新高考数学一轮复习第7章 第04讲 空间直线、平面的垂直 讲（教师版）

第04讲空间直线、平面的垂直(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析题型一：直线、平面垂直的判定与性质题型二：平面与平面垂直的判定与性质题型三：平行、垂直关系的综合应用题型四：几何法求线面角题型五：几何法求二面角第四部分：高考真题感悟第一部分：知识点精准记忆第一部分：知识点精准记忆知识点一：直线与平面垂直1、直线和平面垂直的定义如果一条直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0内的任意一条直线都垂直，那么直线SKIPIF1<0垂直于平面SKIPIF1<0，记为SKIPIF1<0．直线SKIPIF1<0叫做平面SKIPIF1<0的垂线，平面SKIPIF1<0叫做直线SKIPIF1<0的垂面，垂线与平面的交点P叫垂足.符号语言：对于任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.2、直线和平面垂直的判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.简记：线线垂直SKIPIF1<0线面垂直符号语言：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<03、直线和平面垂直的性质定理3.1定义转化性质：如果一条直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0垂直，那么直线SKIPIF1<0垂直于平面SKIPIF1<0内所有直线.符合语言：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.3.2性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.符合语言：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0知识点二：直线与平面所成角1、直线与平面所成角定义如图，一条直线SKIPIF1<0和一个平面SKIPIF1<0相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点SKIPIF1<0叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线SKIPIF1<0，过垂足SKIPIF1<0和斜足SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.说明：①SKIPIF1<0为斜线②SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点SKIPIF1<0为斜足③直线SKIPIF1<0为在平面SKIPIF1<0上的射影④直线SKIPIF1<0与射影SKIPIF1<0所成角SKIPIF1<0(角SKIPIF1<0)为直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0上所成角⑤当直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0垂直时：SKIPIF1<0；当直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0平行或在平面SKIPIF1<0内时：SKIPIF1<0⑥直线与平面所成角SKIPIF1<0取值范围：SKIPIF1<0.2、直线与平面所成角的求解步骤①作：在斜线上选取恰当的点向平而引垂线，在这一步确定垂足的位置是关键；②证：证明所找到的角为直线与平面所成的角，其证明的主要依据为直线与平面所成的角的定义；③算：一般借助三角形的相关知识计算.知识点三：二面角1、二面角定义（1）定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．（2）符号语言：①二面角SKIPIF1<0.②在SKIPIF1<0,SKIPIF1<0内分别取两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(SKIPIF1<0,SKIPIF1<0),可记作二面角SKIPIF1<0;③当棱记作SKIPIF1<0时，可记作二面角SKIPIF1<0或者二面角SKIPIF1<0.2、二面角的平面角（1）定义：在二面角SKIPIF1<0的棱SKIPIF1<0上任取一点SKIPIF1<0,以点SKIPIF1<0为垂足,在半平面SKIPIF1<0和SKIPIF1<0内分别作垂直与直线SKIPIF1<0的射线SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则射线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0构成的SKIPIF1<0叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角.（2）说明：①二面角的大小可以用它的平面角的大小来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度；②二面角的大小与垂足SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的位置无关一个二面角的平面角有无数个，它们的大小是相等的；③构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”.即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可，前两个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性，后一个要素表明平面角所在的平面与棱垂直；④二面角的平面角SKIPIF1<0的范围是SKIPIF1<0，当两个半平面重合时，SKIPIF1<0；当两个半平面合成一个平面时，SKIPIF1<0⑤当两个半平面垂直时，SKIPIF1<0，此时的二面角称为直二面角.3、二面角的平面角SKIPIF1<0的取值范围：SKIPIF1<04、二面角平面角求法（1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（一般取特殊点），过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法，要注意用二面角的平面角定义的三要素来找出平面角.（2）三垂线定理及其逆定理①定理：平面内的一条直线如果和经过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线的射影与二面角的棱垂直，推得它在二面角的另一面上的射影也与二面角的棱垂直.从而确定二面角的平面角.(3)找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角.(4)转化法：化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角（或其补角）.(5)向量法：用空间向量求平面间夹角的方法知识点四：平面与平面垂直1、平面与平面垂直的定义（1）定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.（2）符号语言:SKIPIF1<0（3）图形语言2、平面与平面垂直的判定（1）定理：如果一个平面过另一个平面的的垂线，那么这两个平面垂直.(线面垂直，则面面垂直)（2）符号（图形）语言:SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<03、平面与平面垂直的性质定理（1）定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．(2)符号（图形）语言：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.第二部分：课前自我评估测试第二部分：课前自我评估测试1．（2022·全国·高一课时练习）判断正误．（1）若平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，任取直线SKIPIF1<0，则必有SKIPIF1<0．()（2）已知两个平面垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．()（3）已知两个平面互相垂直，那么一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线．()【答案】

×

√

√（1）根据面面垂直的性质定理可知错误；（2）根据面面垂直的性质定理可知正确；（3）已知两个平面互相垂直，那么一个平面内的直线必垂直于另一个平面内与交线垂直的直线，这样的直线有无数条，故正确.2．（2022·全国·高一课时练习）空间中直线l和三角形的两边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0同时垂直，则这条直线和三角形的第三边SKIPIF1<0的位置关系是()A．平行

B．垂直

C．相交

D．不确定【答案】B由直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，所以该直线垂直平面ABC,则该直线与AB垂直故选：B3．（2022·全国·高一课时练习）对于直线m，n和平面SKIPIF1<0，能得出SKIPIF1<0的一个条件是()A．SKIPIF1<0

B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0

D．SKIPIF1<0【答案】C对A，SKIPIF1<0可以平行或相交；对B，SKIPIF1<0相交但不一定垂直；对C，根据SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故成立；对D，由SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0平行故选：C4．（2022·全国·高一课时练习）已知SKIPIF1<0，则过l与SKIPIF1<0垂直的平面()A．有1个

B．有2个

C．有无数个

D．不存在【答案】C由题可知：经过直线l的平面有无数个，所以满足条件的平面有无数个故选：C5．（2022·全国·高一课时练习）若平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则()A．SKIPIF1<0

B．SKIPIF1<0

C．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交但不垂直

D．以上都有可能【答案】D若平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0可以平行，垂直，相交且不垂直故选：D第三部分：典型例题剖析第三部分：典型例题剖析题型一：直线、平面垂直的判定与性质典型例题例题1．（2022·山东省莱西市第一中学高一期中）如图，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都垂直于平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点．(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(1)证明：（1）取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都垂直于平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴四边形SKIPIF1<0为平行四边形，从而SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．(2)证明∵SKIPIF1<0垂直于平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，由（1）可知：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．例题2．（2022·广西贵港·高二期末（文））如图，在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，且SKIPIF1<0．(1)证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．【答案】(1)证明见解析；由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．例题3．（2022·辽宁·沈阳二十中高一期末）已知四棱锥SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0为矩形，点E在AD上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)证明：SKIPIF1<0；【答案】(1)证明见解析证明：如图所示，连接SKIPIF1<0，因为平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0AB的中点，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为四边形SKIPIF1<0为矩形，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.例题4．（2022·北京·高一期末）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0为平行四边形，SKIPIF1<0.(1)求证：SKIPIF1<0；(2)在棱SKIPIF1<0上是否存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0？若存在，指出点SKIPIF1<0的位置；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，点SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0的中点(1)因为平面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.又因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.(2)解：存在，点SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0的中点.连接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，如图所示：因为底面SKIPIF1<0为平行四边形，所以点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点.在SKIPIF1<0中，因为点SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的中点.所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.又因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.题型归类练1．（2022·全国·高二专题练习）如图，四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为矩形，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点，且SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；【答案】(1)证明见解析；(1)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相似，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0．SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；2．（2022·全国·高二单元测试）在四棱锥SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的点．(1)求证：SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0；【答案】(1)证明见解析在SKIPIF1<0中：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0中：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理有：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0①又因为SKIPIF1<0②，由①②，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0③.在SKIPIF1<0中：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0④，由③④，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0.3．（2022·河北唐山·高一期末）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面ABCD是矩形，SKIPIF1<0平面ABCD，M为AD的中点且SKIPIF1<0.(1)证明：SKIPIF1<0；【答案】(1)证明见解析(1)证明：∵SKIPIF1<0底面ABCD，SKIPIF1<0平面ABCD，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面PAC，∴SKIPIF1<0平面PAC，∵SKIPIF1<0平面PAC，∴SKIPIF1<0；4．（2022·福建三明·高一期末）如图，在直三棱柱SKIPIF1<0中，E为SKIPIF1<0的中点，且SKIPIF1<0．(1)证明：AB⊥BC；【答案】(1)见解析因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是直三棱柱，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以AB⊥BC.题型二：平面与平面垂直的判定与性质典型例题例题1．（2022·四川绵阳·高二期末（理））如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上一动点.(1)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；【答案】(1)证明见解析证明：因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因此，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.例题2．（2022·北京延庆·高一期末）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，已知底面SKIPIF1<0是一个菱形，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(1)求证：SKIPIF1<0；(2)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(3)求证：SKIPIF1<0.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析(1)因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；(2)因为底面SKIPIF1<0是一个菱形，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(3)因为底面SKIPIF1<0是一个菱形，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，且SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；例题3．（2022·黑龙江·大庆实验中学高一期末）如图，在四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；【答案】(1)证明见解析；在四棱柱SKIPIF1<0中，取CD中点E，连接SKIPIF1<0，如图，菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是正三角形，SKIPIF1<0，又平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.例题4．（2022·广东茂名·高二期末）在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0为矩形，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(1)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；【答案】(1)证明见解析；(1)在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0为矩形，有SKIPIF1<0，因平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.题型归类练1．（2022·江西·景德镇一中高一期末）如图所示，已知菱形SKIPIF1<0和矩形SKIPIF1<0所在平面互相垂直，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)证明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；【答案】(1)证明见解析证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0因为四边形SKIPIF1<0为菱形SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0

SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0面SKIPIF1<02．（2022·河南南阳·高一期末）如图，已知SKIPIF1<0是正三角形，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0都垂直于平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点．(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(1)证明：取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0都垂直于平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以，四边形SKIPIF1<0为平行四边形，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(2)证明：SKIPIF1<0为等边三角形，且SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.3．（2022·重庆市实验中学高一期末）如图，四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点．(1)证明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值；【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0(1)证明：在底面SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为等腰直角三角形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(2)解：取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，由已知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以，四边形SKIPIF1<0为平行四边形，故SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以，异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0或其补角，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0.因此，异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为SKIPIF1<0.4．（2022·全国·高一单元测试）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面ABCD，四边形ABCD为等腰梯形，SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0；【答案】(1)证明见解析如图所示，设AC与BD的交点为O．因为四边形ABCD为等腰梯形，SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．同理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又因为平面SKIPIF1<0平面ABCD，且平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面ABCD．所以SKIPIF1<0平面PBD，又因为SKIPIF1<0平面PBD，所以SKIPIF1<0．题型三：平行、垂直关系的综合应用典型例题例题1．（2022·四川成都·高一期末）如图，三棱锥SKIPIF1<0中，等边三角形SKIPIF1<0的重心为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的中点.(1)求证：SKIPIF1<0平面DEF；(2)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(1)连接PE，因为SKIPIF1<0为等边三角形，且O为重心，所以P、O、E三点共线，且SKIPIF1<0，因为M为PA中点，D是线段AM的中点，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面DEF，SKIPIF1<0平面DEF，所以SKIPIF1<0平面DEF(2)连接AE、BD，如图所示因为SKIPIF1<0为等边三角形，E为BC中点，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E为BC中点，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面PAE，所以SKIPIF1<0平面PAE，因为SKIPIF1<0平面PAE，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面PBC，所以SKIPIF1<0平面PBC，因为SKIPIF1<0平面DEF，所以平面SKIPIF1<0平面PBC例题2．（2022·福建三明·高一期末）如图1，在平行四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是边SKIPIF1<0上的点，且SKIPIF1<0．连结SKIPIF1<0，并以SKIPIF1<0为折痕将SKIPIF1<0折起，使点SKIPIF1<0到达点SKIPIF1<0的位置，得到四棱锥SKIPIF1<0，如图2．(1)设平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的交线为SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0；(2)在图2中，已知SKIPIF1<0．①证明：平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；②求以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为顶点的四面体外接球的表面积．【答案】(1)证明见解析；(2)①证明见解析；②SKIPIF1<0.(1)由题设，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，平面PEC与平面PAD的交线为l，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，综上，SKIPIF1<0.(2)①若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，连接SKIPIF1<0，由题设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，平行四边形ABCD中SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，在△SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，在△SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，故SKIPIF1<0，在△SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，则面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0.②由①知：△SKIPIF1<0为直角三角形，则外接圆圆心为SKIPIF1<0，故外接圆半径为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，则以P，A，D，E为顶点的四面体外接球球心在直线SKIPIF1<0上，若外接球半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以外接球的表面积为SKIPIF1<0.题型归类练1．（2022·四川成都·高三期末（理））如图，已知正方体SKIPIF1<0的棱长为2，M，N分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点．有下列结论：①三棱锥SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0上的正投影图为等腰三角形；②直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；③在棱BC上存在一点E，使得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；④若F为棱AB的中点，且三棱锥SKIPIF1<0的各顶点均在同一求面上，则该球的体积为SKIPIF1<0．其中正确结论的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D对于①，设SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如图，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0上的正投影分别为SKIPIF1<0，且点SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0上的正投影分别为其本身，SKIPIF1<0三棱锥SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0上的正投影图为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0为等腰三角形，①正确；对于②，以点SKIPIF1<0为原点，分别以SKIPIF1<0所在直线为SKIPIF1<0轴，建立空间直角坐标系，如图，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<