《微波技术与天线》课件第1章

第1

章传输线理论1.1引言1.2传输线方程及其解1.3传输线的特性参量1.4均匀无耗传输线的工作状态分析1.5Smith圆图1.6传输线的阻抗匹配1.7Smith圆图的计算机解1.8微带传输线本章小结第一篇微波技术1.1引言1.1.1传输线的概念凡是用来传输电磁能量的导体、介质系统均可称为传输线。通常可按使用于哪个波段来分类，分为“低频传输线”和“高频传输线”，又把米波、分米波、厘米波乃至毫米波等的传输线统称为“微波传输线”。微波传输线不仅可以引导电磁波沿一定的方向传输，还可用来构成各种微波元件。1.1.2传输线的种类传输线种类繁多，图1.1-1所示为常用的一些传输线。按其传输的电磁波型，大致可分为三种类型：①TEM波传输线；②TE波和TM波传输线；③混合型传输线。图1.1-1微波传输线的主要类型1.2传输线方程及其解1.2.1传输线方程传输线方程也称电报方程。在沟通大西洋电缆(海底电缆)时，开尔芬首先发现了长线效应：电报信号的反射、传输都与低频时有很大的不同。经过仔细研究，才知道当线长与波长可比拟或超过波长时，必须计及其波动性，这时传输线也称长线，如图1.2-1所示。图1.2-1微波传输线及其线元Δz的等效电路传输线方程是研究传输线上电压、电流变化规律及其相互关系的方程。传输线上电压u和电流i均是距离和时间的函数，即

(1.2-1)

利用基尔霍夫(Kirchhoff)定律，有(1.2-2)式中，L、

C、R和G均为传输线单位长度的分布电感、分布电容、线上的分布电阻和线间的分布电导。表1.2-1给出了常用微波传输线中双导线和同轴线的分布参数表1.2-1双导线和同轴线的分布参数的计算公式

注：为导线的电导率，、和分别为导线周围介质材料的介电常数、磁导率和电导率。当Δz→0时，有

(1.2-3)

式(1.2-3)是均匀传输线方程或称为电报方程。由于电压和电流随时间作简谐变化，其瞬时值u、i与其复数振幅的关系为

(1.2-4)式(1.2-4)中，u(z)、i(z)只与z有关，表示在传输线z处的电压或电流的有效复值。将式(1.2-4)代入式(1.2-3)，可得

(1.2-5)式中，Z=R+jωL，表示单位长度的串联阻抗；Y=G+jωC，表示单位长度的并联导纳。Z与Y是互相独立的两个参量，并非互为倒数。对式(1.2-5)二次求导的结果为再将式(1.2-5)代入上式，得均匀传输线的波动方程为(1.2-6)式中γ2=ZY=(R+jωL)(G+jωC)

式(1.2-6)是标准的二阶齐次微分方程，其通解为(1.2-7)式中，A1、A2的确定还需要传输线始端或终端的边界条件。式(1.2-7)称为传输线方程之通解的复数形式。在式(1.2-7)中，由于很易得到式中(1.2-8)对于有耗传输线，

Z0和γ均为复数，其中Z0为传输线的特性阻抗；γ=α+jβ，为传输线的传输常数，而γ的实部α称为衰减常数，虚部β称为相移常数。

【注】常用衰减常数α、

Q值和效率来表示传输线的损耗。①衰减常数：单位长度有耗传输线对单向波振幅的衰减量，即(1NP=8.686dB或1dB=0.115NP)(奈培/米)(分贝/米)NP/m②有耗传输线的Q值由导体损耗对应的Qc值和由介质损耗对应的Qd值构成，其中tanδ称为介质损耗正切。，③有耗传输线的效率：负载吸收功率与有耗传输线的输入功率之比，即1.2.2均匀无耗传输线方程的解

1．通解分布参数L、C、R和G均为常量的传输线称为均匀传输线。当R=0和G=0时，均匀传输线称为均匀无耗传输线。事实上，理想的无耗传输线是不存在的。但通常传输线都是由良导体制成的，介质的高频损耗也不大，因此，条件R<<ωL，G<<ωC基本是满足的，故可近似当作无耗传输线分析。只有在传输线比较长或专门分析传输的损耗功率和传输效率时，才作为有耗传输线分析。对于均匀无耗传输线，由式(1.2-3)得(1.2-9)式(1.2-9)即为时域中的均匀无耗传输线方程。由式(1.2-5)得(1.2-10)式(1.2-10)即为复频域中的均匀无耗传输线方程。对式(1.2-10)二次求导的结果为(1.2-11)(1.2-12)式(1.2-11)为均匀无耗传输线的波动方程，其中β=ω

，为相移常数。求解的结果为在式(1.2-12)中，由于很易得到式中为传输线的特性阻抗，而A1、A2的确定还需要边界条件。式(1.2-12)称为传输线方程之通解的复数形式。(1.2-13)(1.2-14)

将式(1.2-12)代入式(1.2-4)，并令A1=|A1|，A2=|A2|，得通解的瞬时形式为

引入入射波与反射波的概念，可将通解的瞬时形式表示为(1.2-15)(1.2-16)式中分别表示由信号源向负载传播的电压和电流的入射波；(1.2-17)分别表示由负载向信号源传播的电压和电流的反射波。

2．特解把通解转化为特解，必须应用边界条件。边界条件有终端边界条件、源端边界条件和电源、阻抗条件。有两套坐标：一个是z从源出发，另一个则是z′从负载出发，如图1.2-2所示。图1.2-2边界条件坐标系(z+z′=l)

1)终端边界条件已知Ul和Il，即代入式(1.2-12)，得联立求解得再代入式(1.2-12)，得(1.2-18)对于终端边界条件场合，常采用z′(终端出发)坐标系，即z′=l-z，利用欧拉(Euler)公式最后得到(1.2-19)将特解表示成入射波与反射波的叠加，式(1.2-15)同样可以写成入射波与反射波的叠加形式(1.2-20)式中(1.2-21)(1.2-22)2)源端边界条件已知U0和I0，即在求解时，形式与终端边界条件相同，(1.2-23)(1.2-24)最后得到(1.2-25)3)电源、阻抗条件已知Eg、Zg和Zl，即先考虑源端条件即(1.2-26)再考虑终端条件所以即(1.2-26)式(1.2-26)和(1.2-27)构成线性方程组其中分别为电源和负载的反射系数。因此得(1.2-28)最后得(1.2-29)1.3传输线的特性参量传输线的特性参量主要包括传播常数、特性阻抗、相速和相波长、反射系数、输入阻抗、驻波比(行波系数)和传输功率等。(1.3-1)1.3.1相波长和相移常数相波长λg定义为在同一时刻传输线上单向波的相位相差为2π的两点间的距离。以式(1.2-16)中的电压入射波为例。若某一瞬时，电压入射波中z1、

z2两点间的相位差为2π，即(ωt+βz1+φ1)-(ωt+βz2+φ1)=2π，则λg=z1-z2，得1.3.2特性阻抗特性阻抗定义为传输线上入射波电压与入射波电流之比，即(1.3-2)由式(1.2-22)，特性阻抗的定义式还可写成(1.3-3)

【例1.3-1】

均匀无耗同轴线的内导体外半径和外导体内半径分别为0.8mm和1.0mm，内外导体间填充介质的εr=2.5，μr=1。计算该同轴线的特性阻抗。解由ε=ε0εr，μ=μ0μr，利用表1.2-1中的公式得同轴线的分布参数将同轴线分布参数代入式(1.2-13)，得【注】自由空间介电常数自由空间磁导率1.3.3相速相速(也称为相速度)定义为传输线上单向波的等相位面行进的速度。仍以电压入射波为例，由式(1.2-16)可知，其相位为其等相位面方程为取微分得于是(1.3-4)将ω=2πf和式(1.3-1)代入式(1.3-4)，得(1.3-5)(1.3-6)将β=ω

代入式(1.3-4)，有利用表1.2-1中的公式，由式(1.3-6)得(1.3-7)式中，c=3×108m/s，为真空中的光速；称为缩短系数。1.3.4传输线的反射系数Γ和输入阻抗Z

在电路理论中习惯于用阻抗来反映电流与电压的关系，所以这里引入输入阻抗的概念来反映传输线上电流和电压的关系。任何传输线上的电压函数只能是入射波和反射波的叠加，即为了反映传输线上入射波和反射波的关系，引入反射系统的概念。也就是说，反映传输线上任何一点特性的参量是反射系数Γ和输入阻抗Z，如图1.3-1所示。图1.3-1端接负载的一段传输线

1.反射系数Γ

传输线上的电压和电流可表示为(1.3-8)传输线上任一点处的反射电压与入射电压之比，称为该点的反射系数。由式(1.3-8)知(1.3-9)负载反射系数(1.3-10)负载反射系数与传输线上任意点处z′的输入反射系数之间的关系为(1.3-11)应用反射系数定义后，线上的电压和电流可以表示为(1.3-12)从以上的定义可知反射系统具有以下性质：

(1)反射系数的模是无耗传输线系统的不变量(1.3-13)(2)反射系数的模不大于1，即

|Γ(z′)|≤1(1.3-14)(3)反射系数呈周期性(1.3-15)

2.阻抗Z

传输线上任意点z′处的电压与电流之比称为该点的输入阻抗，根据式(1.2-19)，输入阻抗为(1.3-16)考虑到Zl=Ul/Il，整理得(1.3-17)由上式可以得到输入阻抗的性质：

(1)负载阻抗Zl通过传输线段z′变换成Z(z′)，因此传输线对于阻抗有变换器的作用。

(2)阻抗有周期特性，tanβz′周期是π，即半波的整数倍mλg/2，(1.3-18)(3)1/4波长的传输线具有变换阻抗性质的作用，即(1.3-19)

；

；在许多情况下，例如并联电路的阻抗计算，采用导纳比较方便，无耗传输线的输入导纳表达式为(1.3-21)式中，Y0=1/Z0，为特性导纳；Yl=1/Zl，为负载导纳。(1.3-20)

3.反射系数与阻抗的关系由以上微波传输线反射系数和阻抗的定义中可以方便地得到这两个参数之间的相互转化关系：

(1)传输线上任意点z′处：(1.3-22)(1.3-23)(2)终端z′=0处：(1.3-24)(1.3-25)1.3.5驻波比和行波系数当终端负载阻抗与传输线的特性阻抗不相等时，线上不仅有入射波，而且还存在反射波，这种情况称为负载与传输线不匹配(失配)。电压(或电流)驻波比ρ定义为沿线合成波电压的最大模值与最小模值之比，即(1.3-26)由式(1.2-20)、(1.2-21)和(1.2-22)知(1.3-27)于是(1.3-28)或(1.3-29)有时也可用行波系数表示传输线反射波的相对大小，即失配程度。行波系数K定义为沿线合成波电压的最小模值与最大模值之比，即(1.3-30)因此，传输线上反射波的大小可用反射系数的模、驻波比和行波系数这三个参量来描述。反射系数模的变化范围为0≤|Γl|≤1；驻波系数的变化范围为1≤ρ≤∞；行波系数的变化范围为0≤K≤1。传输线的工作状态一般分为三种：①负载无反射的行波状态，即阻抗匹配状态，此时有|Γl|=0,ρ=1,K=1；②负载全反射的驻波状态，此时有|Γl|=1,ρ=∞,K=0；③负载部分反射的行驻波状态，此时有0<|Γl|<1，1<ρ<∞，0<K<1。传输线的工作状态与工作参数之间的关系如表1.3-1所示。表1.3-1传输线的工作状态与工作参数之间的关系

【例1.3-2】

在一均匀无耗传输线(εr=1,μr=1)上传输频率为3GHz的信号，已知其特性阻抗Z0=100Ω，终端接Zl=75+j100Ω的负载。试求：

(1)传输线上的驻波系数；

(2)离终端10cm处的反射系数；

(3)离终端2.5cm处的输入阻抗。解

(1)终端反射系数为因此，驻波系数为(2)已知信号频率为3GHz，则其波长为

(3)由于2.5cm=λg/4，根据传输线λg/4的变换性，即所以，有

【例1.3-3】

传输线电路如图1.3-2所示。试求：

(1)AA′点的输入阻抗；

(2)B、C、D、E各点的反射系数；

(3)AB、BC、CD、BE各段的驻波比。图1.3-2例1.3-3题图

解求解时应先支路后干线，从负载端向信号源端的次序解题。题中，AB、BC、CD、BE段都是无耗均匀传输线，通常称AB段为主线。

(1)AA′点的输入阻抗(2)B、C、D、E各点的反射系数(3)AB、BC、CD、BE各段的驻波比1.3.6传输功率均匀无耗传输线上任意点z′处的电压和电流可表示为(1.3-31)传输功率的一般表示式(1.3-32)对于无耗传输线，Z0为实数，且Re［Γ(z′)-Γ*(z′)］≡0，入射功率表示为(1.3-33)则反射功率可表示为(1.3-34)于是(1.3-35)1.4均匀无耗传输线的工作状态分析1.4.1行波状态(无反射情况)如果传输线负载Zl=Z0或无限长传输线根据源端边界条件(1.4-1)将上式代入式(1.2-14)得电压、电流分布的瞬态形式为(1.4-2)如图1.4-1所示，由此可知行波状态下的分布规律：(1)线上电压和电流的振幅恒定不变；

(2)电压行波和电流行波同相，它们的相位是位置和时间的函数，即φ=ωt-φ1-βz；

(3)线上的阻抗处处相等，且等于特性阻抗，即Z(z)=Z0；

(4)信号源输入的功率全部被负载吸收，传输功率为(1.4-3)图1.4-1传输线的行波状态1.4.2驻波状态(全反射情况)如果传输线负载Zl=0,Zl=∞,或Zl=jXl，

1.短路状态(Zl=0)在短路状态，，此条件说明。(1.4-4)将上式代入式(1.2-14)，得电压、电流分布的瞬时表达式(1.4-5)将Zl=0代入式(1.3-17)，得沿线阻抗分布(1.4-6)线上的传输功率为(1.4-7)传输线的短路状态如图1.4-2所示。图1.4-2传输线的短路状态由此可见，短路时的驻波状态分布规律如下：(1)电压、电流振幅沿线周期变化，周期为λg/2。电压、电流节点值为|u(z′)|=0，|i(z′)|=0，腹点值为行波值的2倍。其中：电压振幅按正弦函数的模值分布，节点和腹点以λg/4间距交替出现，在z′=mλg/2(m=0,1,…)处是电压的波节点，在z′=(2m+1)λg/4(m=0,1,…)处是电压的波腹点；电流振幅按余弦函数的模值分布，节点和腹点也是以λg/4间距交替出现的，在z′=mλg/2(m=0,1,…)处是电流的波腹点，在z′=(2m+1)λg/4(m=0,1,…)处是电流的波节点。

(2)传输线阻抗沿线周期变化，周期为λg/2。在z′=

(m=0,1,…)处可等效为LC串联谐振电路；在z′=

(m=0,1,…)处可等效为LC并联谐振电路；在<z′<

(m=0,1,…)范围内，传输线阻抗呈感性，短路线等效为一电感；在(2m-1)

(m=1,2,…)范围内，传输线阻抗呈容性，短路线等效为一电容。

(3)驻波状态下，传输线不能传输功率。

2.开路状态

(Zl=∞)在开路状态，，此条件说明。与短路状态分析相类似，有(1.4-8)将上式代入式(1.2-14)，得电压、电流分布的瞬时表达式(1.4-9)将Zl=∞代入式(1.3-17)，得沿线阻抗分布(1.4-10)线上的传输功率为传输线的开路状态如图1.4-3所示。图1.4-3传输线的开路状态3.纯电抗负载(Zl=jXl)在终端接纯电抗负载时，(1.4-11)式中(1.4-12)

1)终端接纯感抗负载(Xl>0)用延长线法将此纯感抗负载等效为一段长度为l0(l0<λg/4)的终端短路线，如图1.4-4(a)所示。长度l0可由下式确定：(1.4-13)

2)终端接纯容抗负载(Xl<0)用延长线法将此纯电抗负载等效为一段长度为l0(λg/4<l0<λg/2)的终端短路线，如图1.4-4(b)所示。长度l0可由下式确定：(1.4-14)图1.4-4传输线终端接纯电抗状态1.4.3行驻波状态如果传输线负载Zl=Rl+jXl且Zl≠Z0，0，∞和jXl时，负载反射系数为(1.4-15)其中(1.4-16)此时有0<|Γ(z′)|<1，1<ρ<∞，0<K<1。沿传输线上的电压、电流为(1.4-17)对于无耗传输线，ρ不会小于1。再次写出电压、电流表达式(1.4-18)于是(1.4-19)(1.4-20)(1.4-21)式中，。行驻波状态的电压、电流振幅分布如图1.4-5所示，其特点是：

(1)电压、电流振幅分布介于行波状态与驻波状态之间，即，，(2)电压腹点(节点)与电流腹点(节点)振幅的相互关系为(1.4-22)(3)任意z′处的阻抗为(1.4-23)图1.4-5行驻波状态的电压、电流振幅分布

画出传输线行驻波状态的阻抗图形，如图1.4-6所示，其性质如下：①行驻波阻抗依然有波长周期性。②感性和容性(也可以说是串联谐振和并联谐振)电抗有变换性质。③在电压波节点，阻抗为纯阻，但最小，即(1.4-24)在电压波腹点，阻抗也是纯阻，但最大，即(1.4-25)图1.4-6传输线行驻波状态的阻抗图形(4)根据式(1.3-35)，传输功率的一般表示式为(1.4-26)①对于行波传输线，Γ(z′)=0，(1.4-27)②对于全驻波传输线，|Γ(z′)|=1，(1.4-28)③对于行驻波传输线，在电压波腹点或波节点处，由于阻抗是纯阻，因此电压、电流必然同相，有(1.4-29)1.5Smith圆图1.5.1Smith圆图的基本思想

1．特征参数归一思想

1)阻抗归一不同的系统有不同的特性阻抗Z0，极难统一表述。为了统一和便于研究，常常提出归一化概念，即称阻抗(1.5-1)为归一化阻抗。这样，就把问题的共性(与Z0无关的部分)提取出来了。于是有(1.5-2)(1.5-3)

2)电角度归一电角度归一表示为电角度归一不仅包含了特征参数β，而且隐含了角频率ω(β=ω

，β=2π/λg)。

2．采用|Γ|作为Smith圆图的基底在无耗传输线中，|Γ|是系统的不变量。以|Γ|为0～1的同心圆作为Smith圆图的基底，使一有限空间表示全部工作参数Γ、Z(或Y)和ρ。即(1.5-4)

3．用阻抗(或导纳)与驻波比的关系套覆|Γ|圆

这样，Smith圆图的基本思想可描述为：消去特征参数Z0，把β归于Γ的相位；工作参数Γ为基底；套覆(z′)和ρ。图1.5-1反射系数Γ图

1.阻抗圆图

1)反射系数Γ圆以原点为中心、反射系数的模|Γ|为半径所画的圆称为等反射系数圆，如图1.5-1所示。反射系数圆最重要的概念是相角走向。这可由式(1.5-3)看出。式(1.5-3)中，z′是向电源的，因此，向电源是反射系数的负角方向(顺时针方向)；反之，向负载是反射系数的正角方向(逆时针方向)。2)归一化阻抗圆已知设则有(1.5-5)分开实部和虚部，得两个方程(1.5-6)先考虑式(1.5-6)中实部方程得到如图1.5-2所示的归一化等电阻圆方程(1.5-7)(1.5-8)

相应的圆心坐标是，而半径是，圆心在实轴上。考虑到归一化等电阻圆始终和直线Γr=1相切。表1.5-1给出了不同r值时，归一化等电阻圆的变化情况，对应的归一化等电阻圆如图1.5-2所示。图1.5-2归一化等电阻表1.5-1不同r值时，归一化等电阻圆的变化情况再考虑式(1.5-6)中虚部方程即(1.5-9)式(1.5-9)表示归一化等电抗圆方程，其圆心是(1，1/x)，半径是|1/x|。表1.5-2给出了不同x值时，归一化等电抗圆的变化情况，对应的归一化等电抗圆如图1.5-3所示。表1.5-2不同x值时，归一化等电抗圆的变化情况图1.5-3归一化等电抗将上述归一化等电阻圆和归一化等电抗圆叠加在等反射系数圆上即得到完整的阻抗圆图，如图1.5-4所示。通常为了使圆图清晰起见，反射系数圆不画出。用圆外的度数和波长数标度代替反射系数的等相位φ线，而反射系数的模|Γ|与驻波比ρ是一一对应的，根据式(1.4-25)，电压波腹点的归一化阻抗r等于驻波比ρ，而电压波腹点的轨迹为φ=0(正实轴)，因此圆图纯电阻线(实轴)上r≥1的读数即为驻波比的值。图1.5-4Smith阻抗圆图

2.导纳圆图微波电路中常用并联元件构成，这种情况下用导纳计算比较方便。用以计算导纳的圆图称为导纳圆图。导纳表示为(1.5-10)图1.5-5归一化等电导归一化等电导圆与直线Γr=-1相切，如图1.5-5所示。令，完全类似，可导出电导圆方程(1.5-12)(1.5-11)其中，圆心坐标是(

0)，半径为,考虑到，图1.5-6归一化等电纳

其圆心是(-1,-1/b)，半径是|1/b|，也可对应画出归一化等电纳曲线，如图1.5-6所示。将归一化等电导圆、归一化等电纳圆叠加在反射系数圆上即得到导纳圆图。实际上，导纳圆图不需另行绘制，它可由阻抗圆图得到。对比阻抗和导纳，在归一化情况下，恰好是反演关系，即(1.5-14)1.5.3Smith圆图的应用

Smith圆图是微波工程和天线工程设计的重要工具，广泛应用于阻抗、导纳、阻抗匹配及元件的计算。

【例1.5-1】

已知阻抗Z=50+j50Ω，Z0=50Ω，求导纳Y。

解如图1.5-7所示，首先进行阻抗归一化并找到相应的导纳值，然后进行反归一并得到导纳值。图1.5-7例1.5-1图

【例1.5-2】

已知阻抗，求反射系数Γ和ρ。解如图1.5-8所示，首先在圆图上找到归一化阻抗的对应点，利用等反射系数|Γ|对系统处处有效，可以得到ρ=2.6，则有图1.5-8例1.5-2图

【例1.5-3】

在如图1.5-9所示的电路中，已知Zl=100+j50Ω，Z0=50Ω。求距负载l=0.24λg处的Zin。

解如图1.5-10所示，先将负载阻抗归一化，即，并在圆图上找到相应的点，并向电源方向旋转0.24λg，找到对应的输入阻抗然后进行反归一化，得到图1.5-9例1.5-3图图1.5-10例1.5-3l解图图1.5-11例1.5-4解图

【例1.5-4】

在Z0为50Ω的均匀无耗传输线上ρ=5，电压波节点距负载λg/3。求负载阻抗。

解如图1.5-11所示，找到对应的波节点向负载方向旋转λg/3，得到反归一化后，得到1.6传输线的阻抗匹配1.6.1阻抗匹配的概念

1．共轭匹配传输线的输入阻抗和信号源的内阻互为共轭值时称为共轭匹配。设信号源的内阻抗为Zg=Rg+jXg，传输线的输入阻抗为Zin=Rin+jXin，如图1.6-1所示。共轭匹配时有Zg=，即(1.6-1)，此时，信号源输出最大功率共轭匹配时并不意味着无反射，因输入阻抗Zg一般为复值，在一般情况下传输线上电压及电流仍呈行驻波分布，因此并不是微波电路理想的匹配状态。图1.6-1共轭匹配2．负载匹配负载匹配指负载与传输线之间的阻抗匹配(Zl=Z0)。此时传输线能最有效地将微波功率传输到负载。[BT4][STHZ]3．信号源匹配信号源匹配指信号源与传输线之间的阻抗匹配(Zg=Z0)。满足条件Zg=Z0的信号源称为匹配信号源。

为使图1.6-1所示的微波电路呈行波状态，必须满足条件Zg=Zl=Z01.6.2阻抗匹配的方法阻抗匹配大致分成两大类：电阻性负载匹配和任意负载匹配。

1．电阻性负载匹配电阻性负载匹配对象是：Zl=Rl≠Z0。可采用一段特性阻抗为适当值、长度为λg/4的传输线即λg/4阻抗变换器进行负载匹配，如图1.6-2所示。图1.6-2λg/4阻抗变换器输入阻抗为容易得到匹配段的特性阻抗当传输线的终端负载不是纯电阻时，由于无耗传输线的特性阻抗是一个纯电阻(实数)，原则上，λg/4阻抗变换器只能对纯电阻进行匹配。因此，对于一般负载阻抗Zl=Rl+jXl，可采用下列两种方法。

(1)终端接入λg/4阻抗变换器时，先并联一段长度为l、特性阻抗为Z0的短路线，利用这段短路线将负载阻抗变换为纯电阻，再用λg/4阻抗变换器对纯电阻进行匹配。为了计算方便，将负载阻抗变为负载导纳，即则有短路线提供的输入电纳应满足所以，短路线的长度为并接短路线后，负载阻抗变成纯电阻，为因此，λg/4阻抗变换器的特性阻抗为(1.6-5)(1.6-4)

(2)在靠近终端的电压波腹点或波节点处接入λg/4阻抗变换器来实现阻抗匹配，因为此处的阻抗为纯电阻。若在电压波腹点接入λg/4阻抗变换器，则其特性阻抗为(1.6-6)若在电压波节点接入λg/4阻抗变换器，则其特性阻抗为(1.6-7)

【例1.6-1】

一均匀无耗传输线的特性阻抗为500Ω，负载阻抗Zl=200-j250Ω，通过λg/4阻抗变换器及并联支节线实现匹配，如图1.6-3所示。已知工作频率f=300MHz，求λg/4阻抗变换器特性阻抗Z01及并联短路支节线的最短长度lmin。图1.6-3例1.6-1图

解由于λg/4阻抗变换段只能对纯电阻负载实现匹配，而现负载为电容性负载，因而并联短路支节线的作用就是将电容性负载变换为电阻性负载。为了分析方便，将负载用导纳来表示，即传输线的工作频率f=300MHz，其对应的波长为相移常数为长度为lmin的并联短路支节线在ab端口的输入导纳为由Im(Yin+Yl)=0，得并联短路支节线最短长度为此时，端口ab处的等效电阻为根据传输线λg/4阻抗变换性，得λg/4阻抗变换段的特性阻抗为

2．电抗性负载匹配电抗性负载的匹配对象是：任意负载，其中rl≠0。可利用短路或开路传输线(称为支节)的电纳来抵消其接入处传输线上的电纳以达到匹配的目的。它分为单支节匹配、双支节匹配和三支节匹配。

1)单支节匹配单支节匹配原理如图1.6-4所示。支节匹配问题就是如何确定支节距负载的距离d和支节的长度l。由于短路支节并联，采用导纳圆图计算更为方便。分析支节匹配的方法均采用倒推法——由结果推向原因。图1.6-4单支节匹配结果要求(1.6-8)根据并联网络关系，有，并令(1.6-9)

【例1.6-2】

Z0=50Ω的无耗传输线接负载Zl=25+j75Ω。试采用并联单支节匹配法进行阻抗匹配。

解采用并联单支节匹配，如图1.6-5所示。图1.6-5例1.6-2并联单支节匹配圆图解(对应0.412)(1)负载归一化:(2)采用导纳计算:

(3)将向电源(顺时针)旋转，与匹配圆(g=1)相交于两点，其对应导纳为(4)求出支节位置：

(5)求短路支节长度。由于短路表示，且是纯电纳，即因而要看单位外圆，如图1.6-6所示。l1=(0.318-0.25)λg=0.068λg

l2=(0.25+0.182)λg=0.432λg

共有两组解答，一般选长度较短的一组。图1.6-6例1.6-2短路支节长度

2)双支节匹配单支节匹配中支节距离d是要改变的，为了使它与主传输线位置固定，自然出现了双支节匹配。如图1.6-7所示，双支节匹配是在主传输线某处并联两个可变短路支节，两支节间有一个已知固定距离d=λg/8(个别也有d=λg/4或d=3λg/8)。双支节匹配问题就是如何确定两支节的长度l。由于短路支节并联，采用导纳圆图计算更为方便。分析支节匹配的方法同样采用倒推法——由结果推向原因。

对于任意负载如图1.6-7所示，结果要求：假定已经匹配，则十分明显，在匹配圆轨迹。通过λg/8传输线(也即向负载方向转90°)构成轨迹。(在双支节匹配中，轨迹称为辅助圆。)图1.6-7双支节匹配图1.6-8双支节匹配辅助圆图

【例1.6-3】

如图1.6-9所示为同轴线双支节匹配器，求l1和l2。

解双支节匹配圆图如图1.6-10所示。

(1)采用Z0=50Ω进行归一化：(2)并联支节应用导纳处理:图1.6-9同轴线双支节匹配器图1.6-10例1.6-3双支节匹配圆图(3)通过λg/8距离(向电源方向)，(4)按等电导圆交辅助圆于，

(5)由沿等|Γ|圆向电源转90°，与匹配圆交于，于是图1.6-11双支节匹配的死区1.7Smith圆图的计算机解1.7.1单支节匹配任意负载并联单支节匹配问题如图1.7-1所示。一切物理量都采用归一化，阻抗对传输线特性阻抗归一化，长度对波长归一化。图中：图1.7-1单支节匹配当未考虑支节时，传输线输入阻抗为(1.7-1)其中，其输入导纳为(1.7-2)令等式两边实部和虚部分别相等，得(1.7-3)(1.7-4)并联支节的匹配条件为也即(1.7-5)式(1.7-3)的解为(1.7-6)(1.7-7)利用式(1.7-6)和式(1.7-7)可得和的值(1.7-8)(1.7-9)其计算机程序如下，输入参数为rl和xl(归一化负载阻抗为rl和xl)，输出参数为al和bl(归一化长度为和)，共有两组值。

read(*，*)rl，xl callsip(rl，xl，al1，bl1，al2，bl2)

write(*，100)al1，bl1100

format(5x，4hla1=，f14.8，5x，4hlb1=，f14.8)

write(*，200)al2，bl2200format(5x，4hla2=，f14.8，5x，4hlb2=，f14.8)end

subroutinesip(rl，xl，al1，bl1，al2，bl2) pi=3.14159265 if(rl.le.1.e-10)goto1 ts=sqrt(rl*((1.-rl)**2+xl*xl))

t1=(xl+ts)/(rl-1.) t2=(xl-ts)/(rl-1.) if(abs(t2).le.1.e-10)goto3 al2=(.5*(1.-t2/abs(t2))*pi+atan(t2))/(2.*pi) goto43al2=0.4x2=(rl*rl+(xl+t2)**2)/(xl*t2*t2+(rl*rl+xl*xl-1.)*t2-xl)goto21t1=(rl-(rl*rl+xl*xl))/(2.*xl)al2=.25x2=1./xl2if(abs(t1).le.1.e-10)goto5al1=(.5*(1.-t1/abs(t1))*pi+atan(t1))/(2.*pi)goto65al1=0.6x1=(rl*rl+(t1+xl)**2)/(xl*t1*t1+(rl*rl+xl*xl-1.)*t1-xl)if(abs(x1).le.1.e-10)goto7bl1=(.5*(1.-x1/abs(x1))*pi+atan(x1))/(2*pi)goto87bl1=0.8if(abs(x2).le.1.e-10)goto9bl2=(.5*(1.-x2/abs(x2))*pi+atan(x2))/(2*pi)

return9bl2=0returnend 【例1.7-1】

rl=0.7,xl=-0.95，计算得

al1=0.0589,bl1=0.1111

al2=0.2235,bl2=0.38881.7.2双支节匹配并联双支节匹配的一般模型如图1.7-2所示。在C-C′点向右看的输入导纳，它与实际负载并不一致，它们中间相距。图1.7-2双支节匹配(1.7-10)首先来研究有两个并联短路支节、和电长度为θ的传输线所构成的网络，该网络输入导纳结合匹配条件可表示成(1.7-11)由式(1.7-10)和式(1.7-11)，展开得(1.7-12)联立求解，得(1.7-13)(1.7-14)由方程(1.7-13)明显看出：当θ固定时，不管如何变化，支节长度(即b1)以及必小于某个值，即由于，这恰好是避开死区的条件。若式(1.7-14)成立，则可选(1.7-15)，即点输入阻抗与实际负载阻抗相等，由式(1.7-13)可解得(1.7-16)则双支节长度(1.7-17)(1.7-18)其中(1.7-19)

若式(1.7-14)不成立，则选择，使由图1.7-2可知(1.7-20)于是可解出(1.7-22)(1.7-21)计算机程序如下，输入参数为rl和xl(归一化负载阻抗为rl和xl)，sl(两并联支节之间的归一化电长度=l/λg，一般取1/8、1/4或3/8)，al0(负载与第一支节之间原有的归一化距离)。输出量为al(支节归一化长度)、bl(支节归一化长度)。如果原来负载与第一支节没有距离(即al0=0)而又处于死区内无法匹配，则该程序能自动加上dl(即)使之匹配，并保证为最小值，此程序一般可得两组解。read(*，*)al0，sl，rl，xlcalldus(al0，sl，rl，xl，al1，bl1，al2，bl2，dl)

if(al0.ne.0)goto6

write(*，5)dl5format(5x，3hdl=，f14.8)6write(*，10)al1，bl110format(5x，4hla1=，f14.8，5x，4hlb1=，f14.8)write(*，20)al2，bl220format(5x，4hla2=，f14.8，5x，4hlb2=，f14.8)end

subroutinedus(al0，sl，rl，xl，al1，bl1，al2，bl2，dl)pi=3.14159265alph=2.*pi*al0cita=2.*pi*sls=sin(cita)c=cos(cita)ct=c/sss=1./(s*s)if(al0.eq.0.)goto3

tt0=sin(alph)/cos(alph)

w=rl*rl+(xl+tt0)**2

gl=(rl*(1.-xl*tt0)+(xl+tt0)*(rl+tt0))/w

if(gl.gt.ss)stop

goto13hl=rl*rl+xl*xlgl=rl/hl

bl=-xl/hl

dl=0.

if(gl.le.ss)goto1t1=(xl*ss+sqrt((xl*ss)**2-(rl-ss)*(rl-ss*(rl*rl+xl*xl))))/(rl-ss)bt1=(xl*t1*t1+(rl*rl+xl*xl-1.)*t1-xl)/(rl*rl+(xl+t1)**2)if(bt1.ge.0.)goto2dl=(.5*(1.-t1/abs(t1))*pi+atan(t1))/(2.*pi)gl=ssbl=bt1goto12t2=(xl*ss-sqrt((xl*ss)**2-(rl-ss)*(rl-ss*(rl*rl+xl*xl))))/(rl-ss)bt2=(xl*t2*t2+(rl*rl+xl*xl-1.)*t2-xl)/(rl*rl+(xl+t2)**2)

dl=(.5*(1.-t2/abs(t2))*pi+atan(t2))/(2.*pi)

gl=ss

bl=bt21bb1=ct+sqrt(abs(1./(gl*s*s)-1.))bb2=ct-sqrt(abs(1./(gl*s*s)-1.))xb1=-1./bb1xb2=-1./bb2bl1=(.5*(1.-xb1/abs(xb1))*pi+atan(xb1))/(2.*pi)bl2=(.5*(1.-xb2/abs(xb2))*pi+atan(xb2))/(2.*pi)ba1=(bb1*bb1*s*c-bb1*(c*c-s*s)-bl/gl)/(1.-2.*bb1*s*c+bb1*bb1*s*s)ba2=(bb2*bb2*s*c-bb2*(c*c-s*s)-bl/gl)/(1.-2.*bb2*s*c+bb2*bb2*s*s)[ZK)]xa1=-1./ba1xa2=-1./ba2al1=(.5*(1.-xa1/abs(xa1))*pi+atan(xa1))/(2*pi)al2=(.5*(1.-xa2/abs(xa2))*pi+atan(xa2))/(2*pi)returnend【例1.7-2】输入：al0=0，sl=0.375，rl=1/3，xl=1/6输出：dl=0.01125

al1=0.3042bl1=0.125

al2=0.3042bl2=0.125

1.8微带传输线

1.8.1带状线

带状线又称对称微带线，是一种双接地板空气或固体介质传输线。它可以看成是由同轴线演变而成的，如图1.8-1所示。同轴线中传输的主模是TEM模，若将同轴线的内外导体变成矩形，侧壁无限延伸，便变成带状线。图1.8-1带状线的演变带状线的结构如图1.8-2(a)所示，其主模为TEM模。带状线的电磁场结构截面图如图1.8-2(b)所示。图1.8-2带状线的结构及其主模场结构带状线两面有接地板，辐射损耗较小，因此适用于高性能(高Q值或高隔离度)的微波电路。带状线中传输的主模是TEM模，可用传输线理论求其特性参量，而特性阻抗是带状线研究的主要问题。若带状线的分布参数分别用R、G、C及L表示，当工作频率满足条件：R<<ωL，G<<ωC时，其传输参量如下：传输常数为相移常数为相速为(对于非铁磁介质)

特性阻抗为相波长为(1.8-1)这里只给出用保角变换法所得结果。

(1)中心导带厚度t→0(导带无限薄)时，(1.8-2)(2)中心导带厚度t≠0时，(1.8-3)带状线的衰减包括两部分：介质衰减和导体衰减。带状线介质损耗引起的衰减与其他TEM传输线的形式相同：(1.8-4)导体损耗引起的衰减可用微扰法求出。通常由以下近似公式给出：(1.8-5)式中(1.8-6)其中RS为表面电阻。