新高考一轮复习核心考点讲与练考点21 双曲线原卷版

考点21双曲线（核心考点讲与练）1.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：(1)若a<c时，则集合P为双曲线；(2)若a＝c时，则集合P为两条射线；(3)若a>c时，则集合P为空集.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x离心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b21.（1）在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支．若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．（2）在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义是经常使用的知识点．另外，还经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立它与|PF1||PF2|的联系．2.与双曲线几何性质有关问题的解题策略在研究双曲线的性质时，实半轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容；双曲线的离心率涉及的也比较多．由于e＝是一个比值，故只需根据条件得到关于a，b，c的一个关系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后变形求e，并且需注意e＞1．3.圆锥曲线的弦长（1）圆锥曲线的弦长直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫作圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长．（2）圆锥曲线的弦长的计算设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0|x1－x2|＝SKIPIF1<0·|y1－y2|．(抛物线的焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝SKIPIF1<0，θ为弦AB所在直线的倾斜角)．双曲线的定义一、单选题1．（2022·广东潮州·二模）若点P是双曲线SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的左、右焦点，则“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（

）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2022·天津河西·一模）已知双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，c是双曲线C的半焦距，点A是圆SKIPIF1<0上一点，线段SKIPIF1<0交双曲线C的右支于点B，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则双曲线C的离心率为（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·辽宁沈阳·二模）已知双曲线SKIPIF1<0的两个焦点为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，点M，N在C上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则双曲线C的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·湖南永州·三模）已知双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为坐标原点，点SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0的右支上，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为双曲线SKIPIF1<0的半焦距），直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0右支交于另一个点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则双曲线SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题5．（2022·山东泰安·二模）已知双曲线C：SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，且其右顶点为SKIPIF1<0，左，右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点P在双曲线C上，则下列结论正确的是（

）A．双曲线C的方程为SKIPIF1<0B．点A到双曲线C的渐近线的距离为SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的外接圆半径为SKIPIF1<06．（2022·河北唐山·二模）双曲线具有如下光学性质：如图SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是双曲线的左、右焦点，从右焦点SKIPIF1<0发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点SKIPIF1<0．若双曲线C的方程为SKIPIF1<0，下列结论正确的是（

）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0B．当n过SKIPIF1<0时，光由SKIPIF1<0所经过的路程为13C．射线n所在直线的斜率为k，则SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，直线PT与C相切，则SKIPIF1<07．（2022·重庆八中模拟预测）已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若某直线上存在点P，使得SKIPIF1<0，则称该直线为“好直线”，下列直线是“好直线”的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三、填空题8．（2022·辽宁葫芦岛·一模）已知双曲线G的方程SKIPIF1<0，其左、右焦点分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，已知点P坐标为SKIPIF1<0，双曲线G上点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______．四、解答题9．（2022·全国·模拟预测）双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，焦距等于8，点M在双曲线C上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为12.(1)求双曲线C的方程；(2)双曲线C的左、右顶点分别为A，B，过SKIPIF1<0的斜率不为SKIPIF1<0的直线l与双曲线C交于P，Q两点，连接AQ，BP，求证：直线AQ与BP的交点恒在一条定直线上.10．（2022·福建漳州·一模）已知双曲线SKIPIF1<0的左､右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0右支上一点，若I为SKIPIF1<0的内心，且SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)点A是SKIPIF1<0在第一象限的渐近线上的一点，且SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0在点P处的切线l与直线SKIPIF1<0相交于点M，与直线SKIPIF1<0相交于点N.证明：无论点P怎么变动，总有SKIPIF1<0.双曲线的几何性质1．（2021“四省八校”高三上学期期中质量检测）过双曲线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）的右焦点SKIPIF1<0作双曲线渐近线的垂线段SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0与双曲线交于点SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，则双曲线离心率SKIPIF1<0等于（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<02.（2021安徽省安庆市怀宁中学高三上学期模拟）若双曲线SKIPIF1<0的一条渐近线与直线SKIPIF1<0相互垂直，则双曲线SKIPIF1<0的两个焦点与虚轴的一个端点构成的三角形的面积为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.6 D.8直线与双曲线的位置关系1.．（江西省南昌市湾里区第一中学等六校联考）已知双曲线C：SKIPIF1<0（a>0，b>0）的离心率为SKIPIF1<0，实轴长为2．（1）求双曲线的焦点到渐近线的距离；（2）若直线y=x+m被双曲线CC截得的弦长为SKIPIF1<0，求m的值．2.（2021河北省部分名校高二上学期期中）在①双曲线SKIPIF1<0的焦点在SKIPIF1<0轴上，②双曲线SKIPIF1<0的焦点在SKIPIF1<0轴上这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．已知双曲线SKIPIF1<0的对称轴为坐标轴，且SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求双曲线SKIPIF1<0的方程；（2）若双曲线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0的渐近线相同，______，且SKIPIF1<0的焦距为4，求双曲线SKIPIF1<0的实轴长．注：若选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．1.（2021年全国高考甲卷）点SKIPIF1<0到双曲线SKIPIF1<0的一条渐近线的距离为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<02.（2021年全国高考乙卷）已知双曲线SKIPIF1<0的一条渐近线为SKIPIF1<0，则C的焦距为_________．3.（2020年全国统一高考（新课标Ⅰ））设SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0的两个焦点，SKIPIF1<0为坐标原点，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积为（）A.SKIPIF1<0 B.3 C.SKIPIF1<0 D.24.（2021年全国新高考Ⅰ卷）在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，已知点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0的轨迹为SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的方程；（2）设点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，过SKIPIF1<0的两条直线分别交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0的斜率与直线SKIPIF1<0的斜率之和.一、单选题1．（2022·重庆八中模拟预测）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告；正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚2s，已知各观测点到该中心的距离是680m，则该巨响发生在接报中心的（

）处(假定当时声音传播的速度为340m/s，相关各点均在同一平面上)A．西偏北45°方向，距离340SKIPIF1<0m B．东偏南45°方向，距离340SKIPIF1<0mC．西偏北45°方向，距离170SKIPIF1<0m D．东偏南45°方向，距离170SKIPIF1<0m2．（2022·山东淄博·模拟预测）双曲线SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·全国·模拟预测（理））已知双曲线E：SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，若有一直线过E的右顶点A且与一条渐近线平行，交y轴于点B，则△OAB的面积是（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．4 D．SKIPIF1<04．（2022·山东济宁·二模）过双曲线C：SKIPIF1<0的左焦点F作圆SKIPIF1<0的切线，设切点为A，直线FA交直线SKIPIF1<0于点B，若SKIPIF1<0，则双曲线C的渐近线方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·天津南开·一模）已知双曲线SKIPIF1<0的SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0的一个交点为M．若抛物线的焦点为F，且SKIPIF1<0，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2022·天津河东·一模）已知双曲线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，抛物线SKIPIF1<0的准线与SKIPIF1<0交于M，N两点，且三角形SKIPIF1<0为正三角形，则双曲线SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题7．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知SKIPIF1<0､SKIPIF1<0分别为双曲线SKIPIF1<0的左､右焦点，点M为双曲线右支上一点，设SKIPIF1<0，则下列说法正确的是(

)A．线段SKIPIF1<0长度的最小值为SKIPIF1<0B．线段SKIPIF1<0长度的最小值为SKIPIF1<0C．若当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0(O为坐标原点)恰好为等边三角形，则双曲线C的离心率为SKIPIF1<0D．当SKIPIF1<0时，若直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切，则双曲线C的渐近线的斜率的绝对值为SKIPIF1<08．（2022·江苏·新沂市第一中学模拟预测）已知双曲线SKIPIF1<0的左右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，M为OA的中点，P为双曲线C右支上一点且SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则(

)A．C的离心率为2 B．C的渐近线方程为SKIPIF1<0C．PM平分SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．（2022·江苏·沭阳如东中学模拟预测）已知直线y=kx（k≠0）与双曲线SKIPIF1<0交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若三角形ABF的面积为SKIPIF1<0，则以下正确的结论有（

）A．双曲线的离心率为2 B．双曲线的离心率为SKIPIF1<0C．双曲线的渐近线方程为y=±2x D．SKIPIF1<010．（2022·重庆·二模）已知双曲线SKIPIF1<0的左、右顶点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0的右支上一点，且三角形SKIPIF1<0为正三角形（SKIPIF1<0为坐标原点），记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的内心，记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．双曲线SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三、填空题11．（2022·广东韶关·二模）过双曲线SKIPIF1<0的一个焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于P，Q两点，则|PQ|=_________．12．（2022·湖北武汉·二模）如图，发电厂的冷却塔外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面，该冷却塔总高度为70米，水平方向上塔身最窄处的半径为20米，最高处塔口半径25米，塔底部塔口半径为SKIPIF1<0米，则该双曲线的离心率为___________.13．（2022·海南海口·模拟预测）在直角坐标系xOy中，抛物线C：SKIPIF1<0的焦点为F，双曲线E：SKIPIF1<0的右顶点为线段OF的中点，E与C交于A，B两点．若F是△ABO的重心，则E的离心率为______．14．（2022·江西·二模（理））已知双曲线C：SKIPIF1<0的左焦点为SKIPIF1<0，点P在圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上，若线段FP恰好被C的一条渐近线垂直平分，则C的离心率为___________.15．（2022·内蒙古通辽·二模（理））双曲线SKIPIF1<0的渐近线与圆SKIPIF1<0相切，则双曲线E的离心率为______．四、解答题16．（2022·山东潍坊·二模）已知M，N为椭圆SKIPIF1<0和双曲线SKIPIF1<0的公共顶点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的离心率．(1)若SKIPIF1<0．（ⅰ）求SKIPIF1<0的渐近线方程；（ⅱ）过点SKIPIF1<0的直线l交SKIPIF1<0的右支于A，B两点，直线MA，MB与直线SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，记A，B，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的坐标分别为SKIPIF1