长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校2024届九年级下学期中考二模数学试卷(含解析)

初三数学时间：120分钟总分：120分一、选择题（每小题3分，共30分）1.下列四个数中，属于有理数的是（）A.2024 B. C. D.答案：A解析：详解：解：2024是有理数；，，都是无理数；故选：A．2.某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（）主视图左视图俯视图A. B. C. D.答案：B解析：详解：解：A俯视图，C的俯视图，D的俯视图，都与题目给出的三视图矛盾．B的三视图为,故图中三视图对应的几何体不是选项A、C、D中图形，选项B的三视图与题目的三视图相一致．故选B．3.如图，直线，如图放置，．若，则的度数为（）A. B. C. D.答案：A解析：详解：解：∵为三角形的外角，∴，∵，∴，∵，，∴，故A正确．故选：A．4.不等式组中的两个不等式的解集在同一个数轴上表示正确的是（）A. B. C. D.答案：A解析：详解：解不等式x-1≤0得x≤1，解不等式x+3＞0得x＞-3，所以不等式组的两个不等式的解集在同一个数轴上表示为：．故选：A．5.石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一．如图，某石拱桥的桥拱是圆弧形．如果桥顶到水面的距离米，桥拱的半径米，此时水面的宽（）A. B. C. D.答案：C解析：详解：解：连接，如图所示．∵，∴，在中，，，，∴，∴．故选：C．6.长沙市是一个旅游胜地，五一假期更是吸引了大量游客前来观光．据有关部门预测，今年长沙市五一假期人流量达到500万以上．将500万用科学记数法表示为（）．A B. C. D.答案：B解析：详解：解：500万用科学记数法表示为．故选：B．7.《九章算术》中“盈不足术”有这样的问题：“今有共买羊，人出六，不足四十五；人出八，不足三．问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出元，则差元；每人出元，则差元．求人数和羊价各是多少？设买羊人数为人，则根据题意可列方程为()A. B.C. D.答案：A解析：详解：设买羊人数为人，则根据题意可列方程为：故选：A8.某书店拿取高处书籍的登高梯如图位置摆放，登高梯的顶端A恰好放在书架的第七层的顶端．已知登高梯的长度为3米，登高梯与地面的夹角为，则书架第七层顶端离地面的高度为（）A.米 B.米 C.米 D.米答案：A解析：详解：解：由题意可得，，米，，，（米），故选：A．9.二次函数的图象的顶点坐标是（）A. B. C. D.答案：A解析：详解：，∴二次函数的图象的顶点坐标为，故选：A．10.一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数．若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要设（）．A.五位 B.四位 C.三位 D.二位答案：B解析：详解：解：∵每一位密码上都可以设置0到9这10个数字，∴设置n位密码则有种结果数，又∵一次就拨对密码的结果数为1，∴一次就拨对密码的概率为，∵，∴一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要设4位，故选：B．二、填空题（每小题3分，共18分）11.因式分解：_______．答案：解析：详解：解：．12.方程的解是___________答案：，解析：详解：解：，∴，解得：，，故答案为：，．13.如图，，点B，C，D在同一条直线上，且，，则的长是___________．答案：1解析：详解：解：，，，，，，故答案为：1．14.面试时，某人的基本知识、表达能力、工作态度的得分分别是分、分，分，若依次按，，的比例确定成绩，则这个人的面试成绩是______分．答案：解析：详解：解：故答案为：．15.如图，是的直径，A是上一点，若，，则__________．答案：解析：详解：解：是的直径，，∵，，∴，故答案为：．16.元旦期间，商业大厦推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八折基础上继续打折，小明妈妈持贵宾卡买了标价为1000元的商品，共节省280元，则用贵宾卡又享受了______折优惠．答案：9解析：详解：解：设用贵宾卡又享受了x折优惠，依题意得：1000-1000×80%x=280解之得：x=0.9,即用贵宾卡又享受了9折优惠．三、解答题（第17，18，19题各6分，第20，21题各8分，第22，23题各9分，第24，25题各10分，共72分）17.计算：．答案：3解析：详解：解：原式．18.先化简，再求值：，其中．答案：；6解析：详解：原式当时，原式19.如图，已知．（1）尺规作图：作出线段的垂直平分线，交于点D，交于点E（不写作法，但保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，若，连接，求的面积．答案：（1）见解析（2）解析：小问1详解：解：分别以A、C为圆心，以大于长为半径在上下画弧，相交于一点，连接两个交点即为所求，如图所示，小问2详解：解：∵垂直平分，，∴,，∵，∴，∴；20.为全面开展“阳光大课间”活动，某中学三个年级准备成立“足球”、“篮球”、“跳绳”、“踢毽”四个课外活动小组，学校体育组根据七年级学生的报名情况（每人限报一项）绘制了两幅不完整的统计图（如图），请根据以上信息，完成下列问题：（1）m=，n=，并将条形统计图补充完整；（2）根据七年级的报名情况，试问全校2000人中，大约有多少人报名参加足球活动小组？（3）根据活动需要，从“跳绳”小组的二男二女四名同学中随机选取两人到“踢毽”小组参加训练，请用列表或树状图的方法计算恰好选中一男一女两名同学的概率．答案：(1)25，108；画图见解析（2）600人；（3）．解析：详解：解：（1）调查的总人数=15÷15%=100（人），所以m%=×100%=25%，即m=25，参加跳绳活动小组的人数=100-30-25-15=30（人），所以n°=，即n=108，如图，故答案为：25，108；（2），所以全校2000人中，大约有600人报名参加足球活动小组；（3）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中一男一女两名同学的结果数为8，所以恰好选中一男一女两名同学的概率=．21.如图，已知AB是⊙O直径，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠BAC．（1）求证：CD是⊙O切线；（2）若∠D=30°，BD=2，求图中阴影部分的面积．答案：（1）证明见解析；（2）阴影部分面积为解析：详解：（1）如图，连接OC，∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA，∵∠BCD=∠BAC，∴∠BCD=∠OCA，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠OCA+OCB=∠BCD+∠OCB=90°∴∠OCD=90°∵OC是半径，∴CD是⊙O的切线（2）设⊙O的半径为r，∴AB=2r，∵∠D=30°，∠OCD=90°，∴OD=2r，∠COB=60°∴r+2=2r，∴r=2，∠AOC=120°∴BC=2，∴由勾股定理可知：AC=2，易求S△AOC=×2×1=S扇形OAC=，∴阴影部分面积为.22.如图，某工程队在工地利用互相垂直的两面墙AE、AF，另两边用铁栅栏围成一个长方形场地ABCD，中间再用铁栅栏分割成两个长方形，铁栅栏总长180米，已知墙AE长90米，墙AF长为60米．设米，则CD为______米，四边形ABCD的面积为______米；若长方形ABCD面积为4000平方米，问BC为多少米？答案：（1），（2）米，长方形的面积为4000平方米解析：详解：（1）设BC=x米，则CD=（180﹣2x）米．四边形ABCD的面积为x（180﹣2x）米2．故答案为（180﹣2x），x（180﹣2x）；（2）由题意，得：x（180﹣2x）=4000整理，得：x2﹣90x+2000=0解得：x=40或x=50．当x=40时，180﹣2x=100＞90，不符合题意，舍去；当x=50时，180﹣2x=80＜90，符合题意．答：BC=50米，长方形的面积为4000平方米．23.已知：如图5，在矩形ABCD中，过AC的中点M作EF⊥AC，分别交AD、BC于点E、F．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）如果CD2＝BF•BC，求∠BAF的度数．答案：（1）见详解；（2）30°．解析：(2)利用CD2=BF⋅BC和AB=CD得到，根据相似三角形的判定方法得到△ABF∽△CBA，所以∠2=∠3，而根据菱形的性质得∠1=∠4，即∠1=∠3=∠4，从而可求出∠1的度数．详解：（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠1＝∠2，∵点M为AC的中点，∴AM＝CM．在△AME与△CMF中∴△AME≌△CMF（ASA），∴ME＝MF．∴四边形AECF为平行四边形，又∵EF⊥AC，∴平行四边形AECF为菱形；（2）解：∵CD2＝BF•BC，∴，又∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，∴又∵∠ABF＝∠CBA，∴△ABF∽△CBA，∴∠2＝∠3，∵四边形AECF为菱形，∴∠1＝∠4，即∠1＝∠3＝∠4，∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD＝∠1+∠3+∠4＝90°，∴即∠1＝30°．24.四边形内接于，为直径，对角线平分，对角线、相交于点．（1）求的值；（2）若，的半径长为，求的长；（3）设、、四边形的面积分别为、、．若，令半径为，求的值．（用含的代数式表示）答案：（1）（2）（3）解析：小问1详解：解：∵为直径，对角线平分，∴，∴，则是等腰直角三角形，∴，，在中，，∴；小问2详解：解：如图所示，连接，过点作交的延长线于点，∴，∵平分∴∴∴∵∴∴∵∵∴∴∵是等腰直角三角形，∴，在中，；小问3详解：如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，∵∴是等腰直角三角形，∴又∵∴∴∵，又∴∴∴∴又∵∴，∵∴∴∴25.规定：如果某函数的图象关于直线（m为常数）对称，则称该函数为“芳方美美函数”，直线叫做“芳方直线”．（1）下列函数，是否为“芳方美美函数”？若是，请在括号内直接填写其“芳方直线”，若不是，请在括号内打×．①（）；②（）；③（）；（2）函数和（其中、、、为常数，．均为“芳方美美函数”，且其“芳方直线”为同一直线．若直线与、的图像相交于、、、，其中．求证．（3）若关于的“芳方美美函数”的“芳方直线”为，其函数图像与轴交于点、（点在点的右边），其顶点为；函数的图像与轴交于点、（点在点的右边），其顶点为，以、、、为顶点的四边形能否为矩形或菱形，若能请求出的值，若不能请说明理由．答案：（1）①；②×；③（2）见解析（3）能，解析：小问1详解：解：①关于直线对称，是“芳方美美函数”，其芳方直线为；②其函数图象，不是轴对称图形，不是“芳方美美函数”；③，对称轴为直线，是“芳方美美函数”，其芳方直线为故答案为：①；②×；③．小问2详解：①当时，，如图所示，依题意，函数和（其中、、、为常数，．均为“芳方美美函数”，且其“芳方直线”为同一直线．根据抛物线