同课异构：矩形、菱形的判定

矩形、菱形的判定上海市初级中学名师制作一、新课引入如何判定一个四边形是不是矩形或菱形？平行四边形的性质定理平行四边形的判定定理平行四边形的定义矩形和菱形的性质定理矩形和菱形的定义一、新课引入矩形和菱形的定义既可以作为它的性质，也可以作为它的判定！二、新课学习首先我们先来探究矩形的判定.猜想四个角是直角的四边形是矩形.

三个角是直角的四边形是矩形.内角和CDBA图1已知：如图1在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°.求证：四边形ABCD是矩形.矩形判定定理1有三个内角是直角的四边形是矩形.矩形的定义平行四边形+一个直角已知两组对角分别相等的四边形是平行四边形.？矩形判定定理1从角来思考二、新课学习从对角线来思考继续探究矩形的判定.猜想对角线相等的平行四边形是矩形.已知：如图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD，AC=BD.求证：四边形ABCD是矩形.ABDC图2矩形的定义平行四边形+一个直角三个内角是直角+四边形矩形判定定理1√AD=BCAC=BD∠BAD=90°∠ABC=90°∠ABC+∠BAD=180°∠ABC=∠BAD△ABC≌

△BADAB=AB矩形判定定理2二、新课学习矩形的判定两条对角线相等的平行四边形是矩形.有三个内角是直角的四边形是矩形.矩形的定义矩形判定定理1矩形判定定理2有一个角为直角的平行四边形是矩形.三、例题分析

例题1已知：如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O．点E、F、G、H分别在OA、OB、OC、OD上，且AE=BF=CG=DH.

求证：四边形EFGH是矩形.EG=FH四边形EFGH是平行四边形OE=OG,OH=OFOE=OFOE=OF=OG=OHAE=BF=CG=DHOA=OB=OC=OD对角线相等的平行四边形是矩形.?EG=2OEFH=2OF?三、例题分析

例题1已知：如图矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O．点E、F、G、H分别在OA、OB、OC、OD上，且AE=BF=CG=DH.证明：求证：四边形EFGH是矩形．∴EG=FH，OE=OG，OH=OF．∴四边形EFGH是平行四边形.∵AE=BF=CG=DH，∴AC=2OA=2OC，BD=2OB=2OD，

AC=BD.∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB=OC=OD.∴OE=OF=OG=OH.∴平行四边形EFGH是矩形．∵EG=FH

，二、新课学习从边来思考探究菱形的判定猜想四条边都相等的四边形是菱形.已知：如图3

，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA.求证：四边形ABCD是菱形．证明：∵AB=CD

，

BC=DA

，∴四边形ABCD是平行四边形．∴平行四边形ABCD是菱形．菱形判定定理1四条边都相等的四边形是菱形.ADCB图3∵AB=BC

，？菱形的定义平行四边形+邻边相等两组对边分别相等的四边形是平行四边形.已知？？二、新课学习从对角线来思考猜想对角线互相垂直的平行四边形是菱形.已知：如图4，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD，AC⊥BD.求证：四边形ABCD是菱形.AO=CO△AOD≌

△CODAC⊥BD

AD=CD菱形判定定理2

对角线互相垂直的平行四边形是菱形.继续探究菱形的判定.ADCBO图4菱形的定义平行四边形+邻边相等四条边都相等的四边形是菱形.菱形判定定理1？？√DO=DO

二、新课学习菱形的判定对角线互相垂直的平行四边形是菱形.四条边都相等的四边形是菱形.菱形的定义菱形判定定理1菱形判定定理2有一组邻边相等的平行四边形是菱形.三、例题分析例题2如图，EF是平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线，EF与边AD、BC分别交于点E、F．

求证：四边形AFCE是菱形.AO=OCEO=FORt△AOE≌Rt△COFEF是AC的垂直平分线∠1=∠2AO=OC平行四边形AFCEEF⊥AC？对角线互相垂直的平行四边形是菱形.？∠AOE=∠COF=90°三、例题分析

例题2如图，EF是平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线，EF与边AD、BC分别交于点E、F．求证：四边形AFCE是菱形．∴AO=OC，∠AOE=∠COF=90°.∴EO=FO．∴Rt△AOE≌Rt△COF．∵EF是AC的垂直平分线，∵平行四边形ABCD

，∴∠1=∠2.∵AO=OC

，∴四边形AFCE是平行四边形．∵EF⊥AC

，∴四边形AFCE是菱形．证明：∴AD//BC．对于例题2你还可以用其他的方法解答吗？二、新课学习想一想制作门窗时，如果知道其两组对边分别相等后，可通过测量两条对角线长度来检验四个角是不是都是直角，你知道为什么吗？平行四边形矩形相等四个角是直角想一想菱形的性质定理2

还有一部分“菱形的一条对角线平分一组对角”，如果把其改为“一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形”，这个命题是真命题吗？你能加以证明吗？请同学们课后进行这个问题的探究？如果是真命题，请加以证明；如果是假命题，请画出反例.三、归纳小结矩形判定定理1有三个内角是直角的四边形是矩形.矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形.菱形判定定理1四条边都相等的四边形是菱形.菱形判定定理2对角线互相垂直