利用辅助角公式,化简函数的解析式,再根据正弦函数的单调性,并采用整体法,可得结果.【详解】因为,由,解得,即函数的增区间为,所以当时,增区间的一个子集为.故选D.【点睛】本题考查了辅助角公式,考查正弦型函数的单调递增区间,重点在于把握正弦函数的单调性,同时对于整体法的应用,使问题化繁为简,难度较易.11.D【解析】

根据统计数据,求出频率,用以估计概率.【详解】.故选:D.【点睛】本题以数学文化为背景,考查利用频率估计概率,属于基础题.12.A【解析】

根据复数的除法运算,代入化简即可求解.【详解】复数,则故选:A.【点睛】本题考查了复数的除法运算与化简求值,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】

根据题意作出图象,利用三垂线定理找出二面角的平面角,再设出的长,即可求出三棱锥的高,然后利用利用基本不等式即可确定三棱锥的体积最大值,从而得出各棱的长度,最后根据球的几何性质,利用球心距,半径,底面半径之间的关系即可求出三棱锥的外接球的表面积.【详解】如图所示:过点作面,垂足为,过点作交于点,连接.则为二面角的平面角的补角,即有.∵易证面,∴,而三角形为等边三角形,∴为的中点.设,.∴.故三棱锥的体积为当且仅当时,,即.∴三点共线.设三棱锥的外接球的球心为,半径为.过点作于,∴四边形为矩形.则,,,在中,,解得.三棱锥的外接球的表面积为.故答案为:.【点睛】本题主要考查三棱锥的外接球的表面积的求法,涉及二面角的运用,基本不等式的应用,以及球的几何性质的应用,意在考查学生的直观想象能力,数学运算能力和逻辑推理能力,属于较难题.14.【解析】

因为,由二倍角公式得到,故得到.故答案为.15.12【解析】

由题意,设底面平行四边形的,且边上的高为,直四棱柱的高为,分别表示出直四棱柱的体积和三棱锥的体积,即可求解。【详解】由题意,设底面平行四边形的,且边上的高为,直四棱柱的高为,则直四棱柱的体积为,又由三棱锥的体积为,解得,即直四棱柱的体积为。【点睛】本题主要考查了棱柱与棱锥的体积的计算问题,其中解答中正确认识几何体的结构特征,合理、恰当地表示直四棱柱三棱锥的体积是解答本题的关键,着重考查了推理与运算能力,以及空间想象能力,属于中档试题。16.【解析】

易得,所以是等差数列,再利用等差数列的通项公式计算即可.【详解】由已知,,因,所以,所以数列是以为首项,3为公差的等差数列,故,所以.故答案为:【点睛】本题考查由递推数列求数列中的某项,考查学生等价转化的能力,是一道容易题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1),;(2),,.【解析】

(1)直接利用同角三角函数关系式的变换的应用求出结果.(2)首先把函数的关系式变形成正弦型函数,进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果.【详解】(1)由题意得,,(2)由,解得,所以对称轴为,.由,解得,所以单调递增区间为.,【点睛】本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,正弦型函数的性质的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力,属于基础题型.18.(1);(2)m-n-1=0【解析】试题分析:(1)利用M与短轴端点构成等腰直角三角形,可求得b的值,进而得到椭圆方程;(2)设出过M的直线l的方程,将l与椭圆C联立,得到两交点坐标关系,然后将k1+k3表示为直线l斜率的关系式,化简后得k1+k3=2,于是可得m,n的关系式.试题解析:(1)由题意,c=,b=1,所以a=故椭圆C的方程为(2)①当直线l的斜率不存在时,方程为x=1,代入椭圆得,y=±不妨设A(1,),B(1,-)因为k1+k3==2又k1+k3=2k2,所以k2=1所以m,n的关系式为=1,即m-n-1=0②当直线l的斜率存在时,设l的方程为y=k(x-1)将y=k(x-1)代入,整理得:(3k2+1)x2-6k2x+3k2-3=0设A(x1,y1),B(x2,y2),则又y1=k(x1-1),y2=k(x2-1)所以k1+k3======2所以2k2=2,所以k2==1所以m,n的关系式为m-n-1=0综上所述,m,n的关系式为m-n-1=0.考点:椭圆标准方程,直线与椭圆位置关系,19.(1),,表示以为圆心为半径的圆;为抛物线;(2)【解析】

(1)消去参数的直角坐标方程,利用,即得的直角坐标方程;(2)由直线与抛物线相切,求导可得切线斜率,再由直线与圆相切,故切线与圆心与切点连线垂直,可求解得到切点坐标,即得解.【详解】(1)消去参数的直角坐标方程为:.的极坐标方程.∵,.当时表示以为圆心为半径的圆;为抛物线.(2)设切点为,由于,则切线斜率为,由于直线与圆相切,故切线与圆心与切点连线垂直,故有,直线的直角坐标方程为,所以的极坐标方程为.【点睛】本题考查了极坐标,参数方程综合,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.20.(1)的最小正周期为:;函数单调递增区间为:;(2).【解析】

(1)根据诱导公式,结合二倍角的正弦公式、辅助角公式把函数的解析式化简成余弦型函数解析式形式,利用余弦型函数的最小正周期公式和单调性进行求解即可;(2)由(1)结合,求出的大小,再根据三角形面积公式,结合余弦定理和基本不等式进行求解即可.【详解】(1)的最小正周期为:;当时,即当时,函数单调递增,所以函数单调递增区间为:;(2)因为,所以设边上的高为,所以有,由余弦定理可知:(当

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