云南省三校联考2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题（含答案解析）

三校联考2024年春季学期高一年级第一次月考数学本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.第I卷（选择题，共60分）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先化简集合，再求集合交集即可.【详解】由得：，即所以，且，因此，故选：B.2.下列函数中，以点为对称中心的函数是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据正弦、余弦、正切函数的性质计算可得.【详解】对于A：函数，令，解得，所以函数的对称中心为，，故A错误；对于B：函数，令，解得，所以函数的对称中心为，，故B错误；对于C：函数，令，解得，所以函数的对称中心为，，故C错误；对于D：函数，令，解得，所以函数的对称中心为，，故D正确.故选：D3.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由充分必要条件的定义判断.【详解】若，即，则，或，所以“”不是“”的充分条件；若，则，所以，所以“”是“”的必要条件，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B4.若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角函数化简得，从而可求解.【详解】由，所以，故B正确.故选：B.5.已知函数，若，则的值为（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】根据分段函数的解析式，分和两种情况分别求解即可.【详解】由已知得：当时，，解得：，或（舍），当时，，解得：，综上：的值为或,故选：C.6.函数在区间上单调递减，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据复合函数的单调性判断的单调性，即可求出参数的取值范围.【详解】令，，显然在上单调递增，且的值域为，又，所以在上单调递减，在上单调递增，令，解得，由复合函数的单调性可得在上单调递减，在上单调递增，因为函数在区间上单调递减，所以，即的取值范围为.故选：A7.已知函数满足，且函数为偶函数，若，则（）A.0 B.1012 C.2024 D.3036【答案】B【解析】【分析】由题意得，的图象关于直线对称，函数的周期为4，进一步，由此即可得解.【详解】由题意函数为偶函数，所以，的图象关于直线对称，所以，所以函数的周期为4，在中，分别令和1，得，，即，所以，所以.故选：B.8.若关于的不等式的解集中恰有三个整数，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分类讨论的两根大小，结合已知条件，通过求一元二次不等式即可求解.【详解】原不等式可化为，当时，得，此时解集中的整数为2，3，4，则；当时，得，此时解集中的整数为，，，则，综上所述，的取值范围是.故选：A二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.若关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（）A.B.C.的解集为D.的最小值为【答案】BC【解析】【分析】题意说明的两根为,代入法1得的值，从而可逐项判断.【详解】根据题意，关于的不等式的解集为，所以的两根为，则，解得，所以，即A错误，B正确；且为，解得或，所以的解集为，C正确；，所以的最大值为，D错误.故选：BC10.下列说法正确的是（）A.奇函数的定义域为，则B.对任意且，函数的图象都过定点C.与同一个函数D.【答案】BC【解析】【分析】对A，根据奇函数的定义域对称求解；对B，当时，，可判断；对C，两个函数的定义域均为R，对应法则也相同，是相同函数；对D，根据诱导公式运算得解.【详解】对于A，根据题意得，解得或，故A错误；对于B，由，且，当时，，所以函数过定点.故B正确；对于C，与定义域均为R，对应法则也相同，所以它们是相同函数.故C正确；对于D，.故D错误.故选：BC.11.已知函数，下列说法正确的是（）A.函数的最大值为B.函数的图象关于中心对称C.函数的最小正周期为D.要得到函数的图象，只需将函数的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位，最后再向上平移个单位【答案】AD【解析】【分析】根据二倍角公式及两角差的正弦公式化简函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可.【详解】因为，又，所以，即函数的最大值为，故A正确；因为，所以函数的图象关于直线，不关于中心对称，故B错误；函数的最小正周期，故C错误；将函数的图象横坐标伸长为原来的倍得到，再将向左平移个单位，最后将向上平移个单位得到，故D正确.故选：AD12.已知为函数的两个不相同的零点，则下列式子一定正确的是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】分析可知直线与函数的图象有两个交点，数形结合并计算可得出，D正确，利用基本不等式可判断AB选项,由对数的性质可判断C选项.【详解】令可得，则直线与函数的图象有两个交点，且这两个交点的横坐标分别为，如下图所示：由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，设，则，由，可得，解得，由，可得，解得，所以，，对于A选项，，A错；对于B选项，，B错；对于C选项，，则，C对；对于D选项，由上可知，D对.故选：CD.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项：第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.计算：__________.【答案】【解析】【分析】根据对数的运算性质计算可得.【详解】.故答案为：14.某商店销售两款商品，利润（单位：元）分别为和，其中为销量（单位：袋），若本周销售两款商品一共20袋，则能获得的最大利润为__________.【答案】170【解析】【分析】设该商店销售商品袋，则商品袋，根据题意求得利润的函数解析式，结合二次函数的性质，即可求解．【详解】设该商店销售商品袋，则商品袋，所以可获得的利润，，当或10时，利润最大，最大利润为170元.故答案为：170.15.若、为锐角，且，则__________.【答案】##【解析】【分析】首先求出、的范围，再根据余弦函数的性质判断即可.【详解】因为、为锐角，所以，，又，且在上单调递增，在上单调递减，所以，即.故答案为：16.如图所示，以为始边作钝角，角的终边与单位圆交于点，将角的终边顺时针旋转得到角.角的终边与单位圆相交于点，则的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，两角和差的三角公式，求得再利用正弦函数的定义域和值域，求出的取值范围.【详解】由题意可得，，，所以，因为，所以，则，所以.故答案为：.四､解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知二次函数的解集为.（1）若，求的值；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，转化为是方程的两个实数根，结合根与系数的关系，以及，即可求解.（2）根据题意，转化为方程的两个负实数根，结合一元二次方程根的分布情况，列出不等式组，即可求解.【小问1详解】解：当时，函数，因为的解集为，且，即是方程的两个实数根，可得，则.【小问2详解】解：因为的解集为，且，即是方程的两个实数根，又因为，即方程的两个负实数根，则满足，解得且，所以实数的取值范围为.18.已知是的内角，且.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意，从而可求得，得到，从而可求解.（2）由（1）结论可求出，然后再利用二倍角公式及两角和的余弦公式从而可求解.【小问1详解】由，所以，则，因为，则，所以，则，所以，则.【小问2详解】由（1）得，解得，且，，所以.19.已知函数为幂函数，且在上单调递减.（1）求实数的值；（2）若函数，判断函数在上的单调性，并证明.【答案】（1）（2）单调递增,证明见详解【解析】【分析】（1）根据幂函数定义和单调性求解；（2）利用函数单调性定义证明.【小问1详解】因为函数为幂函数，所以，解得：或，当时，幂函数，此时幂函数在上单调递增，不符合题意；当时，幂函数，此时幂函数在上单调递减，符合题意；所以实数的值为；【小问2详解】因为函数，则函数，函数在上单调递增，证明如下：，且，则，因为，所以，又，所以，从而，即，所以函数在上单调递增.20.设函数，其中.（1）若命题“”为假命题，求实数的取值范围；（2）若函数在区间内恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，转化为命题“”为真命题，结合，即可求解；.（2）根据题意，转化为在区间内恒成立，利用基本不等式求得的最小值为，列出不等式，即可求解.【小问1详解】解：因为函数，由命题“”为假命题，即命题“”为真命题，根据二次函数的性质，可得，解得或，所以实数的取值范围为.【小问2详解】解：由函数，可得，因为函数在区间内恒成立，即在区间内恒成立，又因为，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为，所以，解得，所以实数的取值范围为.21已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求在区间上的值域.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据二倍角的正余弦公式和两角和的正弦公式化简得，再根据正弦函数的周期性即可得解；（2）根据题意即可求出，然后即可求出的值域．【小问1详解】，所以最小正周期为.【小问2详解】由，所以，则，所以.故函数在区间上的值域为.22.已知函数.（1）若的定义域为