河北省部分地区2024-2025学年高三上学期开学考试数学试卷（解析版）

高三数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解即得.【详解】依题意，，而，所以.故选：D2.若复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算化简即可.【详解】因为，所以.故选：A3.已知向量，，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先求出的坐标，依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可.【详解】因为，，所以，又，所以，解得.故选：A4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据两角和公式结合切化弦得出，再应用两角差余弦计算.【详解】因为,又因为,所以,所以.故选：A5.已知函数，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数解析式分两段讨论，分别求出不等式的解集.【详解】因，则不等式，等价于或，解得或或，所以不等式的解集为.故选：B6.当时，曲线与的交点个数为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，转化为方程根的个数列式计算即得.【详解】依题意，曲线与的交点个数即为方程根的个数，由，得，，则或或，解得或或，因此方程在上有3个解.所以当时，曲线与的交点个数为3.故选：A7.已知函数的定义域为R，当时，，且当时，，则下列结论中一定正确的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】先求出函数局部周期性，再求值即可.【详解】当时，由于得到，则，A错；，B对；，C对；，D错；故选：BC.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，全部选对得6分，部分选对得部分分，错选不得分，共18分）8.设函数，若存在，且，使得，则（）A. B.C.可能有且仅有两个零点 D.至多有四个零点【答案】CD【解析】【分析】分析导数研究函数的单调性与极值，取特殊函数由零点存在性定理确定零点个数即可判断选择支.【详解】，，由题意，函数至少有个零点.，设，令，则.当，即时，当，则，在单调递减；当，则，在单调递增；所以有最小值，最小值为，此时函数无零点，不满足题意；当，即时，由，，当时，，当，则，在单调递减；当，则，在单调递增；所以有最小值，最小值为，又，，由零点存在性定理可得，在各有一个零点，故当时，函数有且仅有个零点，满足题意，故A错误，C正确；当时，；当，则，在单调递减；当，则，在单调递增；当，则，在单调递减；当，则，在单调递增；所以在处取极小值，在处取极大值，在处取极小值，又，由零点存性定理可得，在各有一个零点，即有个零点，所以当时，满足题意，故B错误；又为四次函数，至多有个零点，故D项正确.故选：CD.9.双纽线的图形轮廓像阿拉伯数字中的“8”，如图曲线是双纽线，下列说法正确的是（）A.曲线C的图象关于原点对称B.曲线C经过7个整点（横、纵坐标均为整数的点）C.曲线C上任意一点到坐标原点的距离都不超过3D.若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为【答案】ACD【解析】【分析】由曲线上任一点关于原点的对称点适合曲线方程可判断A；利用换元法转化为二次方程，通过判别式得出范围，再赋值求解整点的坐标即可判断B；利用已知方程变形，根据有界性结合两点间距离公式可判断C；联立直线与曲线研究方程根的情况即可判断D．【详解】对于A：设曲线上任意一点，则坐标满足曲线方程，即方程成立，可得成立，即点关于原点的对称点也适合曲线方程，所以曲线的图象关于原点对称，故A正确；对于B：方程可化为，令，则方程，由判别式，可得，若是整数，则.令，，解得或或，有三个整点，，；令，，解得或，此时无整点；所以曲线共经过个整点，故B错误；对于C：设曲线上任一点，当为原点时，到原点的距离为，满足题意；当不为原点时，，则由可得，，所以点到原点的距离，且；综上，曲线上任一点到原点的距离都不超过，故C正确；对于D：直线恒过原点，且曲线经过，则直线与曲线至少一个公共点，又与曲线只有一个公共点，故除原点外无其他公共点.联立，消得，当时，方程仅一解，满足题意；当时，当时，方程恒成立，即恒有一解，当时，方程化简得，即当时，方程无解，满足题意；综上可得，解得或，即实数的取值范围为，D正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：已知直线与曲线交点个数求参数值(取值范围)问题，通常将直线方程代入曲线方程转化为一元方程根的情况研究，再结合方程类型变形建立不等式，通过解不等式确定参数范围，但也要注意变形过程中的等价处理.如复合方程通过整体换元转化为简单方程来研究时，不能忽视求解新元的范围；高次方程因式分解转化为低次方程来研究时，要注意几个低次方程之间的重根讨论；分式方程化为整式方程研究时，分母是否为0的分类讨论；无理方程转化为有理方程时，被开方数的限制条件等.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）10.设抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于，两点，若，，则___________．【答案】##【解析】【分析】设Ax1,y1，Bx2,y【详解】设Ax1,y1，Bx2,y因为，，根据抛物线的定义可得，，过点作轴于点，过点作轴于点，则，所以，所以，即，解得．故答案为：．11.若曲线在点处的切线与曲线相切，则________．【答案】【解析】【分析】根据导数的几何意义求出切线方程，再联立切线方程与，消元，根据计算可得.【详解】由，所以，则，所以曲线在点处的切线为，即；又与曲线相切，由，可得，则，解得或（舍去），故答案为：12.某射击比赛中，甲、乙两名选手进行多轮射击对决．每轮射击中，甲命中目标概率为，乙命中目标的概率为．若每轮射击中，命中目标的选手得1分，未命中目标的选手得0分，且各轮射击结果相互独立．则进行五轮射击后，甲的总得分不小于3的概率为__________．【答案】【解析】【分析】利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算可得答案.【详解】则进行五轮射击后，甲的总得分不小于3的概率为.故答案为：.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13.记的内角，，的对边分别为，，，已知，，．（1）求角的大小；（2）求的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用两角和的正弦公式及诱导公式得到，即可得解；（2）利用余弦定理得到，再将两边平方，即可求出，最后由面积公式计算可得.【小问1详解】因为，所以，即，即，显然，所以，又，所以；【小问2详解】由余弦定理，即，又，所以，解得，所以.14.已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于，两点，且以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）（2）证明见解析，定点坐标为【解析】【分析】（1）根据题意列出的方程组，结合求解出的值，则椭圆方程可知；（2）设Ax1,y1，Bx2,【小问1详解】依题意可得，解得，所以椭圆的方程为.【小问2详解】设Ax1,联立可得，且，即，所以，，因为以为直径的圆经过点，所以，所以，所以，所以，所以，化简可得，解得或，当时，，过定点，符合题意；当时，，过点，不满足题意，综上所述，直线过定点.15.已知三棱锥中，平面，，，为上一点且满足，，分别为，的中点．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的大小；【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系，计算，进而可得答案；（2）求出平面的法向量n=x,y,【小问1详解】因为平面，，如图以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系，则，所以，因为，所以．【小问2详解】设平面的法向量n=x,y则，即，取，得，设直线与平面所成角为，则，又，所以，所以直线与平面所成角的大小为．16.已知函数在处取得极值2，且．（1）求实数a，b，c的值；（2）若函数在区间上有三个零点，求实数m的取值范围；（3）证明：若函数在区间上不单调，则．【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，由已知建立方程组，求解方程组并验证即得.（2）由（1）求出函数在上的性质，结合三次函数性质求解即得.（3）利用二次函数性质推理即得.【小问1详解】由函数，求导得，依题意，，解得，此时，当或时，，当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减，即是极值点，所以.【小问2详解】由（1）知，，，，函数在上单调递增，在上单调递减，函数在处取得极大值，在处取得极小值，而当时，，当时，，由函数在区间上有三个零点，得，解得，所以实数m的取值范围是.【小问3详解】由（1）知，，函数的图象对称轴为，由函数在区间上不单调，得，解得，所以原命题正确.17.设数列满足，且对于任意的，都有，若从该数列中任意选取两个不同的数和（），能满足，则称和是幸运数对.（1）求数列的通项公式；（2）若从数列中随机选取两个数，求这两个数构成“幸运数对”的概率；（3）证明：对于任意的正整数N，在数列中总存在两个数和（），使得.【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由累加法求通项即可；（2）由通项公式与不等式性质可得恒成立；（3）由数列通项证明数列递增规律，利用放缩法将所证不等式消元转化为一元不等式，求解满足不等式的正整数解即可.【小问1详解】由题意，任意的，都有，所以，则当时，当时，也满足上式，所以数列的通项公式；【小问2详解】设从该数列中任意选取两个不同的数和（，且），则，由，且，可得，，则，即恒成立.所以从数列中随机选取两个数，这两个数构成“幸运数对”的概率为；【小问3详解】由任意，可知，数列是递增数列，所以，故，且，即数列是以为首项，为公差的等差数列，也是递增数列.且当，对于任意的正整数N，存在，使.故任意，，都有，令，得，此时恒成立，若为奇数，则为