NJ电子凸轮功能CAM曲线探究2

第页目录欧姆龙自动化中国有限公司北京分公司华北技术部北京课电子凸轮功能曲线探究曲线运动方程式简介丛龙辉2019/3/6电子凸轮功能是运动控制器目前最常用的功能，目前很多个项目都用到了该功能。同时，在实际应用中经常会用到通过程序修改凸轮表曲线的功能，如杭州中亚灌装线项目中，当客户更换产品规格时，某些轴的行程必须发生改变，例如：瓶高增高时，出瓶放瓶的高度也要相应增高。以前的常用做法是通过添加“辅助凸轮表”，在程序中通过循环对对应辅助凸轮表的从轴数据进行放大缩小操作实现，但这样简单的缩放运算获得的凸轮表在各条曲线的衔接处并不一定过渡的非常好，有可能存在类速度、类加速度突变导致设备出现振动现象，本文列出了电子凸轮功能中单段曲线的运动方程式及其在传统机械凸轮机构使用中时的性能表现以及3次曲线及任意曲线拼接通式，在实际使用中可根据于这些公式通过运算实现修改曲线数据的功能。\o"1-3"\h\z\u1.凸轮运动规律的参数名称和定义350527286\h12.控制器中曲线运动方程式350527287\h32.1.多项式运动规律350527288\h32.1.1.直线——等速运动规律、一次项运动规律350527289\h32.1.2.抛物线——等加速等减速运动规律、二次项运动规律350527290\h42.1.3.3次曲线3——等跃度运动规律、3次项运动规律350527291\h52.1.4.5次曲线5：350527292\h62.1.5.自由曲线、2曲线2：350527293\h72.2.三角函数类型运动规律350527294\h82.2.1.简谐波——简谐运动规律、余弦加速度运动规律350527295\h82.2.2.双谐波：350527296\h92.2.3.逆双谐波350527297\h102.2.4.摆线——正弦加速度运动规律350527298\h122.3.组合运动规律350527299\h132.3.1.变形等速——5次项修正等速运动规律350527300\h132.3.2.变形梯形——修正梯形加速度运动规律350527301\h172.3.3.变形正弦（组合摆线运动规律）350527302\h202.3.4.变形梯形正弦350527303\h222.3.5.逆变形梯形正弦350527304\h222.4.回程期运动方程式的建立方法及其通式350527305\h223.曲线拼接350527306\h223.1.三次曲线及任意曲线拼接的运动通式：350527307\h24凸轮运动规律的参数名称和定义图1-图1-\*1凸轮机构工作循环图为了理解并能正确使用运动方程式，首先给出运动规律参数名称的定义和相应的代号。图1-1中给出了一组尖底直动从动件平面凸轮机构在运转过程中的4个位置。对于尖底从动件凸轮机构，以回转中心O为圆心，以O点至凸轮轮廓曲线的最小距离为半径画圆，称为基圆。基圆的半径用表示。有时也可将以最大距离为半径所画的圆作为基圆。对于滚子从动件，凸轮的基圆半径还需要计及滚子半径。在图1-1a所示的位置上，从动件和凸轮轮廓上的A点接触，A点是凸轮的基圆弧及向径渐增区段的连接点。当凸轮按ω方向回转时，凸轮推动从动件上升，直至B点转到B'位置时，从动件到达最高位置，如图1-1b所示。凸轮机构这一阶段的工作过程称为推程期，图a为推程起始位置，图b为推程终止位置。从动件的最大运动距离称为冲程，用h表示。对于摆动从动件，冲程为从动件的最大摆动幅度，用角度参数ψm表示。及推程期对应的凸轮转角称为推程角，用φ表示。当从动件尖底的运动轨迹线偏离凸轮回转中心时（偏距E≠0)，凸轮的推程段轮廓所包含的中心角∠及凸轮的推程角不相等。凸轮继续回转，接触点由B点转移至C点，如图1-1c所示。段上各点向径不变，从动件在最远位置上停留，该过程称为远休止期，所对应的凸轮转角称为远休止角，用φs表示。从接触点C开始至D点，凸轮轮廓向径逐渐减小，从动件在外力作用下逐渐返回到初始位置，如图1-1d所示。该段时期称为回程期，对应的凸轮转角称为回程角，用φ’表示。凸轮由图1-1d所示位置转至图1-1a所示位置，从动件在起始位置停留，称为近休止期。对应的凸轮运动角称为近休止角，用φs’，表示。通常凸轮回转一周完成一次工作循环。在运转过程中，从动件的位移及凸轮转角间的函数关系可用图1-1e所示的位移线图表示。推程期和回程期中任意瞬时的位移值按所选用的运动规律方程式求得。令推程起始位置所对应的凸轮转角φ=0，从动件位移0。图1-1e中横坐标为凸轮转角，纵坐标为从动件位移。当凸轮匀速回转时，横坐标也可表示凸轮的转动时间t。直动从动件的位移函数以凸轮转角为变量时，可写作。它的一阶、二阶、三阶导数分别为21\r\h\*\r1\h\*\*\h\*(\c\*\*1.\c\*\*1)它们分别称为类速度、类加速度和类跃度，式中ω为凸轮的角速度。当凸轮匀速转动时，它们的值分别及从动件的实际运动参数速度、加速度a、跃度J成正比。它们是衡量从动件的运动规律特性、设计计算凸轮轮廓坐标和曲率半径的重要参数。在系统的数据设置中，表即为机械凸轮机构中的从动件运动规律，而曲线则相当于机械凸轮机构中的推程期、休止期、回程期等部分，但表可以设计的更为复杂，可包涵多个推程、休止、回程等部分。在数据设置中，表的主轴相当于机械凸轮机构中的凸轮，其数值（[n]）相当于凸轮转角φ，为方便起见，在后文及公式中统一用φ表示，从轴即机械凸轮机构中的从动件，其数值（[n].）相当于从动件位移s，后文中一律以s表示。控制器中曲线运动方程式在控制器中，曲线下拉列表中共有以下曲线可供选择：常量、直线、抛物线、变形等速、变形梯形、变形正弦、摆线、变形梯形正弦、逆变形梯形正弦、简谐波、双谐波、逆双谐波、2曲线2、3次曲线3、5次曲线5、自由曲线。其中常量相当于机械凸轮中的休止期，在推程时为远休止期，在回程时为近休止期。下面按机械凸轮中的曲线类型分类分别介绍其余曲线：、多项式运动规律多项式类型运动规律的从动件位移方程的通式为22\r\h\*\r2\h\*\*\h\*(\c\*\*2.\c\*\*1)式中均为待定系数。曲线中的直线、抛物线、3次曲线、5次曲线、自由曲线都属于机械凸轮机构从动件运动规律中的多项式运动规律类。直线——等速运动规律、一次项运动规律令式389555\*389555\*\!\*(2.1)中的高于1次项的各项常数为零，则位移方程为\*\h\*(\c\*\*2.\c\*\*2)若整个推程期中从动件均作等速运动，则边界条件为：φ=0时0，φ=∅时，带入式556982\*556982\*\!\*(2.2)得在推程期从动件的位移方程式及其导数为：\*\h\*(\c\*\*2.\c\*\*3)式中，φ为凸轮转角，。图2-图_2-\*1等速运动规律线图（推程）350340657\h\*图2-1中给出了等速运动规律的位移、类速度和类加速度线图。该运动规律用于"停一升一停"类型的凸轮机构时，理论上从动件在行程的始、末位置上有无穷大的加速度。虽然由于应用在电子凸轮系统中且伺服电机本身原因会将加速度限制至有限的幅度，但是仍会导致剧烈的冲击（刚性冲击）。等速运动的位移曲线是一条斜直线，在它及近休止期和远休止期的位移曲线(水平直线）衔接处是一个转折点。因此，单纯采用等速运动规律来实现"停一升一停图2-图_2-\*1等速运动规律线图（推程）抛物线——等加速等减速运动规律、二次项运动规律在推程期中，为了避免在从动件的运动起始位置和终点位置产生速度突变，必须采用两个不同二次项方程式。一个方程式使从动件等加速运动，另一个方程式作等减速运动，构成等加速等减速运动规律。令式389555\*389555\*\!\*(2.1)中的高于2次项的各项常数为零，得运动方程式：\*\h\*(\c\*\*2.\c\*\*4)\*\h\*(\c\*\*2.\c\*\*5)设两段运动方程式的衔接点上凸轮转角为∅1，φ=0时0、，φ=∅时、，φ=∅1时位移s类速度和无突变，得等加速段、等减速段运动方程为：等加速段的运动方程式为: 等减速段的运动方程式为:\*\h\*(\c\*\*2.\c\*\*6)\*\h\*(\c\*\*2.\c\*\*7)350340592\h\*图2-2中给出抛物线运动规律线图，其中类速度曲线在加速段和减速段的衔接点上发生转折。类加速度曲线在运动的起始位置、终止位置及衔接点上产生一定幅度的突变，使从动系统的惯性力引起有限幅度的突变，从而导致所谓的柔性冲击。此类运动规律不宜用于髙速运转的凸轮机构。350340592\h\*图2-2中给出用于冋程期的运动规律线图，图中为回程加速段的凸轮运动角。图2-图_2-\*2抛物线运动规律线图（推程） 图2-图_2-\*3抛物线运动规律线图（回程）当从动件按2次项规律运动时，类跃度为零值，但是在类加速度突变的位置上，类跃度发生无限大突变，运动平稳性较差。3次曲线3——等跃度运动规律、3次项运动规律3次项运动规律可有两种类型，一种是在推程期（或回程期）中采用单一的3次项运动方程式（负等跃度运动规律），另一种是采用一对具有不同常数和不同系数的运动方程式（正等跃度运动规律）。在控制器曲线中，3次曲线采用的是负等跃度运动规律，故在此只介绍负等跃度运动规律。令式（2-1）中高于3次项的常数为零，得3次项运动规律通式\*\h\*(\c\*\*2.\c\*\*8)推程期的边界条件为φ=0时0、，φ=∅时、，可求得运动方程式为：\*\h\*(\c\*\*2.\c\*\*9)350340547\h\*图2-4中给出推程期的运动线图。在推程的起始和终止位置有类加速度突变，其余运动过程无类加速度突变。图2-图_2-\*4负等跃度运动规律线图（推程）5次曲线5：令式(2-1)中高于5次项的常数均为零，得五次曲线运动规律通式为\*\h\*(\c\*\*2.\c\*\*10)推程期的边界条件为时，时可求得推程期的运动方程式为：\*\h\*(\c\*\*2.\c\*\*11)350340508\h\*图2-55次项运动规律线图（推程）中给出运动规律线图，5次项运动规律的类加速度曲线无突变现象，且其幅值较小。因此，该类运动规律适用于高速凸轮机构。图2-图_2-\*55次项运动规律线图（推程）自由曲线、2曲线2：目前尚未获得自由曲线及2曲线的运动方程式，以后如有机会得到该方程式则添加到此处。三角函数类型运动规律中三角函数类型的运动规律曲线有简谐波、双谐波、逆双谐波和摆线四项。简谐波——简谐运动规律、余弦加速度运动规律用于推程期的运动方程式为\*\h\*(\c\*\*2.\c\*\*12)350340792\h\*图2-6中给出简谐运动规律运动线图，其中类速度、类加速度和类跃度的幅值分别为当从动件作"停-升-停"运动时，在运动的始、末位置有柔性冲击。若推程期和回程期均采用简谐运动规律，且，，即推程期和回程期的运动角相等并且在行程的两端无停留期，则满足无冲击条件，可用于髙速工况下运转。图2-图_2-\*6简谐运动规律线图（推程）双谐波：用于推程期的双谐运动方程式为：\*\h\*(\c\*\*2.\c\*\*13)350340866\h\*图2-7中给出双谐运动规律运动线图，其中类速度、类加速度和类跃度的幅值分别为在推程起始位置无类加速度突变，且类跃度为零，故起动平稳。在推程终止位置类加速度幅度最大，用于"停一升一停"类型运动时发生柔性冲击，而用于"停一升一回"类型时可减小甚至消除柔性冲击。适合于高速工况下运转的凸轮机构。图2-图_2-\*7双谐波运动规律线图（推程）逆双谐波用于推程期的逆双谐波运动方程式为：\*\h\*(\c\*\*2.\c\*\*14)350341011\h\*图2-8中给出双谐运动规律运动线图其中类速度、类加速度和类跃度的幅值分别为图2-图_2-\*8逆双谐波运动规律线图（推程）在推程起始位置类加速度幅度最大，且类跃度有突变，故起动时有柔性冲击。在推程终止位置无类加速度突变且类跃度为零，停止平稳。当其作为双谐波运动推程的回程曲线时可消除柔性冲击。适合于高速工况下运转的凸轮机构。350343232\h\*图2-9显示了当推程为双谐波，回程为逆双谐波时的运动曲线。350347144\h\*图2-10显示了推程为双谐波，回程也为双谐波是的运动曲线。对比350343232\h\*图2-9和350347144\h\*图2-10可以看到，当采用双谐波作为回程曲线时，虽然起动平稳，但在回程点（图中红框处）类加速度有突变，在停止点类加速度幅度最大，都存在柔性冲击，高速运转时有可能导致运行出现振动，而当采用逆双谐波作为回程曲线时，起动、回程、停止时类加速度都无突变，消除了柔性冲击，适合于高速运转情况。图2-图_2-\*9双谐波（推程）+逆双谐波（回程）组合运动图线图2-图_2-\*10双谐波（推程）+双谐波（回程）组合运动图线摆线——正弦加速度运动规律摆线运动规律又称正弦加速度运动规律。用于推程期的运动方程式为\*\h\*(\c\*\*2.\c\*\*15)图2-11中给出摆线运动规律的运动线图，其中类速度、类加速度和类跃度的幅值分别为图2-图_2-\*11摆线运动规律线图（推程）组合运动规律上述各种多项式运动规律和三角函数类型运动规律是凸轮机构的从动件运动规律基本形式，它们各有其优点和缺点。为了扬长避短，可将数种不同的基本运动规律拼接起来，构成组合型运动规律。拼接的原则是在各段基本运动规律的衔接点上的运动参数，包括位移、类速度、类加速度等保持连续，有的还要求类跃度连续。在运动的起始点和终止点上，运动参数还需要满足边界条件。构造组合型运动规律时，可根据凸轮机构的工作性能指标，选择一种基本运动规律作为主体，再用其他类型的基本运动规律及之组合，从而避免在运动的始、末位置发生刚性冲击或柔性冲击，降低动力参数的幅值等。因此，组合型运动规律又可称为修正型运动规律。在控制器中可供选择的组合运动规律有：变形等速、变形梯形、变形正弦、变形梯形正弦、逆变形梯形正弦，下面分别对其进行介绍。变形等速——5次项修正等速运动规律为了消除单纯的等速运动规律所导致的刚性冲击，在运动的起始区段和终止区段上划分出一部分凸轮转角范围改用其他类型的运动规律，即构成修正型等速运动规律。在机械凸轮结构中，用于修正等速运动规律的其他类型运动规律通常有二次项、五次项、简谐运动、摆线运动四种，而在控制器中的变形等速曲线使用的是五次项修正，故在此只介绍5次项修正等速运动规律。图2-图_2-\*125次项修正等速运动规律线图五次项运动规律具有良好的运动特性，类加速度曲线在凸轮转角φ=0、∅/2、∅时为0，利用它的半个周期替代等速运动的始、末区段，可消除柔性冲击。350436353\h图2-12a中给出推程期的运动线图。各运动曲线也划分为三段，即加速段、等速段和减速段。加速段和减速段的凸轮转角∅1和∅2及对应的从动件位移量h1和h2按式756416\*756416\*\!\*(2.16)和234987\*234987\*\!\*(2.17)计算确定，需要注意的是，在中，变形等速曲线的∅1和∅2及∅的比例是固定的，都是1/4∅且不可修改。\*\h\*(\c\*\*2.\c\*\*16)\*\h\*(\c\*\*2.\c\*\*17)设计时可针对给定的凸轮推程运动角∅，首先确定∅1和∅2值；或者根据从动件的冲程h首先确定h1和h2值。各区段的运动方程式为加速运动区段：\*\h\*(\c\*\*2.\c\*\*18)，式中等速运动区段：\*\h\*(\c\*\*2.\c\*\*19)，式中减速运动区段：\*\h\*(\c\*\*2.\c\*\*20)式中分析上述三段运动规律的组成情况可知，若第二段（等速运动区段）缩小为零，第一段及第三段衔接。此时若∅1=∅2，则成为常规的5次项运动规律；若∅1≠∅2，则构成不对称的5次项运动规律，加速段和减速段的类加速度幅值不相等。350436353\h图2-12b为回程期的5次项修正等速运动线图。加速段和减速段的凸轮转角∅1’和∅2’以及对应的从动件位移量h1’和h2’按下式确定:\*\h\*(\c\*\*2.\c\*\*21)\*\h\*(\c\*\*2.\c\*\*22)同样的,在中的∅1’和∅2’及∅’的比例是固定的，都是1/4∅’且不可修改。自行拼接变形等速曲线在中直接使用变形等速曲线时，如需获得较大的等速段行程，就只能通过增大推程角∅和推程h来实现，有时不能满足工艺要求。实际工作中，可通过5次曲线+直线+5次曲线拼接的方法实现，其中用到的∅1、∅2、h1、h2等参数可根据式756416\*756416\*\!\*(2.16)、234987\*234987\*\!\*(2.17)、468513\*468513\*\!\*(2.21)、748025\*748025\*\!\*(2.22)自行计算。350441119\h图2-13~350441123\h图2-16为自行拼接变形等速曲线的实例，为了获得较大的等速段，设置了∅=10、∅1=1、∅2=1，根据式234987\*234987\*\!\*(2.17)求得h1=0.588、h2=0.588，10，同时，为了对比，设置了回程使用软件提供的变形等速曲线，其凸轮转角及位移设置及推程时相等。图2-图_2-\*13拼接变形等速曲线定义及位置图图2-图_2-\*14拼接变形等速曲线类速度图2-图_2-\*15拼接变形等速曲线类加速度图2-图_2-\*16拼接变形等速曲线类跃度观察350441119\h图2-13和350496202\h图2-14可以看到，用5次曲线+直线+5次曲线拼接的变形等速曲线其位移形状和速度形状及内置的变形等速曲线非常类似，但拼接而成的变形等速曲线起最高速度（等速段速度）要比内置的变形等速曲线最高速度低。而观察350496254\h图2-15和350441123\h图2-16可以看到，拼接出来的变形等速曲线其类加速度、类跃度都比内置的变形等速曲线参数要大，且∅1、∅2同∅的比值越小类加速度、类跃度相对来说就更大，故而实际使用中∅1、∅2的取值需要综合考虑设备运行平稳度、工艺要求等的关系。在拼接曲线时，如不按公式756416\*756416\*\!\*(2.16)234987\*234987\*\!\*(2.17)计算数值进行设置，则形成不了变形等速曲线，使用中需要注意！！如下350496617\h图2-17~350496632\h图2-20所示，拼接的曲线及变形等速形状相差甚远。图2-图_2-\*17拼接曲线设置及位移图图2-图_2-\*18拼接曲线类速度图2-图_2-\*19拼接曲线类加速度图2-图_2-\*20拼接曲线类跃度变形梯形——修正梯形加速度运动规律中的变形梯形曲线属于机械凸轮机构从动件运动规律中的修正型等加速等减速运动规律中的修正梯形加速度运动规律。等加速等减速运动規律的优点是类速度和类加速度的幅值较小，但是在运动的始、末两个位置和加速段及减速段衔接点上有柔性冲击。为了消除这种冲击，可用3次项运动规律或摆线运动规律及之组合，构成修正型加速度运动规律。梯形加速度运动规律简介用3次项运动规律修正等加速等减速运动规律时，其类加速度线图呈梯形状，故称为梯形加速度运动规律。350497908\h图2-21a是用于推程期的梯形加速度运动规律的运动线图。图中已规定了等加速区段和等减速区段所占的凸轮转角各为∅/4，两端的等跃度区段的凸轮转角各为∅/8，中部的等跃度区段的凸轮转角为∅/4。350497908\h图2-21b所示为回程期梯形加速度运动线图，其运动方程式的建立方法见2.4节。由于的曲线中并无这种运动规律曲线，且修正梯形加速度运动规律各方面性能更好，故在此不再列出其运动方程式。aab图2-图_2-\*21梯形加速度运动线图修正梯形加速度运动规律上述梯形加速度运动规律中的类速度幅值为2.33∅，为了进一步减小类速度幅值，可用摆线运动规律替代3次项运动規律，并及等加速等减速运动规律进行组合。图2-17a是用于推程期的运动规律线图，其中类加速度曲线呈变形梯形状，梯形的两腰各为1/4周期的正弦曲线。图2-17b所示为用回程运动的修正梯形加速度运动规律线图，其运动方程式的建立方法见2.4节。aab图2-图_2-\*22修正梯形加速度运动规律根据各运动区段衔接点上位移、类速度、类加速度值无突变的条件和边界条件求得运动方程式如下：摆线运动加速区段：\*\h\*(\c\*\*2.\c\*\*23)式中等加速运动区段\*\h\*(\c\*\*2.\c\*\*24)式中摆线运动区段\*\h\*(\c\*\*2.\c\*\*25)式中等减速运动区段\*\h\*(\c\*\*2.\c\*\*26)式中摆线运动减速区段\*\h\*(\c\*\*2.\c\*\*27)式中变形正弦（组合摆线运动规律）bba图2-图_2-\*23变形正弦运动规律在普通摆线运动规律的始、末区段，从动件运动速度变化相当缓慢，这会导致中间区段的类速度幅值偏大。为了适当减小类速度幅值，在始、末区段采用及中部区段不同周期的摆线运动规律，构成组合型摆线运动规律。350499281\h图2-23a为用于推程期的组合摆线运动规律线图。其中，运动始、末区段所占的凸轮转角各为1/8，即∅1=∅2=∅/8。根据运动连续性条件和边界条件，可求得各区段的运动方程式如下：摆线运动加速区段：\*\h\*(\c\*\*2.\c\*\*28)式中中间摆线运动区段：\*\h\*(\c\*\*2.\c\*\*29)式中中间摆线运动区段：\*\h\*(\c\*\*2.\c\*\*30)式中组合摆线运动规律的类速度幅值为1.76∅，类加速度幅值为5∅2，两项值均比普通摆线运动规律的低，因而适合于高速工况条件下用。用于回程期的组合摆线运动规律线图如350499281\h图2-23所示，其运动方程式的建立方法见2.4节。变形梯形正弦从位移、类速度、类加速度、类跃度来看，其曲线是由修正梯形加速度曲线和组合摆线曲线组合而成，二者各占∅/2。目前尚未推导出其运动方程式，待以后有机会再添加。逆变形梯形正弦从位移、类速度、类加速度、类跃度来看，其曲线是由组合摆线曲线和修正梯形加速度曲线组合而成，二者各占∅/2。目前尚未推导出其运动方程式，待以后有机会再添加。回程期运动方程式的建立方法及其通式从动件的回程和推程是相对而言的。当回程期的运动规律及推程期相同时，它们的运动线图具有对应的特征，但不一定对称相等，主要是由凸轮的回程运动角∅’而定。在设计凸轮轮廓时，推程期轮廓和回程期轮廓的设计基准是相同的。今取回程期运动方程式的计算基准及推程期相同，则回程期中的位移s’、类速度（φ）'、类加速度（d2φ2）'和类跃度（d3φ3）'可分别应用推程期的对应计算公式求得，即:\*\h\*(\c\*\*2.\c\*\*31)各式的等号右边项中的参数可直接引用相应的推程运动方程式。引用时，将各方程式中的参数φ和∅用回程期参数φ'和∅'取代。其中变量φ'=φ-