贵州省贵阳市云岩区振华中学2023年高三数学理月考试卷含解析

贵州省贵阳市云岩区振华中学2023年高三数学理月考

试卷含解析

一、选择题：本大题共1()小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

，(巾=(xs2x«6rxr<--i)

1.函数2的最大值为

(A)4(B)5(C)6(D)7

参考答案：

B

因为^^・-3'堂+亍，而***LI］，所以、时，取最大值5,选B

2.已知两个不同的平面〃和两个不重合的直线m、n,有下列四个命题：

①若后〃从而J_a,则”一a；②若删民则a//£；

③若删一a.刷〃n,〃u£,则ale；④若府//a,ac£=”，则刑〃〃,

其中正确命题的个数是()

A.OB.lC.2D.3

参考答案：

D

略

3.已知集合/={力=-*-9,，=bd/=/},则"!A=()

A.{(-1,1)}B.[0,+a>)C.(-1,1)D.0

参考答案：

B

4.甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩的茎叶图如图2所示，々，勺分别

表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，为“分别表示甲乙两名运动员这项

甲乙

-908

655413557

22

测试成绩的标准差，则有田2

A.B.近=刀2,可＞$2

C.%=x币玩=%D,入1=*2，另＜$2

参考答案:

D

由样本中数据可知三=15,%=匕，由茎叶图得与<%,所以选D.

5.03勺年2°3.2"这三个数之间的大小顺序是（）

2a03

（A）03<^<bg303⑻03<bg2O,3<2

J0302J

（C）bga03<03<2（D）loga03<2<03

参考答案：

C

6.设a,夕为两个平面，则a〃夕的充要条件是

A.a内有无数条直线与夕平行B.a内有两条相交直线与万平

行

C.a,夕平行于同一条直线D.a,夕垂直于同一平面

参考答案：

B

根据面面平行的判定定理易得答案.选B.

X.2彳

—1+V=1

7.如图所示是用模拟方法估计椭圆4.的面积的程序框图,则图中空白框内应填入

ASN=---B.S=—

500500

AM

500

参考答案:

D

略

n

8.已知函数f(x)=sin(2x+>)，其中中为实数，若f(x)WIf(4)|对x£R恒

n

成立，且f(不)>0,则f(x)的单调递减区间是

nnn

A.[ku,kJI+2](kez)B.[kn—4,kn+4]

(kez)

C.[kn+4,kn+4](keZ)D.[kn-2,kn](kEZ)

参考答案:

c

略

z£

o9

9.已知A、B分别为双曲线a-b=1(a>0,b>0)的左、右顶点，P为双曲线上一点，

且AABP为等腰三角形，若双曲线的离心率为则/ABP的度数为()

A.30°B.60°C.120°D.30°或120°

参考答案：

D

【考点】KC：双曲线的简单性质.

【分析】双曲线的离心率为则24，双曲线方程为d-yJd,利用AABP为等腰三角

形，分类讨论，即可求出/ABP的度数.

【解答】解：双曲线的离心率为贝Ua=b,双曲线方程为/-丫2=1,

(22_2

m-n-a

若|AB|二|BP|=2a,设P(m,n),则I(nra)2+/=4a2,

Am=2a,AZPBx=60°,AZABP=120°；

(22_2

in-n-a

若|AB|=|AP|=2a,设P(m,n),则［(/a)2+n2=4a2,

，m=-2a,/PAB=120°,：.ZABP=30°,

故选D.

10.已知关于X、A的二元一次线性方程组的增广矩阵为%cj,记

a=⑸引力=(力禽)(=,则此线性方程组有无穷多组解的充要条件是

————

(A)a+B+c=0.(B)a两两平行.

(D).』1方向都相同.

(C)a//b.

参考答案:

B

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.函数\j的定义域为

参考答案：

图

1蜂国-1）20

试题分析：因为函数的定义域应满足：J，且3x-l>0,解之得

IV,故应填图.

考点：1、函数的定义域；2、对数函数；

12.某种产品的加工需要A,B,C,D,E五道工艺，其中A必须在D的前面完成（不一定

相邻），其它工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间，B与C必须相

邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有种.（用数字作答）

参考答案：

24

【考点】计数原理的应用.

【专题】应用题；排列组合.

【分析】由题意，B与C必须相邻，利用捆绑法，结合A必须在D的前面完成，可得结

论.

【解答】解：由题意，B与C必须相邻，利用捆绑法，可得A；A^48种方法，

因为A必须在D的前面完成，所以完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有48+2=24

种，

故答案为:24.

【点评】本题考查计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础.

13.若函数/（X）是定义在自上的偶函数，且在区间+8）上是单调增函数.如果实数，满足

/(ln/)+/dnl)<2/(l)

f时，那么?的取值范围是.

参考答案：

(L。)

e

略

/(x)・(a>O.b€lUc.O)“、r”、,2°

14.已知函数一(1)、0，函数期xAm[/(x)r+p(M.peR,且

〃卯VO),给出下列结论：

①存在实数r和s,使得r4/8)4$对于任意实数X恒成立；

②函数欧Q的图像关于点(瓦°)对称；

③函数式D可能不存在零点(注：使关于x的方程式0=°的实数x叫做函数

式D的零点)；

④关于x的方程式工)=°的解集可能为｛-1,1,4,5).

其中正确结论的序号为(写出所有正确结论的序号).

参考答案：

①③

15.已知I6J5,则

参考答案：

3

5

16.

7T

函数f(x)=后sinx+sin(2+x)的最大值是.

参考答案：

_,_/(*)=V5anx+cosx=2sin(x+^)=/仁「=2

【解析】由6

答案：2

c

17.已知数列：4/满足/-’-7,若对所有〃右犷不等式42%恒成立，则实数

C的取值范围是O

参考答案：

6<c<12

略

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.已知函数/(©nR-X—dM.一H

(1)若L求实数。的取值范围；

2

4

一

若3

2判断/(*)与1的大小关系并证明.

参考答案:

⑴因为‘口卜L所以。•।:八。

①当a4•时，得-“+(1-句<，解得3,所以3；

②当2时，得““川<3,解得a>一2,所以2；

141

③当“5时，得Q-(l-2a)<3,解得0<3,所以7a<3；

综上所述，实数”的取值范围是''3'........5分

2

⑵/00",因为3,

所以/00=|1-工_"+|2^—1£|»|[1_*_«1)_2_工)=|l-3a|-3a-l>l

.......10分

19.已知aWR,函数f(x)=x2-a|x-1|.

(I)当a=l时，求函数f(x)的最小值；

(II)讨论y=f(x)的图象与y=|x-a|的图象的公共点个数.

参考答案：

考点：二次函数的性质.

专题：函数的性质及应用.

分析：(I)把绝对值函数化为分段函数，继而求出函数的最小值；

(II)设h(x)=x?-a|x-l|-x-a|,分a>l,a=l,a<l三种情况讨论，其中a>l,

和aVl时，还要继续分类讨论，根据二次函数的性质即可得到答案.

X2-x+1,X)1

f(x)=•

2

解答：解(I)当a=l时，X+x-1,X<1.,

故f(x)—f(-乡=]

(II)设h(x)=x2-ax-11-Ix-a|,

x2-(a+1)x+2a,x》a

h(x)二，x2-(a-1)x,

当a>l时，x2+(a+l)x-2a.x<l.,

_a+l/

----3

、时，对称轴,无零点.时，(舍去)，

1x2ah(a)=a>0,2KVaXFOx2=a

-1,

所以(i)a22时，一个零点；

=a+l<]

(ii)l<a<2时，x<l时，△=a2+10a+l>0,对称轴2,h(1)=2-a

所以(i)a与2时，一个零点；

(ii)l<a<2时，两个零点.

综上所述，a>l时，h(x)有两个零点，

即y=f(x)的图象与y=|x-a|的图象的公共点有2个，

2.a=l时，x=-l±«,即y=f(x)的图象与y=|x-a|的图象的公共点有2个，

x2-(a+1)x+2a,x>l

2-

h(x)=ix+(a1)x,a(x<l

3.a<l时，x2+(a+l)x-2a.x<a...

=a+l<]

xel时，对称轴"2,h（1）=a.

所以（i）aWO时，一个零点；

时\无零点.时，舍去），

（ii）OVaVlaWxVlXi=0（x2=l-a,

a<l

所以（i）a、2时，一个零点；

(ii)23时，无零点.xVa时，△=a?+10a+l,对称轴2,h(a)=a(2a-

1)

a<-lx=-胆》a

所以(i)3时，对称轴2k，h(a)=a(2a-1)>0,无零点；

---5+2-X/A

(ii)3时，△=a2+10a+l<0,无零点；

(iii)a=-5+2后时，x=2-Ve<a=-5+276,一个零点；

<Ti__a+14

(iv)-5+2粕<a<0或1时，△=a2+i0a+l>0,对称轴、一：h(a)

=a(2a-1)>0,两个零点；

(v)2时，h(a)=a(2a-1)WO,一个零点，

综上，(i)a<-5+2加或a>o时、y=f(x)与y=g(x)的图象的公共点有2个；

(ii)声一5+2加或a=o时，y=f(x)与y=g(x)的图象的公共点有3个；

(iii)-5+2於<a<0时，y=f(x)与y=g(x)的图象的公共点有4个.

点评：木题考查了二次函数的性质，难点是分类讨论，类中有类运算量大，分类多，属于

难题.

20.已知/④=xMx-axtg(x)=-？-2

(I)对一切工己(°，+8),/(x)2g(x)恒成立，求实数a的取值范围；

(II)当4=-1时，求函数在辰次+3]3>0)上的最值；

tax+i>-L_Z

(III)证明：对一切XW(0,3,都有>7嬴成立。

参考答案：

解：(I)对一切X€(O,*o)ja)2ga)恒成立，即xlnx-axN-Y-2恒成立.也就

2

是aKlnx+x+x在xe(0.+co)恒成立

2

尸lnx+x+—

令x,

,、1.2?+x-2(x+2)(x-l)

则尸XX2X3X,

在(油上F(x)<0,在(1,+8).上尸,(x)>0,因此，“0在x=l处取极小值，也是

最小值，即-")=口①=3,所以a《3

(II)当。=-1时,/(x)=xlnx+x,

1

r(x)=tax+2,由尸(x)=0得x=T

①当。<T时,在“忆3上/㈤<0,在、<皿刃上尸(劝>0

x__l_f5)-」

因此，/口)在X、户处取得极小值，也是最小值.-a"一F.

由于/(6)<O,/(m+3)=Q»+3)[lnQ»+?)+1]>O

因此，J(x)=/O«+$=(加+$画州+3+1]

小、J时

②当一?"，尸㈤之。，因此湖冽，冽+3]上单调递增，所以

f(附)=m(lnw+D,4t(x)=」(附+$=(m+?)Dn(刑+习+1]

x2

xlnx+x>---(xe(O.-KJo))

(III)证明：问题等价于证明。,

一__1=__

由(II)知a=T时，/(x)=xlnx+x的最小值是德,当且仅当一/时取得,

G(x)=^--(xe(0,-H»))0,*)==

设¥e,则G。,易知

G(x)=GC)=--

e,当且仅当x=l时取到，

II,,12

―—一一,/c\lnx+l>———

但。。从而可知对一切xw。*3),都有ex成立

略

21.(本小题满分12分)

直三棱柱切7一平£中，&=MMC=&*C=6,乂=8,点D在线段AB上.

(I)若平面“确定口点的位置并证明;

BD1

(II)当益一1时，求二面角勺余弦值.

参考答案:

(I)证明：当D是AB中点时，K//平面监0.

连接BG,交BC于E,连接DE.

因为三棱柱ABC-ABG是直三棱柱，

所以侧面BBCC为矩形，DE为△ABG的中位线，

所以DE//AC.........................2分

因为DEU平面BED,AC&平面

B,CD,

所以AG〃平面BCD.............................4分

(II)由dA=10,/C=&”C=6,得AC^BC,以C为原点建立如图所示的空间

直角坐标系C-xyz.则B(6,0,0),A(0,8,0),At(0,8,8),B,(6,0,

8).设D(a,b,0)(a>0,i>0),.............5分

因为点D在线段AB上，且43,即3

,V8

a=4.b=-

所以3........................7分

所以科TRF尸(V。

平面BCD的法向量为=(°,，D.

设平面B.CD的法向量为112r("E,

—6x—8=0

4x+gjr=0

由—

n}=0CD0得

10

分

没：而MS当的大小为d

3而

所以二面角上一8一4的余弦值为7r.....................时分

22.(16分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：a'+b'=1(a>b>0)的离心率为

正

2,且右焦点F到左准线的距离为6石.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设A为椭圆C的左顶点，P为椭圆C上位于x轴上方的点，直线PA交y轴于点

M,过点F作MF的垂线，交y轴于点N.

2

(i)当直线PA的斜率为5时，求4MFN的外接圆的方程；

(ii)设直线AN交椭圆C于另一点Q,求APAQ的面积的最大值.

参考答案：

【考点】椭圆的简单性质.

_c返

【分析】(1)由题意可知：离心率e=W=-r,则a=Vlc,右焦点F到左准线的距离

a2_

c+-T=6点，即可求得c和a的值，贝ljb?=a2-c2=8,即可求得椭圆方程；

1

(2)(i)设直线方程为：y=5(x+4),求得M点，即可求得NF的方程和N的坐标，

则IMN1=6,则以MN为圆心(0,-1),半径为3,即x2+(y+1)2=9；

(ii)设直线方程为：y=k(x+4),代入椭圆方程，求得P点坐标，求得直线PF方程，则

12

求得N点坐标，则直线AN：y=-2k-7,代入椭圆方程，求得M点坐标，求得IAM

,APAQ的面积

3

16(4k+y)16X(4X1

IAM||yp-yQI64k?+48k-------_____________&

:------------2------------=(2k2+l)2=(2k+p)0(2V2)2.10V2.

o9

【解答】解：(1)由题意可知：椭圆C：a+b=1(a>b>0)焦点在x轴上,

cV2

由离心率e=a=2，则a=J2,

由右焦点F到左准线的距离c工=6®

解得：c=2右，则a=4,

由b2=a2-c2=8,

22

xy_

椭圆的标准方程为：168一七

(2)(i)由(1)可知：椭圆的左顶点(-4,0),F(272,0),

设直线方程为：y=-2(x+4),即y=2x+2,

则M(2,0),

0-2返

kMF=2j^-0=-T,则kNF=Ji

直线NF：