数理方程分离变量法市公开课一等奖百校联赛特等奖课件

第二章分离变量法一、有界弦自由振动二、有限长杆上热传导三、拉普拉斯方程定解问题四、非齐次方程解法五、非齐次边界条件处理六、关于二阶常微分方程特征值问题一些结论10/10/1第1页基本思想：首先求出含有变量分离形式且满足边界条件特解，然后由叠加原理作出这些解线性组合，最终由其余定解条件确定叠加系数。适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等特点：a.物理上由叠加原理作确保，数学上由解唯一性作确保；b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。一、有界弦自由振动10/10/2第2页令代入方程：令代入边界条件1、求两端固定弦自由振动规律10/10/3第3页特征（固有）值问题：含有待定常数常微分方程在一定条件下求非零解问题特征（固有）值：使方程有非零解常数值特征（固有）函数：和特征值相对应非零解分情况讨论：1）2）3）令，为非零实数10/10/4第4页10/10/5第5页10/10/6第6页10/10/7第7页▪分离变量▪求特征值和特征函数▪求另一个函数▪求通解▪确定常数分离变量法能够求解含有齐次边界条件齐次偏微分方程。10/10/8第8页2解性质

x=x0时：其中：驻波法t=t0时：10/10/9第9页例1：设有一根长为10个单位弦，两端固定，初速为零，初位移为，求弦作微小横向振动时位移。解：10/10/10第10页10/10/11第11页于是得到一系列分离变量形式特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程叠加原理，设原问题解为10/10/12第12页10/10/13第13页解：例2求以下定解问题10/10/14第14页10/10/15第15页10/10/16第16页初始条件10/10/17第17页例3求以下定解问题解：由例1中方法知，以上特征值问题特征值和特征函数分别为10/10/18第18页这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程叠加原理，设原问题解为于是得到一系列分离变量形式特解这些特故原问题解为10/10/19第19页例4求以下定解问题令代入方程：解：10/10/20第20页10/10/21第21页于是得到一系列分离变量形式特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程叠加原理，设原问题解为10/10/22第22页10/10/23第23页10/10/24第24页二有限长杆上热传导令带入方程：解：10/10/25第25页由例4知，以上特征值问题特征值和特征函数分别为满足方程于是得到一系列分离变量形式特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程叠加原理，设原问题解为10/10/26第26页令代入方程：令例5求以下定解问题解：由例1中方法知，以上特征值问题特征值和特征函数分别为10/10/27第27页于是得到一系列分离变量形式特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程叠加原理，设原问题解为10/10/28第28页例6求以下定解问题解：令10/10/29第29页10/10/30第30页于是得到一系列分离变量形式特解10/10/31第31页若则u为多少？为何会出现这么现象？思索这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程叠加原理，设原问题解为若10/10/32第32页分离变量流程图10/10/33第33页三拉普拉斯方程定解问题1直角坐标系下拉普拉斯问题解：由例1中方法知，以上特征值问题特征值和特征函数分别为10/10/34第34页于是得到一系列分离变量形式特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程叠加原理，设原问题解为10/10/35第35页10/10/36第36页例7求以下定解问题解：由例6中方法知，以上特征值问题特征值和特征函数分别为10/10/37第37页于是得到一系列分离变量形式特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程叠加原理，设原问题解为10/10/38第38页10/10/39第39页例8求以下定解问题解：由例1中方法知，以上特征值问题特征值和特征函数分别为10/10/40第40页于是得到一系列分离变量形式特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程叠加原理，设原问题解为10/10/41第41页2圆域内拉普拉斯问题10/10/42第42页例9求以下定解问题解：（自然边界条件）（周期性边界条件）周期特征值问题10/10/43第43页(欧拉方程)令周期特征值问题故以上周期特征值问题特征值和特征函数分别为10/10/44第44页（由自然边界条件）（由自然边界条件）于是得到一系列分离变量形式特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程叠加原理，设原问题解为10/10/45第45页例10求以下定解问题解：（周期性边界条件）周期特征值问题10/10/46第46页欧拉方程这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程叠加原理，设原问题解为10/10/47第47页其它为零10/10/48第48页例11求以下定解问题解：由例1中方法知，以上特征值问题特征值和特征函数分别为（自然边界条件）10/10/49第49页（由自然边界条件）10/10/50第50页例11求解以下二维热传导方程定解问题解：由例1中方法知，以上特征值问题特征值和特征函数分别为10/10/51第51页于是得到一系列分离变量形式特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程叠加原理，设原问题解为10/10/52第52页例12求以下热传导方程定解问题解法一：令10/10/53第53页解法二：令由例1中方法知，以上特征值问题特征值和特征函数分别为10/10/54第54页于是得到一系列分离变量形式特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程叠加原理，设原问题解为10/10/55第55页惯用特征值问题周期特征值问题10/10/56第56页四非齐次方程解法求以下定解问题方程是非齐次，是否能够用分离变量法？思索10/10/57第57页由线性方程叠加原理，令：10/10/58第58页令：为何？非齐次方程特征函数展开法10/10/59第59页用常数变易法或拉普拉斯变换法求常微分方程初值问题10/10/60第60页例13求以下定解问题解：先解对应齐次问题其特征值和特征函数为10/10/61第61页10/10/62第62页例14求以下定解问题解：令其特征值和特征函数为10/10/63第63页10/10/64第64页用常数变易法或拉普拉斯变换法求常微分方程初值问题10/10/65第65页例15求定解问题解：将原问题变换到极坐标系下：周期特征值问题10/10/66第66页非齐次方程特征函数展开法10/10/67第67页10/10/68第68页例16求定解问题周期特征值问题10/10/69第69页非齐次方程特征函数展开法10/10/70第70页10/10/71第71页五非齐次边界条件处理解：首先要想方法将非齐次条件齐次化。令取其中辅助函数满足10/10/72第72页10/10/73第73页常见非齐次边界条件齐次化所使用辅助函数非齐次边界条件齐次化所使用辅助函数以上方法适合用于波动方程、热传导方程和位势方程。10/10/74第74页例17求以下定解问题解：令能够用非齐次方程特征函数展开法求解以上问题。10/10/75第75页若f(x,t)和非齐次边界条件都与t无关，则此时W仅是x函数W(x)此方法在使得非齐次边界条件齐次化同时将造成方程非齐次化。能否做到二者同时齐次化？若能从中求出W(x,t)，就能够实现二者同时齐次化。但普通极难求出!10/10/76第76页例18求以下定解问题解：令请与例17比较，研究其优缺点。10/10/77第77页例19求定解问题解：令能够用分离变量法求解以上问题。10/10/78第78页例20求定解问题解：令能够用分离变量法求解以上问题。10/10/79第79页例21求定解问题解：令10/10/80第80页定解问题选择适当坐标系边界条件非齐次，转换为齐次边界条件非齐次方程，齐次边界条件齐次方程，齐次边界条件直接用分离变量法非齐次方程，齐次定解条件特征