高中数学新教材人教A版选择性必修培优练习：05 直线的倾斜角与斜率（学生版+解析版）

专题05直线的倾斜角与斜率

一、单选题

1.（2020•四川省高二期末（理））直线x=总的倾斜角为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

2.（2019•四川省仁寿一中高二期中（文））若直线x=l的倾斜角为a,则£=（）

冗71

A.0B.-C.-D.4

32

3.（2020•江苏省丹徒高中高一开学考试）直线x+y+l=0的倾斜角为（）

4.（2019•江苏省扬州中学高一期中）如果4（3,1）、8（—2,女）、C（8,11）在同一直线上，那么人的值是（）

A.-6B.-7C.-8D.-9

5.（2019•山东省高二期中）若直线过点（2,4）,（1,4+6）,则此直线的倾斜角是（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

6.（2019•浙江省高三期中）以下哪个点在倾斜角为45。且过点（1,2）的直线上（）

A.（-2,3）B.（0,1）C.（3,3）D.（3,2）

7.（2020•四川省高二期末（理））已知一直线经过两点A（2,4）,8（a,5）,且倾斜角为135。，则a的值为

（）

A.-1B.-2C.2D.1

8.（2019•浙江省高二期中）直线xsina+y+2=0的倾斜角的取值范围是（）

r八1rr37r、

A.[0,7i）B.[0,—]u[——

44

冗、rc7C..TC、

C.[r0,~r]D.[0,--]u[r—

442

9.（2019•内蒙古自治区高二期末（文））己知直线/的倾斜角为a,若tan（a+q）=6,则夕=（）

715万

A.0B.—C.—D.兀

26

jr7T\（兀24

10.（2019•浙江省镇海中学高一期末）已知直线倾斜角的范围是ae|U,则此直线的斜率

的取值范围是（）

A.[—B.卜8,-^5/3,4-00^

八-G⑸cl百1力6°1

33J3JL3）

二、多选题

11.（2020.吴江汾湖高级中学高一月考）下列说法中正确的是（）

A.若。是直线/的倾斜角，则0。W&<180°

B.若左是直线/的斜率，则々eR

C.任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率

D.任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角

12.（2020•江苏省苏州实验中学高一月考）有下列命题：其中错误的是（）

A.若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应；

B.若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应；

C.坐标平面上所有的直线都有倾斜角；

D.坐标平面上所有的直线都有斜率.

13.（2018•全国单元测试）已知直线4：x-y-1=0,动直线4：（攵+l）x+@+Z=0（%eR），则下列结论

笛送的是（）

A.不存在使得4的倾斜角为90。B.对任意的左，4与4都有公共点

c.对任意的左，4与4都不重合D.对任意的后，4与4都不季直

三、填空题

14.（2019・银川唐徐回民中学高三月考（理））已知点P（—6，1）,点。在y轴上，直线PQ的倾斜角为

120°,则点。的坐标为.

15.（2020•浙江省温州中学高三月考）平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围为,一条直线可能经过

个象限.

16.（2019•浙江省效实中学高一期中）若直线斜率左6（—1,1）,则直线倾斜角ae.

17.（2018•山西省山西大附中高二期中（文））已知直线/经过点P（l,0）且与以A（2,l）,B（3,—2）为端点

的线段A3有公共点，则直线/的倾斜角的取值范围为一.

四、解答题

18.（2019•全国高一课时练习）已知点A（l,2）,在），轴上求一点P,使直线AP的倾斜角为120°.

19.（2019•全国高一课时练习）点M（x,y）在函数y=-2x+8的图像上，当xe[2,5]时，求上出的取值

x+1

范围.

20.（2020.广东省恒大足球学校高三期末）已知直线/：x+3y-2=0的倾斜角为角a.

（1）求tana；

（2）求sine,cos2a的值.

21.（上海市七宝中学高二期中）已知直线/的方程为3x-照+2=0,其倾斜角为a.

（1）写出a关于“的函数解析式；

（2）若aw件个，求机的取值范围.

22.（2019,全国高一课时练习）经过点尸（0,-1）作直线/,若直线/与连接41,-2）、3（2,1）的线段总有公共

点,

（1）求直线/斜率上的范围：

（2）直线/倾斜角a的范围；

23.（上海位育中学高二期中）直角坐标系xOy中，点A坐标为（-2,0）,点B坐标为（4,3）,点C坐标为（1,-3）,

（1）若CM_LA8,求f的值；

（2）当0VfW1时，求直线CM的斜率k和倾斜角0的取值范围.

专题05直线的倾斜角与斜率

一、单选题

1.（2020•四川省高二期末（理））直线％=石的倾斜角为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】D

【解析】

•••直线x=百的斜率不存在，，其倾斜角为90°.

故选：D.

2.（2019•四川省仁寿一中高二期中（文））若直线x=l的倾斜角为a,则1=（）

7171

A.0B.-C.—D.乃

32

【答案】C

【解析】

直线龙=1与X轴垂直，故倾斜角为一.

2

故选：C.

3.（2020.江苏省丹徒高中高一开学考试）直线x+y+l=0的倾斜角为（）

兀3兀5〃■万

A.-B.—C.—D.——

4442

【答案】B

【解析】

由题意，直线x+y+l=0的斜率为氏=一1

...«37V

故左=tana=­1a=——

4

故选:B

4.（2019•江苏省扬州中学高一期中）如果A（3,l）、B（-2,k）、C（8/l）在同一直线上，那么女的值是（）

A.-6B.-7C.-8D.-9

【答案】D

【解析】

•••43,1）、B（-2,k）、C（8,11）三点在同一条直线上,

直线AB和直线AC的斜率相等，

故选：D.

5.（2019•山东省高二期中）若直线过点（2,4）,（1,4+百），则此直线的倾斜角是（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】C

【解析】

山题意知，直线的斜率左=-有，

即直线的倾斜角a满足tana=，

X0°<iz<180-:.a-\20°-

故选：c

6.（2019•浙江省高三期中）以下哪个点在倾斜角为45。且过点（1,2）的直线上（）

A.（-2,3）B.（0,1）C.（3,3）D.（3,2）

【答案】B

【解析】

由直线的倾斜角为45。，则直线的斜率为左=tan45°=1，

则过点（-2,3）与点（1,2）的直线的斜率为1；-；■=-不，显然点（-2,3）不满足题意；

—2—13

।_9

过点（0,1）与点（1，2）的直线的斜率为==1,显然点（0,1）满足题意：

0—1

3—21

过点（3,3）与点（1,2）的11线的斜率为n=显然点（3,3）不满足题必：

2__7

过点（3,2）与点（1,2）的直线的斜率为0=0,显然点（一2,3）不满足题意；

即点（0,1）在倾斜角为45。旦过点（1,2）的直线上，

故选：B.

7.（2020.四川省高二期末（理））已知一直线经过两点A（2,4）,B（a,5）,且倾斜角为135。，则a的值为

)

A.-1B.-2C.2D.1

【答案】D

【解析】

由直线斜率的定义知=tanl350=-1.

由直线的斜率公式可得，阳8=--

a-2

所以23=-1,解得4=1.

a-2

故选:D

8.（2019•浙江省高二期中）直线xsina+y+2=0的倾斜角的取值范围是（）

A.[0,TT）B.乃）

44

）1JLJL

C.[0,-]D.

442

【答案】B

【解析】

直线xsina+y+2=0的斜率为k=-sina,

■:-\<,sina<\,-1<A<1

3

.••倾斜角的取值范围是[0,一]“一工,7T）

44

故选：B.

9.(2019•内蒙古自治区高二期末(文))已知直线/的倾斜角为a,若tana+g=JJ,则夕=()

715万

A.0B.—C.—D.汽

26

【答案】A

【解析】

(万、tana+6/r⑺g八

tana+—=----产-----=＞/3,解得tana=0，

13)1-J3tana

0＜。＜"，...a=().

故选:A

71717127

U

10.（2019•浙江省镇海中学高一期末）已知直线倾斜角的范围是a£y~229~,则此直线的斜率

的取值范围是（）

A.B.（-00,-\/^]u^5/3,4-ooj

c」-近当D.

3333

LJ\JL/

【答案】B

【解析】

兀兀、（7124~\「乃乃、（427c

因为直线倾斜角的范围是aG|UI，又直线的斜率左=tana,ae|UI.故

tana2tan工=6或taneWtan—=一6.

33

故丘（-00,-6]u[6,+8）.

故选：B

二、多选题

11.（2020•吴江汾湖高级中学高一月考）下列说法中正确的是（）

A.若&是直线/的倾斜角，则0。4々<180°

B.若左是直线/的斜率，则ZeR

C.任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率

D.任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角

【答案】ABC

【解析】

A.若a是直线/的倾斜角，则0。4&<180°,是正确的;

B.若々是直线/的斜率，则&=tanaeR,是正确的；

C.任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率，倾斜角为90。的直线没有斜率，是正确的；

D.任意一条宜线都有斜率，但不一定有倾斜角，是错误的，倾斜角为90。的直线没有斜率.

故选：ABC

12.（2020•江苏省苏州实验中学高一月考）有下列命题：其中错误的是（）

A.若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应；

B.若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应：

C.坐标平面上所有的直线都有倾斜角；

D.坐标平面上所有的直线都有斜率.

【答案】BD

【解析】

任何一条直线都有倾斜角，但不是任何一条直线都有斜率

当倾斜角为90°时，斜率不存在

故选：BD

13.（2018•全国单元测试）已知直线4：x—y—l=0,动直线/2：（Z+l）x+@+Z=0（攵eR），则下列结论

埼送的是（）

A.不存在Z,使得6的倾斜角为90°B.对任意的《与4都有公共点

C.对任意的攵，4与4都不重合D.对任意的2,4与4都不季直

【答案】AC

【解析】

逐一考查所给的选项：

A.存在后=0,使得乙的方程为X=0,其倾斜角为90。，故选项不正确.

B直线4:x-y-1=0过定点（0,—1），直线乙：（左+1）%+6+左=0（%€/?）=%（%+丁+1）+%=0过定点

（0,-1）,故8是正确的.

c当x=-g时，直线4的方程为gx-；y-g=o,即x—y—i=o，4与4都重合，选项c错误；

D两直线重合，则：1x（左+1）+（—l）x%=0,方程无解，故对任意的2,4与4都不垂直，选项。正确.

故选：AC.

三、填空题

14.（2019・银川唐徐回民中学高三月考（理））已知点尸（一6,1）,点。在y轴上，直线PQ的倾斜角为

120°,则点。的坐标为.

【答案】（0,-2）

【解析】

因为。在y轴上，所以可设。点坐标为（o,y）,

又因为tan120°=-J5，

则不3=-6,解得丁=一2,

因此。（0,-2）,故答案为（0,-2）.

15.（2020•浙江省温州中学高三月考）平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围为,一条直线可能经过

个象限.

【答案】［0,p）0,2,3

【解析】

平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围为［（）,〃），

一条直线可能经过2个象限，如过原点，或平行于坐标轴；

也可能经过3个象限，如与坐标轴不平行且不过原点时Z

也可能不经过任何象限，如坐标轴；

所以•条直线可能经过。或2或3个象限.

故答案为：［0,万），0或2或3.

16.（2019.浙江省效实中学高一期中）若直线斜率&e（—1,1）,则直线倾斜角aS.

【答案】［00,45°）U（135°,180°）

【解析】

直线的斜率为负时，斜率也随着倾斜角的增大而增大

由于斜率有正也有负，且直线的斜率为正时，斜率随着倾斜角的增大而增大，故ad（0。，45°）；又直线的斜

率为负时，斜率也随着倾斜角的增大而增大，故ad（135。，180。）；斜率为0时，a=0。.所以ad［0。，45°）

U（135°,180°）

故答案为［0°,45°）U（135°,180°）

17.（2018•山西省山西大附中高二期中（文））已知直线/经过点尸（1,0）且与以A（2,l）,B（3,-2）为端点

的线段A6有公共点，则直线/的倾斜角的取值范围为-.

7r37r

【答案】「0,丁］U［-r，万）

44

【解析】

当直线/过B时，设直线/的倾斜角为。，则

,34

tana=-1=>«=—

4

当直线/过A时，设直线/的倾斜角为力，则

tanB=\=/3=气

综合：直线1经过点P（1,O）且与以A（2,l）,B（3,-2）为端点的线段AB有公共点时，直线/的倾斜角的取

值范围为°，万）

四、解答题

18.（2019•全国高一课时练习）已知点A（l,2）,在），轴上求一点P,使直线AP的倾斜角为120°.

【答案】P（0,2+百）

【解析】

设P（0,y）,k=,：.tan120°=，y=2+百，

PA：，

.•.P点坐标为（0,2+百）.

19.（2019•全国高一课时练习）点M（x,y）在函数y=-2x+8的图像上，当xe[2,5]时，求庄1的取值

x+\

范围.

【答案】-:2

_63_

【解析】

y+1y—（—1）

一■=三一"的几何意义是过“（儿历,"（一1,一1）两点的直线的斜率，点乂在线段

x+1x-（-l）

y=-2x+8,xe[2,5]上运动，易知当x=2时，y=4,此时M（2,4）与N（—1,—1）两项连线的斜率最大，

为提

当x=5时，y=-2,此时加（5,-2）与N（—1,-1）两点连线的斜率最小，为—强时_*,即”产的

66x+13

取值范围为一二,二

20.(2020•广东省恒大足球学校高三期末)己知直线/：x+3y-2=0的倾斜角为角a.

(1)求tana；

(2)求sina，cos2a的值.

【答案】(1)--；(2)——；—

3105

【解析】

(1)因为直线x+3y—2=0的斜率为—g,

且直线的倾斜角为角a,

所以tana-

3

(2)由(1)知tana=一,，

3

,VioVio

sinaIsina=---sina

tana=----1010

cosa3解得，或《

.22i3VW3而

sin~a+cosa-1cosa----co-s--a=----

1010

(兀

因为耳,乃

4

cos2a=2cos

5

21.(上海市七宝中学高二期中)已知直线/的方程为3x-〃沙+2=0,其倾斜角为a.

(1)写出a关于加的函数解析式;

7137t

(2)若ae,求加的取值范围.

3八

arctan—,AW>0

m

TC八

【答案】(1)a=-一,/〃=()；(2)m2(3,6)

2

3

7i+arctan—,7n<0

tn

【解析】

jr

(1)直线/的方程为版-s+2=。，其倾斜角为a,当机=0时，a=-

2

33

当m>0时，则斜率上=tana=—a=arctan—,

tnm

33

当相<0时，则斜率2=tana,a=%+arctan—,

mm

3

arctan—,/??>0

m

所以。=-,/w=0

2

3

〃+arctan—,m<0

m

冗

当a=一时，加=0,

2

当刀胃片时，&=」？(

?,l),m?(3,0),

w4m

综上所述：机？(