4.3两角的和(差)二倍角公式及其应用

4.3两角的和(差)、二倍角公式及其应用课标要求精细考点素养达成1.利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式2.经历推导两角差的余弦公式的过程,知道两角差余弦公式的意义3.能由两角差的余弦公式推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系公式的直接应用通过对公式的简单应用,培养数学运算素养公式的逆用和变形通过对公式的逆用与变形,培养逻辑推理、数学运算素养求值(角)问题通过对公式的灵活应用,培养逻辑推理、数学运算素养1.(概念辨析)(多选)下列说法正确的是().A.两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的B.存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sinα+sinβC.在锐角三角形ABC中,cosAcosB和sinAsinB的大小不确定D.公式tan(αβ)=tanα-tanβ1+tanαtanβ可以变形为1+tanαtanβ=tanα-tanβtan(α2.(对接教材)已知cosα=35,α∈π2,π,则sinα+A.4−3310 B.4+3310C.2−33.(对接教材)cos2π12cos25π12等于(A.12 B.33 C.22 4.(易错自纠)(多选)以下式子均有意义,则下列结论正确的是().A.cosαsinβ=sin(α+β)+sin(α-C.sin(2α+β)sinα=2cos(α+β)+sinβsinαD.若sinα=55,sinβ=1010,且α,β均为锐角5.(真题演练)(2023·全国新课标Ⅰ卷)已知sin(αβ)=13,cosαsinβ=16,则cos(2α+2β)=(A.79 B.19 C.19 公式的直接应用典例1(1)(2023·江苏张家港期末)已知sin(απ3)=3cosα-π6,则tan2α=A.43 B.32 C.43 D.(2)(2024·江苏如东期初学情检测)已知sin(α+π6)=63,则sinπ6-2αA.223 B.223 C.1(3)若sinθ=35,5π2<θ<3π,则tanθ2+cosθ2=A.3+1010 B.31010C.3+31010 公式运用的基本策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律.例如两角差的余弦公式可简记为“同名相乘,符号相反”.(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的结合应用.(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用.训练1(1)(2023·广东揭阳期末)已知α∈0,3π4,cosα+π4=210,A.35 B.35 C.45 (2)(2024·山东济南高三摸底测试)已知α为锐角,若sin2α+2023π2=2−34,A.3-18 B.3-14 C.(3)已知α∈π2,π,sinα=35,则cosπ-A.1010 B.1010 C.31010公式的逆用和变形典例2(1)(2023·广东茂名一模)下列四个函数中,最小正周期与其余三个函数不同的是().A.f(x)=cos2x+sinxcosx B.f(x)=1−cos2xC.f(x)=cosx+π3+cosx-π3 D.f((2)若α为锐角,且(4cos50°tan40°)tanα=1,则α=().A.60° B.50° C.40° D.30°两角和、差及倍角公式的逆用和变形的应用技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同,创造条件逆用公式.(2)和差角公式常见变形:sinαsinβ+cos(α+β)=cosαcosβ;cosαsinβ+sin(αβ)=sinαcosβ;tanα±tanβ=tan(α±β)·(1∓tanα·tanβ).(3)倍角公式的变形:降幂公式.训练2(1)(多选)下列各式中,值为32的是()A.2sin15°cos15° B.2sin215°1C.3tan15°1−tan2求值:sin10°−3cos10°cos40°求值(角)问题典例3(1)(2023·江苏南通三模)已知cos(40°θ)+cos(40°+θ)+cos(80°θ)=0,则tanθ=().A.3 B.33 C.33 (2)已知α,β∈(0,π),cosα=31010,若sin(2α+β)=12sinβ,则α+β=(A.2π3 B.5π6 C.5π41.给角求值问题往往给出的角是非特殊角,求值时要注意:①观察角,分析角之间的差异,巧用诱导公式或拆分;②观察名,尽可能使函数统一名称;③观察结构,利用公式,整体化简.2.给值求角的原则:①已知正切函数值,选正切函数.②已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数,若角的范围是0,π2,选正、余弦皆可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围为-π训练3(1)已知tanα=2,cosβ=7210,α,β∈(0,π),则2αβ的值为(A.5π4 B.3π4 C.π4 (2)已知tan2θ=22,π4<θ<π2,则2co万能公式sinα=2tanα21+tan2α2万能公式的证明:由二倍角公式,得sinα=2sinα2cosα2=2sinαtanα=2tanα21−tan2α2.再由同角三角函数间的关系典例已知tanα+β2=62,tanαtanβ=137,求cos(训练已知2sinα+β2sinα-β2=12,2cosα+β2sinα-一、单选题1.已知α是第二象限的角,tan(π+2α)=43,则tanα等于()A.22 B.2 C.13 2.(2023·浙江湖州期末)已知α∈0,π2,2sin2α=cos2α+1,则cos3π2+α=A.55 B.55 C.2553.2cos50°12tan50°=()A.1 B.12 C.324.(2023·江苏扬州期初)已知α,β∈0,π2,2tanα=sin2βsinβ+sin2β,则A.3 B.33 C.33 二、多选题5.(2023·河北承德二模)已知0<α<π2<β<π,sinα=13,cos(α+β)=223,则下列选项正确的有A.sin(α+β)=±13 B.cosβ=79C.cos2β=1781 D.sin(αβ6.设角θ的终边在第二象限,则1−sinθcosθ2-sinθA.1 B.1 C.2 D.2三、填空题7.(2024·淮安高三第一次调研)tan555°的值为.

8.(2024·扬州期初模拟)方程3sinx=1+cos2x的解集为

四、解答题9.(2023·江苏常州一中期中)在①sin(πα)=43cos(2πα),②tan(π+α)=7sinα,③cosα2=277这三个条件中任选一个,补充在下面问题中已知α∈0,π2,β∈0,π2,cos(α+β)=3510.已知向量a=cosx2+sinx2,2sinx2,b=cosx2sinx2,3cosx2,函数f(x)=a·(1)求函数f(x)的最大值,并指出f(x)取得最大值时x的取值集合;(2)若α,β为锐角,cos(α+β)=1213,f(β)=65,求fα11.(2023·苏北苏中八市二模)古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作,也为地图学提供了数学基础.现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度,已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点(切点),地面上B,C两点与点A在同一条直线上,且在点A的同侧.若在B,C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°,且BC=100m,则该球体建筑物的高度约为(参考数据:cos10°≈0.985)().m m m m12.(2023·江苏新海中学质检)如图所示,某市政府决定在以政府大楼O为中心,正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书