1.2.1必要条件与充分条件（第1课时必要条件与充分条件）课件高一上学期数学北师大版

2.1

必要条件与充分条件第1课时必要条件与充分条件第一章预备知识北师大版

数学

必修第一册基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标目录索引

课程标准1.理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系.2.理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系.3.理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系.4.掌握充分条件、必要条件的判断方法.基础落实·必备知识一遍过知识点1

必要条件与性质定理1.当命题表示为“若p,则q”时,p是命题的条件,q是命题的结论.当命题“若p,则q”是真命题时,就说由p推出q,记作p⇒q.

“若p,则q”为假命题时,得不出q是p的必要条件2.一般地,当命题“若p,则q”是真命题时,称q是p的必要条件.也就是说,一旦q不成立,p一定也不成立,即q对于p的成立是必要的.名师点睛说条件是必要的,就是说该条件必须要有,是必不可少的.简单地说,就是“有它不一定能成立,但没它一定不成立”.思考辨析“若p,则q”与“p⇒q”一样吗?提示

不一样,只有“若p,则q”为真命题时,才有“p⇒q”.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)“x=3”是“x2=9”的必要条件.(

)(2)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件.(

)(3)q不是p的必要条件时,“p推不出q”成立.(

)××√2.[人教A版教材例题]下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的q是p的必要条件?(1)若四边形为平行四边形,则这个四边形的两组对角分别相等;(2)若两个三角形相似,则这两个三角形的三边成比例;(3)若四边形的对角线互相垂直,则这个四边形是菱形;(4)若x=1,则x2=1;(5)若ac=bc,则a=b;(6)若xy为无理数,则x,y为无理数.解

(1)这是平行四边形的一条性质定理,p⇒q,所以,q是p的必要条件.(2)这是三角形相似的一条性质定理,p⇒q,所以,q是p的必要条件.(3)如图,四边形ABCD的对角线互相垂直,但它不是菱形,p

q,所以,q不是p的必要条件.(4)显然,p⇒q,所以,q是p的必要条件.(5)由于(-1)×0=1×0,但-1≠1,p

q,所以,q不是p的必要条件.(6)由于

为无理数,但1,不全是无理数,p

q,所以,q不是p的必要条件.知识点2

充分条件与判定定理“若p,则q”为假命题时,得不出p是q的充分条件

一般地,当命题“若p,则q”是真命题时,称p是q的充分条件.综上,对于真命题“若p,则q”,即p⇒q时,称q是p的必要条件,也称p是q的充分条件.名师点睛1.说条件是充分的,也就是说这个条件足以保证结论成立.即要使结论成立,只要有它就可以了.2.可以把充分条件理解为“有之即可,无之也行”.思考辨析我们知道,当“x>1”成立时,能推出“x>0”.那么“x>0”的充分条件是否只能是“x>1”?

提示

不是.使结论“x>0”成立的条件并不唯一,如“x>1.2”,“3<x≤4”等,有无数个.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)q是p的必要条件时,p是q的充分条件.(

)(2)如果p是q的充分条件,则p是唯一的.(

)(3)“x>-1”是“x>1”的充分条件.(

)√××2.[人教A版教材习题]下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件?(1)若平面内点P在线段AB的垂直平分线上,则PA=PB;(2)若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等,则这两个三角形全等;(3)若两个三角形相似,则这两个三角形的面积比等于周长比的平方.解

(1)由线段垂直平分线的性质,p⇒q,p是q的充分条件.(2)两边及一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等,pq,p不是q的充分条件.(3)由相似三角形的性质,p⇒q,p是q的充分条件.3.[人教A版教材习题]如图,直线a与b被直线l所截,分别得到了∠1,∠2,∠3和∠4.请根据这些信息,写出几个“a∥b”的充分条件和必要条件.解

“a∥b”的充分条件:∠1=∠2或∠1=∠4或∠1+∠3=180°;“a∥b”的必要条件:∠1=∠2或∠1=∠4或∠1+∠3=180°.知识点3

充要条件1.一般地,如果p⇒q,且q⇒p,那么称p是q的充分且必要条件,简称p是q的充要条件,记作p⇔q.2.p是q的充要条件也常常说成“p成立当且仅当q成立”,或“p与q等价”.3.当p是q的充要条件时,q也是p的充要条件.名师点睛设集合A={x|p(x)},B={x|q(x)},若x具有性质p,则x∈A;若x具有性质q,则x∈B.结论p是q的充分不必要条件p是q的必要不充分条件p与q互为充要条件p是q的既不充分也不必要的条件p,q的关系p⇒q,且q不能推出pq⇒p,且p不能推出qp⇔qp不能推出q,且q不能推出p集合A⫋BB⫋AA=BA不包含于B且B不包含于A

命题真假“若p,则q”是真命题,且“若q,则p”是假命题“若p,则q”是假命题,且“若q,则p”是真命题“若p,则q”是真命题,且“若q,则p”是真命题“若p,则q”是假命题,且“若q,则p”是假命题思考辨析1.判断p是q的什么条件时,有哪些可能情况?

提示

(1)如果p⇒q,且q不能推出p,则称p是q的充分不必要条件;(2)如果p不能推出q,且q⇒p,则称p是q的必要不充分条件;(3)如果p⇒q,且q⇒p,则称p是q的充要条件;(4)如果p不能推出q,且q不能推出p,则称p是q的既不充分也不必要的条件.2.若p是q的充分条件,p是唯一的吗?q是唯一的吗?

提示

不一定唯一,凡是能使结论q成立的条件都是它的充分条件,如“x>2”“x>5”“x>10”等都是x>1的充分条件;凡是能由条件p推出的结论都是它的必要条件,如“同位角相等”“内错角相等”“同旁同角互补”等都是“两直线平行”的必要条件.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)“x=0”是“(2x-1)x=0”的充分不必要条件.(

)(2)若p是q的充要条件,则条件p和q是两个相互等价的条件.(

)√√2.已知A,B,C是△ABC的三个内角,则“A+C=2B”是“B=60°”的(

)A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件C3.[人教A版教材习题]分别写出“两个三角形全等”和“两个三角形相似”的几个充要条件.解

“两个三角形全等”的充要条件如下:①三边对应相等;②两边及其夹角对应相等;③两角及其夹边对应相等;④两角及一角的对边对应相等.“两个三角形相似”的充要条件如下:①三个内角对应相等(或两个内角对应相等);②三边对应成比例;③两边对应成比例且夹角相等.重难探究·能力素养速提升探究点一必要条件与充分条件的判断角度1必要条件的判断【例1-1】

指出下列哪些命题中q是p的必要条件?(1)p:一个四边形是矩形,q:四边形的对角线相等;(2)p:A⊆B,q:A∩B=A;(3)p:-2≤x≤5,q:-1≤x≤5.解

(1)因为矩形的对角线相等,即p⇒q,所以q是p的必要条件.(2)因为p⇒q,所以q是p的必要条件.(3)因为p推不出q,所以q不是p的必要条件.规律方法

必要条件的两种判断方法(1)定义法:(2)命题判断方法:如果命题:“若p,则q”是真命题,则q是p的必要条件;如果命题:“若p,则q”是假命题,则q不是p的必要条件.变式训练1下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的q是p的必要条件?(1)若|x|=|y|,则x=y;(2)若△ABC是直角三角形,则△ABC是等腰三角形;(3)p:三角形是等边三角形,q:三角形是等腰三角形.

解

(1)若|x|=|y|,则x=y或x=-y,因此p推不出q,所以q不是p的必要条件.(2)直角三角形不一定是等腰三角形,因此p推不出q,所以q不是p的必要条件.(3)等边三角形一定是等腰三角形,所以p⇒q,所以q是p的必要条件.角度2充分条件的判断【例1-2】

下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件?(1)若a∈Q,则a∈R;(2)在△ABC中,若∠A>∠B,则BC>AC;(3)已知a,b∈R,若a2+b2=0,则a=b=0.解

(1)由于Q⊆R,所以p⇒q,所以p是q的充分条件.(2)由三角形中大角对大边可知,若∠A>∠B,则BC>AC,因此p⇒q,所以p是q的充分条件.(3)因为a,b∈R,所以a2≥0,b2≥0,由a2+b2=0,可推出a=b=0,即p⇒q,所以p是q的充分条件.规律方法

充分条件的两种判断方法(1)定义法:(2)命题判断方法:如果命题:“若p,则q”是真命题,则p是q的充分条件;如果命题:“若p,则q”是假命题,则p不是q的充分条件.变式训练2下列命题中,p是q的充分条件的是

.(填序号)

①p:(x-2)(x-3)=0,q:x-2=0;②p:a是自然数,q:a是正整数;③p:m<-2,q:方程x2-x-m=0无实根.

③

解析

①∵(x-2)(x-3)=0,∴x=2或x=3,不能推出x-2=0.∴p不是q的充分条件.②0是自然数,但是0不是正整数,∴p推不出q,∴p不是q的充分条件.③∵m<-2,∴1+4m<0,∴方程x2-x-m=0无实根,∴p是q的充分条件.角度3充要条件的判断【例1—3】

指出p是q的什么条件(充分不必要条件,必要不充分条件,充要条件,既不充分也不必要条件).(1)p:数a能被6整除,q:数a能被3整除;(2)p:x>1,q:x2>1;(3)p:△ABC有两个角相等,q:△ABC是正三角形;(4)p:|ab|=ab,q:ab>0.解

(1)∵p⇒q,q不能推出p,∴p是q的充分不必要条件.(2)∵p⇒q,q不能推出p,∴p是q的充分不必要条件.(3)∵p不能推出q,q⇒p,∴p是q的必要不充分条件.(4)∵当ab=0时,|ab|=ab,∴“|ab|=ab”不能推出“ab>0”,即p不能推出q.又当ab>0时,有|ab|=ab,即q⇒p.∴p是q的必要不充分条件.规律方法

判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法(1)定义法:直接判断命题“若p,则q”以及“若q,则p”的真假.(2)集合法:即利用集合之间的包含关系判断.(3)传递法:充分条件和必要条件具有传递性,例如由p1⇒p2⇒…⇒pn,可得p1⇒pn;充要条件也有传递性.变式训练3指出下列各组命题中,p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”).(1)p:-1≤x≤5,q:x≥-1且x≤5;(2)p:x+2≠y,q:(x+2)2≠y2;(3)a是自然数;q:a是正数.解

(1)∵-1≤x≤5⇔x≥-1且x≤5,∴p是q的充要条件.(2)由q:(x+2)2≠y2,得x+2≠y,且x+2≠-y,故q⇒p,又当x+2=-y≠y时,(x+2)2=y2,故p不能推出q,故p是q的必要不充分条件.(3)0是自然数,但0不是正数,故p不能推出q;又

是正数,但

不是自然数,故q不能推出p,故p是q的既不充分也不必要条件.探究点二必要条件、充分条件、充要条件的探求与应用【例2】

(1)不等式1->0成立的充分不必要条件是(

)A.x>1 B.x>-1C.x<-1或0<x<1 D.-1<x<0或x>0A解析由1->0可得

<1,解得x>1或x<0,结合四个选项可得其成立的充分不必要条件是x>1.(2)已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.解

因为p是q的必要不充分条件,所以{x|1-m≤x≤1+m}⫋{x|-2≤x≤10},又m>0,所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}.(3)已知方程x2+(2k-1)x+k2=0,求使方程有两个正实数根的充要条件.规律方法

1.探究一个命题成立的充分不必要条件以及必要不充分条件时,往往可以先找到其成立的充要条件,然后通过对充要条件的范围放大或缩小,得到相应的充分不必要条件或必要不充分条件.2.充分条件与必要条件的应用技巧(1)应用:可利用充分性与必要性进行相关问题的求解,特别是求参数的值或取值范围问题.(2)方法:先等价转化,再利用充分条件、必要条件、充要条件与集合间的关系,建立关于参数的不等式(组)进行求解.变式训练4(1)1<2x+2<8的一个必要不充分条件是(

)B★(2)“不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的充要条件是(

)A.m>

B.m<C.m<1 D.m>1A解析

∵不等式x2-x+m>0在R上恒成立,∴Δ=1-4m<0,解得m>又∵m>时,Δ=1-4m<0,∴“m>”是“不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的充要条件.★(3)已知条件p:x2+x-6=0,条件q:mx+1=0,且p是q的必要条件,则实数m的取值集合是

.

解析

令A={x|x2+x-6=0}={-3,2},B={x|mx+1=0},∵p是q的必要条件,∴B⊆A.∴B=⌀,或{-3},{2}.若B=⌀,则m=0;本节要点归纳1.知识清单:(1)必要条件、充分条件的概念;(2)必要性、充分性的判断;(3)必要条件与性质定理、充分条件与判定定理的关系;(4)充要条件的概念、判断和证明;(5)必要条件、充分条件的应用.2.方法归纳:反例法,等价转化法.3.常见误区:必要条件、充分条件不唯一;求参数范围能否取到端点值;不能正确理解“倒装”的命题;充要条件中的条件和结论辨别不清.学以致用·随堂检测促达标123451.若p是q的充分不必要条件,则q是p的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要