新高考数学一轮复习第10章 第05讲 古典概型、概率的基本性质 精练（教师版）

第05讲古典概型、概率的基本性质(精练）A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2022·陕西渭南·高二期末（理））已知某射击运动员每次射击的命中率均为0.8，现在采用随机模拟试验的方法估计该运动员在三次射击中都命中的概率，先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用0，1表示没有命中，用2，3，4，5，6，7，8，9表示命中，再以每三个随机数作为一组，代表三次射击的情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：619

181

526

551

391

433

036

608

275

852512

103

247

375

923

244

423

404

354

311据此估计该运动员在三次射击中都命中的概率为（

）A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.7【答案】C【详解】20组随机数中，该运动员在三次射击中都命中的为526，433，275，852，247，375，923，244，423，354，共10组符合要求，故估计该运动员在三次射击中都命中的概率为SKIPIF1<0故选：C2．（2022·江苏连云港·高一期末）一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，则使目标受损但未击毁的概率是（

）A．0.4 B．0.48 C．0.6 D．0.8【答案】A【详解】目标受损但未击毁的概率是SKIPIF1<0.故选：A3．（2022·江西·上高二中高二阶段练习（文））某大学选拔新生补充进“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，2019年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团的概率依次为概率依次为m，SKIPIF1<0，n，已知三个社团他都能进入的概率为SKIPIF1<0，至少进入一个社团的概率为SKIPIF1<0，且m＞n．则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】由题知三个社团都能进入的概率为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又因为至少进入一个社团的概率为SKIPIF1<0，即一个社团都没能进入的概率为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0.故选：C.4．（2022·广东潮州·高一期末）哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”，如SKIPIF1<0.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.在“2，3，5，7，11”这5个素数中，任取两个素数，其和是合数的概率是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】从2，3，5，7，11这5个素数中任取两个素数的基本事件为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共10种，其中两个数的和是合数的基本事件为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共7种，由古典概型概率计算公式得，其和是合数的概率是SKIPIF1<0.故选：D.5．（2022·全国·高一单元测试）北京2022年冬奥会于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕，小林观看了本届冬奥会后，打算从冰壶､短道速滑､花样滑冰和冬季两项这四个项目中任选两项进行系统的学习，则小林没有选择冰壶的概率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】解：记冰壶､短道速滑､花样滑冰､冬季两项分别为A，B，C，D，则从这四个项目中任选两项的情况有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种情况，其中没有选择冰壶的有BC，BD，CD，共3种情况，所以所求概率为SKIPIF1<0.故选：C.6．（2022·江苏·如皋市第一中学高一期末）在二行四列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点）．开始时，骰子如图1那样摆放，朝上的点数是3，最后翻动到如图2所示位置．现要求翻动次数最少，则最后骰子朝上的点数为1的概率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】则从开始图1位置到最后图2位置共有4种走法，其结果分别为：右右右下，点数2，右右下右，点数1，右下右右，点数5，下右右右，点数1，故最后骰子朝上的点数为1的概率为SKIPIF1<0．故选：B7．（2022·全国·高一专题练习）口袋中装有编号为①、②的2个红球和编号为①、②、③、④、⑤的5个黑球，小球除颜色、编号外形状大小完全相同，现从中取出1个小球，记事件SKIPIF1<0为“取到的小球的编号为②”，事件SKIPIF1<0为“取到的小球是黑球”，则下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0互斥 B．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0对立 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】依题意，取到的小球为黑球且编号为②，事件SKIPIF1<0与SKIPIF1<0同时发生，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不互斥，也不对立，A，B都不正确；由古典概率得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，C正确，D不正确.故选：C8．（2022·福建·福州三中高一期末）口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事件SKIPIF1<0“取出的两球同色”，事件SKIPIF1<0“取出的2球中至少有一个黄球”，事件SKIPIF1<0“取出的2球至少有一个白球”，事件SKIPIF1<0“取出的2球不同色”，SKIPIF1<0“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】依题意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，A不正确；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，B不正确；事件SKIPIF1<0是含有1个白球与含有两个白球的两个互斥事件和，事件SKIPIF1<0是含有1个白球与没有白球的两个互斥事件和，事件SKIPIF1<0是必然事件，因此SKIPIF1<0，C正确；因SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即D不正确.故选：C二、多选题9．（2022·江苏盐城·高一期末）记SKIPIF1<0分别为事件A，B发生的概率，则下列结论中可能成立的有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABC【详解】当事件A，B相互独立时，SKIPIF1<0，A可能；当事件A，B互斥时，SKIPIF1<0，B可能；当事件A，B不互斥时，SKIPIF1<0，C可能；而不可能出现SKIPIF1<0，D不可能.故选：ABC10．（2022·全国·高一单元测试）已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如135，256，345等）.现要从甲､乙两名同学中选出1人参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛.则下列说法正确的是（

）A．甲参赛的概率大 B．乙参赛的概率大C．这种选取规则公平 D．这种选取规则不公平【答案】BD【详解】由题意，知由1，2，3，4，5组成的“三位递增数”有123，124，125，134，135,145，234，235，245，345，共10个.记“甲参加数学竞赛”为事件A，事件A包含的样本点有124，134，234，共3个，所以SKIPIF1<0.记“乙参加数学竞赛”为事件B，则事件B包含的样本点有123，125，135，145，235，245，345，共7个，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，即乙参赛的概率大，所以该选取规则不公平.故选：BD.三、填空题11．（2022·吉林·长春市第二实验中学高一期末）已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.6．现采用随机模拟的方法计算该运动员射击4次至少击中3次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，2，3表示没有击中目标，4，5，6，7，8，9表示击中目标．因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：5727

0623

7140

9857

6347

4379

8636

6013

1417

46980371

6843

2676

8012

6011

3661

9597

7424

6710

4203据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为______．【答案】0.5##SKIPIF1<0【详解】在20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有：5727，9857，6347，4379，8636，4698，6843，2676，9597，7424共10组随机数，所以所求概率为SKIPIF1<0．故答案为：0.512．（2022·全国·高三专题练习）为实现学生高中选科和大学专业选择的有效衔接，湖南省于2019年采用“3+1+2”模式改革考试科目设置，即考生总成绩由统一高考的语文、数学、外语3个科目成绩，物理或历史中的1门成绩，和生物、政治、地理、化学中的2个科目成绩组成．在选择物理的学生中，选择物理、化学、生物的概率是选择其它组合的2倍，则选择物理、化学、生物的概率为__________；现有选择物理的2名学生，他们选择专业的组合互不影响，则至少有1人选择物理、化学、生物的概率为__________．【答案】

SKIPIF1<0；

SKIPIF1<0【详解】解：设选择物理、化学、生物的概率为SKIPIF1<0，因为物理、化学、生物的概率是选择其它组合的2倍，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.即选择物理、化学、生物的概率为SKIPIF1<0；因为至少有1人选择物理、化学、生物的组合的对立事件为2名学生都没有选择物理、化学、生物组合，所以2名学生都没有选择物理、化学、生物组合的概率为SKIPIF1<0，所以至少有1人选择物理、化学、生物的概率为SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0五、解答题13．（2022·新疆·沙湾县第一中学高一期末（理））甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．(1)若以SKIPIF1<0表示和为6的事件，写出事件SKIPIF1<0的样本点；(2)现连玩三次，若以SKIPIF1<0表示甲至少赢一次的事件，SKIPIF1<0表示乙至少赢两次的事件，试问：SKIPIF1<0与SKIPIF1<0是否为互斥事件？为什么？(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不是互斥事件，理由见解析；(3)不公平，理由见解析.（1）用SKIPIF1<0表示甲、乙各出的手指头数，则SKIPIF1<0表示这个实验的一个样本点，所以该实验的样本空间为SKIPIF1<0，共有25个样本点，事件SKIPIF1<0包含的样本点共5个，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不是互斥事件，因为事件SKIPIF1<0与SKIPIF1<0可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件即符合题意，所以事件SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不是互斥事件．（3）这种游戏规则不公平．由题可知和为偶数的样本点有SKIPIF1<0SKIPIF1<0共13个，所以甲赢的概率为SKIPIF1<0，所以乙赢的概率为SKIPIF1<0，所以这种游戏规则不公平．14．（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）某学校为进一步规范校园管理，强化饮食安全，提出了“远离外卖，健康饮食”的口号.当然，也需要学校食堂能提供安全丰富的菜品来满足同学们的需求.在某学期期末，校学生会为了调研学生对本校食堂的用餐满意度，从用餐的学生中随机抽取了200人，每人分别对其评分，满分为100分.随后整理评分数据，将得分成6组：第1组SKIPIF1<0，第2组SKIPIF1<0，第3组SKIPIF1<0，第4组SKIPIF1<0，第5组SKIPIF1<0，第6组SKIPIF1<0，得到频率分布直方图，如图.(1)求得分的中位数（精确到小数点后一位）；(2)为进一步改善经营，从得分在80分以下的四组中，采用分层随机抽样的方法抽取8人进行座谈，再从这8人中随机抽取3人参与“端午节包粽子”实践活动，求第4组恰抽到2人的概率.【答案】(1)82.2；(2)SKIPIF1<0.（1）解：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，设得分的中位数为SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以得分的中位数约为82.2；（2）解：第1，2，3，4组的人数分别为10，10，20，40，从第1，2，3，4组采用分层随机抽样的方法抽取8人，则从第1，2，3，4组应分别抽取的人数为1，1，2，4.从8个球中随机摸出3个球的样本空间数为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0“第4组恰抽到2人”，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，第4组恰抽到2人的概率为SKIPIF1<0.B能力提升15．（2022·云南丽江·高一期末）随着金融市场的发展，越来越多人选择投资“黄金”作为理财的手段，下面将A市把黄金作为理财产品的投资人的年龄情况统计如图所示.(1)求a的取值，以及把黄金作为理财产品的投资者的年龄的中位数；（结果用小数表示，小数点后保留两位有效数字）(2)现按照分层抽样的方法从年龄在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的投资者中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行投资调查，求至少有1人年龄在SKIPIF1<0的概率.【答案】(1)SKIPIF1<0，中位数为SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0（1）依题意，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因为前2组的频率和为SKIPIF1<0，前3组的频率和为SKIPIF1<0，所以所求中位数为SKIPIF1<0.（2）由频率分布直方图可知年龄在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的频率分别为SKIPIF1<0，所以年龄在SKIPIF1<0的投资者应抽取3人，记为A，B，C年龄在SKIPIF1<0的投资者应抽取2人.记为a，b，则任取2人，所有的情况为：SKIPIF1<0，共10种，满足条件的为SKIPIF1<0共7种故至少有1人年龄在SKIPIF1<0的概率为SKIPIF1<0.16．（2022·陕西渭南·高一期末）中国神舟十三号载人飞船返回舱于2022年4月16日在东风着陆场成功着陆，这标志着此次载人飞行任务取得圆满成功.三位航天员在为期半年的任务期间，进行了两次太空行走，完成了20多项不同的科学实验，并开展了两次“天宫课堂”，在空间站进行太空授课.神舟十三号的成功引起了广大中学生对于航天梦的极大兴趣，某校从甲、乙两个班级所有学生中分别随机抽取8名，对他们的航天知识进行评分调查（满分100分），被抽取的学生的评分结果如图茎叶图所示，计算得甲、乙两个班级被抽取的8名学生得分的平均数都是84.(1)分别计算甲、乙两个班级被抽取的8名学生得分的方差，并据此估计两个班级学生航天知识的整体水平的差异；(2)若从得分不低于85分的学生中随机抽取2人参观市教育局举办的航天摄影展，求这两名学生均来自乙班级的概率.【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；甲班级学生航天知识水平更加均衡一些，乙班级学生航天知识水平差异略大(2)SKIPIF1<0（1）解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴估计甲班级学生航天知识水平更加均衡一些，乙班级学生航天知识水平差异略大；（2）解：甲班级得分不低于85的有4名同学，记为A，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，乙班级得分不低于85的有3名同学，记为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，从这7名同学中随机选取2人共有：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，共21个基本事件，其中两名学生均来自于乙班级的有：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，共3个基本事件，∴这两名学生均来自乙班级的概率SKIPIF1<0.C综合素养17．（2022·湖南·长沙一中高一期末）2022年7月1日是中国共产党建党101周年，某党支部为了了解党员对党章党史的认知程度，针对党支部不同年龄和不同职业的人举办了一次“党章党史”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：[20，25），第二组：[25，30），第三组：[30，35），第四组：[35，40），第五组：[40，45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．(1)根据频率分布直方图，估计这m人的第80百分位数；(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者．①若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和SKIPIF1<0，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这m人中35～45岁所有人的年龄的方差．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)①SKIPIF1<0；②10（1）设这SKIPIF1<0人的平均年龄为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（岁SKIPIF1<0．设第80百分位数为SKIPIF1<0，方法一：由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．方法二：由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．（2）①由题意得，第四组应抽取4人，记为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，甲，第五组抽取2人，记为SKIPIF1<0，乙．对应的样本空间为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0，甲），（SKIPIF1<0，乙），SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0，甲），（SKIPIF1<0，乙），SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0，甲），（SKIPIF1<0，乙），SKIPIF1<0，（甲，乙），（甲，SKIPIF1<0），（乙，SKIPIF1<0）SKIPIF1<0，共15个样本点．设事件SKIPIF1<0“甲、乙两人至少一人被选上”，则SKIPIF1<0，甲），（SKIPIF1<0，乙），（SKIPIF1<0，甲），（SKIPIF1<0，乙），（SKIPIF1<0，甲），（SKIPIF1<0，乙），（甲，乙），（甲，SKIPIF1<0），（乙，SKIPIF1<0，共有9个样本点．所以，SKIPIF1<0．②设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，方差分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为SKIPIF1<0，方差为SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10．据此，可估计这SKIPIF1<0人中年龄在SKIPIF1<0岁的所有人的年龄方差约为10．18．（2022·四川眉山·高二期末（理））某校高二（2）班的一次化学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如下图：(1)求全班人数及全班分