直线的倾斜角与斜率

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在平面直角坐标系中，点用坐标表示，直线如何表示呢？问题引入xyOlP（x，y）

为了用代数方法研究直线的有关问题，首先探索确定直线位置的几何要素，然后在坐标系中用代数方法把这些几何要素表示出来．问题22024/8/19

对于平面直角坐标系内的一条直线l，它的位置由哪些条件确定？问题引入问题xyOl32024/8/19

我们知道，两点确定一条直线．一点能确定一条直线的位置吗？已知直线l经过点P，直线l的位置能够确定吗？问题引入问题xyOll’l’’P(1)它们都经过点P.(2)它们的‘倾斜程度’不同.

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过一点P可以作无数条直线l1，l2

，l3

，…它们都经过点P

（组成一个直线束），这些直线区别在哪里呢？问题引入问题xyOll’l’’P52024/8/19

容易看出，它们的倾斜程度不同．怎样描述直线的倾斜程度呢？问题引入问题xyOll’l’’P62024/8/19

当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角（angleofinclination）．xyOl

当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为.直线的倾斜角的取值范围为：直线的倾斜角72024/8/19

直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系？

平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角，倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角，度相同的直线其倾斜角相同．倾斜程xyOl

已知直线上的一个点不能确定一条直线的位置；同样已知直线的倾斜角α．也不能确定一条直线的位置．但是，直线上的一个点和这条直线的倾斜角可以唯一确定一条直线．直线的倾斜角82024/8/19

确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：

直线上的一个定点以及它的倾斜角，

二者缺一不可．确定直线的要素xyOlP92024/8/19日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？前进量升高量问题引入问题102024/8/19问题引入问题前进升高例如，“进2升3”与“进2升2”比较，前者更陡一些，因为坡度（比）112024/8/19斜率通常用小写字母k表示，即

一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率（slope）.

倾斜角是的直线有斜率吗？

倾斜角是的直线的斜率不存在．直线的斜率如果使用“倾斜角”这个概念，那么这里的“坡度（比）”实际就是“倾斜角α的正切”．122024/8/19

如：倾斜角时，直线的斜率当为锐角时，如：倾斜角为时，由即这条直线的斜率为直线的斜率倾斜角α不是90°的直线都有斜率，并且倾斜角不同，直线的斜率也不同．因此，可以用斜率表示直线的倾斜程度．132024/8/19已知直线上两点的坐标，如何计算直线的斜率？两点的斜率公式问题

给定两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），并且x1≠x2，如何计算直线P1P2的斜率k．142024/8/19当为锐角时，在直角中

设直线P1P2的倾斜角为α（α≠90°），当直线P1P2的方向（即从P1指向P2的方向）向上时，过点P1作x轴的平行线，过点P2作y轴的平行线，两线相交于点Q，于是点Q的坐标为（x2，y1

）．两点的斜率公式152024/8/19当为钝角时，在直角中两点的斜率公式162024/8/19

同样，当的方向向上时，也有两点的斜率公式172024/8/19思考？1、当直线平行于x轴，或与x轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？答：成立，因为分子为0，分母不为0，K=0

182024/8/192、当直线平行于y轴，或与y轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？思考？答：不成立，因为分母为0。192024/8/19答：与A、B两点的顺序无关。3、已知直线上两点、，运用上述公式计算直线AB的斜率时，与A、B的顺序有关吗？思考？202024/8/19

当直线与轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？

经过两点的直线的斜率公式为：思考成立两点的斜率公式212024/8/19归纳：对于斜率公式要注意下面四点：(1)当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角

=90o，直线与x轴垂直；(2)k与P1、P2的顺序无关，即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；(4)当y1=y2时，斜率k=0，直线的倾斜角

=0o，直线与x轴平行或重合.222024/8/19

例1如图，已知，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．解：直线AB的斜率直线BC的斜率直线CA的斜率

由及知，直线AB与CA的倾斜角均为锐角；由知，直线BC的倾斜角为钝角．典型例题232024/8/19

例2在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，2及-3的直线及．即

解：取上某一点为的坐标是，根据斜率公式有:

设，则，于是的坐标是．过原点及的直线即为．xy

是过原点及的直线，是过原点及的直线，是过原点及的直线．典型例题242024/8/19例3.已知三点A(a,2)、B(5,1)、C