数学（人教版选修22）练习活页作业（四）

活页作业(四)基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)1．若函数f(x)＝exsinx，则此函数图象在点(3，f(3))处的切线的倾斜角为()A.eq\f(π,2) B．0C．钝角 D．锐角解析：f′(x)＝exsinx＋excosx＝ex(sinx＋cosx)＝eq\r(2)exsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，f′(3)＝eq\r(2)e3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋\f(π,4)))＜0，则此函数图象在点(3，f(3))处的切线的倾斜角为钝角．答案：C2．若f(x)＝eq\f(1－x2,sinx)，则f(x)的导数是()A.eq\f(－2xsinx－1－x2cosx,sin2x)B.eq\f(－2xsinx＋1－x2cosx,sin2x)C.eq\f(－2xsinx＋1－x2,sinx)D.eq\f(－2xsinx－1－x2,sinx)解析：f′(x)＝eq\f(1－x2′sinx－1－x2sinx′,sin2x)＝eq\f(－2xsinx－1－x2cosx,sin2x).答案：A3．某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为y＝f(t)＝eq\r(10t)，则在时刻t＝40min的降雨强度为()A．20mm B．400mmC.eq\f(1,2)mm/min D.eq\f(1,4)mm/min解析：f′(t)＝eq\f(1,2\r(10t))·10＝eq\f(5,\r(10t))，∴f′(40)＝eq\f(5,\r(400))＝eq\f(1,4).答案：D4．曲线y＝eq\f(x,2x－1)在点(1,1)处的切线方程为________________．解析：y′＝eq\f(－1,2x－12)，∵点(1,1)在曲线上，∴切线的斜率k＝y′|x＝1＝eq\f(－1,2x－12)|x＝1＝－1，由直线的点斜式方程得切线方程是x＋y－2＝0.答案：x＋y－2＝05．若f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________.解析：f(x)＝4x2＋4ax＋a2，∵f′(x)＝8x＋4a∴f′(2)＝16＋4a＝20，∴a答案：16．已知曲线C：y＝x3－3x2＋2x，直线l：y＝kx，且直线l与曲线C相切于点(x0，y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标．解：∵直线l过原点，∴直线l的斜率k＝eq\f(y0,x0)(x0≠0)，由点(x0，y0)在曲线C上，得y0＝xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)＋2x0，∴eq\f(y0,x0)＝xeq\o\al(2,0)－3x0＋2.又y′＝3x2－6x＋2，∴k＝y′|x＝x0＝3xeq\o\al(2,0)－6x0＋2.又k＝eq\f(y0,x0)，∴3xeq\o\al(2,0)－6x0＋2＝eq\f(y0,x0)＝xeq\o\al(2,0)－3x0＋2，整理得2xeq\o\al(2,0)－3x0＝0.∵x0≠0，∴x0＝eq\f(3,2)，此时y0＝－eq\f(3,8)，k＝－eq\f(1,4).因此直线l的方程为y＝－eq\f(1,4)x，切点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(3,8))).7．若函数y＝(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝3x－2，则函数g(x)＝x2＋f(x)的图象在点(1，g(1))处的切线方程为()A．5x－y－3＝0 B．5x－y＋3＝0C．x－5y＋3＝0 D．x－5y－3＝0解析：由函数y＝f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝3x－2，得f′(1)＝3，f(1)＝1.又函数g(x)＝x2＋f(x)，∴g′(x)＝2x＋f′(x)，则g′(1)＝2×1＋f′(1)＝2＋3＝5，g(1)＝12＋f(1)＝1＋1＝2.∴函数g(x)＝x2＋f(x)的图象在点(1，g(1))处的切线方程为y－2＝5(x－1)．即5x－y－3＝0.故选A.答案：A8．下图中有一个是函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，且a≠0)的导函数的图象，则f(－1)＝()A.eq\f(1,3) B．－eq\f(1,3)C.eq\f(7,3) D．－eq\f(1,3)或eq\f(5,3)解析：f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，由题图①与②知，它们的对称轴都为y轴，此时a＝0，与题设不符合，故题图③是f(x)的导函数的图象．由题图③知f′(0)＝0，a<0，所以a＝－1，此时f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋1，所以f(－1)＝－eq\f(1,3).答案：B9．已知函数f(x)＝f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))sinx＋cosx，则f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝__________.解析：∵f′(x)＝f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))cosx－sinx，∴f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))coseq\f(π,2)－sineq\f(π,2)＝－1，∴f′(x)＝－cosx－sinx，∴f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝－coseq\f(π,4)－sineq\f(π,4)＝－eq\r(2).答案：－eq\r(2)10．曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形面积是______．解析：∵y′＝－2e－2x，∴y′|x＝0＝－2，切线方程为y＝－2x＋2.∴所围成的三角形的三个顶点为(0,0)，(1,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3))).∴S＝eq\f(1,2)×1×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)11．已知曲线y＝e2x·cos3x在点(0,1)处的切线与直线l的距离为eq\r(5)，求直线l的方程．解：∵y′＝(e2x)′·cos3x＋e2x·(cos3x)′＝2e2x·cos3x－3e2x·sin3x，∴y′|x＝0＝2，∴经过点(0,1)的切线方程为y－1＝2(x－0)，即y＝2x＋1.设适合题意的直线方程为y＝2x＋b，根据题意，得eq\r(5)＝eq\f(|b－1|,\r(5))，解得b＝6或－4.∴适合题意的直线方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.12．设函数f(x)＝ax－eq\f(b,x)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的函数解析式；(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．(1)解：由7x－4y－12＝0，得y＝eq\f(7,4)x－3.当x＝2时，y＝eq\f(1,2)，∴f(2)＝2a－eq\f(b,2)＝eq\f(1,2)，①又f′(x)＝a＋eq\f(b,x2)，∴f′(2)＝a＋eq\f(b,4)＝eq\f(7,4).②由①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a－b＝1，,4a＋b＝7))，解之，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝3.))故f(x)＝x－eq\f(3,x).(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋eq\f(3,x2)知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,x\o\al(2,0))))(x－x0)，即y－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(3,x0)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,x\o\al(2,0))))(x－x0)．令x＝0得y＝－eq\f(6,x0)，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f