中考数学复习考点知识与专题训练32-与圆有关的位置关系(解析版)

中考数学复习考点知识与专题训练若⊙0的半径为1,则BD的长为A.1B.2C.√2D.√30为圆心，OT为半径的圆交0A于点C,过点C作⊙0的切线CD,交AB于点D.则下列结论中错误的是()A.DC=DTB.AD=√2DTC.BD=B0D.20C=5AC=DT,故选项A正确，∵0A=0B,∠AOB=90{解析}如图，设OA,OB,OC的半径为x,y,z.由题意：,解得5.(2020·哈尔滨)如图，AB为⊙0的切线，点A为切点，OB交⊙0{答案}B{解析}本题考查了切线的性质，圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了圆周角定理，∵AB与O0相切于点A,∴0A⊥BA,∴∠0AB=90°,=20°,因此本题选B.若∠B=20°,则∠A0B的度数为(){答案}D{解析}∵AB是⊙0的切线，∴AB⊥0A,即∠0AB=90°,又∵∠7.(2020·江苏徐州)AB是⊙0的弦，点C在过点B的切线上，0C⊥0A,A.75°B.70°{答案}B{解析}利用切线的性质和等腰三角形的性质来进行计算，∵∠0BC=90°,∴∠ABC=90°-20°=70°.故选B.6.(2020·泰安)如图，PA是⊙0的切线，点A为切点，OP交⊙0于点B,∠P=10°,点C在⊙0上，0C//AB.则∠BAC等于(){答案}B{解析}本题考查了切线的性质和圆周角定理，连接0A,因为PA是⊙0.因此本题选B.{答案}B{解析}本题考查了切线的性质和三角形内角和定理，∵AB是⊙0的切线，∴AB10A,即∠0AB=90°,又∵∠B=35°,∴∠AOB=180°-90°-35°=55°,因此本题选B.8.(2020·湘西州)如图，PA、PB为圆0的切线，切点分别为A、B,的延长线交圆0于点D.下列结论不一定成立的是()A.△BPA为等腰三角形与PD相互垂直平分C.点A、B都在以PO为直径的圆上的中线定正确.连接OB、OA,∵PA、PB为圆0的切线，∴∠0BP=∠0AP=90°,7.(2020·广州)如图3,Rt△ABC中，∠C=90°,AB=5,一一图3A.相离B.相切C.相交D.无法确定直线与圆相交；当r=d时，直线与圆相切；当r<d时，直线与圆相离.根据题目条件可得AC=4,再根据勾股定理可得BC=3,即圆心B到直线AC的距离BC=3=r,所以OB与AC相切.因此本题选B.7.(2020·通辽)如图，PA,PB分别与⊙0相切于A,B两点，∠P=72°,则∠C=()A.108°B.72°{答案}C{解析}如图，连结0A,OB,因为PA,PB分别与⊙0相切于A,B,所所以∠AOB=108°,由同弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半，则∠C7.(2020·永州)如图，已知PA,PB是O的两条切线，A,B为切点，OO则故选C.的距离d可用公式计算.根据以上材料解决下面问题：如图，【详解】过点C作直线1的垂线，交C于点Q,交直线1于点P,此∵点C到直线1的距离C半径为1,O二、填空题15.(2020台州)如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，以AD为直径的⊙0交AC于点E,连接DE.若⊙0与BC相切，∠ADE=55°,则∠C的度数为55°【分析】由直径所对的圆周角为直角得∠AED=90°,由切线的性质可得∠ADC=90°,然后由同角的余角相等可得∠C=∠ADE=55°【解答】解：∵AD为⊙0的直径，∴∠AED=90°,∴∠ADE+∠DAE=90°;∵O0与BC相切，∴∠ADC=90°,∴∠C+∠DAE=90°,∴∠C={答案}25{解析}本题考查了切线的性质，互为余角的性质，圆周角与圆心角的关系，AC切0于A,∴∠A=90°,∵∠C=40°,∴∠AOC=50°,15.(2020·枣庄)如图，AB是⊙0的直径，PA切⊙0于点A,线段{答案}27°{解析}利用圆的性质与三角形的内角和求解.∵PA切⊙016.(2020·连云港)如图，在平面直角坐标系x0y中，半径为2的⊙0与x轴的正半轴交于点A,点B是⊙0上一动点，点C为弦AB的中点，直(第16题图){答案}2{解析}本题考查了垂径定理，三角形等积问题，相切等知识，由题意可得OE=3,OD=4,连接0C,根据垂径定理可得0C⊥AB,由∠0CA=90°,可知点C的运动轨迹为以F(0,1)为圆心，1为半径的圆，若作一条直线，与OF相切于圆的下方于点G,则点G距离线段DE最近，当点C位于点G处时，△CDE面积最小，又根据同底等高可知△DEN与△DEG面积相等，又所以△EDN的面积a的右侧.两点，O的半径为1,P为AB上一动点，PQ切0于Q点.当线段PQ长置是解题的关键.先找到PQ长取最小值时P的位置即为OP⊥AB时，然后由PQ切0于Q点，可知0Q⊥PQ,长取最小值，此时0P⊥AB,即∠0PQ=30°,若使P到直线a的距离最大，则最大值为PM,且M位于x轴下方，事半径为1,点P是AB边上的动点，过点P作⊙0的一条切线PQ(其中点Q为切点),则线段PQ长度的最小值为{解析}本题考查了切线的性质、直角三角形的性质及勾股定理.难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当0P⊥AB时，线段PQ最短是关∵PQ是⊙0的切线，∴0Q⊥PQ,根据勾股定理知PQ₂OP₂0Q₂,∴当0P⊥AB时，线段PQ最短.∵在Rt△A0B中，0B=2√3,∠A=30°,∴AB4√3,二AO6,二16.(2020·呼和浩特)已知AB为⊙0的直径且长为2r,C为⊙0上异于A,B的点，若AD与过点C的⊙0的切线互相垂直，垂足为D.①若等腰三角形A0C的顶角为120度，则②若△AOC为正三角形，则CD③若等腰三角形A0C的对称轴经过点D,则CD=r,④无论点C在何处，将△ADC沿AC折叠，点D一定落在直径AB上，其中正确结论的序【解析】①∵∠A0C=120°,,∴CI,故①错误；②若△A0C为正三角形，,故②正确；③若等腰三角形A0C的对称轴经过点D,如图，∴四边形A0CD为矩形，∴CD=A0=r,故③正确；即点D一定落在直径上，故④正确.故答案为：②③④.三、解答题相切于点C.求证：AC=BC.小明同学的证明过程如下框：小明的证法是否正确?若正确，请在框内打“√”;若错误，请写出你的证明过程.24.(2020·铜仁)如图，AB是⊙0的直径，C为⊙0上一点，连接AC,CE⊥AB于点E,D是直径AB延长线上一点，且∠(1)求证：CD是⊙0的切线；{解析}(1)连接OC,根据圆周角定理得到∠ACB=90°,根据余角的性质得到∠A=∠ECB,求得∠A=∠BCD,根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ACO,等量代换得到∠ACO=∠BCD,求得∠DCO=90°,于是得到结论；(2)设BC=k,AC=2k,根据相似三角形的性质列比例求解.{答案}(1)证明：如图，连接OC..AB是⊙0的直径，∴∠ACB=90°,是⊙0的切线.(2)解：∵∠A=∠BCE,,AD=8,∴CD=4.,25.(2020·黔西南州)古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”.请研究如下美丽的圆.如图，线段AB是⊙0的直径，延长AB至点C,使BC=0B,点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙0于点D,点P是⊙0上一动点(不与点A,B重(1)求证：CD是⊙0的切线；(2)小明在研究的过程中发现是一个确定的值.回答这个确定的值是多少?并对小明发现的结论加以证明.{解析}本题考查了切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质.(1)连接OD,DB,由已知可得DE垂直平分OB,于是DB=DO,而OB=0D,所以DB=DO=0B,即△ODB是等边三角形，于是∠BDO=60°,再由等腰三角形的性质及三角形的外角性质可得∠CDB=30°,从而可得∠ODC=90°,所是⊙0的切线；(2)连接OP,由已知条件得OP=0B=BC=20E,再利用“两组边成比例，夹角相等”证明△OEP∽△0PC,最后由相似三角形的对应边成比例得到结论.{答案}解：(1)如答图，连接OD,DB,∵点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙0于点D,∴DE垂直平分0B,∴DB=D0.∵DO=0B,..DB=DO=0B,∴△ODB是等边三角形，∴∠BDO=∠DBO=60°+30°=90°,∴0D⊥CD,∴CD是⊙0的切线；(2)这个确定的值是.证明：如答图，连接OP,∵OP=0B=BC=20E,又∵∠COP=∠POE,∴△OEP∽△OPC,22.(2020·新疆)如图，在⊙0中，AB为⊙0的直径，C为⊙0上一{解析}本题考查了切线的判定，锐角三角函数，平行线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识.(1)连接OP,转化为证明0P⊥PD,这可通过证明OP//AD并结合PD⊥AD得到；(2)作CE⊥PA于进而得到PB=13x.证△ACE∽△ABP得到从而求得AB=13,于是BC=12,证0F为△ABC的中位线得于是得到PF=4,由垂径定理得CF=6,证四边形CDPF为矩形，得到PD=CF=6,CD=PF=4,所以AD=9,在Rt△APD中利用勾股定理求得BD长为3√13.{答案}解：(1)证明：如答图，连接OP.∵P是是Bc的中点，=∠APO,∴0P//AC,∵PD⊥AC,∴PD⊥0P,∴PD是⊙0的切线.(2)如答图，过点E作CE⊥AP于点E.连接PB,PC,BC,BC交0P=13x.∵PB=PC,∴PB=PC=13x.∵AB是⊙0的直径，∴∠APB=90°.∵,∵AB是⊙0的=90°,∴∠D=∠ACB,∴PD//BC,∵OP⊥PD,∴0P⊥BC,∵=CF=6,PF=CD.∵AB20.(2020·遵义)如图，AB是⊙0的直径，点C是⊙0上一点，∠CAB的平分线AD交Bc于点D,过点D作DE//BC交AC的延长线于点E.(1)求证：DE是⊙0的切线；{解析}本题考查切线的判定，勾股定理的综合运用.(1)连接OD,证0D⊥DE即可；(2)因为DF⊥AB于点F,所以由勾股定理可得OD2—0F2=BD2—BF2,BD的长度可求.{答案}解：(1)连接OD,则∠2=∠3.∵AD平分∠CAB,∴∠1=∠2.∴∵AB为直径，∴∠ACB=90°∵DE//BC,∴∠E=90°,∴∠1+∠∴∠3+∠4=90°∴DE是⊙0的切线.—12=BD2—22.解得BD=2√3.,23.(2020·黔东南州)如图，AB是⊙0的直径，点C是⊙0上一点(与点A,B不重合),过点C作直线PQ,使得∠ACQ=∠ABC.(1)求证：直线PQ是⊙0的切线.若○0的半径为2,求图中阴影部分的面积.{解析}(1)连接0C,由直径所对的圆周角为直角，可得∠ACB=90°;利用等腰三角形的性质及已知条件∠ACQ=∠ABC,可求得∠0CQ=90°,进而根据切线的判定定理可得结论可得∠DAC=30°,从而可进而判定△AEO为等边三角形，则∠AOE的度数可得，然后利用S阴影=S{答案}解：(1)证明：如图，连接0C,∵AB是⊙0的直径，∴∠ACB=90°,∵0A=0C,∴∠CAB=∠ACO.∵∠ACQ=∠ABC,∴∠CAB+∠ABC=∠ACO+∠ACQ=∠0CQ=90°,即∴直线PQ是⊙0的切线.(2)连接OE,,又∵0A=0E,∴△AEO为等边三角形，∴∠A0E=60°.∴S阴影=S扇形-S△AEO26.(2020·绥化)如图11,△ABC内接于⊙0,CD是直径，∠CBG=∠垂足为H.连接BD、OA.(1)求证：直线BG与⊙0相切：{解析}(1)连结OB,证BG⊥OB即可；(2)由圆周角定理以及“等腰三角形的三线合一”推出∠EBF=∠AOH,从而利用△BEF∽△OAH求解.{答案}证明：(1)连接0B.∵CD是⊙0的直径，∴∠DBC=90°.∴∠=∠DB0.∴∠CBG+∠0BC=90°,∠0BG=90°,即OB⊥BG.∵OB是⊙0半径，∴直线BG与O0相切.解：(2)∵OH⊥AC,0A=0C,∴,AC=2AH.●●∵AC=2AH,∴的值是直径作⊙0,交AC于点D,过点D作DE⊥BC,垂足为点E.(1)试证明DE是⊙0的切线；(2)若⊙0的半径为5,AC=6√10,求此时DE的长.件“DE⊥BC”只需证明OD//BC即可，由此发现点D应为AC的中点，利用(2)本题实质上是解等腰三角形，除了利用Rt△CDEoRt△ABD求解{答案}解：(1)证明：连接OD,BD,∵AB为⊙0的直径，∴BDLAD,∴0D//BC,又DE⊥BC,∴DE⊥0D,∴DE是⊙0的切线.∵AB=BC,∴∠A=∠C.在Rt△CD25.(2020·宿迁)如图，在△ABC中，D是边BC上一点，以BD为直径的⊙0经过点A,且∠CAD=∠ABC.(1)请判断直线AC是否是⊙0的切线，并说明理由；{解析}(1)连接0A,利用切线的判定定理，根据条件证明AC⊥0A即可证明直线AC是⊙0的切线；(2)过点A作AE⊥BC于点E,设⊙0的半径为r,在Rt△0AC中，由勾股定理，即可求出r的值，然后由面积桥法可求得最后由勾股定理锁定AB的长.{答案}解：(1)直线AC是⊙0的切线，理由如下：如答图，连接0A.∵BD为⊙0的直径，∴∠BAD=90°=∠0AB+∠0AD.∵0A=OB,∴直线AC是⊙0的切线.(2)如答图，过点A作AE⊥BC于点E,设⊙0的半径为r,则0A=r,0C=r+2.在Rt△0AC中，由勾股定理，得r2+42=(r+2)2,解得r=3,从而0C=5,BC=8.由面积法可求得于是20.(2020·河南)我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的.人们根据实际需要，发现了一种简易操作工具——三分角器.图1是它的示意图，其中AB与半圆0的直径BC在同一直线上，且AB的长度与半圆的半径相等；DB与AC垂直于点B,DB足够长.使用方法如图2所示，若要把∠MEN三等分，只需适当放置三分角器，为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明.如下给出了不完整的“已知”和“求证”,请补充完整，并写出“证明”过程.已知：如图2,点A,B,0,C在同一直线上，EB⊥AC,垂足为为{解析}先写出已知条件，然后根据切线的性质、垂线的定义找出三角形全等的条件，进而确定相等的角.{答案}已知：如图2,点A,B,0,C在同证明：连接OF..EB⊥AC,∴∠ABE=∠0BE=90°,又∵AB=OB,EB=EB,平分∠BEF,∴∠ODB=∠C=90°,∴0D⊥BC,∵OD是半径，∴直线BC与⊙0相切；(第24题答图1)(第24题答图2)(2)解：连接DE,过D作DM⊥AB于M,∵AE为直径，∴∠在由勾股定理得ED=6,∵S△ED23.(2020·枣庄)如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的⊙0是⊙0的切线；(2)若⊙0的直径为4,CF=6,求tan∠CBF.{解析}(1)欲证BF是⊙0的切线，可证∠ABC+∠CBF=90°.这里与直角相关的条件是AB为⊙0的直径，于是连接AE,则利用等腰三角形“三线合一”的性质及条件∠BAC=2∠CBF,易于得到∠BAE=∠CBF,由此思路得以沟通；(2)根据所给条件可知线段AB,AC,CF,AF的长，于是利用勾股定中求解，也同时构造了相似三角形，易求CH与FH的值，进而得BH的值，于是可求∠CBF的正弦值.{答案}解：(1)证明：如图，连接AE.AB是⊙0的直径，∴∠AEB=90°,∠1+∠2=90°.十∠2=90°,即∠ABF=90°∵AB是⊙0的直径，∴直线BF是⊙0的切(2)过点C作CH⊥BF于点H.∵AB=AC,⊙0的直径为4,∴AC=4.23.(2020·陕西)如图，△ABC是⊙0的内接三角形，∠BAC=75°,∠ABC=45°.连接A0并延长，交⊙0于点D,连接BD.过点C作⊙0的切线，与BA的延长线相较于点E.{解析}(1)CE是⊙0切线，连接0C,则有0C⊥CE,要证AD//EC,只以及同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可证得∠A0C=90°,即OA⊥0C;(2)求直角梯形A0CE的下底CE的长度，过A作AF⊥CE,将直角梯形分割成一个正方形和一个直角三角形，根据AD//CE得∠E=30°,运用含30°直角三角形的三边关系求解.关键是要求出⊙0的半径.{答案}解：(1)证明：如答图，连接0C.∵CE与O0相切于点C,∴∠0CE又∵∠ABC=45°,∴∠A0C=90°.∴AD//EC.(2)解：如答图，过点A作AF⊥EC,垂足为F.∴∠ACB=60°,∠D=60°.∵AD是直径，∴∠ABD=90°,∠BAD=第23题答图25.(2020自贡)如图，O0是△ABC的外接圆，AB为直径，点P为⊙0外一点，且PA=PC=√2AB,连接PO交AC于点D,延长PO交⊙0于点F.(1)证明：AF=CF;(3)在(2)条件下，连接PB交⊙0于点E,连接DE,若BC=2,求DE的长.{解析}(1)证明：连接0C.PC=PA,0C=0A,∴0P垂直平分线段。。∴0A⊥PA,∴PA是⊙0的切线.,25.(2020·无锡)如图，DB过⊙0的圆心，交⊙0于点A、B,DC是⊙0的切线，点C是切点，已知∠D=30°,DC=√3.(1)求证：△BOCo△BCD;{解析}(1)本题考查的是切线的性质及圆周角定理、根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.{答案}解：(1)∵DC是⊙0的切线，又∠B为公共角，27.(2020·南京)如图①,要在一条笔直的路边1上建一个燃气站，(1)如图②,作出点A关于1的对称点A’,线段A'B与直线1的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线ACB是最短的.为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线1上另外任取一点C’,连接AC’、BC’,证明AC+CB<AC’+C’B.请完成这个证明.1图④{解析}(1)利用轴对称的原理将两条线段转化成一条直线上，由两点间线段最短来解决问题，并结合三角形三边关系证明结论.(2)①设正方形右下角顶点为D,由(1)中的原理作出点C,再连接BD,②由(1)中的原理先作出点A的对称轴点A’,过点A’作圆的切线A'D,{答案}(1)利用轴对称的原理将两条线段转化成一条直线上，由两点间线段最短来解决问题，并结合三角形三边关系证明结论.(2)①设正方形右下角顶点为D,由(1)中的原理作出点C,再连接BD,②由(1)中的原理先作出点A的对称轴点A’,过点A’作圆的切线A'D,过点B作圆的切线BE,最短路线为A→C→D→E→B.{答案}(1)证明：如图①,连接A'C.∵点A、A’关于1对称，点C在1上，在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是ACDB(如图②,其中D是正方形的顶点).点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是ACD+DE+EB(如图③,其中(2020·四川甘孜州)20.如图，AB是⊙0的直径，C为⊙0上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D.{解析}本题考查了圆的切线性质，相似三角形的判定与性质，勾股定平行线的性质得∠0CA=∠CAD,由等边对等角得∠0CA=∠CAD,等量代换可得∠CAD=∠CAB;(2)连接BC,根据题意先证△CAD∽△BAC.再利用相似三角形的性质求解即可.{答案}解：(1)连接0C.∵CD是O0的切线，∴0C⊥CD.,(2)如图2所示，延长BA至点H,使AH=A0,连接DH.若点E是线段A0的中点，求证：DH是⊙0的切线.{解析}(1)连接AD,由AB是直径得∠ADB=90°,由同角的余角相等证明∠ADE=∠ABD,由直角三角形斜边中线性质证明∠DAC=∠ADE,进而得出∠ABD=∠DAC,由此可得出结论；(2)由已知可知DE是OA、HB垂直平分线，可得DA=D0,DH=DB,90°,由此可得出结论.{答案}证明：(1)连接AD、BC,如图所示，∵AB是半圆0的直径，∴∠ADB=90°;(2)如图所示，连接OD、AD,又∵∠B+DA0=90°,∴DH是⊙0的切线.22.(2020·绵阳)如图，△ABC内接于⊙0,点D在⊙0外，∠ADC=90°,BD交⊙0于点E,交AC于点F,∠EAC=∠DCE,∠CEB=∠DCA,CD=6,AD=8.(2)求证：CD是⊙0的切线；(2)证明：连接CO并延长交⊙0于G,连接GE=∠DCE,∠EAC=∠EGC,∴∠DCE=∠EGC,为矩形，∴∠BAH=∠AGC=90°,AG=CD=6,AD=CG=8,设⊙0的半径事00的直径，423.(2020·北京)如图，AB为O0的直径，C为BA延长线上一点，(1)求证：∠ADC=∠AOF;{解析}(1)连接OD,根据CD是⊙0的切线，可推出∠ADC+∠ODA=90°,根据OF⊥AD,∠A0F+∠DA0=90°,根据OD=0A,可得∠0DA=∠DA0,即可证(2)设半径为r,根据在Rt△0CD中，可得OD=r,OC=3r,AC=2r,由AB为⊙0的直径，得出∠ADB=90°,再根据推出OF⊥AD,OF//BD,然后由平行线分线段成比例定理可得,求出OE,求出OF,即可求出EF.{答案}解：(1)证明：连接OD,∵CD是⊙0的切线，(2)设半径为r,,∵AB为⊙0的直径，(1)求∠BED的大小；(2)若。o的半径为3,点F在AB的延长线{解析}本题考查了有关性质、直线与圆的位置关系、特殊角的三角函数值、解直角三角形、全等三角形的判定和性质.(1)连接OB,由三角函{答案}解：本小题考查圆的考查运算能力、推理能力、空间观念与几何直观，考查化归与转化思想.满分8分.解：(1)连接OB,(2)连接OF,;25.(2020·淮安)(本小题满分10分)如图，AB是O0的弦，C是O0外一点，0C⊥0A.CO交AB于点P,(1)判断直线BC与O0的位置关系，并说明理由；(2)若∠A=30°,OP=1,求图中阴影部分的面积.{解析}本题考查了切线的判定，直角三角形两个锐角互余，30°的直角三角形的性质，扇形面积等知识。(1)由CP=CB得∠B=∠DPB=∠APO,相切。(2)阴影部分面积=△OBC的面积=90°,则∠CBA+∠ABO=90°,即BC与⊙0相切；兀兀πO的半径为r.(3)若PC交圆o于点D,求第(2)问中对应的阴影部分的周长(用图1图2(备用图)∵PA,PB为⊙0的切线，∴∠PA0=∠PBO=90°..∠AOB+∠APB=180°时，四边形APBC为菱形.连接0A,OB.∵点C运动到PC距离最大，∴PC经过圆心.∵PA,PB为O0的切线，∴四边形APBC为轴对称图形.△结论.(1)证明：连接0C∵AB为⊙0的直径，又∵∠DCA=∠B,又∵点C在⊙0上，∴CD是⊙0的切线.又∵∠EFA=∠DFC,22.(2020·襄阳)(8分)如图，AB是⊙0的直径，E,C是⊙0上(1)判定直线CD与⊙0的位置关系，并说明理由；第22题图{解析}本题考查了切线的判定及扇形面积的计算公式，解题的关键是巧妙地作辅助线，将不规则的图形面积转化为规则图形的面积进行计算.{答案}解：(1)直线CD与⊙0相切，理由如下：连接0C,如答图.又∵点C在⊙0上，∴CD是⊙0的切线.第22题答图(2)如答图，过点0作0F⊥AD于点F,连接0E,则四边形0CDF是矩形，从而0F=CD=√3.在Rt△A0F中，由得∠DAB=60°,于是∠COE=60°,∠EOF=30°25.(2020·扬州)如图，△ABC内接于⊙0,∠B=60°,点E在直径(1)试判断AE与⊙0的位置关系，并说明理由；(2)若AC=6,求阴影部分的面积.(第25题)形是解题关键.(1)利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出∠E=∠ACE=∠0CA=∠0AC=30°,∠EAC=120°,进而得出∠EA0=90°,即可得出答(2)首先求出AE=6,再圆的半径为2√3,从而求得扇形的面积和Rt(第25题答图)(2020·济宁)21.(9分)我们把方程(x-m)2+(y-n)2=r2称为圆心为(m,n)、半径长为r的圆的标准方程.例如，圆心为(1,-2)、半径长为3的圆的标准方程是(x-1)2+(y+2)2=9.在平面直角坐标系中，圆C与轴交于点A.B.且点B的坐标为(8,0),与y轴相切于点D(0,4),过点A,B,D的抛物线的顶点为E.(1)求圆C的标准方程；(2)试判断直线AE与圆C的位置关系，并说明理由.{解析}(1)如图，连接CD,CB,过点C作CM⊥AB于M.设⊙C的半径为(2)结论：AE是OC的切线.连接AC,CE.求出抛物线的解析式，90°即可解决问题.半径为r.∵与y轴相切于点D(0,4),∴CD⊥OD,∴OC的标准方程为(x-5)2+(y-4)2=25.理由：连接AC,CE.设抛物线的解析式为y=a(x-2)(x-8),把D(0,4)代入y=a(x-2)(x-8),∴抛物线的解析式为∴抛物线的顶点E(5····事事(1)判断直线EF与⊙0的位置关系，并证明.可得证.(2)由勾股定理计算出0F,再根据平行线分线段成比例的有关知识列出比例式，可得AE和ED,最后计算sin∠EAD的值.{答案}解：(1)直线EF与⊙0相切.理由如下：,第22题答图20.(2020·齐齐哈尔)如图，AB为⊙0的直径，C、D为⊙0上的两(1)求证：DE是⊙0的切线.(2)若直径AB=6,求AD的长.{解析}(1)连接OD,根据已知条件得到根据等腰三角形的性质得到∠ADO=∠DAB=30°,得到∠EDA=60°,求得OD⊥DE,于是得到结论；(2)连接BD,根据圆周角定理得到∠ADB=90°,解直角三角形即可得到结论.{答案}(1)证明：连接OD,,∴DE是⊙0的切线；(2)解：连接BD,∵AB为⊙0的直径，(2020·德州)22.(12分)如图，点C在以AB为直径的⊙0上，点D是半圆AB的中点，连接AC,BC,AD,BD,过点D作DH//AB交CB的延长线于点H.(1)求证：直线DH是⊙0的切线；{解析}(1)连接OD,证明OD⊥DH即可.相似求出AD,BH的长.{答案}证明：(1)连接OD.∵AB是⊙0的直径，D是半圆AB的中点，∴DH是⊙0的切线.(2)连接CD.∵AB是⊙0的直径，∴∠ADB=90°,∠ACB=90°又D是半圆AB的中点，∴AD=DB,∴△ABD是等腰直角三角形.∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠CAD+∠CBD=180°,,即22.(2020·菏泽)如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的⊙0与BC相交于点D,过点D作⊙0的切线交AC于点E.(2)若⊙0的半径为5,{解析}(1)由切线的性质可知OD⊥DE,故要证DE⊥AC,只需证OD//AC即可，借助∠B进行角的等量转化，易得∠0DB=∠C,从而结论可证；(2)利用圆周角定理的推论及等腰三角形三线合一的性质求解相关线段长，在Rt△ACD中借助面积法计算DE的长.{答案}解：如图，连接OD,则OD⊥DE.(2)如图，连接AD.在Rt△ADC中，∵AC=AB=2×5=10,22.(2020·荆门)如图13,AC为⊙0的直径，AP为⊙0的切线，M是AP上一点，过点M的直线与⊙0交于B,D两点，与AC交于点E,连接AB,(2)若AB=3,求⊙0的半径.{解析}(1)欲证AB=BM,需证∠BAM=∠BMA,这可利用等角的余角相等得出；用勾股定理求出AE的长.利用△ABCo△EAM求出直径AC的长，从而求出⊙0的半径.{答案}(1)证明：如图#,∵AP为⊙0的切线，AC为⊙0的直径，又∠1+∠2=90°,(2)解：连接BC.∵AC为直径，∴∠ABC=90°,∠C+∠3=90°又∵∠1=∠4,∠C=∠D,∴⊙0的半径为2.5.21.(2020·随州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90,以斜边AB上的中线CD为直径作⊙0,与BC交于点M,与AB的另一个交点为E,过M作MN⊥AB,垂足为N.(1)求证：MN是⊙0的切线；(2)若⊙0的直径为5,{解析}本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质、平行线的判定和性质、切线的判定、解直角三角形.(1)连接OM,利用CD是斜边AB上的中线和0C=0M,可得∠B=∠0CM=切线.(2)利用CD是斜边AB上的中线可得BD=CD=5,CD为⊙0的直径得到DM⊥BC,进而得到M为BC的中点.然后在Rt△BMD和Rt△CEB中，使用∠B的三角函数分别求出BE的长度，进而利用BE-BD得到ED的长度.{答案}(1)证明：连接0M,∵0C=OM,∵∠0CM=∠OMC.争争……9分说明：该题(1)(2)问均有多种方法，用其他合理方法得到正确结果都可给分.26.(2020·镇江)(本小题满分8分)(1)求证：四边形ABEO为菱形；(2)已知.连接AE,当AE与o₀相切时，求A{解析}本题考查了菱形的判定与三角函数的定义；(1)菱形的证明方由相切可知对角线交点正好在圆上，然后构造直角三角形，利用勾股定理又∵BO平分∠ABC当AE与⊙0相切时，OP1AE(负舍)(2020·山西)18.如图，四边形0ABC是平行四边形，以点0为圆心，0C为半径的⊙0与AB相切于点B,与A0相交于点D,A0的延长线交⊙0第18题图{解析}本题考查切线的性质，平行四边形的性质.先证等腰直角三角形BOC的∠C=∠0BC=45°.由平行四边先证等腰直角三角形ABO的∠A0B=45°:由圆周角与圆心角的关系得∠E=22.5°∵AB与⊙0相切于点B,∴OB⊥AB.∴∠0BA=90°.∵四边形OABC是平行四边形，∴AB//0C.∵四边形OABC是平行四边形，∴∠A=∠C=45°.23.(2020·天水)如图，在△ABC中，∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,点0在AB上，以点0为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D,(1)试判断直线BC与⊙0的位置关系，并说明理由；{解析}(1)连接OD,证明OD//AC,即可证得∠0DB=90°,从而证得BC是⊙0的切线；(2)在Rt△OBD中，设0A=0D=r,利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到圆的半径r的值，从而求出圆心角的度数，再利用直角三角形ODB的面积减去扇形DOF面积即可求出阴影部分面积.{答案}解：(1)BC与⊙0相切，理由如下：连接OD,∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠OAD;又∵0A=0D,∴∠0AD=∠0DA,又∵OD为⊙0的半径，∴BC与⊙0相切.(2)设⊙0的半径为r,则OA=OD=r,OB=6—r,.20.(2020·深圳)如图，AB为⊙0的直径，点C在⊙0上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D.连接BC并延长，交AD的延长线于点E.{解析}(1)连接AC、0C,如图，根据切线的性质得到0C⊥CD,则可判断0C//AD,所以∠0CB=∠E,然后证明∠B=∠E,从而得到结论；(2)利用圆周角定理得到∠ACB=90°,则利用勾股定理可计算出AC=8,再根据等腰三角形的性质得到CE=BC=6,然后利用面积法求出CD的长.{答案}(1)证明：连接AC、0C,如图，∵CD为切线，∴0C⊥CD,为直径，∴∠ACB=90°,22.(2020·鄂州)如图所示：0与ABC的边BC相切于点C,与AC、E△⊙(1)求证：直线AB与0相切；O{解析}本题考查圆的综合知识及相似全等，关键在于根据条件结合知识点，特别是辅助线的做法要迎合题目给出的条件.(1)由两组平行条件推出∠DEO=∠BOE,即可利用SAS证明△BOE≌△(2)将DG与OE的交点作为H,根据直角的性质得出AE//DF,可得△AEC∽△DFC,得出再根据圆周角定理求出∠ECD=∠EDF,再由一组公共角可得△FED∽△DEC,得出,进而推出即AE·ED=AC·EF;(3)先根据题意算出EC,再根据勾股定理得出直径CD,从而得出半径，再利用(2)中的比例条件将AC算出来，延长B0到I,连接ON,根据垂径定理可得OI垂直AN,即可利用勾股定理分别求出AI和IN,即可得出AN.{答案}证明：(1)∵DE//0B,∴∠B0C=∠EDC,∴.AB是⊙0的切线.如图所示DG与OE交点作为H点，又由(1)所知∠AEO=90°由圆周角定理可知∠EDG=∠ECG,∠EOD=2∠ECD,即AE·ED=AC·EF.与∠ACE相等角的tan值都相同.由(2)可得交⊙0于点E.(1)若D为AC的中点，证明：DE是⊙0的切线；(2)若CA=6,CE=3.6,求的长.(第24题图){解析}本题考查了切线的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识.事AC的中点，则得出∠DEA=∠DAE,由0A=0E,得出∠事得出结论；(2)先由△CAB∽△CEA得CA₂=CE×CB,求得CB的长，再用勾股定理求AB的长得半径即可.{答案}解：(1)证明：连接AE,OE,如图所示：∵AB是⊙0的直径，∵AC是⊙0的切线，∴∠BAC=90°,∵在Rt△ACE中，D为AC的中0E为半径，∴DE是⊙0的切线；(第24题答图)(2)解：∵∠CEA=∠CAB=90°,∠ACB=∠ECA,∴△CAB∽△CEA,中，根据勾股定理得BC₂=AC₂+AB2,∴AB=√BC₂-AC2=√102-62=8,∴⊙0的23.(2020·怀化)如图，在⊙0中，AB为直径，点C为圆上一点，是⊙0的切线.(2)分别过A、B两点作直线CD的垂线，垂足分别为E、F两点，过{答案}(1)证明：连接0C,如右图所示，∴△0CB为等边三角形，又∵∠CAD=30°,,,{解析}本题考查了切线的判定和性质、角平分线的性质、相似三角形的判定和性质等，属于中考常考题型，熟练掌握切线性质、角平分线性质是解决此题的关键.(1)连接0C,∠CAD=∠D=30°,由0C=0A,进而得到∠0CA=∠CAD=30°,由三角形外角定理得到∠COD=∠A+∠0CA=60°,在△0CD中由内角和定理可知∠0CD=90°即可证明；=CG,CF=CG,再证明△AECo△CFB,对应线段成比例即可求解.由DE⊥AC得OD⊥DE,可得直线DE为⊙0切线.{答案}(1)∵AB为⊙0的直径∴AD⊥BC在RtADB和RtADC中△∴OD⊥DE作0,过点C作直线CD交AB的延长线于点D,使∠BCD=∠A.△O(2)若DE平分,且分别交AC,BC于点E,F,当CE=2时，求EF的长.形外角性质O(2)由角平分线及三角形外角性质可得∠A<ADE=∠Fp+∠CDF{答案}(1)证明：如图，连接0C∠BCD=∠A∵0C是圆0的半径∴CD是O的切线.O(2)解：∵DE平分∠ADC(1)如图①,求证：直线MN是O的切线；O(2)如图②,点D在线段BC上，过点D作DH⊥MN于点H,直线DH若若O的半径为1,求AG·ED的值.⊙{答案}(1)见解析(2){解析}(1)由圆周角定理的推论和直角三角形的性质可得∠A+∠B=90°,由OC=OB可得∠B=∠OCB,进一步即可推出∠OCB+∠BCM=90°,从而可得(2)如图②,由已知条件易求出AC的长，根据对顶角相等和圆周角定理可得∠1=∠3,根据余角的性质可得∠ECD=∠AGC,进而可得△EDC△求出结果.(1)证明：连接0C,如图，。即,重又∵∠DEC=∠CAG,21.(2020·天津)在0中，弦CD与直径AB相交于点P,∠ABC=63°.(IⅡ)如图②,若CD⊥AB,过点D作O的切线，与AB的延长线相交于点E,求∠E的大小.⊙{解析}本题考查圆周角定理及其推论、切线的性质、三角形的外角定理等知识点，熟练掌握圆周角定理及其推论是解决本题的关键.(I)先由△CPB中外角定理求出∠C的大小，再根据同弧所对的圆周角相等即可求出∠BAD的值；且∠ADC=∠ABC,再由直径AB所对的圆周角等于90°求出∠(Ⅱ)连接OD,由CD⊥AB先求出∠DCB,再由圆周角定理求出∠BOD,最后由切线的性质可知∠ODE=90°,进而求出∠E的度数.∵在0中，∠BAD=∠C,AB为O的直径，O故答案为：∠BAD=37°,∠CDB=27°.(Ⅱ)如下图所示，连接OD,在0中，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知：,,21.(2020·长沙)如图，AB为⊙0的直径，C为⊙0上的一点，AD与过点C的直线互相垂直，垂足为D,AC平分∠DAB.为⊙0的切线；{解析}本题考查了切线的判定、圆的基本定理等.(1)切点已经确定为C,那么证明0C⊥CD即可；(2)因为给的两条边在同一个直角三角形中，而∠DAC=∠CAB,所以这问的方法很多，相似、三角函数都能用，把半径或者直径同∠CAB构造出一个直角三角形就能求出结果.{答案}解：(1)如图，连接0C,又∵0C是⊙0的半径，∴00的半径为2.25.(2020·长沙)如图，半径为4的⊙0中，弦AB的长度为4√3,点C是劣弧AB上的一个动点，点D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，(2)当点C沿着劣弧AB从点A开始，逆时针运动到点B时，求△ODE的外心P所经过的路径的长度；AC的长度.找到正确考察内容来完成问题是关键.(1)过0作OF⊥AB于F,由垂径定P为△ODE的外心，所以点C在动的过程中，△ODE的外心点P随着点C从P所经过的路径的长度；(3)过点0作OH⊥DE于点H,交AB于点Q,过点0QK后利用相似性质和勾股定理求出结果.{答案}解：(1)作OF⊥AB于点F,同理可证PD=PO=PE,事事所以点C在动的过程中，△ODE的外心点P随着点C从OA的中点逆时针运动到OB的中点结束，即△ODE的外心的运动轨迹是以点0为圆心，2为半径，圆心角120°的圆弧，···,;事.由对称可知，还有一种情况：(2)若∠ABC=60°,AB=4,求阴影部分的面积.{解析}(1)证明：连接AE,根据平行四边形的性质得到AD=BC,AD60°,得到∠CAE=∠ACB,得到CE=BE,根据三角形和扇形的面积公式即{答案}(1)证明：连接AE,∴DE与OA相切；(2)解：∵∠ABC=60°,AB=AE=4,∴△ABE是等边三角形，径为3,CE=√34,5BF-5AD=4.{解析}(1)过点E作0C的垂线，构造矩形AEHO,利用勾股定理求出⊙O25.(2020·青海)如图12,已知AB是⊙0的直径，直线BC与⊙0相切于点B,过点A作AD//0C交⊙0于点D,连接CD.(1)求证：CD是⊙0的切线.(2)若AD=4,直径AB=12,求线段BC的长.{解析}(1)欲证CD与⊙0相切，需证OD⊥CD,这可通过证△0CB≌△0CD得到；(2)利用△0CB∽△ABD计算BC的长.{答案}(1)证明：连结OD.∵BC与⊙0相切，∴∠0BC=90°.∴CD与⊙0相切.(2)解：连结BD.∵AB是直径，∴∠ADB=90°,即20.(2020·成都)如图，在△ABC的边BC上取一点0,以0为圆心，0C为半径画⊙0,⊙0与边AB相切于点D,AC=AD,连接0A交⊙0于点E,连接CE,并延长交线段AB于点F.(1)求证：AC是⊙0的切线；(2)若AB=10,求⊙0的半径；(3)若F是AB的中点，试探究BD+CE与AF的数量关系并说明理由.{答案}解：(1)如图，连接OD,∵⊙0与边AB相切于点D,∴0D⊥AB,即∠ADO=90°,又∵0C是半径，∴AC是⊙0的切线；故⊙0的半径为8;故⊙0的半径为8;3由(1)可知：△ACO≌△ADO,∴∠ACO=∠ADO=90°,∠A0C=∠AOD,{解析}(1)连接OD,由切线的性质可得∠ADO=90°,由“SSS”可证△ACO≌△ADO,可得∠ADO=∠ACO=90°,可得结论；(2)由锐角三角函数可设AC=4x,BC=3x,由勾股定理可求BC=6,再由勾股定理可求解；(3)连接OD,DE,由“SAS”可知△COE≌△DOE,可得∠0CE=∠0ED,由三角形内角和定理可得∠DEF=180°-∠0EC-∠0ED=180°-2∠0CE,∠DFE=180°-∠BCF-∠CBF=180°-2∠0CE,可得∠DEF=∠DFE,可证DE=DF=CE,可得结论.(1)求证：直线CD与⊙0相切；(2)如题22-2图，记(1)中的切点为E,P为优弧AE上一点，AD=1,BC=2,求tan∠APE的值.题22-1图题22-2图{解析}(1)无切点作垂直证半径.先过点0作0E⊥CD交于点E,根据平行线的性质得到OB⊥BC,根据角平分线的性质得到OB=0E,从而得到0E是⊙0的半径，(2)根据切线长定理得到AD=DE=1,BC=CE=3,∠ADO=∠EDO,∠BCO=∠ECO.再找到相似△ODEo△CDO,再得到代值计算得到值.利用等弧对等角，圆周角等于对应圆心角的一半，得到∠APE=(2)连接OD,OE.由(1)得，直线CD、AD、BC与⊙0相切.21.(2020·黄冈)已知：如图，AB是⊙0的直径，点E为⊙0上一点，点D是AE上一点，连接AE并延长至点C,使∠CBE=∠BDE,BD与AE交于(1)求证：BC是⊙0的切线；第21题图{解析}本题考查了圆的切线的判定，相似三角形的判定及性质等知识.(1)要证BC是⊙0的切线，只需证∠ABC=90°,即∠ABE+∠EBC=90°;由AB为直径，可证出∠ABE+∠EAB=90°;即只需证明∠EBC=∠EAB,这个可以通过∠CBE=∠BDE,以及同弧所对的圆周角相等证出.(2)要证(1)求证：BF=DF;(2)若AC=4,BC=3,CF=1,求半圆0的半径长.{解析}本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等知识，(1)连接OD,由切线性质得∠ODF=90°,进而证明∠BDF+∠A=∠A+∠B=90°,得∠B=∠BDF,得BF=DF;(2)设半径为r,连接OD,OF,则OC=4-r,求得DF,再由勾股定理，利用OF为中间变量列出r的方程便求得结果.{答案}解：(1)连接OD,如图1,∵过点D作半圆0的切线DF,交BC于(2)连接OF,OD,如图2,设圆的半径为r,则OD=0E=r,∵AC=4,BC=3,即半圆0的半径长为(1)若BF=2a,试判断△B0F的形状，并说明理由；{解析}(1)利用垂径定理，得到△BOG和△GOF是等腰直角三角形，再根据等腰三角形的性质：两边相等且一个角是90度，即可判断出△BOF是等腰直角三角形.(2)利用三边的关系得到△BOE=△BOF,再根据∠ABC=60°,先求出BF从而得到点E与点A重合，根据圆半径相等，得到0A=OB,根据等腰三求出∠0AD,从而求证.{答案}解：(1)△BOF是等腰直角三角形(2).BE=BF,OB=0B,OE=0F,∴△BOE≥△BOF是⊙0的半径，:⊙0与AD相切与点A22.(2020·凉山州)(8分)如图，AB是半圆A0B的直径，C是半圆上的一点，AD平分∠BAC交半圆于点D,过点D作DH⊥AC与AC的延长线交于点H.(2)若DH=2√5,求半圆的直径.{解析}(1)连接OD,利用等边对等角及角平分线定义，证明OD//AH,进而由DH⊥AC,证明DH⊥OD,于是由切线的判定定理得以证明；(2)利用垂径定理、圆周长定理及锐角三角函数进行求解.{答案}解：(1)证明：如答图，连接OD.第22题答图∴.0D//AH.∵DH⊥AC,∴DH⊥OD.又∵点D在⊙0上，∴DH是半圆的切线.(2)连接BC,则由AB是半圆AOB的直径，得AH⊥BC,从而四边形,,解得AB=12.∴半圆的直径为12.(2)若,求阴影部分的面积.{解析}(1)本题属于“连点，证垂直”类型，连接BF,证明BF//CE,(2)连接0F,求出扇形FOC的面积即可得到阴影部分的面积.{答案}(1)连接BF,∵BFIICE,∴OC⊥CE.∵OC是O的半径，∴CE是O的切线；(2)连接OF∵OA=0C,∠BAC=30°,∴∠BOC=60°24.(2020·抚顺本溪辽阳)如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB=90°,以点A为圆心，以AB的长为半径作OA,交BC于点(2)若∠ABC=60°,AB=4,求阴影部分的面积.{解析}(1)本题属于“有切点，连半径，证垂直”类型，根据平行四边形的性质，可以证△AED≌△BAC,得到∠AED=∠BAC=90°,所以“DE⊥AE”,从而证得结论；(2)首先可以将阴影部分的面积表示成△ACE的面积减去扇形AEF的面积，由∠ABC=60°,可知△ABE为等边三角形，所以扇形的圆心角和半径均可求，而又可以证得CE=BE,则△ACE的面积为△ABC面积的一半，从而可以求出阴影部分的面积了.{答案}解：(1)证明：连接AE,∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC,AD//BC,∴AE⊥DE,∵AE是⊙0的半径，∴DE是⊙0的切线.(2)∵∠ABC=60°,AB=AE,∴△ABE是等边三角形，∴∠BAE=60°,23.(2020·安顺)如图，AB为0o的直径，四边形ABCD内接于oo,对角线AC,BD交于点E,O0的切线AF交BD的延长线于点p,切点为A,{解析}(1)要证明AD=CD,只需证明∠ACD=∠CAD.利用“同圆或等圆出BC的长.{答案}(1)在00中，∵∠23.(2020·营口)如图，在△ABC中，∠ACB=90°,BO为△ABC的角平分线.以点0为圆心，0C为半径作⊙0与线段AC交于点D.是⊙0的切线；{解析}(1)过点0向AB作垂线段OH,由角平分线的性质定理证明垂线段长度等于半径，即得AB是⊙0的切线；(2)设⊙0的半径为3x,在Rt△AOH中，用含x的代数式利用tanA表示出AH,既而用勾股定理表示出A0,根据AD=2,求得x,进而表示出⊙0的半径与AC.在Rt△ABC中再利用tanA求得BC,在Rt△BCO中由勾股定理求得B0.{答案}解：(1)证明：过点0作OH⊥AB于点H,为⊙0的半径，∵OH⊥AB,∴AB是⊙0的切线.(2)设⊙0的半径为3x,则OH=OD=0C=3x,在Rt△AOH中，过o上一点E作直线DC,分别交AM、BN于点D、C,且DA=DE.O(1)求证：直线CD是O的切线；(2)求证：{解析}本题考查了圆的切线的性质与判定，勾股定理，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，(1)连接OD,OE,证明△0AD≌△0ED,进而根据勾股定理得结论.{答案}解：:(1)连接OD,OE,如图1,在△0AD和△OED中，∴直线CD是⊙0的切线；如图2,则∠DFB=∠RFC=90°,∵AM、BN都是⊙0即40A2=4DE·CE,∴0A2=DE·CE.(3)如图，连接EO并延长与0分别相交于点G、H,连接BH.若AB=6,切线的判定定理可得结论；(2)连接BD,根据等边对等角可知∠ODB=∠0BD,再根据切线的性质可知∠0DE=∠0BE=90°,由等量减等量差相等得∠EDB=∠EBD,再根据等角推出DE=EF,由此得出结论；tan∠BOE的值，再利用倍角公式即可求出tan∠BHE的值.{答案}(1)连接OD,(2)连接BDOOO解得：解得：或-3(-3不和题意舍去)交o于点D,过D作BC的垂线，垂足为E.O⊙(3)请用线段AB,BE表示CE的长，并说明理由.根据DE⊥BC可得结果；(2)根据AB为O的直径可得∠ADB=90°,证出DBEOABD,得到BD₂=AB·BE,代入数值求解即可；(3)由∠EBD=∠ABD根据∠ADB=90°,∠CED=90°,得到CD₂=AD2=AB₂-BD₂,联立即可得到结果.{答案}解：(1)连OD,据题意得OB=OD,∠ODB=∠OBD,∵BD平分∠ABC,∴∠CBD=∠OBD,∴∠CBD=∠ODB,∴OD//BC,又∵DE⊥BC,∴OOOCE2=CD2-DE2=AB2+BE2-2BD2=(AB-BE)2,由RtDBE,RtABD得△△20.(2020·东营)如图，在△ABC中，以A0为直径的⊙0交AC于点(1)求证：BC是⊙0的切线；(2)求⊙0的直径AB的长度.{解析}本题考查了切线的判定，勾股定理逆定理，平行线的性质，非特殊角的三角函数值.(1)由ME=3,AE=4,AM=5得∠AEM=90°,由ME//BC得∠ABC=∠AEM=90°,即BC与⊙0相切.(2)在Rt△ABC,Rt△ABM,利用∠BAC的余弦函数值相等构造方程进行求解.∵AB为⊙0的直径，∴BC是⊙0的切线；(2)如图，连接BM,∵AB为⊙0的直径，,从而⊙0的直径AB,;;21.(2020·武汉)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°,以AB为直径的⊙0交AC于点D,AE与过点D的切线互相垂直，垂足为E.(1)求证：AD平分∠BAE;{解析}本题考查了圆的切线性质，用相似和锐角三角函数求线段关系.(1)连接OD,易证出AE//0D,又∵OA=0D,∴∠0AD=∠ODA,可证出∠EAD=∠0AD,∴AD平分∠EAB;(2)在(1)问的基础上再连接BD,易证出△CDB≌△DEA,△CDB∽△CBA,这时候设CD=a,BC=b,利用全等相似性质就能求出或(舍去负值),∴sin∠BAC=sin∠CBD={答案}(1)证明：如图(1),连接OD,∵0A=OD,∴∠0AD=∠ODA.∵DE是⊙0的切线，∴0D⊥DE.(2)解：如图(1),连接BD····∵∠ABC=90°,AD平分∠EAB,∴∠CBD=∠BAD=∠DAE.通或(舍去负值)通另解：如图(1),设CD=DE=a,AD=b,即解得 (舍去负值)程求解.)23.(2020·玉林)如图，AB是○0的直径，点D在直径AB上(D与A,B不重合),CD⊥AB,且CD=AB,连接CB,与⊙0交于点F,在CD上取{解析}(1)连接0F,证明OFE=90°即可；(2)连接AF,证明△ABF而0F为⊙0的半径，∴EF为⊙0的切线；∵AB是⊙0的直径，26.(2020·毕节)如图，已知AB是⊙0的直径，⊙0经过Rt△ACD的直角边DC上的点F,交AC边于点E,点F是弧EB的中点，∠C=90°,连接AF.(1)求证：直线CD是⊙0切线.{解析}本题考查圆的切线，相似三角形的性质.(1)连接0F,证OF⊥CD可得结论.求得AC的值；过点作0G⊥AC于G,则四边形OFCG是矩形.利用勾股定理求得0G的值，进而可得tan∠AFC的值.{答案}解：(1)如图，连接OF,则∠1=∠2.∴直线CD是⊙0切线.(2)∵BD=2,OB=4,∴AD=10,OF=4,OD=6.过点作0G⊥AC于G,则四边形0FCG是矩形.E.{解析}(1)连接0C,根据切线的性质得到∠DAB=90°,根据等腰三{答案}(1)证明：连接0C,∵AB是⊙0的直径.直线1与⊙0相切于点A,22.(2020·威海)如图，△ABC的外角∠BAM的平分线与它的外接圆求证：(1)BE=CE;(2)EF为⊙0的切线.【分析】(1)根据圆内接四边形的性质得到∠EAM=∠EBC.,根据角平分线的定义得到∠BAE=∠EAM,得到∠BCE=∠EBC,于是得到BE=CE;(2)如图，连