新高考数学三轮冲刺天津卷押题练习第20题（原卷版）

导数综合考点2年考题考情分析导数大题2023年天津卷第20题2022年天津卷第20题导数作为高考的压轴大题，难度一直都是较大的，近两年高考在导数的第一问考察求导的基本运算，以及切线方程，第一问的难度较小，大多考生可以解决，后面的问题大多是证明的形式来考察，整体难度较大，涉及参数范围，极值点，最值，零点问题的研究，不等式的证明，函数的构造等。难度很大，考生需要对导数知识掌握透彻的同时了解一些高等数学的内容这样处理导数难题会有些帮助。题型一导数综合20．（16分）（2023•天津）已知函数SKIPIF1<0．（Ⅰ）求曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线斜率；（Ⅱ）当SKIPIF1<0时，求证：SKIPIF1<0；（Ⅲ）证明：SKIPIF1<0．20．（15分）（2022•天津）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0处的切线方程；（2）若SKIPIF1<0和SKIPIF1<0有公共点．（ⅰ）当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的取值范围；（ⅱ）求证：SKIPIF1<0．一、导数的应用1.在点的切线方程切线方程SKIPIF1<0的计算：函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，抓住关键SKIPIF1<0．2.过点的切线方程设切点为SKIPIF1<0，则斜率SKIPIF1<0，过切点的切线方程为：SKIPIF1<0，又因为切线方程过点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0然后解出SKIPIF1<0的值．（SKIPIF1<0有几个值，就有几条切线）3．函数的极值函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0附近有定义，如果对SKIPIF1<0附近的所有点都有SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0是函数的一个极大值，记作SKIPIF1<0．如果对SKIPIF1<0附近的所有点都有SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0是函数的一个极小值，记作SKIPIF1<0．极大值与极小值统称为极值，称SKIPIF1<0为极值点．求可导函数SKIPIF1<0极值的一般步骤（1）先确定函数SKIPIF1<0的定义域；（2）求导数SKIPIF1<0；（3）求方程SKIPIF1<0的根；（4）检验SKIPIF1<0在方程SKIPIF1<0的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数SKIPIF1<0在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数SKIPIF1<0在这个根处取得极小值.注①可导函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处取得极值的充要条件是：SKIPIF1<0是导函数的变号零点，即SKIPIF1<0，且在SKIPIF1<0左侧与右侧，SKIPIF1<0的符号导号.②SKIPIF1<0是SKIPIF1<0为极值点的既不充分也不必要条件，如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数SKIPIF1<0，在极小值点SKIPIF1<0是不可导的，于是有如下结论：SKIPIF1<0为可导函数SKIPIF1<0的极值点SKIPIF1<0；但SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的极值点.4．函数的最值函数SKIPIF1<0最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数SKIPIF1<0最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．一般地，设SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的函数，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内有导数，求函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值与最小值可分为两步进行：（1）求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内的极值（极大值或极小值）；（2）将SKIPIF1<0的各极值与SKIPIF1<0和SKIPIF1<0比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.【常用结论】（1）若函数SKIPIF1<0在区间D上存在最小值SKIPIF1<0和最大值SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0在区间D上恒成立SKIPIF1<0；不等式SKIPIF1<0在区间D上恒成立SKIPIF1<0；不等式SKIPIF1<0在区间D上恒成立SKIPIF1<0；不等式SKIPIF1<0在区间D上恒成立SKIPIF1<0；（2）若函数SKIPIF1<0在区间Ｄ上存在最小值SKIPIF1<0和最大值SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则对不等式有解问题有以下结论：不等式SKIPIF1<0在区间D上有解SKIPIF1<0；不等式SKIPIF1<0在区间D上有解SKIPIF1<0；不等式SKIPIF1<0在区间D上有解SKIPIF1<0；不等式SKIPIF1<0在区间D上有解SKIPIF1<0；（3）对于任意的SKIPIF1<0，总存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0；（4）对于任意的SKIPIF1<0，总存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0；（5）若存在SKIPIF1<0，对于任意的SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0；（6）若存在SKIPIF1<0，对于任意的SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0；（7）对于任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0；（8）对于任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0；（9）若存在SKIPIF1<0，总存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0（10）若存在SKIPIF1<0，总存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0．三、导数中不等式的证明证明不等式的过程中常使用构造法，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的构造方法有：(1)直接构造法：证明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))转化为证明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)；(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如①对数形式：x≥1＋lnx（x＞0），当且仅当x＝1时，等号成立.②指数形式：ex≥x＋1（x∈R），当且仅当x＝0时，等号成立.进一步可得到一组不等式链：ex＞x＋1＞x＞1＋lnx（x＞0，且x≠1）.(3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数；(4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数f(x)和g(x)，利用其最值求解．在证明过程中，等价转化是关键，此处f(x)min>g(x)max恒成立．从而f(x)>g(x)，但此处f(x)与g(x)取到最值的条件不是同一个“x的值”．【常用结论】1.破解含双参不等式证明题的3个关键点（1）转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式.（2）巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值.（3）回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.总结：双变量相关问题，解题策略是减少变量，方式为一个变量用另一个变量表示，或将两变量的整体换元，如下列形式SKIPIF1<0等常见形式2.常见不等式（大题使用需要证明）①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0②SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0③SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0④SKIPIF1<0；SKIPIF1<0⑤SKIPIF1<0；SKIPIF1<0⑥SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0一．解答题（共20小题）1．已知函数SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的单调区间；（2）证明：SKIPIF1<0；（3）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0（a）SKIPIF1<0（b）SKIPIF1<0．2．已知函数SKIPIF1<0的图象在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0处的切线经过点SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的值及函数SKIPIF1<0的单调区间；（2）若关于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上恒成立，求正实数SKIPIF1<0的取值范围．3．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为函数SKIPIF1<0的极值点，直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（a）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（Ⅰ）求SKIPIF1<0的解析式及单调区间；（Ⅱ）证明：直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0交于另一点SKIPIF1<0；（Ⅲ）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．（参考数据：SKIPIF1<04．已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为自然对数的底数）．（Ⅰ）求函数SKIPIF1<0的单调区间；（Ⅱ）设SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，求证：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；（Ⅲ）若SKIPIF1<0存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求证：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．5．已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围；（2）求证：SKIPIF1<0存在唯一极大值点SKIPIF1<0，且知SKIPIF1<0；（3）求证：SKIPIF1<0．6．已知函数SKIPIF1<0．（1）求函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0处的切线方程；（2）求函数SKIPIF1<0的最小值；（3）函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．7．设函数SKIPIF1<0．（Ⅰ）求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0处的切线方程；（Ⅱ）设函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得极值，求SKIPIF1<0的单调区间；SKIPIF1<0若SKIPIF1<0存在两个极值点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．8．已知函数SKIPIF1<0是自然对数的底数）．（1）当SKIPIF1<0时，求函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0处的切线方程；（2）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0求证：函数SKIPIF1<0存在唯一的极值点SKIPIF1<0；SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的零点，SKIPIF1<0，求证SKIPIF1<0．9．已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0．（1）当SKIPIF1<0时，求曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线方程；（2）若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0存在三个零点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0求实数SKIPIF1<0的取值范围；SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．10．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0的图象在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0处的切线与SKIPIF1<0轴平行或重合．（1）求SKIPIF1<0的值；（2）若对SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的取值范围；（3）利用如表数据证明：SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<01.0100.9902.1820.4582.2040.45412．已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）讨论SKIPIF1<0的单调区间；（2）当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0．①证明：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；②若数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．13．已知函数SKIPIF1<0．（Ⅰ）求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0处的切线方程；（Ⅱ）求SKIPIF1<0的单调区间；（Ⅲ）若对于任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的取值范围．14．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0．（1）当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的单调区间；（2）当SKIPIF1<0时，设SKIPIF1<0的导函数为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0恒成立，求证：存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0；（3）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若存在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，