新高考数学一轮复习第5章 第02讲 平面向量基本定理及坐标表示 精讲（教师版）

第02讲平面向量基本定理及坐标表示(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：平面向量基本定理的应用高频考点二：平面向量的坐标表示高频考点三：平面向量共线的坐标表示角度1：由坐标判断是否共线角度2：由向量平行求参数角度3：由坐标解决三点共线问题第四部分：高考真题感悟第一部分：知识点精准记忆第一部分：知识点精准记忆1、平面向量的基本定理1.1定理：如果SKIPIF1<0是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量SKIPIF1<0，有且只有一对实数SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0.1.2基底：不共线的向量SKIPIF1<0叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.（1）不共线的两个向量可作为一组基底，即SKIPIF1<0不能作为基底；（2）基底一旦确定，分解方式唯一；（3）SKIPIF1<0用基底SKIPIF1<0两种表示，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，进而求参数.2、平面向量的正交分解不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.3、平面向量的坐标运算3.1平面向量的坐标表示在直角坐标系中，分别取与SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴方向相同的两个不共线的单位向量SKIPIF1<0作为基底，存在唯一一组有序实数对SKIPIF1<0使SKIPIF1<0,则有序数对SKIPIF1<0，叫做SKIPIF1<0的坐标，记作SKIPIF1<0.3.2平面向量的坐标运算（1）向量加减：若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；（2）数乘向量：若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；（3）向量数量积：若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；（4）任一向量：设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.4、平面向量共线的坐标表示若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的充要条件为SKIPIF1<0第二部分：课前自我评估测试第二部分：课前自我评估测试1．（2022·河北保定·高一阶段练习）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】因为向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A2．（2022·吉林毓文中学高一期中）向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】SKIPIF1<0.故选：A.3．（2022·辽宁实验中学高一期中）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．6 D．8【答案】D【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故选：D．4．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高一期中）已知向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【详解】依题意，SKIPIF1<0；故选：C.5．（2022·山西运城·高一期中）与向量SKIPIF1<0方向相同的单位向量为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】与SKIPIF1<0同向的单位向量为SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.故选：D.第三部分：典型例题剖析第三部分：典型例题剖析高频考点一：平面向量基本定理的应用例题1．（2022·安徽省临泉第一中学高二阶段练习）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】解：由题意得：SKIPIF1<0，故选：D.例题2．（2022·山西吕梁·二模（文））在△SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一点．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】如图所示，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0．例题3．（2022·江苏徐州·高一期中）如图所示，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中点，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0________（请用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0）.【答案】SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中点所以SKIPIF1<0又因为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0例题4．（2022·全国·高一专题练习）如图，平行四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，以SKIPIF1<0为基底表示向量SKIPIF1<0＝________.【答案】SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0例题5．（2022·江苏·高一专题练习）下列结论：①若向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共面，则存在实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0；②若向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不共面，则不存在实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0；③若向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共面，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不共线，则存在实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0；④若SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共面．其中，正确的个数是______．【答案】3【详解】对于①，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共线，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不共线，则不存在实数x，y，使SKIPIF1<0，故①错误；由共面向量定理可知②、③、④均正确，故正确的个数是3．故答案为：3题型归类练1．（2022·全国·高一课时练习）已知正方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0________【答案】SKIPIF1<0解：令SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，有∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0∴SKIPIF1<02．（2022·重庆巴蜀中学高一期中）已知SKIPIF1<0中，点D满足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0___________.【答案】SKIPIF1<0【详解】解：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.3．（2022·山西·运城市景胜中学高一阶段练习）如图，在平行四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0边的中点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0（用SKIPIF1<0表示）．【答案】SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．4．（2022·全国·高一单元测试）如图，矩形SKIPIF1<0与矩形SKIPIF1<0全等，且SKIPIF1<0.(1)用向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0；(2)用向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【解析】(1)SKIPIF1<0.(2)以A为坐标原点，AE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，因为矩形SKIPIF1<0与矩形SKIPIF1<0全等，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.高频考点二：平面向量的坐标表示例题1．（2022·四川省内江市第六中学高一期中（理））已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．-2 D．2【答案】A【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：A例题2．（2022·黑龙江·哈师大附中高一期中）已知SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点的坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0点的坐标为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】∵SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0方向相反可设SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0设点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0故选：D．例题3．（2022·四川·什邡中学高一阶段练习）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)，则SKIPIF1<0的值为______．【答案】SKIPIF1<0解：因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；故答案为：SKIPIF1<0例题4．（2022·上海市复旦中学高一期中）已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0坐标为______________.【答案】SKIPIF1<0【详解】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0例题5．（2022·河北武强中学高一期中）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0点的坐标；(2)设向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行，求实数SKIPIF1<0的值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)设SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.(2)由题意得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.所以实数SKIPIF1<0的值为SKIPIF1<0.题型归类练1．（2022·河南·南阳中学高一阶段练习）已知点SKIPIF1<0，则满足SKIPIF1<0的SKIPIF1<0的坐标为______.【答案】SKIPIF1<0.【详解】设SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.2．（2022·广东·仲元中学高一期中）已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，点P是线段SKIPIF1<0上的点，且SKIPIF1<0，则P点的坐标为________．【答案】SKIPIF1<0【详解】设SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即P点的坐标为SKIPIF1<0,故答案为：SKIPIF1<03．（2022·河南·临颍县第一高级中学高一阶段练习）已知平行四边形ABCD的三个顶点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求点D的坐标；(2)求平行四边形ABCD的面积．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)10(1)设点D的坐标为SKIPIF1<0．由题意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0得SKIPIF1<0所以点D的坐标为SKIPIF1<0．(2)因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以平行四边形ABCD为矩形．因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以平行四边形ABCD的面积为SKIPIF1<0．4．（2022·山东潍坊·高一期中）如图所示，已知矩形ABCD中，SKIPIF1<0，AC与MN相交于点E．(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的值；(2)用向量SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)以A点为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0(2)设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0．解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为M，E，N三点共线，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0﹒5．（2022·湖北省通山县第一中学高一阶段练习）如图，在四边形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E是线段CD上的点，直线BD与直线AE相交于点P，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E是线段CD的中点，求与SKIPIF1<0同向的单位向量的坐标；(2)若SKIPIF1<0，用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0，并求出实数SKIPIF1<0的值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(1)SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0，又因为E是CD的中点，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则与SKIPIF1<0同向共线单位向量SKIPIF1<0，坐标为SKIPIF1<0(2)因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为点B，P，D共线SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0高频考点三：平面向量共线的坐标表示角度1：由坐标判断是否共线1．（多选）（2022·山东泰安·高一期中）在下列向量组中，可以作为基底的是（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】BC【详解】对A，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0共线，不能作为基底，故A错误；对B，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不共线，可以作为基底，故B正确；对C，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不共线，可以作为基底，故C正确；对D，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0共线，不能作为基底，故D错误.故选：BC.2．（2022·重庆八中高一期中）已知向量SKIPIF1<0，则与SKIPIF1<0平行的单位向量的坐标为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】B【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以与SKIPIF1<0平行的单位向量为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故选：B.3．（2022·湖南·高一课时练习）已知点SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0.【答案】见解析【详解】SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，又A，B，C，D不共线，SKIPIF1<0.角度2：由向量平行求参数例题1．（2022·吉林·长春市第二实验中学高一期中）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0方向相反，则SKIPIF1<0的值为（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】因为向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平行，则SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0方向相反，所以SKIPIF1<0.故选：C.例题2．（2022·福建·厦门外国语学校高一期中）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线，则实数SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．－2 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】D【详解】解：因为向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以向量SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故选：D例题3．（2022·河北沧州·二模）已知向量SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0__________.【答案】SKIPIF1<0【详解】由题意得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0例题4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0________．【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0.【详解】由题可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.例题5．（2022·河南宋基信阳实验中学高一阶段练习）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的值．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.(1)因向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(2)依题意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以实数k的值是SKIPIF1<0.角度3：由坐标解决三点共线问题例题1．（2022·广东·汕头市潮阳区河溪中学高一期中）已知平面直角坐标系中，点SKIPIF1<0为原点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点共线，求实数SKIPIF1<0的值．【答案】∵A，B，C三点共线，∴SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知SKIPIF1<0三点共线，求实数SKIPIF1<0的值．【答案】SKIPIF1<0由题意，SKIPIF1<0三点共线故SKIPIF1<0即SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0例题3．（2022·全国·高一专题练习）已知平面内有两两不重合的三点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点共线，求实数SKIPIF1<0的值.【答案】SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0三点共线，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0两点重合，不符合题意.经验证可知SKIPIF1<0符合题意.所以SKIPIF1<0.题型归类练1．（2022·四川眉山·三模（理））已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则k=___________.【答案】4【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故答案为：4.2．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0______.【答案】SKIPIF1<0【详解】根据题意可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不共线若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0则可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0．3．（2022·安徽·砀山中学高一期中）向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______．【答案】SKIPIF1<0因为向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.4．（2022·河北·沧县中学高一期中）已知SKIPIF1<0是两个不共线的非零向量，如果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)证明：SKIPIF1<0三点共线.(2)若点SKIPIF1<0共线，求SKIPIF1<0的值.【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0【解析】(1)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0为公共点，所以SKIPIF1<0三点共线.(2)（2）因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由于SKIPIF1<0三点共线，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0化简得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.5．（2022·广东·东莞市东方明珠学校高一期中）已知SKIPIF1<0．(1)当k为何值时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线．(2)若SKIPIF1<0，且A，B，C三点共线，求m的值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线，所以SKIPIF1<0