高中数学必修第二册培优讲义第1讲 平面向量的概念和线性运算学生

第1讲平面向量的概念和线性运算

I玩前必备］

1.向量的有关概念

（1）向量的定义及表示：既有大小又有方向的量叫做向量.以4为起点、8为终点的向量记作加\也可用黑

体的单个小写字母a,b,c,…来表示向量.

（2）向量的长度（模）：向量苗的大小即向量苗的长度（模），记为漏.

2.几种特殊向量

名称定义备注

零向量长度为0的向量零向量记作0,其方向是任意的

单位

长度等于1个单位的向量单位向量记作刖，刖=高

向量

平行方向相同或相反的非零向量（也叫共

0与任意向量共线

向量线向量）

相等相等向量一定是平行向量，平行向量

长度相等且方向相同的向量

向量不一定是相等向量

相反

长度相等且方向祖反的两个向量若a,b为相反向量，则@=一b

向量

a

单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量a平行的单位向量有两个，即向量南和一

3.向量的线性运算

向量运算定义法则（或几何意义）运算律

(1)交换律：

a+b=b+a；

求两个向量和的三角形法则

加法(2)结合律：

运算平行四边形

(a+b)+c=

法则

a+(b+c)

▲

求a与b的相反向

减法量一b的和的运a—b=a+(—b)

a

算叫做a与b的差三角形法则

|Aa|=|2||a|；当40

时・，历的方向与a的

A(//a)=(z/z)a；

求实数2与向量a方向相同;当丸<0时,

数乘«+〃)a=%a+〃a；

的积的运算2a的方向与a的方向

A(a+b)=za+Ab

相反;当2=0时，za

=0

▲向量加法的多边形法则

(多个向量相加，利用三角形法则，应首尾顺次连接，Q+0+C表示从始点指向终点的向量，只关心始

点、终点.

4.共线向量定理

向量a(aK①与b共线,当且仅当有唯一一个实数人使得b=2a.

只有a#0才保证实数Z的存在性和唯一性.

［玩转典例］

题型一向量概念的理解

例1判断下列命题是否正确，并说明理由.

①若aWZ>,则a—■定不与占共线；

②若乙则A、B、C、。四点是平行四边形的四个顶点;

③在平行四边形A8C。中，一定有矗=比；

④若向量a与任一向量力平行，则a=0;

⑤若a=Z>,b—c,则a=c；

⑥若a〃b,b//c,则a〃c.

［题型练透］

1.判断下列命题是否正确，并说明理由.

①若向量。与b同向，且|0|>|加，则a>b；

②若向量同=血，则。与b的长度相等且方向相同或相反；

③对于任意同=|加，且。与〃的方向相同，则。=方；

④向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反.

2.下列说法正确的是（）

A.向量直与）是共线向量，则A,B,C,。必在同一直线上

B.向量”与。平行，则。与6的方向相同或相反

C.向量彳万与向量而是两平行向量

D.单位向量都相等

3.给出下列四个命题：①若@=0,则a=0；②若@=|臼，则。=6或。=—b；③若a〃匕，则⑷=|臼；④若a

//b,b//c,则a〃c.其中，正确的命题有（）

A.0个B.1个

C.2个D.3个

题型二向量的线性运算

例2（2020•安徽合肥二模）在△ABC中，BD=1'BC,若漏=a,~AC=b,则方方=（）

A.^a+|bB.|a+|b

「1212L

D.^a—

例3在△ABC中，AB=2,BC=3,ZABC=60°,AO为8C边上的高，。为AO的中点，若布=元宿+

M，其中九〃CR，则入+〃等于（）

A.1B.Z

C.|D/|

例4设点M是线段的中点，点A在线段5c外，|前F=16,\AB+AC\=\A^-AC\,则|加|

=（）

A.8B.4

C.2D.1

［题型练透］

1.（2018•全国I）在△A8C中，AD为8C边上的中线，E为AO的中点，则而等于（）

A^AB—^ACB.^AB—^AC

C^AB+^ACD.^AB+^AC

2.(2020・威海模拟)在平行四边形ABC。中，E,尸分别为边BC,CQ的中点，若A8=xAE+yA尸(x,y£R),

则x—y=.

3.如图，在直角梯形ABC。中，~DC=^AB,~BE=2EC,且混'=r7了+s就，则\\

2r+3s-'||

4.(2017•全国H)设非零向量a,。满足|a+》|=|a-)|,则()I

A.a.LbB.\a\=\b\

C.a//bD.\a\>\b\

题型三两向量共线定理

例5设两个非零向量a与b不共线.

(1)若A^=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a—b),求证：A,B,。三点共线；

(2)试确定实数%,使侬+b和a+处共线.

例6已知。为△ABC内一点，且(而'+员)，~AD=LAC,若B,O,。三点共线，则f=()

A-4B-3

C.^D?|

［题型练透］

1.(2020•新泰市第二中学高一期中)设是不共线的两个非零向量.

(1)若砺=2"-5,而=34+瓦元="-35,求证：4B,。三点共线；

(2)若8G+防与%+25共线，求实数%的值；

(3)若丽=&+尻及=20-36,①=24-％5,且4C,。三点共线，求实数攵的值.

2.已知G为△ABC的重心，令瓦§=a,元=6,过点G的直

线分别交A8,AC于P,Q两点，且不A=,而=疝.则

m〃

题型四共线定理的推广及应用

［共线定理J己知面，钳为平面内两个不共线的向量，设左=》-灰+丫7港'，贝IJA,B,C三点共线的

充要条件为x+y=\.

［推广形式］如图所示，直线£）E〃A8,C为直线DE上任一点，设元=上滞+）］港\E

（x,yGR）.

当直线QE不过点P时，直线PC与直线AB的交点记为F,因为点F在直线AB上，P/

所以由三点共线结论可知，若"0区+〃同（九〃GR）,则7+"=1.由△B4B与△PEQ相似，知必存在

一个常数〃?6R,使得衣=m~^,则下不=，M乔=机厂灰+〃川港.

又PC—xPA+yPB（x,yGR）,所以x+y=»d+加〃=机

以上过程可逆.因此得到结论：~PC+y~PB,则x+尸见定值），反之亦成立.

例7如图，在正六边形ABC0EF中，尸是△CDE内（包括边界）的动点，设/=。而D

+瓦丁（a,夕GR）,则a+夕的取值范围是.

AB

例8如图所示，A,B,C是圆。上的三点，线段CO的延长线与B4的延长线交于圆。外的一点£）,若友

=〃?苏'+〃n，则机+〃的取值范围是.

w

［题型练透］

1.如图，在扇形。45中，乙4。8=争C为弧A8上的动点，若衣『方才十》石方，V.

则x+3y的取值范围是./

［玩转练习］）

1.如图，在正六边形ABCDEf■中，前+宣+钎=（）

A.0B.-fiE

CTADDTCF

2.设a是非零向量，2是非零实数，下列结论中正确的是（）

A.a与2a的方向相反B.a与乃a的方向相同

C.|一加冽a|D.|-2a|^|z|-a

3.设向量a,b不共线，~AB=2a+pb,"sc=a+b,W=a—2b,若4,B,0三点共线，则实数p的值

为（）

A.-2B.-1

C.1D.2

\AC\

5.（多选）已知等边三角形ABC内接于。O,。为线段。4的中点，则同=（

2—►1—>

A.]BA+48CB.

2―>1—>

CTBA+17EDqBA+gAE

6.（多选）设a,b是不共线的两个平面向量，已知阳'=a+sina-b,其中。6（0,2兀），逮=2a-b.若P,Q,

R三点共线，则角a的值可以为（）

7.如图，在△4BC中，点/）在线段BC上，且满足BD=、）C,过点。的直线分别

交直线AB,AC于不同的两点M,N,若前~AN=n7C,贝lj（

A.机+〃是定值，定值为2

B.2机+”是定值，定值为3

C.：+:是定值，定值为2

D康2+：1是定值，定值为3

8.在△ABC中，点。在线段8c的延长线上，且就=3苍，点。在线段CO上（与点C,。不重合），若下方

=x二宿+（1—x）就，则x的取值范围是.

9.已知向量a,b不共线，且c=7a+b,d=a+（2z-l）b,若c与d同向，则实数2=.

10.（一题两空）已知平行四边形ABCD的对角