普通高等学校招生全国统一考试(全国卷2)理科数学

绝密★启用前2006年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的答案无效。参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面公式P(A+B)=P(A)+P(B)S=4R如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径P(AB)=P(A)P(B)球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么V=Rn次独立重复试验中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径＝CP（1-p）本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。第Ⅰ卷（选择题共30分）一、选择题（1）已知集合，则=（A）（B）（C）（D）（2）函数的最小正周期是（A）（B）（C）（D）（3）（A）（B）-（C）（D）-（4）过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（A）（B）（C）（D）（5）已知△ABC的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（A）（B）6（C）（D）12（6）函数y=lnx-1（x>0）的反函数为（A）y=ex+1(x∈R)（B）y=ex-1(x∈R)（C）y=ex+1(x>1)（D）y=ex-1(x>1)（7）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和，过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′=（A）2：1（B）3：1（C）3：2（D）4：3（8）函数y＝f（x）的图像与函数g（x）＝logx（x>0）的图像关于原点对称，则f（x）的表达式为（A）f（x）=（x>0）（B）f（x）=(x<0)（C）f（x）=－（x>0）（D）f（x）=－（x<0）（9）已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（A）（B）（C）（D）（10）若，则（A）（B）（C）（D）（11）设是等差数列的前项和，若，则（A）（B）（C）（D）（12）函数的最小值为（A）190（B）171（C）90（D）45绝密★启用前2006年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）第Ⅱ卷（本卷共10小题，共90分）注意事项：1.考生不能将答案直接答在试卷上，必须答在答题卡上。2.答题前，请认真阅读答题卡上的“注意事项”。二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡上。（13）在的展开式中常数项是__________.（用数字作答）（14）已知的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC上的中线AD的长为__________.（15）过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率=___________.（16）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在（元）月收入段应抽出_____人。三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）已知向量。 （Ⅰ）若，求； （Ⅱ）求的最大值。（18）（本小题满分12分） 某批产品成箱包装，每箱5件。一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验。设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品。 （Ⅰ）用表示抽检的6件产品中二等品的件数，求的分布列及的数学期望； （Ⅱ）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品给用户拒绝购买的概率。19.（本小题满分12分）如图，在直三棱住中，，、分别为、的中点.（=1\*ROMANI）证明：为异面直线与的公垂线；（=2\*ROMANII）设==，求二面角的大小.20.（本小题满分12分）设函数，若对所有的，都有成立，求实数的取值范围.（21）（本小题满分14分） 已知抛物线的焦点为F,A,B是抛物线上的两动点，且.过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。（=1\*ROMANI）证明为定值；（=2\*ROMANII）设的面积为S，写出S＝的表达式，并求S的最小值。（22）（本小题满分12分） 设数列的前n项和为，且方程有一根为，n＝1，2，3….（=1\*ROMANI）求，；（=2\*ROMANII）求的通项公式；2006年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题（必修＋选修Ⅱ）参考答案和评分参考评分说明：1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。3。解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。4。只给整数分数—选择题和填空题不给中间分。一。选择题（1）D（2）D（3）A（4）A（5）C（6）B（7）A（8）D（9）A（10）C(11）A（12）C二填空题（13）45（14）（15）（16）25三解答题：（17）解：（Ⅰ）由此得tan…………2分所以…………4分（Ⅱ）由当（18）解：（=1\*ROMANI）可能的取值为0，1，2，3.，，，.……8分的分布列为0123数学期望为.（=2\*ROMANII）所求的概率为……12分（19）解法一：（=1\*ROMANI）设为中点，连结则，又.所以，为平行四边形，.……2分，又平面平面，面，故平面平面，.为异面直线与的公垂线.……6分（=2\*ROMANII）连结.由可知，为正方形，.又由平面和平面知平面平面，平面.作，垂足为，连结，则，为二面角的平面角.不妨设，则，，.所以二面角为.……12分解法二：（Ⅰ）如图，建立直角坐标系O-xyz，其中原点O为AC的中点.设A（a，0，0），B（0，b，0），B1（0，b，2c）.则C（-a，0，0），C1（-a，0，2c），E（0，0，c），D（0，b，c）.……3分又，所以ED是异面直线BB1与AC1的公垂线.……6分（Ⅱ）不妨设A（1，0，0）则B（0，1，0），C（-1，0，0），A（1，0，2），即BC⊥AB，BC⊥AA1，又AB∩AA1=A，∴BC⊥面A1AD.又E（0，0，1），D（0，1，1），C（-1，0，0），，即EC⊥AE，EC⊥ED，又AE∩ED=E……10分∴EC⊥面C1AD.，即得和的夹角为60°. 所以二面角A1-AD-C1为60°.……12分（20）.解法一：令g（x）=（x+1）㏑（x-1）－ax对函数g（x）求导数：g′（x）=㏑（x+1）+1-a令g′（x）=0，解得x=cn-1-1.……5分（ⅰ）当a≤1时，对所有x>0，g′（x）>0，所以g（x）在[0，+∞）上是增函数，又g（0）=0，所以对x≥0，有g（x）≥g（0），即当a≤1，对于所有x≥0都有f（x）≥ax……9分（ⅱ）当a>1时，对于0<x<cn-1-1，g′（x）<0，所以g（x）在（0，cn-1，-1）是减函数，又g（0）=0，所以对0<x<ca-1-1有g（x）<g（0）.即f（x）<ax，所以，当a>1时，不是对所有的x≥0都有f(x)≥ax成立.综上，a的取值范围是（-∞，1].……12分解法二：令于是不等式成立即为成立……3分对g(x)求导数得令，解得时。……6分当时，，g(x)为增函数当时，，g(x)为减函数……9分要对所有都有充要条件为由此即a的取值范围是……12分（21）解：（Ⅰ）由已知条件，得设由，即得①②将=1\*GB3①式两边平方并把代入得=3\*GB3③解=2\*GB3②、=3\*GB3③式得，且有抛物线方程为。求导得所以抛物线上A、B两点的切线方程分别是即解出两条切线的交点M的坐标为………4分所以………7分所以为定值，其值为0（Ⅱ）由（Ⅰ）知在中，，因而====因为、分别等于A、B到抛物线准线y=的距离，所以=，..............11分于是S=|AB||FM=()由知，且当时，S取得最小值4。...............14分（22）解：（Ⅰ）当n=1时，有一根为于是解得...........2分当n=2时，有一根为于是