云南省云南师大附中2025届高三数学适应性月考卷一文含解析

PAGE21-云南省云南师大附中2025届高三数学适应性月考卷（一）文（含解析）留意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清晰．2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.一．选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据集合中元素的特征，干脆得出结果.【详解】因为集合为数集，为点集，所以两集合没有共同元素，则.故选：C.【点睛】本题主要考查求集合的交集，属于基础题型.2.在复平面内，复数(为复数单位)对应的点在（）A.第一象限 B.其次象限C.第三象限. D.第四象限【答案】D【解析】【分析】先依据复数除法运算化简出，即可得出对应点象限.【详解】,对应的点在第四象限.故选：D.【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题.3.函数的零点所在的区间为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】函数单调递增，干脆计算和，由零点存在定理推断即可.【详解】解：函数单调递增，由零点存在定理，，故选：B．【点睛】考查零点存在定理的应用，基础题.4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】依据诱导公式，以及同角三角函数基本关系，将所求式子化为，即可得出结果.【详解】因为，所以，故选：C．【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值，熟记同角三角函数基本关系以及诱导公式即可，涉及二倍角的余弦公式，属于基础题型.5.电影《达.芬奇密码》中，有这样一个情节:故事女主子公的祖父雅克.索尼埃为了告知孙女一个惊天的隐私又不被他人所知，就留下了一串奇异的数字13-3-2-21-1-1-8-5，将这串数字从小到大排列，就成为1-1-2-3-5-8-13-21，其特点是从第3个数字起，任何一个数字都是前面两个数字的和，它来自斐波那契数列，斐波那契数列与黄金分割有紧密的联系，苹果公司的logo(如图乙和丙)就是利用半径成斐波那契数列(1，1，2，3，5，8，13)的圆切割而成，在图甲的矩形ABCD中，任取一点，则该点落在阴影部分的概率是（）

A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依据图甲，分别求出阴影部分的面积，以及整个长方形的面积，面积比即为所求概率.【详解】由题意，阴影部分包括半径为和半径为的两个圆，面积分别为和，而整个长方形的宽为，长为，所以该点落在阴影部分的概率是.故选：A．【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，属于基础题型.6.双曲线的右焦点为，且点F到双曲线C的一条渐近线的距离为1，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由题意，得到，渐近线方程为，依据点到直线距离公式，求出，得出，即可求出离心率.【详解】因为双曲线的右焦点为，即，双曲线的渐近线方程为；又点F到双曲线C的一条渐近线的距离为1，所以，即，所以，则，因此.故选：B．【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简洁性质即可，属于基础题型.7.如图，在中，，，，点是边上靠近的三等分点，则（）

A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依据平面对量基本定理，由题意，得到，再由向量模的计算公式，即可求出结果.【详解】由题意，．所以，，故选：A．【点睛】本题主要考查求平面对量模，熟记向量数量积的运算法则即可，属于常考题型.8.在正项等比数列中，，前三项的和为7，若存在，使得，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出数列的公比，再由可得，再利用基本不等式可求解.【详解】解：由，，解得或（舍去），由，即，得，所以，当且仅当时，等号成立，故选：A．【点睛】本题考查等比数列的性质和基本不等式的综合应用，属于基础题.9.如图，某几何体的三视图均为边长为2的正方形，则该几何体的体积是（）

A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】先由三视图还原几何体，得到该几何体的体积为正方体的体积减去2个三棱锥的体积，进而可求出结果.【详解】由题意三视图对应的几何体如图所示，所以该几何体的体积为正方体的体积减去2个三棱锥的体积，即，故选：D．【点睛】本题主要考查由三视图求几何体的体积，熟记几何体的结构特征即可，属于基础题型.10.设动直线x=t与曲线以及曲线分别交于P，Q两点，表示的最小值，则下列描述正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依据条件将表示为函数的形式，然后利用导数探讨对应函数的单调性并分析的取值范围.【详解】依据条件可知，所以，不妨令，则，又因为，所以存在，使得，所以在上递减，在上递增，所以在处取得最小值，且，依据对勾函数的单调性可知：在上单调递减，所以，所以有，故选：B．【点睛】本题考查利用导数解决函数的最值问题，对学生的转化与化归实力要求较高，其中对于极值点范围的分析是一个重点，难度较难.11.过抛物线的焦点作抛物线的弦，与抛物线交于，两点，分别过，两点作抛物线的切线，相交于点，又常被称作阿基米德三角形．的面积的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设出直线的方程，利用弦长公式求出弦长，求出两条切线的方程得出点的坐标，利用三角形的面积公式可得.【详解】设，，由题意可得直线AB的斜率不为0,因为直线AB过焦点，所以设直线AB的方程；联立得，所以，由抛物线的性质可得过点，的抛物线的切线方程为：，联立得，，即.点到直线的距离，当且仅当时取到最小值.故选：C.【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，结合韦达定理求解弦长，依据点到直线的距离求出三角形的高，依据面积公式的特点求出最值，侧重考查数学运算的核心素养.12.已知函数，则（）A.2024 B.2020 C.4038 D.【答案】C【解析】【分析】先推断出关于成中心对称，由此求得所求表达式的值.【详解】，令，，则为奇函数，所以关于坐标原点对称，则关于成中心对称，则有，所以.故选：C【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性、对称性，属于中档题.二、填空题13.设实数，满意，则的最小值为_________【答案】【解析】【分析】画出不等式所表示的平面区域，依据目标函数的几何意义，结合图形，即可得出结果.【详解】画出所表示的平面区域如下，由得，则表示直线在轴上的截距；由图像可得，当直线过点时，在轴上的截距最小；由得，因此.故答案为：.【点睛】本题主要考查求线性规划的最值，利用数形结合的方法求解即可，属于常考题型.14.过原点与曲线相切的切线方程为______．【答案】【解析】【分析】设切点坐标为，求得，列出方程，求得，得到，即可求得切线的方程.【详解】设切点坐标为，切线方程为，由，则，则，则，即，即，解得，所以，所以原点与曲线相切的切线方程为．故答案为：【点睛】本题主要考查了过点出的切线方程的求解，其中解答中熟记到导数点几何意义，以及过点处的切线方程的解法是解答的关键，着重考查推理与运算实力.15.已知P是直线l:上一动点，过点P作圆C:的两条切线，切点分别为A、B.则四边形PACB面积的最小值为___________.【答案】2【解析】【分析】由圆的方程为求得圆心、半径r为，由“若四边形面积最小，则圆心与点的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长，最小”，最终将四边形转化为两个直角三角形面积求解．【详解】由题意得：圆的方程为：∴圆心为，半径为2，又∵四边形PACB的面积，所以当PC最小时，四边形PACB面积最小．将代入点到直线的距离公式，，故四边形PACB面积的最小值为2．故答案为：2【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，主要涉及了构造四边形及其面积的求法，同时，还考查了转化思想．此题属中档题．16.已知四棱锥，底面为正方形，平面，，，球与四棱锥的每个面都相切，则球的半径为______．【答案】【解析】【分析】计算出四棱锥的表面积，利用等体积法计算出球的半径.【详解】依题意底面为正方形，平面，所以，由于，所以平面，平面，所以，设内切球的半径为，，四棱锥的表面积，则有，解得．故答案为：【点睛】本小题主要考查几何体内切球的有关计算，属于基础题.三、解答题17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（1）求角C；（2）若，且，求△ABC的面积.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）由正弦定理将角化为边，再依据余弦定理可求出，继而得出角C；（2）依据条件可得，分和两种状况探讨可求出面积.【详解】（1）已知，由正弦定理，，整理得，由余弦定理：，又，所以．（2）已知，整理得，，即．①当时，为直角三角形，,；②当时，，所以，为等边三角形，,的面积为或．【点睛】本题考查正余弦定理的应用以及三角恒等变换解三角形，考查三角形面积的求解，属于中档题.18.某市数学教研员为了解本市高二学生的数学学习状况，从全市高二学生中随机抽取了20名学生，对他们的某次市统测数学成果进行统计，统计结果如图

（1）求x的值和数学成果在90分以上的人数；（2）用样本估计总体，把频率作为概率，从该市全部的中学生(人数许多)中随机选取4人，用ξ表示所选4人中成果在110以上的人数，试写出ξ的分布列，并求出ξ的数学期望【答案】（1）0.02；12；（2）分布列见解析，0.8.【解析】【分析】（1）依据频率之和为1，由频率分布直方图列出方程，即可求出，进而可求出数学成果在90分以上的人数；（2）先得出从该市全部的中学生中任取一人，成果在110以上的概率，由题意，可得，进而可求出分布列和数学期望.【详解】（1）由题意，x的值为，数学成果在90分以上的人数：．（2）把频率作为概率，从该市全部的中学生中任取一人，成果在110以上的概率，所以从该市全部的中学生（人数许多）中随机选取4人，所选4人中成果在110以上的人数，随机变量的取值可能为0，1，2，3，4，，，，，，随机变量的分布列01234P0.40960.40960.15360.02560.0016随机变量数学期望．【点睛】本题主要考查由频率分布直方图求参数，考查求二项分布的分布列和期望，属于常考题型.19.如图，在三棱柱中，，平面，，．（1）证明：平面平面；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】(1)面面垂直转化为线面垂直，只需证明平面即可；（2）转化为即可解得.【详解】（1）证明：∵平面，平面，∴．又∵，∵，∴平面．又∵平面，∴平面平面．（2）．【点睛】本题考查了面面垂直的推断和棱锥体积的求解，属于中档题目，解题中首先留意利用面面垂直推断定理证明面面垂直的书写要规范，其次在计算三棱锥的体积时一般要留意转化，选择合适的顶点和底面.20.已知函数且.（1）探讨函数的单调性;（2）当时，若函数的图象与轴交于，两点，设线段中点的横坐标为，证明:.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）先对函数求导，得到，分别探讨和两种状况，进而可得出函数单调性；（2）先由（1）得到，，对其求导，判定时，单调递增；将转化为，设，，且，将问题转化为证明；依据题意，得到，证明，令，，依据导数的方法判定其单调性，即可得出，进而可得结论成立.【详解】（1）函数的定义域为，，解得(舍去)，．当时，在上恒成立，所以函数单调递增；当时，在上，函数单调递减，在上，函数单调递增．综上，时，函数单调递增；时，在上单调递减；在上单调递增；（2）由（1）知，，，令，，则，当时，恒成立，所以单调递增，即单调递增；又，故要证，即证；设，，且，由题设条件知，，因此只需证；由题意，，两式作差可得，，即，即，下面先证明，即证，令，，则明显成立，所以在上单调递增，则，所以，即，所以，因此，即，，即因此，所以原命题得证【点睛】本题主要考查判定函数单调性，考查导数的方法证明不等式，属于常考题型.21.已知点P是椭圆C:上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，（1）求椭圆C的标准方程;（2）设直线l不经过P点且与椭圆C相交于A，B两点.若直线PA与直线PB的斜率之和为1，问:直线l是否过定点?证明你的结论【答案】（1）；（2）直线l过定点．证明见解析.【解析】【分析】（1）由椭圆定义可知，再代入P即可求出，写出椭圆方程；（2）设直线l的方程，联立椭圆方程，求出和之间的关系，即可求出定点.【详解】（1）由，得，又在椭圆上，代入椭圆方程有，解得，所以椭圆C标准方程为．（2）证明：当直线l的斜率不存在时，，，，解得，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程，，，由，整理得，，，．由，整理得，即．当时，此时，直线l过P点，不符合题意；当时，有解，此时直线l：过定点．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆中直线过定点问题，属于中档题.请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用