湖南省长沙市湖南师大附中教育集团2022-2023学年七下期中数学试题（解析版）

2022−2023学年度七年级第二次质量检测数学试题注意事项：1．答题前，请先将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚；2．必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3．答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示；4．请注意卷面，保持字体工整、笔迹清晰、卷面清洁；5．答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸；6．本试卷时量120分钟，满分120分．一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1.下列各数中，无理数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据无理数是无限不循环小数逐项进行判断即可．【详解】A、是无理数，符合题意；B、是有理数，不符合题意；C、是有理数，不符合题意；D、是有理数，不符合题意，故选：A．【点睛】本题主要考查无理数，解答的关键掌握无理数与有理数的概念：有理数包含整数和分数、无理数为无限不循环小数．2.在平面直角坐标系中，点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．【详解】解：点的横坐标小于0，纵坐标小于0，点在第三象限，故选：C．【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．3.如图，M、N、P、Q是数轴上的点，那么在数轴上对应的点可能是（）A.点M B.点N C.点P D.点Q【答案】A【解析】【分析】由，再结合数轴即可求解．【详解】解：∵，∴观察数轴，点M符合要求，故选：A．【点睛】本题考查了实数与数轴，确定的范围是解题的关键．4.用四根火柴棒可摆成如图所示的象形字“口”，平移此象形字火柴棒后，变成的象形字是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由平移的性质，结合图形，采用排除法判断正确结果．【详解】解：原图形平移后，水平的火柴头应在左边，竖直的火柴头应是一上一下．只有C符合．故选：C．【点睛】本题利用了平移的基本性质：平移不改变图形的形状、大小和方向，只改变图形的位置．5.如果，那么x的值是（）A.4 B.3或 C. D.3【答案】B【解析】【分析】根据平方根的定义解方程即可．【详解】，开平方得，解得或，故选：B．【点睛】本题考查了利用平方根的定义解方程，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．6.如图所示，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了平行线的判定，解题的关键是找准两个角之间的关系；根据平行线的判定逐项判断即可．【详解】解：A、与非同位角，内错角，同旁内角，故不能判断直线平行，故本选项不符合题意；B、，利用内错角相等，两直线平行，即可判断出，故本选项符合题意；C、，利用内错角相等，两直线平行，即可判断出，故本选项不符合题意；D、，利用同旁内角互补，两直线平行，即可判断出，故本选项不符合题意；故选：．7.如图，，O为垂足，那么C、D、O三点在同一条直线上，其理由是（）A.两点之间线段最短B.平行于同一条直线的两条直线互相平行C.两点确定一条直线D.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】D【解析】【分析】由垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，即可判断．【详解】，O为垂足，那么C、D、O三点在同一条直线上，其理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故选：D．【点睛】本题考查了垂线的性质，关键是掌握在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．8.一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB//CF，∠F=∠ACB=90°，则∠DBC的度数为()A.10° B.15° C.18° D.30°【答案】B【解析】【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠ABD=45°，进而得出答案．【详解】解：由题意可得：∠EDF=45°，∠ABC=30°，∵AB∥CF，∴∠ABD=∠EDF=45°，∴∠DBC=45°﹣30°=15°．故选：B．【点睛】本题考查的是平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．9.中国传统数学重要著作《九章算术》中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数､物价各几何？据此设计一类似问题：今有人组团购一物，如果每人出9元，则多了4元；如果每人出6元，则少了5元，问组团人数和物价各是多少？若设x人参与组团，物价为y元，则以下列出的方程组正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设组团人数为x人，物价为y元，根据等量关系“每人出9元，则多了4元；每人出6元，则少了5元”列出方程组即可．【详解】设组团人数为x人，物价为y元，由题意可得，．故选A．【点睛】此题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据物价得到等量关系是解决本题的关键．10.如图，已知，，且满足，点在线段上，m、n满足，点D在y轴负半轴上，连接交x轴的负半轴于点E，且，则点D的坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据非负数的性质可求A、B点的坐标，结合图形由，可得，，再根据三角形的面积公式列出方程求解.【详解】解：∵，，∴，，∴，，如图,由，∴，∵，连接，作轴于M，轴于F，∵，∴，即，∴，解得：，∵，∴，∴点D的坐标为；故选：C.【点睛】本题考查三角形的面积、非负数的性质(完全平方数和平方根)以及坐标与图形性质，解题的关键是将图形中的线段的长度与点的坐标联系起来，充分利用数形结合表示三角形的面积.二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11若，则_________．【答案】【解析】【分析】直接利用立方根的定义计算得出答案．【详解】解：∵，∴．故答案为：．【点睛】本题考查求一个数的立方根，掌握立方根的概念正确计算是解题关键．12.在平面直角坐标系中，点P（2，﹣5）到y轴的距离是_____．【答案】2【解析】【分析】根据横坐标的绝对值就是点到y轴的距离求解即可．【详解】点P（2，﹣5）到y轴的距离是2故答案为：2【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，横坐标的绝对值就是点到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是点到x轴的距离，掌握坐标的意义是解题的关键．13.如图，两条直线相交于点O，若，则____________度．【答案】【解析】【分析】根据对顶角相等，以及，即可求解．【详解】解：∵，，∴．故答案为：32．【点睛】本题考查了对顶角相等，掌握对顶角相等是解题的关键．14.若，是关于、的二元一次方程的解，则_____．【答案】【解析】【分析】把代入二元一次方程中即可求的值．【详解】把代入二元一次方程中，，解得．故答案是：．【点睛】本题运用了二元一次方程的解的知识点，运算准确是解决此题的关键．15.如图是一条长方形纸片，已知，则_________．【答案】##度【解析】【分析】由题意可知，图形由长方形纸条折叠得到，则折痕是角平分线，长方形的上下两条边互相平行，据此求解即可．【详解】如图：∵长方形纸条经过折叠得到，∴，上下两边互相平行，∵∴，∴；故答案为：．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和折叠的性质，熟练地掌握平行线的性质和是解题的关键．16.为了从2018枚外形相同的金蛋中找出唯一的有奖金蛋，检查员将这些金蛋按1﹣2018的顺序进行标号．第一次先取出编号为单数的金蛋，发现其中没有有奖金蛋，他将剩下的金蛋在原来的位置上又按1﹣1009编了号（即原来的2号变为1号，原来的4号变为2号……原来的2018号变为1009号），又从中取出新的编号为单数的金蛋进行检验，仍没有发现有奖金蛋……如此下去，检查到最后一枚金蛋才是有奖金蛋，问这枚有奖金蛋最初的编号是_____．【答案】1024【解析】【详解】分析：根据题意可得每次挑选都是去掉偶数，进而得出需要挑选的总次数进而得出答案．详解：∵将这些金蛋按1﹣2018的顺序进行标号，第一次先取出编号为单数的金蛋，发现其中没有有奖金蛋，∴剩余的数字都是偶数，是2的倍数，；∵他将剩下的金蛋在原来的位置上又按1﹣1009编了号，又从中取出新编号为单数的金蛋进行检验，仍没有发现有奖金蛋，∴剩余的数字为4的倍数，以此类推：2018→1009→504→252→126→63→31→15→7→3→1共经历10次重新编号，故最后剩余的数字为：210=1024．故答案为1024．点睛：此题主要考查了推理与论证，正确得出挑选金蛋的规律进而得出挑选的次数是解题关键．三、解答题（共9小题，17，18，19每小题6分，20，21每小题8分，22，23每小题9分，24，25每小题10分，共72分）17.计算：．【答案】【解析】【分析】先根据乘方运算、绝对值的意义，算术平方根的运算化简，再进行加减运算即可．【详解】．【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握各个运算法则是解题的关键．18.解方程组：．【答案】【解析】【分析】直接利用代入消元法解二元一次方程组即可．【详解】由①式得，代入②式得，解得，将代入①式，得，得，∴原方程组的解为．【点睛】本题考查了代入消元法解二元一次方程组，熟练掌握知识点是解题的关键．19.已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分．（1）求，，的值；（2）求平方根．【答案】（1），，（2）【解析】【分析】（1）根据立方根、算术平方根以及估算无理数的大小即可求，，的值；（2）将，，的值代入求出结果，再根据平方根的定义进行解答即可．【小问1详解】解：∵的立方根是，的算术平方根是，∴，，∴，，∵，是的整数部分，∴，∴，，的值是：，，；【小问2详解】∵，，，∴，∴的平方根是．【点睛】本题考查立方根、平方根、算术平方根以及无理数的估算，求代数式的值．理解立方根、平方根、算术平方根的定义是正确解答的前提．20.已知：如图，，且平分，．求证：．请完善证明过程，并在括号内填上相应依据．证明：∵平分（已知），∴________=________（角平分线的定义）．又∵（已知），∴（等量代换），∴________________（________________________）．∵（已知），∴________（________________________），∴（________________________），∴（垂直的定义）．【答案】；；；；内错角相等，两直线平行；；垂直的定义；两直线平行，同位角相等【解析】【分析】利用角平分线的意义得出，结合已知条件，继而求出，根据平行线的判定即可证明，再根据垂直的定义和平行线的性质证明即可．【详解】证明：∵平分（已知），∴（角平分线的定义）．又∵（已知），∴（等量代换），∴（内错角相等，两直线平行）．∵（已知），∴（垂直的定义）∴（两直线平行，同位角相等）∴（垂直的定义）．故答案为：；；；；内错角相等，两直线平行；；垂直的定义；两直线平行，同位角相等．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键．21.如图，，．（1）求证：；（2）若，平分，求的度数．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等得，结合已知条件可得，根据同旁内角互补，即可证明两直线平行；（2）根据角平分线的定义和平行线的性质即可求解．【小问1详解】证明：∵，∴，又∵，∴，∴．【小问2详解】∵平分，∴，∵，，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的意义，熟练掌握知识点是解题的关键．22.如图，在平面直角坐标系中，，，．将三角形向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，可以得到三角形，其中点、、分别与点、、对应．（1）画出平移后的三角形，并直接写出、、三个点的坐标；（2）求三角形的面积；（3）已知点在轴上，以、、为顶点的三角形面积为，求点的坐标．【答案】（1）图见解析，，，（2）（3）或【解析】【分析】（1）将的三个顶点、、分别向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到对应点、、，再首尾顺次连接即可，根据点在直角坐标系的位置写出坐标即可；（2）根据梯形面积减去两个三角形的面积即可求解；（3）利用三角形的面积公式并结合点到轴的距离求出的值，即可得到点的坐标．【小问1详解】解：如图所示，∵三角形向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到三角形，∴将点、、分别向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到对应点、、，连接、、．则即为所作．根据图形可知，，，．【小问2详解】记，，则．【小问3详解】∵以、、为顶点的三角形面积为，∴，，∵，∴或．【点睛】本题主要考查作图—平移变换，三角形的面积，点到坐标轴的距离，两点间的距离等知识，解题的关键是掌握平移变换的定义和性质，并据此得出平移后的对应点．23.某中学七年级（1）班去体育用品商店买一些篮球和排球，供班上同学进行体育锻炼时使用，共买了2个篮球和6个排球，花元，并且每个排球比篮球便宜元．（1）求篮球和排球的单价各是多少；（2）商店里搞活动，有两种套餐，①套餐打折：五个篮球和五个排球为一套餐，套餐打八折；②满减活动：满减，满减；两种活动不重复参与，学校打算购买个篮球，个排球，请问如何安排更划算？【答案】（1）篮球每个元，排球每个元；（2）选用套餐①购买更划算，理由见解析【解析】【分析】（1）设篮球单价为每个元，排球单价为每个元，根据买了2个篮球和6个排球，花元，并且每个排球比篮球便宜元，列方程组求解即可得到答案；（2）分别计算两种活动方案费用比较即可得到答案；【小问1详解】解：设篮球单价为每个元，排球单价为每个元，由题意可得，解方程组得，答：篮球每个元，排球每个元；【小问2详解】解：若按照①套餐打折购买费用：（元），若参加②满减活动购买费用为：（元），又，所以（元）．而，所以选择套餐①所花费用比选择套餐②所花费用低．答：选用套餐①购买更划算．【点睛】本题考查二元一次方程组解决实际应用问题及择优方案问题，解题的关键是根据题意找到等量关系式．24.在平面直角坐标系中，已知不同的两点，，若，则称点P与点Q互为k倍点；（1）已知点，点C在一条平行于y轴且经过点的直线上，它与点A互为倍点，求点C；（2）已知点，对于任意实数k，是否存在x轴上的点D，使得它与点B互为k倍点，若存在，请求出点D的个数，若不存在，请说明理由；（3）已知两点，，若点M与点N互为k倍点，且都在x轴下方，将线段向右平移k个单位长度，点M的对应点为点G，点N的对应点为点H，平移后点H到x轴的距离为2，四边形的面积为，求点M与点N．【答案】（1）点或（2）当时，轴上有无数个点与点互为倍点，当时，轴上不存在点与点互为倍点（3），【解析】【分析】（1）由题意可设点，则有，然后问题可求解；（2）设点，若存在点与点互为倍点，则，然后可分当时和当时，进而分类求解即可；（3）由题意易得，，则有，然后可得，进而根据题中所给定义可进行求解．【小问1详解】解：由题意可设点，则有，即，∴或，∴点或．【小问2详解】解：设点，若存在点与点互为倍点，则．当时，上式总是成立，有为任意实数且，∴此时存