新高考数学一轮复习第6章 第02讲 等差数列及其前n项和 精讲（教师版）

第02讲等差数列及其前n项和(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析题型一：等差数列基本量的运算题型二：等差数列的判断与证明题型三：等差数列的性质及其应用角度1：等差数列的性质角度2：等差数列前n项和的性质角度3：等差数列的最值问题第四部分：高考真题感悟第一部分：知识点精准记忆第一部分：知识点精准记忆1.等差数列的概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母SKIPIF1<0表示．数学语言表示为SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)(或者SKIPIF1<0），SKIPIF1<0为常数．(2)等差中项：若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列，则SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的等差中项，且SKIPIF1<0.注：证明一个数列是等差数列可以使用①定义法：SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)(或者SKIPIF1<0）②等差中项法：SKIPIF1<02.等差数列的有关公式(1)若等差数列SKIPIF1<0的首项是SKIPIF1<0，公差是SKIPIF1<0，则其通项公式为SKIPIF1<0，可推广为SKIPIF1<0(SKIPIF1<0*)．(2)等差数列的前SKIPIF1<0项和公式SKIPIF1<0(其中SKIPIF1<0)．3.等差数列的常用性质已知SKIPIF1<0为等差数列，SKIPIF1<0为公差，SKIPIF1<0为该数列的前SKIPIF1<0项和．(1)等差数列SKIPIF1<0中，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)．特别地，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)．(2)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…仍是等差数列，公差为SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)．(3)SKIPIF1<0也成等差数列，其首项与SKIPIF1<0首项相同，公差为SKIPIF1<0.(4)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0…也成等差数列，公差为SKIPIF1<0.（5）若数列SKIPIF1<0,SKIPIF1<0均为等差数列且其前SKIPIF1<0项和分别为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<04.等差数列与函数的关系(1)等差数列与一次函数的关系SKIPIF1<0可化为SKIPIF1<0的形式．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0是关于SKIPIF1<0的一次函数；当SKIPIF1<0时，数列为递增数列；当SKIPIF1<0时，数列为递减数列．(2)等差数列前SKIPIF1<0项和公式可变形为SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，它是关于SKIPIF1<0的二次函数，表示为SKIPIF1<0(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为常数)．第二部分：课前自我评估测试第二部分：课前自我评估测试1．（2022·四川成都·高一期中）已知数列SKIPIF1<0为等差数列，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】D由题意得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0故选：D2．（2022·宁夏·平罗中学高一期中（文））下列数列不是等差数列的是（

）A．0，0，0，…，0，…B．－2，－1，0，…，n－3，…C．1，3，5，…，2n－1，…D．0，1，3，…，SKIPIF1<0，…【答案】D选项A中，后项减前项所得差均为0，是等差数列；选项B中，后项减前项所得差都是1，是等差数列；选项C中，后项减前项所得差都是2，是等差数列；选项D中，SKIPIF1<0，不是等差数列，故选：D．3．（2022·江苏南京·模拟预测）2022年4月26日下午，神州十三号载人飞船返回舱在京完成开舱．据科学计算，运载“神十三”的“长征二号”SKIPIF1<0遥十三运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2千米，以后每秒钟通过的路程都增加2千米，在达到离地面380千米的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是（

）A．10秒 B．13秒 C．15秒 D．19秒【答案】D设每秒钟通过的路程构成数列SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是首项为2，公差为2的等差数列，由求和公式有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故选：D.4．（2022·北京·101中学三模）已知等差数列SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_______．【答案】4设公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故答案为：45．（2022·全国·高二课时练习）数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，那么这个数列的通项公式是______．【答案】SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0中，因SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因此，数列SKIPIF1<0是等差数列，公差d=3，所以数列SKIPIF1<0的通项公式是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0第三部分：典型例题剖析第三部分：典型例题剖析题型一：等差数列基本量的运算例题1．（2022·宁夏吴忠·高一期中）已知等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)求数列的SKIPIF1<0前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0n.(1)设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0n.例题2．（2022·全国·高二课时练习）在等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的值；(2)2022是否为数列SKIPIF1<0中的项？若是，则为第几项？【答案】(1)8082(2)2022是数列SKIPIF1<0中的第506项(1)由题意，设等差数列SKIPIF1<0的首项为SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0所以，数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．(2)令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，2022是数列SKIPIF1<0中的第506项．例题3．（2022·北京二中高二学业考试）已知数列SKIPIF1<0是等比数列，SKIPIF1<0，(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式及其前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0分别为等差数列SKIPIF1<0的第3项和第5项，求数列SKIPIF1<0的通项公式及其前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(2)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.(1)设数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.(2)设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.例题4．（2022·辽宁·高二期中）已知等差数列SKIPIF1<0的公差SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，求SKIPIF1<0的值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)解：因为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0.(2)解：由（1）知SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.方法总结：解决等差数列基本量运算的思想方法(1)方程思想:等差数列的基本量为首项SKIPIF1<0和公差SKIPIF1<0,通常利用已知条件及通项公式或前SKIPIF1<0项和公式列方程(组)求解,等差数列中包含SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0五个量,可“知三求二”.(2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求都用SKIPIF1<0,SKIPIF1<0表示,寻求两者间的联系,整体代换即可求解.题型归类练1．（2022·广西·高二学业考试）已知等差数列SKIPIF1<0中，前4项为1，3，5，7，则数列SKIPIF1<0前10项的和SKIPIF1<0（

）A．100 B．23 C．21 D．17【答案】A设公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选：A.2．（2022·云南师大附中模拟预测（理））《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百钱.欲令高爵出少，以次渐多，问各几何?”意思是：“有大夫、不更、簪裏、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列，这5个人各出多少钱?”在这个问题中，若不更出17钱，则公士出的钱数为（

）A．10 B．14 C．23 D．26【答案】D解：设大夫、不更、簪裹、上造、公士所出的钱数依次排成一列，构成数列SKIPIF1<0．由题意可知，等差数列SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，前5项和为100，设公差为SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以公士出的钱数为SKIPIF1<0，故选：D．3．（2022·北京·北师大实验中学高二阶段练习）在3和9之间插入两个正数后，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两个正数之和为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．10【答案】B不妨设插入两个正数为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0成等比数列，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0成等差数列，则SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）则SKIPIF1<0故选：B．4．（2022·吉林松原·高二阶段练习）在数列SKIPIF1<0中，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0__________．【答案】101当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0①，所以SKIPIF1<0②，②-①，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是等差数列．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0的公差SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．故答案为：1015．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）2022年北京冬奥会开幕式始于24节气倒计时，它将中国人的物候文明、传承久远的诗歌、现代生活的画面和谐统一起来.我国古人将一年分为24个节气，如图所示，相邻两个节气的日晷长变化量相同，冬至日晷长最长，夏至日晷长最短，周而复始.已知冬至日晷长为13.5尺，芒种日晷长为2.5尺，则一年中夏至到立冬的日晷长的和为______尺【答案】60因为相邻两个节气的日晷长变化量相同，所以每个节气的日晷长构成等差数列，设冬至日晷长13.5尺为SKIPIF1<0，则芒种日晷长2.5尺为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以夏至日晷长为1.5尺，记夏至日晷长1.5尺为SKIPIF1<0，小暑为SKIPIF1<0，大暑为SKIPIF1<0，……，立冬为SKIPIF1<0则SKIPIF1<0.故答案为：60.6．（2022·全国·模拟预测）已知数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求证：数列SKIPIF1<0是等差数列；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，求正整数m．【答案】(1)证明见解析(2)7(1)因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是公差为4的等差数列．(2)由（1）得，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，解得m＝7或SKIPIF1<0（舍）．所以m的值为7．题型二：等差数列的判断与证明例题1．（2022·全国·高二课时练习）对于数列SKIPIF1<0，“SKIPIF1<0”是“数列SKIPIF1<0为等差数列”的（

）A．充分非必要条件； B．必要非充分条件；C．充要条件； D．既非充分又非必要条件.【答案】C解：若数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0(SKIPIF1<0为常数)，由等差数列的定义可得数列SKIPIF1<0为等差数列；若数列SKIPIF1<0为等差数列，设首项为SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0，则通项公式为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的通项公式可写为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为常数，SKIPIF1<0.所以对于数列SKIPIF1<0，“SKIPIF1<0”是“数列SKIPIF1<0为等差数列”的充要条件.故选：C.例题2．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高二期中）已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和公式为SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0（

）A．是公差为4的等差数列 B．是公比为2的等比数列C．既是等差数列又是等比数列 D．既不是等差数列又不是等比数列【答案】A由题意得：SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0也适合上式，故SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即数列SKIPIF1<0是公差为4的等差数列，A正确，D错误；由于当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0不是常数，故数列SKIPIF1<0不是等比数列，故B,C错误，故选：A例题3．（2022·全国·高三专题练习）若数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则使SKIPIF1<0的SKIPIF1<0值为（

）A．22 B．21C．24 D．23【答案】D解：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0的等差数列，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即使SKIPIF1<0的SKIPIF1<0值为SKIPIF1<0；故选：D．例题4．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前n项和，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______.【答案】2因为数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），所以数列SKIPIF1<0为等差数列，且公差为2.又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：2.例题5．（2022·全国·高二课时练习）在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______．【答案】SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴数列SKIPIF1<0是等差数列，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，首项为2，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，验证得SKIPIF1<0时成立，故SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.例题6．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0.(1)证明：数列SKIPIF1<0为等差数列，并求SKIPIF1<0的通项公式；【答案】(1)证明见解析，SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)解：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0以SKIPIF1<0为首项，以1为公差的等差数列，所以SKIPIF1<0；例题7．（2022·陕西·长安一中高二期末（理））设SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，且满足SKIPIF1<0．(1)求证：数列SKIPIF1<0为等差数列；【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析.(1)依题意，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，两式相减得：SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0为等差数列.证明SKIPIF1<0是等差数列定义法SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)(或者SKIPIF1<0）等差中项法SKIPIF1<0判断SKIPIF1<0是等差数列SKIPIF1<0的通项关于SKIPIF1<0的一次函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0（注意没有常数项）题型三：等差数列的性质及其应用角度1：等差数列的性质例题1．（2022·四川省成都市新都一中高一期中（理））已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B由题意知，SKIPIF1<0，由等差数列的等差中项，得数列SKIPIF1<0为等差数列，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B例题2．（2022·江西·二模（理））已知等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C在等差数列SKIPIF1<0中，由等差中项的定义可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0．故选：C例题3．（2022·辽宁·沈阳市第五十六中学高二阶段练习）若等差数列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项的和分别是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C因为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是等差数列,故SKIPIF1<0故选:C例题4．（2022·安徽宿州·高二期中）已知两个等差数列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D由SKIPIF1<0．故选：D例题5．（2022·全国·高三专题练习）两个等差数列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A两个等差数列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A例题6．（2022·黑龙江·鹤岗一中高二开学考试）等差数列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和分别记为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】DSKIPIF1<0和SKIPIF1<0为等差数列，故a3故选：D.角度2：等差数列前n项和的性质例题1．（2022·陕西省丹凤中学高一阶段练习）已知数列SKIPIF1<0是等差数列，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为数列SKIPIF1<0是等差数列，所以SKIPIF1<0，……，是以SKIPIF1<0为首项，SKIPIF1<0为公差的等差数列，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：A例题2．（2022·辽宁·鞍山市华育高级中学高二期中）已知等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C由等差数列性质知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.故选：C.例题3．（2022·全国·高二课时练习）在等差数列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）.A．110 B．120 C．130 D．140【答案】C解：设公差为d，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：C例题4．（2022·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高二期中）已知等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_____．【答案】42解：在等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列，即7，14，SKIPIF1<0成等差数列，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故答案为：42．例题5．（2022·全国·高三专题练习（文））设等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0___________.【答案】48因为等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0成等差数列，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故答案为：48角度3：等差数列的最值问题例题1．（2022·北京市第十二中学高二阶段练习）已知等差数列的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则使SKIPIF1<0取得最大值的SKIPIF1<0为__________．【答案】7由题意SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，等差数列SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值故答案为：7例题2．（2022·广西·昭平中学高二阶段练习（理））已知等差数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0，则其前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0的最大值为____________.【答案】SKIPIF1<0根据题意，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有最大值且最大值为：SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0例题3．（2022·山东潍坊·高二期中）在数列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为______．【答案】66由题意，SKIPIF1<0=21，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，属于二次函数，对称轴为SKIPIF1<0，故当n=5或6时取得最大值，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最大值为66；故答案为：66.例题4．（2022·江西上饶·高三阶段练习（理））设等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0＝___时，SKIPIF1<0最小．【答案】2022根据等差数列的前n项和公式和性质得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0前2022项为负，从2023项开始为正，故前2022项和最小.故答案为：2022.例题5．（2022·辽宁·高二期中）已知等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则满足SKIPIF1<0的最大正整数的SKIPIF1<0的值为________．【答案】33因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故要使SKIPIF1<0，则需SKIPIF1<0．故答案为：33.例题6．（2022·北京市第一六一中学高二期中）已知数列{SKIPIF1<0}的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0(1)若数列{SKIPIF1<0}是等比数列，求SKIPIF1<0以及SKIPIF1<0：(2)若数列{SKIPIF1<0}是等差数列，求SKIPIF1<0的最小值，并求SKIPIF1<0取得最小值时SKIPIF1<0的值.【答案】(1)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0.(1)设等比数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.(2)设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最小，且SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.例题7．（2022·安徽省六安中学高二期末（理））设等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式;(2)当SKIPIF1<0为何值时，SKIPIF1<0最大，并求SKIPIF1<0的最大值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)n为6或7；126(1)解：设等差数列SKIPIF1<0的公差为d，因为SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0或7时，SKIPIF1<0最大，SKIPIF1<0的最大值是126.方法总结求等差数列前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0最值的两种方法题型归类练1．（2022·山西运城·高二期末）若等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，首项SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则满足SKIPIF1<0成立的最大正整数SKIPIF1<0是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0和SKIPIF1<0异号，又数列SKIPIF1<0是等差数列，首项SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是递减的数列，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴满足SKIPIF1<0的最大自然数SKIPIF1<0为4040．故选：B．2．（2022·全国·高三专题练习（理））已知等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和分别为SKIPIF1<0，若对于任意的自然数SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B数列{an}，{bn}均为等差数列，由等差数列下标和的性质得SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：B3．（2022·全国·高三专题练习（理））已知等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下面结论错误的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0均为SKIPIF1<0的最小值【答案】C对于A选项，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，A选项正确；对于C选项，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，C选项错误；对于D选项，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0均为SKIPIF1<0的最小值，D选项正确；对于B选项，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，B选项正确．故选：C．4．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S15>0，S16<0，则SKIPIF1<0中最大的项为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D：∵等差数列前n项和SKIPIF1<0，由S15>0，S16<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，若视为函数则对称轴在SKIPIF1<0之间，∵SKIPIF1<0，∴Sn最大值是SKIPIF1<0，分析SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0为正值时有最大值，故为前8项，又d＜0，SKIPIF1<0递减，前8项中SKIPIF1<0递增，∴前8项中SKIPIF1<0最大SKIPIF1<0最小时SKIPIF1<0有最大值，∴SKIPIF1<0最大．5．（2022·全国·高二课时练习）两等差数列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，前n项和分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A解：在SKIPIF1<0为等差数列中，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：A．6．（2022·全国·高二课时练习）已知两个等差数列SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的前n项和分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【答案】SKIPIF1<0等差数列中SKIPIF1<0，可令等差数列SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的前n项和分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．7．（2022·陕西·西安市长安区第十二中学高一阶段练习）已知SKIPIF1<0为等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)求当SKIPIF1<0为何值时，SKIPIF1<0取最大值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)设数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，则由题意得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0.对称轴为：SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0