新高考数学一轮复习第7章 第09讲 立体几何与空间向量 章节总结 讲（教师版）

第09讲立体几何与空间向量章节总结(精讲）第一部分：典型例题讲解题型一：空间位置关系证明的传统法与向量法角度1：用传统法证明空间的平行和垂直关系角度2：利用向量证明空间的平行和垂直关系题型二：空间角的向量求法角度1：用传统法求异面直线所成角角度2：用向量法求异面直线所成角角度3：用向量法解决线面角的问题（定值+探索性问题（最值，求参数））角度4：用向量法解决二面角的问题（定值+探索性问题（最值，求参数））题型三：距离问题角度1：点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离角度2：点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离（等体积法）角度3：点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离（向量法）题型四：立体几何折叠问题第二部分：高考真题感悟第一部分：典型例题剖析第一部分：典型例题剖析题型一：空间位置关系证明的传统法与向量法角度1：用传统法证明空间的平行和垂直关系典型例题例题1．（2022·四川成都·高一期末（文））如图，四边形ABCD为长方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点．设平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．(1)证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)证明：SKIPIF1<0．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(1)取PB中点SKIPIF1<0，连接FG，EG，因为点E、F分别为AD、PC的中点，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为四边形ABCD为长方形，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以四边形DEGF为平行四边形，所以SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0平面PBE，SKIPIF1<0平面PBE，SKIPIF1<0平面PBE；(2)由（1）知SKIPIF1<0平面PBE，又SKIPIF1<0平面PDC，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.例题2．（2022·辽宁葫芦岛·高一期末）如图，在四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，且直线SKIPIF1<0面SKIPIF1<0．(1)直线SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0；(2)平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(1)SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0例题3．（2022·福建·厦门市湖滨中学高一期中）如图，在正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点．(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(1)证明：连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(2)证明：因为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，四边形SKIPIF1<0为平行四边形，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，因此，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.例题4．（2022·甘肃酒泉·高二期末（文））如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是边长为2的正三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点．(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(1)证明：如图，取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0为中位线，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．同理，在梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．(2)证明：如上图，在四边形SKIPIF1<0中，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．又由已知条件SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．角度2：利用向量证明空间的平行和垂直关系典型例题例题1．（2022·全国·高二专题练习）如图，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点．(1)证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)证明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(1)在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0以SKIPIF1<0为原点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴，建立空间直角坐标系，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的一个法向量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．例题2．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在直四棱柱SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0为等腰梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点．求证：（1）直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.（1）因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为正三角形．因为底面SKIPIF1<0为等腰梯形，所以SKIPIF1<0．取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．以SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在直线分别为SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．（2）因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0．由（1）知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．例题3．（2022·全国·高二专题练习）如图，四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点．求证：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.方法一

（1）以SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在直线分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）由（1），得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．设向量SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0的法向量，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．方法二

（1）∵SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．（2）∵SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．由题可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．例题4．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0上的动点．（1）求证：SKIPIF1<0；（2）若平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，试确定SKIPIF1<0点的位置．【答案】（1）证明见解析；（2）E为CC1的中点.以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为a，则A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a)．设E(0，a，e)(0≤e≤a)．（1）SKIPIF1<0＝(－a，a，e－a)，SKIPIF1<0＝(－a，－a，0)，SKIPIF1<0＝a2－a2＋(e－a)·0＝0，∴SKIPIF1<0，即A1E⊥BD；（2）设平面A1BD，平面EBD的法向量分别为SKIPIF1<0＝(x1，y1，z1)，SKIPIF1<0＝(x2，y2，z2)．∵SKIPIF1<0＝(a，a，0)，SKIPIF1<0＝(a，0，a)，SKIPIF1<0＝(0，a，e)∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0,SKIPIF1<0取x1＝x2＝1，得SKIPIF1<0＝(1，－1，－1)，SKIPIF1<0＝(1，－1，SKIPIF1<0)．由平面A1BD⊥平面EBD得SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0.∴2－SKIPIF1<0＝0，即e＝SKIPIF1<0.∴当E为CC1的中点时，平面A1BD⊥平面EBD.题型二：空间角的向量求法角度1：用传统法求异面直线所成角典型例题例题1．（2022·重庆·西南大学附中高一期末）正四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的中点，则异面直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C连接SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为异面有线CE和AF所成角或其补角，设正四面体的棱长为2，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以在SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0,所以异面有线CE和AF所成角的余弦值为SKIPIF1<0，故选：C例题2．（2022·福建莆田·高二期末）若正六棱柱SKIPIF1<0底面边长为1，高为SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成的角大小为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C由题意，SKIPIF1<0平移到SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为所求.由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0故选：C.例题3．（2022·河北邯郸·高一期末）如图，在圆台SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C解：如图，连接SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0为平行四边形，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0即为异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角或其补角，因为，在圆台SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以，异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为SKIPIF1<0故选：C例题4．（2022·云南·丽江市教育科学研究所高二期末）如图，SKIPIF1<0是正方体的一个“直角尖”SKIPIF1<0（SKIPIF1<0两两垂直且相等）棱SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的一个动点，连接SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角为最小时，SKIPIF1<0_________．【答案】SKIPIF1<0解：根据题意，SKIPIF1<0两两垂直，故以SKIPIF1<0为坐标原点，建立空间直角坐标系如下图所示：不妨设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0设点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0设直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0则SKIPIF1<0SKIPIF1<0①令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.代入①得：SKIPIF1<0所以，当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值，此时SKIPIF1<0取得最小值.从而

SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.角度2：用向量法求异面直线所成角典型例题例题1．（2022·山东德州·高一期末）已知SKIPIF1<0､SKIPIF1<0､SKIPIF1<0､SKIPIF1<0分别是正方体SKIPIF1<0，边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为___________.【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设该正方体的棱长为SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，于是有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此异面直线EH与GF所成角的余弦值为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0例题2．（2022·河南省兰考县第一高级中学模拟预测（理））已知三棱柱SKIPIF1<0的底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为2，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，若SKIPIF1<0，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为______．【答案】SKIPIF1<0由题意，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0.角度3：用向量法解决线面角的问题（定值+探索性问题（最值，求参数））典型例题例题1．（2022·全国·高二单元测试）如图，四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0为平行四边形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若二面角SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为__________．【答案】SKIPIF1<0取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，如图，则由已知得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为二面角SKIPIF1<0的平面角，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴建立空间直角坐标系，如图，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的一个法向量是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．例题2．（2022·黑龙江·大庆实验中学高一期末）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0为菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0．(1)点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)在（1）的条件下，若SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0所成角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0(1)证明：连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面MQB；(2)解：连接SKIPIF1<0，由题意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都是等边三角形，因为SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中点，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在平面SKIPIF1<0内作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，以点SKIPIF1<0为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0，可取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方向向量SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即直线SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0所成角的余弦值等于SKIPIF1<0.例题3．（2022·天津一中高一期末）如图，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的夹角的正弦值；(3)若点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，且直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，求线段SKIPIF1<0的长．【答案】(1)见解析(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0(1)证明：因为SKIPIF1<0平面ABCD，SKIPIF1<0平面ABCD，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0两两垂直，所以以D为原点，分别以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系（如图），则D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F（0，1，2），G（0，0，2），M（0，SKIPIF1<0，1），N（1，0，2）．所以SKIPIF1<0=（0，2，0），SKIPIF1<0=（2，0，2）．设SKIPIF1<0为平面CDE的法向量，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0=（1，SKIPIF1<0，1），所以SKIPIF1<0，因为直线MNSKIPIF1<0平面CDE，所以MN∥平面CDE．(2)解：依题意，可得SKIPIF1<0=（–1，0，0），SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=（0，–1，2）．设SKIPIF1<0为平面BCE的法向量，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0为平面BCF的法向量，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以平面EBC与平面BCF的夹角的正弦值为SKIPIF1<0(3)解：设线段DP的长为h（SKIPIF1<0），则点P的坐标为（0，0，h），可得SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0=（0，2，0）为平面ADGE的一个法向量，所以SKIPIF1<0，由题意，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．所以线段SKIPIF1<0的长为SKIPIF1<0.例题4．（2022·湖北·鄂州市教学研究室高二期末）莲花山位于鄂州市洋澜湖畔．莲花山，山连九峰，状若金色莲初开，独展灵秀，故而得名．这里三面环湖，通汇长江，山峦叠翠，烟波浩渺．旅游区管委会计划在山上建设别致凉亭供游客歇脚，如图①为该凉亭的实景效果图，图②为设计图，该凉亭的支撑柱高为3SKIPIF1<0m，顶部为底面边长为2的正六棱锥，且侧面与底面所成的角都是SKIPIF1<0．(1)求该凉亭及其内部所占空间的大小；(2)在直线SKIPIF1<0上是否存在点SKIPIF1<0，使得直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0？若存在，请确定点SKIPIF1<0的位置；若不存在，请说明理由．【答案】(1)60SKIPIF1<0(2)直线PC上不存在点M，使得直线MA与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0，理由见解析(1)结合图②易得凉亭的顶是正六棱锥，侧面与水平面成45°，取SKIPIF1<0的中点G，连接SKIPIF1<0，PG，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，易求SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以该凉亭的体积分为两部分，上半部分为正六棱锥，其体积为SKIPIF1<0，下半部分为正六棱柱，其体积SKIPIF1<0，所以该凉亭及内部所占空间为60SKIPIF1<0，(2)取AB的中点H，以OH、FC、OP所在直线分别为x，y，z轴，以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系SKIPIF1<0，如图所示．假设在直线PC上存在点M，使得直线MA与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0

设SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的一个法向量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0的一个法向量SKIPIF1<0,设直线MA与平面SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,故该方程不存在实数解，所以在直线PC上不存在点M，使得直线MA与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0角度4：用向量法解决二面角的问题（定值+探索性问题（最值，求参数））典型例题例题1．（2022·吉林·长春市实验中学高一期末）如图在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0．(1)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0(2)若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成锐二面角的余弦值．【答案】(1)见详解.(2)SKIPIF1<0(1)取AC中点D，连接OD，BD，在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0是平面OAC和平面ABC所成角的平面角.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以平面SKIPIF1<0平面ABC.(2)以D为坐标原点，DB为x轴，DC为y轴，DO为z轴，建立空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为E为OC中点，所以SKIPIF1<0显然平面ABC的法向量为SKIPIF1<0，设平面EAB的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.设平面ABC与平面EAB所成锐二面角为SKIPIF1<0，所以平面ABC与平面EAB所成锐二面角的余弦值为：SKIPIF1<0.例题2．（2022·四川雅安·高二期末（理））如图（一）四边形SKIPIF1<0是等腰梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0点作SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0点，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折到SKIPIF1<0位置如图（二），且SKIPIF1<0．(1)证明：平面SKIPIF1<0平面EBCD；(2)已知点SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0(1)证明：在等腰梯形ABCD中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，知SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，EC，SKIPIF1<0面EBCD，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0面EBCD∵SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，∴面SKIPIF1<0面EBCD(2)由（1）知SKIPIF1<0面EBCD，SKIPIF1<0∴以E为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0设∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0设SKIPIF1<0是面CEP的法向量，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0设SKIPIF1<0是面DEP的法向量，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由图知，二面角SKIPIF1<0的余弦值为锐二面角，余弦值SKIPIF1<0例题3．（2022·全国·高三专题练习）四棱雉SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0是等腰梯形，且SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上.(1)当SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中点时，求证:SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0;(2)当直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角SKIPIF1<0最大时，求二面角SKIPIF1<0的大小.【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0(1)取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，∴四边形SKIPIF1<0是平行四边形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)等腰梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0中，由余弦定理得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0两两垂直如图，以SKIPIF1<0为原点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴为正方向建立空间直角坐标系，则SKIPIF1<0