新高考数学一轮复习第7章 第08讲 拓展一 空间几何体内接球与外接球问题 讲（教师版）

第08讲拓展一：空间几何体内接球与外接球问题(精讲）目录第一部分：典型例题剖析高频考点一：空间几何体的内切球问题高频考点二：空间几何体的外接球问题模型1：长（正）方体模型——公式法模型2：墙角型，对棱相等型——补形法（补长方体或正方体）模型3：单面定球心法（定+算）模型4：双面定球心法（两次单面定球心）第一部分：典型例题剖析第一部分：典型例题剖析高频考点一：空间几何体的内切球问题建立模型球的内切问题（等体积法）例如：在四棱锥SKIPIF1<0中，内切球为球SKIPIF1<0，求球半径SKIPIF1<0.方法如下：SKIPIF1<0即：SKIPIF1<0，可求出SKIPIF1<0.典型例题例题1．（2022·江苏·苏州外国语学校高一期末）在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若球SKIPIF1<0在三棱锥SKIPIF1<0的内部且与四个面都相切（称球SKIPIF1<0为三棱锥SKIPIF1<0的内切球），则球SKIPIF1<0的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A解：因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0均为直角三角形，设球SKIPIF1<0的半径为r，则SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以球SKIPIF1<0的表面积为SKIPIF1<0，故选：A.例题2．（2022·全国·高一）某学校开展手工艺品展示活动，小明同学用塑料制作了如图所示的手工艺品，其外部为一个底面边长为6的正三棱柱，内部为一个球，球的表面与三棱柱的各面均相切，则该内切球的表面积为___________，三棱柱的顶点到球的表面的最短距离为___________.【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0解：依题意如图过侧棱的中点作正三棱柱的截面，则球心为SKIPIF1<0的中心，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0内切圆的半径SKIPIF1<0，即内切球的半径SKIPIF1<0，所以内切球的表面积SKIPIF1<0，又正三棱柱的高SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0到球面上的点的距离最小值为SKIPIF1<0；故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0例题3．（2022·全国·高一专题练习）如图，直三棱柱SKIPIF1<0有外接圆柱SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别在棱SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，且三棱柱SKIPIF1<0有一个内切球，求三棱柱SKIPIF1<0的体积；【答案】(1)SKIPIF1<0(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是圆柱的上下底面圆心，而且点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别在棱SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上，由此可知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0为斜边的直角三角形.SKIPIF1<0,SKIPIF1<0设SKIPIF1<0的内切圆的半径为SKIPIF1<0，则由等面积法，可知:SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，故三棱柱SKIPIF1<0的内切球的半径也是SKIPIF1<0，故三棱柱的高SKIPIF1<0，进而三棱柱SKIPIF1<0的体积SKIPIF1<0.题型归类练1．（2022·全国·高一）已知点O到直三棱柱SKIPIF1<0各面的距离都相等，球O是直三棱柱SKIPIF1<0的内切球，若球O的表面积为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的周长为4，则三棱锥SKIPIF1<0的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B解：设直三棱柱SKIPIF1<0的高为h，AB＝c，BC＝a，AC＝b，内切球O的半径为r，则h＝2r，由题意可知球O的表面积为SKIPIF1<0，解得r＝2，∴h＝4，又△ABC的周长为4，即a＋b＋c＝4，∴连接OA，OB，OC，SKIPIF1<0可将直三棱柱SKIPIF1<0分成5个棱锥，即三个以原来三棱柱侧面为底面，内切球球心为顶点的四棱锥，两个以原来三棱柱底面为底面，内切球球心为顶点的的三棱锥，∴由体积相等可得直三棱柱SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0h＝SKIPIF1<0ahr＋SKIPIF1<0bhr＋SKIPIF1<0chr＋2×SKIPIF1<0SKIPIF1<0r，即4SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0（a＋b＋c）hr＋SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∴三棱锥SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0SKIPIF1<0h＝SKIPIF1<0×4×4＝SKIPIF1<0．故选：B．2．（2022·湖南·高一期末）已知圆锥的底面半径为SKIPIF1<0，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的表面积为______.【答案】SKIPIF1<0有题意可知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以，圆锥的轴截面是边长为SKIPIF1<0的正三角形，圆锥的内切球的半径等于该正三角形的内切圆的半径，所以SKIPIF1<0，所以该圆锥的内切球的表面积为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<03．（2022·全国·高三专题练习（文））若正四棱锥SKIPIF1<0内接于球SKIPIF1<0，且底面SKIPIF1<0过球心SKIPIF1<0，则球SKIPIF1<0的半径与正四棱锥SKIPIF1<0内切球的半径之比为__________.【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0设外接球半径为R，由题意可知，OA=OB=OC=OD=OP=R，设四棱锥P-ABCD的内切球半径为r，设正方形SKIPIF1<0的边长为SKIPIF1<0，因为底面SKIPIF1<0过球心SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，该正四棱锥的各侧面的高为SKIPIF1<0，设该正四棱锥的表面积为SKIPIF1<0，由等体积法可知：SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<04．（2022·广西玉林·模拟预测（理））若正四棱锥SKIPIF1<0内接于球O，且底面SKIPIF1<0过球心O，球的半径为4，则该四棱锥内切球的体积为_________．【答案】SKIPIF1<0因为正四棱锥SKIPIF1<0内接于球O，且底面SKIPIF1<0过球心O，球的半径为4，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以正四棱锥SKIPIF1<0的表面积为SKIPIF1<0，正四棱锥SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0设正四棱锥SKIPIF1<0内切球的半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以该四棱锥内切球的体积为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0高频考点二：空间几何体的外接球问题模型1：长（正）方体模型——公式法建立模型正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点（1）设长方体一个顶点出发的三条边长分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则外接球半径SKIPIF1<0；（2）设正方体边长为SKIPIF1<0，则外接球半径SKIPIF1<0；典型例题例题1．（2022·贵州黔西·高二期末（理））若一个长方体的长、宽，高分别为4，2，3，则这个长方体外接球的表面积为______________．【答案】SKIPIF1<0由题知，长方体的体对角线即为外接球的直径，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以外接球的表面积SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0例题2．（2022·新疆·乌苏市第一中学高一期中）正方体SKIPIF1<0的棱长为2，则此正方体外接球的表面积是______.【答案】SKIPIF1<0因为正方体的体对角线长度等于长方体外接球的直径，又正方体SKIPIF1<0的棱长为2，所以正方体外接球的直径为SKIPIF1<0，外接球的半径为SKIPIF1<0，则该正方体外接球的表面积是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.题型归类练1．（2022·全国·高一期末）正方体的外接球与内切球的表面积之比是（

）A．SKIPIF1<0 B．3 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B设正方体的棱长为SKIPIF1<0，则其外接球的半径为SKIPIF1<0，内切球的半径为SKIPIF1<0，所以正方体的外接球与内切球的表面积之比是SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：B2．（2021·河北·深州长江中学高三期中）已知某正方体外接球的表面积为SKIPIF1<0，则该正方体的棱长为______．【答案】1设正方体的棱长为SKIPIF1<0，外接球的半径为SKIPIF1<0，根据正方体的对角线长等于外接球的直径，可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故答案为：1．3．（2021·福建·莆田锦江中学高一期中）已知正方体的棱长为2，则其外接球的表面积为______．【答案】SKIPIF1<0解：设正方体外接球的半径为SKIPIF1<0，则由题意可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以外接球的表面积为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0模型2：墙角型，对棱相等型——补形法（补长方体或正方体）建立模型①墙角模型（三条线两个垂直）题设：三条棱两两垂直（重点考察三视图）②对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）典型例题例题1．（2022·全国·高一）若三棱锥SKIPIF1<0的三条侧棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两两互相垂直，且SKIPIF1<0，则其外接球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A侧棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两两互相垂直，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0作为正方体的棱长，如图：设外接球的半径为SKIPIF1<0，则正方体的对角线的长SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以外接球的表面积为SKIPIF1<0.故选：A例题2．（2022·江苏·南京师大附中高一期末）在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则该三棱锥外接球的表面积为_________；外接球体积为_________．【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0由题意，该三棱锥的对棱相等，可知该三棱锥可置于一个长方体中，如图所示：记该长方体的棱长为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0题型归类练1．（2022·辽宁·本溪高中高一阶段练习）已知正三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为SKIPIF1<0，则此三棱锥的外接球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．3SKIPIF1<0 C．6SKIPIF1<0 D．9SKIPIF1<0【答案】C正三棱锥的外接球即是棱长为SKIPIF1<0的正方体的外接球，所以外接球的直径SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,外接球的表面积SKIPIF1<0，故选：C2．（2022·安徽·高一阶段练习）鳖臑是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼．如图，三棱锥SKIPIF1<0是一鳖臑，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．则三棱锥SKIPIF1<0外接球的表面积是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B易得三棱锥SKIPIF1<0外接球的直径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故三棱锥SKIPIF1<0外接球的半径SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：B.3．（2022·河北·沧县中学高一期中）三棱锥SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0两两垂直，且SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的外接球的表面积为___________.【答案】SKIPIF1<0以线段SKIPIF1<0为相邻的三条棱为长方体，连接SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,即为三棱锥SKIPIF1<0，∵如图所示，长方体的外接球与三棱锥的外接球相同，∴则其外接球直径为长方体对角线的长，设外接球的半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0.故答案为:SKIPIF1<0.4．（2022·贵州·清华中学高三阶段练习（理））四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则经过A，B，C，D的外接球的表面积是__________．【答案】SKIPIF1<0解：因为四棱锥SKIPIF1<0的对棱相等，所以将四棱锥SKIPIF1<0补成如图所示的长方体，则经过A，B，C，D的外接球即为长方体的外接球，所以球的直径为长方体的对角线的长，设长方体的长、宽、高分别为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以球的半径SKIPIF1<0，所以球的表面积为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0模型3：单面定球心法（定+算）建立模型单面定球心法（定+算）步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥SKIPIF1<0中，选中底面SKIPIF1<0，确定其外接圆圆心SKIPIF1<0（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心SKIPIF1<0）；②过外心SKIPIF1<0做（找）底面SKIPIF1<0的垂线，如图中SKIPIF1<0面SKIPIF1<0,则球心一定在直线（注意不一定在线段SKIPIF1<0上）SKIPIF1<0上；③计算求半径SKIPIF1<0:在直线SKIPIF1<0上任取一点SKIPIF1<0如图：则SKIPIF1<0，利用公式SKIPIF1<0可计算出球半径SKIPIF1<0.典型例题例题1．（2022·山西省长治市第二中学校高一期末）在四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0都是边长为SKIPIF1<0的等边三角形，且平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则该四面体外接球的表面积为_________.【答案】SKIPIF1<0依题意作上图，取BD的中点P，连接AP，CP，取SKIPIF1<0的中心E，SKIPIF1<0的中心G，分别作平面ABD和平面BCD的垂线，得交点H，则H点就是四面体ABCD外接球的球心，CH就是球的半径r，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，外接球的面积为SKIPIF1<0；故答案为：SKIPIF1<0.例题2．（2023·山西大同·高三阶段练习）球内接直三棱柱SKIPIF1<0，则球表面积为___________.【答案】SKIPIF1<0设三角形ABC和三角形SKIPIF1<0的外心分别为D，E．可知其外接球的球心O是线段DE的中点，连结OC，CD，设外接球的半径为R，三角形ABC的外接圆的半径r，SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，由正弦定理得，SKIPIF1<0，而在三角形OCD中，可知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因此三棱柱外接球的表面积为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0例题3．（2022·广西贺州·高一期末）已知SKIPIF1<0的三个顶点都在球SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且三棱锥SKIPIF1<0，则球SKIPIF1<0的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．36SKIPIF1<0【答案】D△ABC中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0取SKIPIF1<0中点H，连接OH，则点H为△ABC所在小圆圆心，SKIPIF1<0平面ABC则SKIPIF1<0，解之得SKIPIF1<0则球O的半径SKIPIF1<0则球O的体积为SKIPIF1<0故选：D例题4．（2022·河南开封·高二期末（理））已知球SKIPIF1<0为三棱锥SKIPIF1<0的外接球，球SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，正三角形SKIPIF1<0的外接圆半径为SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的体积的最大值为______．【答案】SKIPIF1<0设SKIPIF1<0外接圆的圆心为SKIPIF1<0，因为正三角形SKIPIF1<0的外接圆半径为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由正弦定理SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，要使三棱锥SKIPIF1<0的体积最大，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且球心SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，因为球SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，所以球SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，由勾股定理得SKIPIF1<0，所以三棱锥SKIPIF1<0体积的最大值SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0题型归类练1．（2022·河北·衡水市第十三中学高一阶段练习）在正四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则平面SKIPIF1<0截四棱锥SKIPIF1<0外接球的截面面积是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B如图，作SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是正方形SKIPIF1<0外接圆的圆心，从而正四棱锥SKIPIF1<0外接球的球心SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，取棱SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0.由题中数据可得SKIPIF1<0，设四棱锥SKIPIF1<0外接球的半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.由题意易证SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故所求截面圆的面积是SKIPIF1<0.故选：B2．（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））已知三棱锥SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0外接球的表面积为（

）A．64π B．128π C．40π D．80π【答案】D由题意得，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，将三棱锥补成三棱柱SKIPIF1<0，如图，则三棱柱SKIPIF1<0的外接球即为所求.设外接球的球心为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的外心为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则外接球的半径SKIPIF1<0，表面积SKIPIF1<0，故选：D3．（2022·重庆市万州第二高级中学高一期中）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所对的边为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．又点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都在球SKIPIF1<0的球面上，且点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，则球SKIPIF1<0的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ASKIPIF1<0的外接圆半径SKIPIF1<0则球SKIPIF1<0的半径SKIPIF1<0则球SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0SKIPIF1<0故选：A4．（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（文））已知点SKIPIF1<0在同一个球的球面上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若四面体SKIPIF1<0的体积的最大值为SKIPIF1<0，则这个球的表面积是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为直角三角形，其面积为SKIPIF1<0，所以直角SKIPIF1<0所在截面小圆的半径SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，因为四面体SKIPIF1<0体积取得最大值为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，设四面体SKIPIF1<0的外接球半径为SKIPIF1<0，球心SKIPIF1<0到截面的距离为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0到底面SKIPIF1<0距离最远时，即SKIPIF1<0时，四面体SKIPIF1<0的体积取得最大值，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以球的表面积为SKIPIF1<0.故选：D.5．（2022·全国·高三专题练习）已知球SKIPIF1<0是正三棱锥SKIPIF1<0的外接球，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点E在线段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是___________.【答案】SKIPIF1<0解：如图，设SKIPIF1<0的中心为SKIPIF1<0，球SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作圆SKIPIF1<0的截面，当截面与SKIPIF1<0垂直时，截面的面积最小，此时截面圆的半径为SKIPIF1<0，最小面积为SKIPIF1<0，当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为SKIPIF1<0．SKIPIF1<0所得截面圆面积的取值范围是SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．模型4：双面定球心法（两次单面定球心）建立模型如图：在三棱锥SKIPIF1<0中：①选定底面SKIPIF1<0，定SKIPIF1<0外接圆圆心SKIPIF1<0②选定面SKIPIF1<0，定SKIPIF1<0外接圆圆心SKIPIF1<0③分别过SKIPIF1<0做面SKIPIF1<0的垂线，和SKIPIF1<0做面SKIPIF1<0的垂线，两垂线交点即为外接球球心SKIPIF1<0.典型例题例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知点SKIPIF1<0､SKIPIF1<0､SKIPIF1<0､SKIPIF1<0都在球SKIPIF1<0的球面上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是边长为1的等边三角形，SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且点SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0上的投影与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0异侧，则球SKIPIF1<0的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B由题设，若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0是△SKIPIF1<0的中心，连接SKIPIF1<0，如下图示：由题设知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，即面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0必在直线SKIPIF1<0上，易知：SKIPIF1<0为SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的平面角，又SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，易知：SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是球心，故球SKIPIF1<0的半径为1，∴球SKIPIF1<0的表面积为SKIPIF1<0.故选：B例题2．（2022·全国·高三专题练习（理））已知平面四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，现沿SKIPIF1<0进行翻折，使得SKIPIF1<0到达SKIPIF1<0的位置，连接SKIPIF1<0，此时二面角SKIPIF1<0为150°，则四面体SKIPIF1<0外接球的半径为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C解：取BD的中点E，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即为二面角SKIPIF1<0的平面角，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0外接圆的圆心为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0外接圆的圆心为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，过点SKIPIF