球的表面积和体积教学课件

第2课时球的表面积和体积

囱阑图圃园图(教师独具内容)

课程标准：知道球的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问

题.

教学重点：球的表面积、体积公式及其应用.

教学难点：与球有关的几何体的表面积和体积的计算.

核心素养：通过有关球的表面积和体积的计算问题培养直观想象和数学运算

素养.

±i评价自测

1.判一判(正确的打“J”，错误的打“义”)

(1)决定球的大小的因素是球的半径.()

(2)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径.()

⑶球的体积/与球的表面积S的关系为V=^S.()

2.做一做

(1)若球的过球心的圆面圆周长是则这个球的表面积是()

/(?

A.--B.--

4兀2兀

2

C.■-D.2nc2

JI

⑵表面积为4兀的球的半径是一.

⑶直径为2的球的体积是—.

4Ji

(4)已知一个球的体积为丁，则此球的表面积为—.

核心素养形成

HEXINSUYANGXINGCHENG

题型一球的表面积与体积

例1(1)已知球的直径为6cm,求它的表面积和体积;

(2)已知球的表面积为64况，求它的体积；

(3)已知球的体积为昆合，求它的表面积.

O

[跟踪训练1](1)两个球的半径相差1,表面积之差为28n,则它们的体

积和为.

(2)已知球的大圆周长为16况cm,求这个球的表面积.

题型二球的截面问题

例2—平面截球。的球面所得圆的半径为1,球心。到平面a的距离为明,

则此球的体积为()

A.乖况B.4，5n

C.4mnD.6小n

[跟踪训练2](1)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器

高8cm,将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水

深为6cm,若不计容器厚度，则球的体积为()

⑵球的表面积为400n,一个截面的面积为64n,则球心到截面的距离为

题型三与球有关的切、接问题

例3(1)如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面

积S和球的表面积$之比为()

A.4：3B.3：1

C.3：2D.9：4

（2）设长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面上，则该

球的表面积为（）

A.3na2B.6n，

C.12na2D.24兀4

[跟踪训练3]（1）已知某正四面体的内切球的体积是1,则该正四面体的外

接球的体积是（）

A.27B.16

C.9D.3

（2）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a,顶点都在一个球面上,

则该球的表面积为（）

7,

A.naB.-na

o

112

C.~naD.5na2

o

座超3达标

---------------SUITANGSHUIPINGDABIAO--------------------------------------------------------------------------------

1.将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为（）

4JI

A.—r-BR，叵3

JI

D

2-T

2.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4,底面边长为2,则

该球的表面积为（）

81n

A.4B.16n

27n

C.9nD。4

3.三个球的半径之比为1：2：3,那么最大球的表面积是其余两个球的表面

积之和的（）

A.1倍B.2倍

7

喘倍D.1倍

4.一个距离球心为福的平面截球所得的圆面面积为n,则球的体积为一.

5.有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径

为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水

的深度.

精练

KEHOUKESHIJINGLIAN

?学考水平合格练

一、选择题

1.已知棱长为2的正方体的体积与球。的体积相等，则球。的半径为（）

2.用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为n,则球的表面

积为（）

8n

T

3.一个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长分别为3,4,5,则它的外接球的

表面积是（）

A.20巾nB.25y/2n

C.50nD.200n

4.如图所示，扇形的中心角为方，其所在圆的半径为R弦力8将扇形分成

两个部分，这两部分各以为轴旋转一周，若旋转得到的几何体体积为匕,

弓形48旋转得到的几何体积为％,则%：%的值为（）

H

A.1：1B.2：1

C.1：2D.1：4

5.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积

32n

为一【，那么这个正三棱柱的体积是（）

A.96^3B.16小

C.24小D.48小

二、填空题

6.圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆

柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是一

cm.

X

7.已知的为球。的半径，过刃的中点"且垂直于物的平面截球面得到圆

"若圆"的面积为3",则球。的表面积等于.

8.已知两个正四棱锥有公共底面，且底面边长为4,两棱锥的所有顶点都在

同一个球面上，若这两个正四棱锥的体积之比为1：2,则该球的表面积为一.

三、解答题

9.若一个底面边长为坐侧棱长为m的正六棱柱的所有顶点都在一个球面

上，求该球的体积和表面积.

10.如图，四是半径为A的球的直径，C为球面上一点，且/胡C=30°,求

图中阴影区域构成的几何体的表面积及其体积.

,学考水平等级练

1.把一个铁制的底面半径为八高为力的实心圆锥熔化后铸成一个铁球，则

这个铁球的半径为（）

2.（多选）正四棱锥产一/6口的底面边长为2,外接球的表面积为24人则正

四棱锥"一/纪9的高可能是（）

A.3+加B.3—乖

C.2+^/6D.y/6—2

3.已知正三棱柱的体积为3#cm）其所有顶点都在球。的球面上，则球。

的表面积的最小值为—cm2.

4.如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱组成的.已知半球

的直径是6cm,圆柱高为2cm.

（1）这种“浮球”的体积约是多少（八比3.14,结果精确到0.1cm3）?

（2）要在2500个这种“浮球”的表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100

g,那么共需胶约多少克（”-3.14）?

5.正三棱锥的高为1,底面边长为2m，内有一个球与它的四个面都相切，

求:

(1)棱锥的表面积；

(2)内切球的表面积与体积.

第2课时球的表面积和体积

囱阑图圃园国(教师独具内容)

课程标准：知道球的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问

题.

教学重点：球的表面积、体积公式及其应用.

教学难点：与球有关的几何体的表面积和体积的计算.

核心素养：通过有关球的表面积和体积的计算问题培养直观想象和数学运算

素养.

超评价自测：

1.判一判(正确的打"J"，错误的打"X")

(1)决定球的大小的因素是球的半径.()

⑵球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径.()

D

(3)球的体积/与球的表面积S的关系为V=-S.()

O

答案⑴V(2)V(3)V

2.做一做

(1)若球的过球心的圆面圆周长是c,则这个球的表面积是()

C2C2

A.~~B.-~

4兀2冗

2

C.—D.2JIC2

JI

⑵表面积为4n的球的半径是一.

⑶直径为2的球的体积是.

4JT

(4)已知一个球的体积为〒，则此球的表面积为

4兀

答案(1)C(2)1(3)M(4)4n

o

核心素养I形成

HEXINSUYANGXINGCHENG

题型一球的表面积与体积

例1(1)已知球的直径为6cm,求它的表面积和体积；

(2)已知球的表面积为64m，求它的体积；

(3)已知球的体积为殁一，求它的表面积.

［解］(IL.•球的直径为6cm,.•.球的半径A=3cm.

二球的表面积S球=4n#=36n(cm2),

4

球的体积K«=-n-=36上(cm3).

o

(2)75^=4n#=64n,.•.*=16,即仁4.

4T4a256n

V球31况X4'=".

..4.500n

(3)V^=-11#=——,.•.4=125,笈=5.

。o

球=4n#=100n.

金版点睛

求球的体积与表面积的方法

(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径不或者通过条件能求出半径必然

后代入体积或表面积公式求解.

(2)半径和球心是球的关键要素，把握住这两点，计算球的表面积或体积的相

关题目也就易如反掌了.

［跟踪训练1］(1)两个球的半径相差1,表面积之差为28n,则它们的体积

和为.

(2)已知球的大圆周长为16兀cm,求这个球的表面积.

364JT

答案(1)F—(2)见解析

o

解析(1)设大、小两球半径分别为此r,则由题意可得

R—r=\,［/?=4,

<•<

4n4nr=28,［r=3.

.•.它们的体积4和为4”/=笑364一JI.

ooO

(2)设球的半径为Acm,由题意可知2n4=16“，解得A=8,

则S球=4n#=256n(cm2).

题型二球的截面问题

例2—平面截球。的球面所得圆的半径为1,球心。到平面a的距离为贬,

则此球的体积为()

A.乖况B.4^3^

C.4季nD.6小n

［解析］如图，设截面圆的圆心为为截面圆上任一点，则00'=y［2,

0'#=1,：.0M=7小』i=*,即球的半径为击，二X(m)3=4:

O

n.

［答案］B

金版点睛

球的截面的性质

(1)球的轴截面(过球心的截面)是将球的问题(立体几何问题)转化为平面问

题(圆的问题)的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，

并充分利用它来分析解决问题.

(2)用一个平面去截一个球，截面是圆面，如图，球的截面有以下性质：①球

心和截面圆圆心的连线垂直于截面；②球心到截面的距离d与球的半径A及截面

的半径r满足关系d=q?=7.

[跟踪训练2](1)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高

8cm,将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深

为6cm,若不计容器厚度，则球的体积为()

500兀3

A.~--cm'

O

1372n3八2048兀3

C.—o—cmD.---cm

OO

⑵球的表面积为400n,一个截面的面积为64n,则球心到截面的距离为

答案(1)A(2)6

解析(1)如图，作出球的一个截面，则欣=8-6=2(cm),爵

4

=4(cm).设球的半径为Acm,则*=〃/+/啰=(A—ZF+K.•.kS,二唳=鼻

3500兀/3、

兀X5'=---(cm).

C

(2)如图，由已知条件知球的半径/?=10,截面圆的半径r=8,...球心到截面

的距离h=yjRT=6.

题型三与球有关的切、接问题

例3(1)如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面

积S和球的表面积S之比为()

A.4：3B.3：1

C.3：2D.9：4

(2)设长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面上，则

该球的表面积为()

2

A.3允,B.6na

C.12na2D.24na

［解析］⑴画出轴截面如图所示，设球的半径为八则加r,P0=2r,Z

PDO=90°,：./CPB=30°.

又N尸3=90°,CB=^PC=#r,PB=2季r,：.圆锥的侧面积S=nX^3

o

rX2y［3r—6nr,球的表面积S=4nr,S,:£=3:2.

(2)作出图形的轴截面如图所示，点。即为该球的球心，线段48即为长方体

底面的对角线，长度为,才+2a2=#a,线段比'即为长方体的高，长度为a,

线段4。即为长方体的体对角线，长度为寸才+贴az=#a,则球的半径7?=v

乙

=乎外所以球的表面积S=4n#=6五a"

［答案］（DC（2）B

［条件探究］将本例⑵中的长方体改为棱长为a的正四面体,则球的表面积

如何求？

解如图，过力作底面8⑦的垂线，垂足为£,则6为48⑦的重心，连接

BE.

..林仁％.乂2_

•棱长为a,•.BE—g3乂3-32

.•.在口△/缈中，AE=yja2—|=^a.

设球心为0,半径为凡则（/£-心,+就=〃，

/.7?=乎a,S现=4nX［乎a）=号na；

I金版点睛

1.正方体的内切球

球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为力=彳

（a为正方体棱长），过在一个平面上的四个切点作截面如图（1）.

2.长方体的外接球

长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，

长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,

过球心作长方体的对角线，则球的半径为降=入/#+—+田如图（2）.

3.正四面体的外接球

正四面体的棱长a与外接球的半径斤的关系为2人坐a.

乙

［跟踪训练3］(1)已知某正四面体的内切球的体积是1,则该正四面体的外

接球的体积是()

(2)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a,顶点都在一个球面上,

则该球的表面积为()

7

A.冗aB.-na

o

C.-JiaD.5冗才

o

答案(1)A(2)B

D

解析(1)设正四面体的外接球、内切球的半径分别为Rr,则］=3.由题意,

44.4

知可口/=1,则外接球的体积是可口川=27*可口/=27.故选A.

OOO

(2)由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图,

P为三棱柱上底面的中心，。为球心，易知/々|x半a=^a,

OP=~a,所以球

0CtO

77

的半径R=0A满足必=3a,,故S球=4Ji川=3“a；

随堂水平达标

SUITANGSHUIPINGDABIAO-

1.将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为（）

A—R皿

A.3B.3

答案A

解析由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径

4

与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2,所以球的半径为1,其体积是可

,4n

XJiXi3=—

o

2.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4,底面边长为2,则

该球的表面积为（）

答案A

解析如图，设球心为0,半径为r,则在庞■中，（4-r）2+（V2）2=/，

解得「=本•••该球的表面积为4f=4n

3.三个球的半径之比为1：2：3,那么最大球的表面积是其余两个球的表面

积之和的（）

A.1倍B.2倍

9八

C.工倍D.

□

答案c

解析设最小球的半径为r,则另外两个球的半径分别为2r,3r,其表面积分

别为4n?'16n/36n?,故最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的

9

36倍

45-

JI

4.一个距离球心为噂的平面截球所得的圆面面积为n,则球的体积为

解析设所得的圆面的半径为r,球的半径为则由n=得r=l,

又产十(小)2=#,.•.斤=2....勺殍

OO

5.有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径

为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水

的深度.

解由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面.

根据切线的性质知，当球在容器内时，水深〃为3r,水面的半径ZC为十八

1l45

则容器内水的体积为v=v—r=-n•(^/3r)2•3r--JT/=-n

mI?ooo

而将球取出后，设容器内水的深度为力，则水面圆的半径为

O

从而容器内水的体积是

『="停才•，十兄

由上/，得力=料工即容器中水的深度为料工

课后课时精练

KEHOUKESHIJINGLIAN

A级e》学考水平合格练

一、选择题

1.已知棱长为2的正方体的体积与球。的体积相等，则球。的半径为（）

答案D

4J/6

解析设球。的半径为r,则解得r=A.

2.用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为n,则球的表面

积为（）

答案C

解析设球的半径为R,则截面圆的半径为后口，.•.截面圆的面积为S=

n（^/#-1）2=（7?-1）n=Ji,，〃=2,工球的表面积S=4"#=8n.

3.一个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长分别为3,4,5,则它的外接球的

表面积是（）

A.20^/2JTB.25m11

C.50nD.200n

答案C

解析因为这个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，所以此三棱锥可视为一个

长方体的一个角（如图所示），而且此长方体的外接球就是此三棱锥的外接球.设

此三棱锥的外接球的半径为r,则有（2r）2=32+42+W=50,即4/=50,故它的

外接球的表面积是5=4n/=50n.

JI

4.如图所示，扇形的中心角为了，其所在圆的半径为??,弦将扇形分成

两个部分，这两部分各以为轴旋转一周，若旋转得到的几何体体积为匕,

弓形46旋转得到的几何体积为七，则匕：玄的值为（）

A.1：1B.2：1

C.1：2D.1：4

答案A

解析△/仍绕/。旋转一周得到的几何体为圆锥，体积整个扇形

O

21

绕4。旋转一周得到的几何体为半球，体积，=可“4，于是V2=V—^=~n/?,所

以匕:V2=l：1.

5.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积

32n

为一〕，那么这个正三棱柱的体积是（

O

A.9673B.1673

C.24小D.48镉

答案D

则球的半径半a=£~a,正三棱

解析设正三棱柱的底面边长为a,

326

一n44nm3332n._R_^3

柱的高为弓-a又V«!=-n]^=—X-g3a——3.・・a——4yl3...V柱——彳

ooo

x(4如X半X4m=48小

O

二、填空题

6.圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆

柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是一

cm.

X

X

答案4

解析设球的半径为r,则圆柱形容器的高为6r,容积为口/义67=6口汽

4

高度为8cm的水的体积为8n产3个球的体积和为3n/=4n/,由题意6n/

—8nr=4nr,解得r=4cm.

7.已知如为球。的半径，过。1的中点"且垂直于力的平面截球面得到圆

"若圆"的面积为3”，则球。的表面积等于—.

答案16n

解析设球。的半径为此圆材的半径为八由题意得二="，又球心到圆〃

的距离为《由勾股定理，得#=d+©2,R=2,则球的表面积为16n.

8.已知两个正四棱锥有公共底面，且底面边长为4,两棱锥的所有顶点都在

同一个球面上，若这两个正四棱锥的体积之比为1：2,则该球的表面积为一.

答案36n

解析•.•两正四棱锥有公共底，且体积比为1：2,.•.它们的高之比为1：2,

设高分别为力,2力，球的半径为/?,则方+2力=3力=2兄.M=|力，又底面边长为4,

=（2啦）2,解得力=2,.*./?=3,球=4n#=36”.

三、解答题

9.若一个底面边长为坐侧棱长为m的正六棱柱的所有顶点都在一个球面

上，求该球的体积和表面积.

解如图，在底面正六边形力比颂中，连接BE,交于点。，

连接应;，观\BE=2OE=2DE,所以施=/，

在Rt△颇中，

BE\KBE+EE=2^3，

所以2斤=2，5,则

4cL

所以球的体积/球=鼻兀"=4#兀，

O'

球的表面积S球=4n#=12n.

10.如图，46是半径为A的球的直径，。为球面上一点，且N为C=30°,求

图中阴影区域构成的几何体的表面积及其体积.

H

解如图所示，过点C作切于点Q,

B

由题意可得/8。=90°.

又/胡片30°,AB=2R,COdAB,

：.AC=^3R,BC=R,Coj^R,

乙

3R

AO=^R,BOy=~

t乙乙

\/3/?=|JT/?,

s球=4"",s圆锥叫恻=兀义Rx'

S脚锥叫侧=JiX乎彳x/?=平兀*，

••S几何体表=5球+S圆锥的］侧+S强推明侧

=4n/?+|n〃+乎nnR,

•••几何体的表面积为生乂口丸

4用3

又，球=可四川,冗cd=三兀

OOR,

1*17

/圆锥％•冗外=互兀凡

••V几何体=P球—(yM.AO}~\~Mmno)

4.1n5.

B级,》学考水平等级练

1.把一个铁制的底面半径为八高为力的实心圆锥熔化后铸成一个铁球，则

这个铁球的半径为（）

答案C

14

解析设铁球的半径为4,因为鼻e/力=鼻五川，所以A=

O0

2.（多选）正四棱锥产一4四的底面边长为2,外接球的表面积为24n,则正

四棱锥尸一/四的高可能是（）

A.3十^B.3-76

C.2+mD.m―2

答案CD

解析设四棱锥的高为h,外接球的半径为兄由4“4=24n,得R=#.

如图1所示，OR+HG=OC,即（力一/