四川省成都南开为明学校2024-2025学年高二数学3月月考试题理

PAGEPAGE9四川省成都南开为明学校2024-2025学年高二数学3月月考试题理（说明：试卷总分150分，时间:120分钟）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1.与向量平行的一个向量的坐标为(

)A.B.C.D.2.设在处可导，则()A. B. C. D.3.正方体中，化简（）A． B． C． D．4.函数的单调递减区间为（）A． B． C． D．5.已知向量，且，则（）A．-1B．2C．-2D．16.在直三棱柱中，已知，，，则异面直线与所成的角为A． B． C． D．7.如图所示，在平行六面体中，为与的交点.若，则下列向量中与相等的向量是()A. B.C. D.8.函数的图像在点处的切线方程是,则()A.1 B.2 C.3D.49.在棱长为1的正方体中,为的中点,则直线与平面所成角为()A. B. C. D.10.已知，则等于（）A.B.C. D.11.如图,为正方体,下面结论错误的是(

)A.平面 B.

C.平面 D.异面直线与角为12.已知函数在其定义域内既有极大值也有微小值，则实数a的取值范围是（）A.B. C. D.二、填空题：（共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量,且与相互垂直,则__________.14.函数的导函数的图象如图所示,其中是的根,现给出下列命题:(1)是的微小值;(2)是极大值;(3)是极大值;(4)是微小值;(5)是极大值.其中正确的命题是__________.(填上正确命题的序号)15.如图,在三棱柱中,全部棱长均为1,且底面,则点到平面的距离为______.16.若在上单调递减，则实数的取值范围是__________三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.如图,在棱长为2的正方体中,为的中点.(1)求的长；(2)求异面直线与所成的角的余弦值.18.已知曲线上一点,如下图,求:

(1)点处切线的斜率;

(2)点处的切线方程.19.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面,，E是的中点，作交于点F．(1)证明:平面；(2)证明:平面.20.设函数.

1.求的单调区间;2.求函数在区间上的最小值.

21.如图,在四棱锥中,底面,,,,,点为棱的中点.(1)证明:;(2)求直线与平面所成角的正弦值;(3)若为棱上一点,满意,求二面角的余弦值.22.已知函数.(1)探讨函数的单调性.(2)若，设是函数的两个极值点，若，求证:.

参考答案（理数）1.答案：C解析：.2.答案：A解析：.3.答案：A4.答案：B5.答案：D6.答案：C7.答案：A解析：.8.答案：B解析：由切线斜率可知.又在切线上,.故选B.9.答案：B解析：以点为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,则.可得平面的法向量为..直线与平面所成角为.10.答案：B解析：由，得：，取得：，所以，.故.11.答案：D解析：A中因为,正确;B中因为,由三垂线定理知正确;C中有三垂线定理可知,故正确;D中明显异面直线与所成的角为故选D12.答案：D解析：解：．要使函数在其定义域内既有极大值也有微小值，只需方程方程在有两个不相等实根．即，令，则．在递增，在递减．其图象如下：∴．故选：D．13.答案：解析：14.答案：(1)(2)解析：15.答案：解析：建立如图所示的空间直角坐标系则,则设平面的一个法向量为,则有解得,则所求距离为.16.答案：解析：因为函数在上单调递减，所以在上恒成立，即在上恒成立．因为，所以17.答案：(1)以,,的正方向分别为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系,则,,可得,所以的长为3.(2)由(1)的坐标系,可得,,,,所以,,设异面直线与所成的角为,所以,即异面直线与所成的角的余弦值.解析：18.答案：1.∵,∴.

∴∴点处切线斜率等于.

2.再点处的斜线方程是,即.解析：19.答案：1.证明:连结，交于．连结．∵底面是正方形∴点是的中点．在△中，是中位线，∴//．而平面，且平面，所以,//平面2.∵底面，且底面∴.∵底面是正方形，有,，平面，平面,∴平面．而平面，∴.又∵,是的中点，∴，，平面，平面.∴平面．而平面，∴．又，且，平面，平面，所以平面解析：20.答案：1.定义域为,由得,∴的单调递减区间为,单调递增区间为;

2.,由得,∴在上单调递减,在上单调递增,∴的最小值为.解析：21.答案：1.依据题意,以点为原点建立空间直角坐标系(如图),

可得.

由为棱的中点,得.证明:向量,

故.所以.

2.向量.

设为平面的法向量,

则即

不妨令,可得为平面的一个法向量.

于是有.

所以直线与平面所成角的正弦值为.

3.向量.

由点在棱上,设.

故.

由,得,因此,

,解得,

则.设为平面的法向量,

则即

不妨令,可得为平面的一个法向量.

取平面的一个法向量,则

.

易知,二面角是锐角,所以其余弦值为.解析：22.答案：(1)由题意得，函数的定义域为，.当