高考数学一轮复习 第十一章 第2讲 排列与组合配套限时规范训练 理 苏教版

第2讲排列与组合分层训练A级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个节目插入原节目单，那么不同插法的种数为________．解析可分为两类：两个节目相邻或两个节目不相邻，若两个节目相邻，则有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(1,6)＝12(种)排法；若两个节目不相邻，则有Aeq\o\al(2,6)＝30(种)排法．由分类计数原理共有12＋30＝42(种)排法(或Aeq\o\al(2,7)＝42)．答案422．(·北京卷改编)8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为________种．解析不相邻问题用插空法，8名学生先排有Aeq\o\al(8,8)种排法，产生9个空，2位老师插空有Aeq\o\al(2,9)种排法，所以最终有Aeq\o\al(8,8)·Aeq\o\al(2,9)种排法．答案Aeq\o\al(8,8)Aeq\o\al(2,9)3．年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有________种．解析若四人中包含小张和小赵两人，则不同的选派方案有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝12(种)；若四人中恰含有小张和小赵中一人，则不同的选派方案有：Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)＝24(种)，由分类计数原理知不同的选派方案共有36种．答案364．某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有________种．解析若3个不同的项目投资到4个城市中的3个，每个城市一项，共Aeq\o\al(3,4)种方法；若3个不同的项目投资到4个城市中的2个，一个城市一项、一个城市两项共Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,4)种方法，由分类计数原理共Aeq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,4)＝60(种)方法．答案605．有5名男生和3名女生，从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的课代表，若某女生必须担任语文课代表，则不同的选法共有________种(用数字作答)．解析由题意知，从剩余7人中选出4人担任4个学科课代表，共有Aeq\o\al(4,7)＝840(种)．答案8406．将4名新来的同学分配到A、B、C三个班级中，每个班级至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A班，那么不同的分配方案有________种．解析将4名新来的同学分配到A、B、C三个班级中，每个班级至少安排一名学生有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)种分配方案，其中甲同学分配到A班共有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)种方案．因此满足条件的不同方案共有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)－Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)－Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)＝24(种)．答案24二、解答题(每小题15分，共30分)7．在10名演员中5人能歌8人善舞，从中选出5人，使这5人能演出一个由1人独唱4人伴舞的节目，共有几种选法？解本题中的“双面手”有3个，仅能歌的2人，仅善舞的5人．把问题分为：(1)独唱演员从双面手中选，剩下的2个双面手和只能善舞的5个演员一起参加伴舞人员的选拔；(2)独唱演员不从双面手中选拔，即从只能唱歌的2人中选拔，这样3个双面手就可以和只能善舞的5个演员一起参加伴舞人员的选拔．故选法种数是Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(4,7)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(4,8)＝245(种)．8．某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中：(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？解(1)只需从其他18人中选3人即可，共有Ceq\o\al(3,18)＝816(种)；(2)只需从其他18人中选5人即可，共有Ceq\o\al(5,18)＝8568(种)；(3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(4,18)＋Ceq\o\al(3,18)＝6936(种)；(4)方法一(直接法)：至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可分四类：一内四外；二内三外；三内二外；四内一外，所以共有Ceq\o\al(1,12)Ceq\o\al(4,8)＋Ceq\o\al(2,12)Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(3,12)Ceq\o\al(2,8)＋Ceq\o\al(4,12)Ceq\o\al(1,8)＝14656(种)．方法二(间接法)：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得Ceq\o\al(5,20)－(Ceq\o\al(5,12)＋Ceq\o\al(5,8))＝14656(种)．分层训练B级创新能力提升1．(·苏锡常镇调研)甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________(用数字作答)．解析当每个台阶上各站1人时有Ceq\o\al(3,7)Aeq\o\al(3,3)种站法，当两个人站在同一个台阶上时有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,7)Ceq\o\al(1,6)种站法，因此不同的站法种数有Aeq\o\al(3,3)Ceq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,7)Ceq\o\al(1,6)＝210＋126＝336(种)．答案3362．(·无锡调研)某车队有7辆车，现要调出4辆按一定顺序出去执行任务．要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出有________种不同的调度方法(填数字)．解析先从除甲、乙外的5辆车任选2辆有Ceq\o\al(2,5)种选法，连同甲、乙共4辆车，排列在一起，选从4个位置中选两个位置安排甲、乙，甲在乙前共有Ceq\o\al(2,4)种，最后安排其他两辆车共有Aeq\o\al(2,2)种方法，∴不同的调度方法为Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(2,2)＝120(种)．答案1203．(·盐城模拟)3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同的排法种数是________．解析记三名男生为甲、乙、丙，三名女生为a、b、c，先排男生，若甲在男生两端有4种排法，然后3位女生去插空，排法如eq\x(ab)甲□丙eq\x(c)乙eq\x()共有4Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,3)种，若男生甲排在中间，有两种排法，然后女生去插空，排法如eq\x(ab)乙□甲eq\x(c)丙eq\x()共有2Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,4)种排法．根据分类计数原理共有4Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,3)＋2Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,4)＝288(种)不同排法．答案2884．(·苏州期末调研)以一个正五棱柱的顶点为顶点的四面体共有________个．解析正五棱柱共有10个顶点，若每四个顶点构成一个四面体，共可构成Ceq\o\al(4,10)＝210(个)四面体．其中四点在同一平面内的有三类：(1)每一底面的五点中选四点的组合方法有2Ceq\o\al(4,5)个．(2)五条侧棱中的任意两条棱上的四点有Ceq\o\al(2,5)个．(3)一个底面的一边与另一个底面相应的一条对角线平行(例如AB∥E1C1)，这样共面的四点共有2Ceq\o\al(1,5)个．所以Ceq\o\al(4,10)－2Ceq\o\al(4,5)－Ceq\o\al(2,5)－2Ceq\o\al(1,5)＝180(个)．答案1805．在m(m≥2)个不同数的排列p1p2…pm中，若1≤i＜j≤m时pi＞pj(即前面某数大于后面某数)，则称pi与pj构成一个逆序，一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数．记排列(n＋1)n(n－1)…321的逆序数为an.如排列21的逆序数a1＝1，排列321的逆序数a2＝3，排列4321的逆序数a3＝6.(1)求a4、a5，并写出an的表达式；(2)令bn＝eq\f(an,an＋1)＋eq\f(an＋1,an)，证明2n＜b1＋b2＋…＋bn＜2n＋3，n＝1,2，….解(1)由已知条件a4＝Ceq\o\al(2,5)＝10，a5＝Ceq\o\al(2,6)＝15，则an＝Ceq\o\al(2,n＋1)＝eq\f(nn＋1,2).(2)证明bn＝eq\f(an,an＋1)＋eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n,n＋2)＋eq\f(n＋2,n)＝2＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋2)))∴b1＋b2＋…＋bn＝2n＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)＋\f(1,2)－\f(1,4)＋\f(1,3)－\f(1,5)＋…＋\f(1,n－1)－\f(1,n＋1)＋\f(1,n)－\f(1,n＋2)))＝2n＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－\f(1,n＋1)－\f(1,n＋2)))，∴2n＜b1＋b2＋…＋bn＜2n＋3.6．(·苏州市自主学习调查)设整数n≥4，在集合{1,2，3，…，n}中任取两个不同元素a，b(a>b)，记An为满足a＋b能被2整除的取法种数．(1)当n＝6时，求An；(2)求An.解(1)当n＝6时，集合中偶数为2,4,6；奇数为1,3,5.要使a＋b为偶数，则a，b同奇或同偶，共有Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,3)＝6(种)取法，即A6＝6.(2)①当n＝2k(k≥2，k∈N*)即k＝eq\f(n,2)时，集合为{1,2,3，…，2k}．记A＝{1,3,5，…，2k－1}，B＝{2,4,6，…，2k}，因为a＋b能被2整除，所以a，b应同是奇数或同是偶数，所以a，b应取自同一个集合A或B，故有Ceq\o\al(2,k)＋Ceq\o\al(2,k)＝eq\f(kk－1,2)＋eq\f(kk－1,2)＝k(k－1)种取法．即An＝eq\f(n,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,2)－1))＝eq\f(nn－2,4)；②当n＝2k＋1(k≥2，k∈N*)时，即k＝eq\f(n－1,2)，集合为{1,2，3，…，2k＋1}．将其分为两个集合：奇数集A＝{1,3，…，2k＋1}，偶数集B＝{