正弦函数、余弦函数的性质教案

第五章三角函数

5.4.2正弦函数、余弦函数的性质

学习目标

1.了解周期函数、周期、最小正周期的含义.

2.掌握y=sinx(xGR),y=cosx(xGR)的周期性、奇偶性、单调性和最值.

3.会求函数y=4sin(5+p)及y=Acos(cox+9)的周期，单调区间及最值.

重点难点

重点：y=sinx(x£R),y=cosx(x£R)的周期性、奇偶性、单调性和最值.

难点：会求函数产Asin(cor+9)及产Acos(①x+e)的周期，单调区间及最值.

知识梳理

1.函数的周期性

⑴对于函数火X),如果存在一个，使得当X取定义域内的________值时，都有

,那么函数人X)就叫做周期函数，叫做这个函数的周期.

(2)如果在周期函数_/U)的所有周期中存在一个,那么这个最小正数就叫做大x)的最小正

周期.

2.两种特殊的周期函数

(1)正弦函数是周期函数，2祈伏GZ且后0)都是它的周期，最小正周期是—.

(2)余弦函数是周期函数，2E/6Z且以0)都是它的周期，最小正周期是—.

2.正、余弦函数的奇偶性

1.对于y=sinx,x£R恒有sin(—x)=—sinx,所以正弦函数y=sinx是__函数,正弦曲线关于

对称.

2.对于y=cosx,xGR恒有cos(—x)=cosx,所以余弦函数y=cosx是__函数，余弦曲线关于

________对称.

3.正、余弦函数的单调性与最值

图象口

-1n0

不-1

同

奇偶

处____函数一函数

性

冏在[2E-2®+^(Z£Z)上是在[2E一兀，2E]/ez)上是_______；在

性\2kit,2E+n](A：eZ)上________

:在2攵兀+5，2E+%(攵£Z)

上是________

对称轴x=E+界£Z)x=kit(kGZ)

不

(E+10)(*Z)

同对称中心(E,0)(*ez)

处X=____________时，'max=1；x=_____时’>max=1；XX

最值

X=____________时,ymin=-1=______时，ymin=-1

学习过程

提出问题

类比以往对函数性质的研究，你认为应研究正弦函数、余弦函数的哪些性质？观察它们的图象，

你能发现它们具有哪些性质？

问题探究

根据研究函数的经验，我们要研究正弦函数、余弦函数的单调性、奇偶性、最大(小)值等.另

外，三角函数是刻画“周而复始”现象的数学模型，与此对应的性质是特别而重要的.

观察正弦函数的图象，可以发现，在图象上，横坐标每隔2兀个单位长度，就会出现纵坐标相同

的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律.实际上，这一点既可从定义中看出，也能

从诱导公式sin(x+2kn)=sinx(kGZ)中得到反映，即自变量X的值增加2n整数倍时所对应的函

数值，与x所对应的函数值相等.数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规

律.

1.周期性

一般地，对于函数/(x)，如果存在一个非零常数T,使得当工取定义域内的每一个值时，都有

/0+7)=/(为那么函数/(%)就叫做周期函数(periodicfunction).非零常数T叫做这个函数的周

期(period).

周期函数的周期不止一个.例如，2it,4兀，6兀，…以及一2兀，一4兀，-6兀，…都是正弦

函数的周期.事实上vkez,且常数独兀都是它的周期.

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小

正周期(minimalpositiveperiod).

根据上述定义，我们有：正弦函数是周期函数，2kir(kdZ且1#0)都是它的周期，最小正

周期是27t.类似地，余弦函数也是周期函数，2kn(kdZ且导0)都是它的周期，最小正周期是

27t.

典例解析

例2.求下列三角函数的周期:

⑴y=3sior,xGR；(2)y=coslx,xGR：(3)y=2sin(打-

2.奇偶性

观察正弦曲线和余弦曲线，可以看到正弦曲线关于原点辖对称，余弦曲线关于x轴对

称.这个事实，也可由诱导公式sin(-x)=-sinx；cos(-x)=cosx得到.所以正弦函数是奇函

数，余弦函数是偶函数.

知道一个函数具有周期性和奇偶性，对研究它的图象与性质有什么帮助？

做一做

1.(1)函数Xx)=，5sin2x的奇偶性为()

A.奇函数B.偶函数

C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数

⑵判断函数©=sin©x+用的奇偶性.

3.单调性

由于正弦函数是周期函数，我们可以先在它的一个周期的区间(如［彳，萼］)上讨论它的

单调性，再利用它的周期性，将单调性扩展到整个定义域.

观察图5.4-8,可以看到：当x由后增大到三时，曲线逐渐上升，sinx的值由-1增大到1；

当》由学曾大到当时,曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到-1.

表5.42

7T37r

JC70/7/兀/T

sinX/0/10-1

sinx的值的变化情况如表5.4.2所示：

就是说，左弦函数丁=sinx在区间产，自上单调递增，在区f%,专上单调递减，有正弦函

数的周期性可得:

正弦函数在每一个闭区间E1+2kn,1+2kn](kez)上都单调递增，其值从-1增大至U1;

在每一个闭区间碎+2/OT,等+2时(kSZ)上都单调递减，其值从1减小到-1.

类似地，观察余弦函数在一个周期区间(如卜兀,初)上函数值的变化规律，将看到的

函数值的变化情况填入表5.4.3

表5.43

7t7T

,r-K/~~20~2兀

cosX

由此可得，余弦函数y=cosx,xG[-兀,兀],在区间上单调递增，

其值从-1增大到1；上单调递增，在区间

上单调递减，其值从1减小到-1.由余弦函数的周期性可得，

余弦函数在每一个闭区间，上都单调递增,其值从-1增大到1；

在每一个闭区间,上都单调递减,其值从1减小到-1.

函数名递增区间递减区间

伶+2左肛,+2团

[--+2左左,—+2k7r]

y=sinx22

[（2k-V）7r,2k兀1[2人",（24+1）%]（左£z）

y=cosx

4.最大值与最小值

从上述对正弦函数、余弦函数的单调性的讨论中容易得到，正弦函数当且仅当x=

时，取得最大值1，当且仅当x=时，取得最小值一1:

余弦函数当且仅当x=时，取得最大值1,

当且仅当%=时，取得最小值一1.

例3.下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时自变量x的集合，

并求出最大值、最小值.

(1)y=cosx+1,xGR；

(2)y=-3sin2x,%GR.

例4.不通过求值，指出下列各式的大小:

（1）sin（一勺；sin（-布

(2)cos(--);cos(-—)

例5.求函数y=si兀G冗+g）,X£［—2兀，2兀］的单调递增区间.

达标枪测

1.判断（正确的打y“，错误的打"X”）

⑴若疝（60。+60。）=5皿60。，则60。为正弦函数），=sinx的一个周期.（）

（2）若7是函数段）的周期，贝以7,AGN*也是函数40的周期.（）

（3）函数y=sinx,xd（一兀，兀］是奇函数.（）

2.函数/(x)=5sin©一£)

,xGR的最小正周期为（)

4.比较下列各组数的大小:

(1)cos150°与cos170°；(2)sin5与sin

课堂小结

1.正弦、余弦函数的奇偶性、单调性

2.求函数的单调区间：

（1）.直接利用相关性质；（2）复合函数的单调性；（3）利用图象寻找单调区间

参考答案:

一、知识梳理

I最小的正数;2兀;2兀2奇;原点;偶;y轴

3奇；偶；增函数；减函数；增函数；减函数；2A7t+*AGZ）；2E—］（&eZ）；2E+JT；2kn

二、学习过程

例2.分析：通常可以利用三角函数的周期性，通过代数变形，得出等式〃%+7）=/（切而求出相

应的周期.对于（2）,应从余弦函数的周期性出发，通过代数变形得出cos2（x+T）=cos2x,xG

R；对于（3）,应从正弦函数的周期性出发，通过代数变形得出sinC（x+7）-£）=singx-9，x

CR；

【解】⑴"X?R＞有3sin（x+?t）=3sinx,由周期函数的定义知，y=3sinx的周期为27t.

⑵令z=2x,由xiR,得R,且〉二cosz的周期为2兀即

因为cos(z+2兀)=cosz,于是cos(2x+2兀)=cos2丫，所以cos2(/+7i)=cos2x,xlR

由周期函数的定义知，y=cos2x的周期为兀.

令z=—J,由％6R得ZER且y=2sinz的周期为即周期为2兀.

26

即，2si/i(z+2兀)=2sinz,于是，2si?i(二%—巳+2兀)=2si九(-X--?

\26/26

所以，2sin(-(x4-4n)--)=2sin(-x--)

\26/26

由周期函数的定义知，原函数的周期为4兀

回顾例2的解答过程，你能发现这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？

做一做：【答案】A

【解析】(1)・・7U)的定义域是R,且/—1)=啦sin2(-x)=-V2sin2x=~/U),

工函数为奇函数.

⑵■・D=sinQ+为=-cos・\/(—x)=—cosC)=-cos

函数yU)=singx+多为偶函数.

例3.解：容易知道，这两个函数都有最大值、最小值.

(1)使函数y-cosx4-1,x£R取得最大值的被的集合，

就是使函数y=cosx,xeR,

取得最大值的％的集合{xIx=2kn,kez)；

使函数y=cos%+l,x£R,取得最小值的被的集合，

就是使函数y=cosx,xER取得最小值的x的集合

{x\x=(2k+1)兀,kWZ}.

函数y=cosx+1,%eR的最大值是1+1=2；最小值是-1+1=0.

⑵解：令z=2%,使函数)y=-3sin2x,z£R取得最大值的z的集合，

就是使y=sinz,zCR取得最小值的z的集合{zIz=-]+21＜兀，kez)

由z=2x=-]+2k7T,得％=-g+k7i,所以，使函数y=-3sin2%,工£R

取得最大值的工的集合是{xI%=・g+k兀,kez}.

同理，使函数y=-3sin2x,%WR取得最小值的工的集合是

{xIx=2+k花，k£Z).

4

函数y=-3sin2x,xGR的最大值是3,最小值是一3.

例4.分析：可利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小.为此，先用诱导公式

将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小.

解：（1）因为-=<^<-^<0,

L1Ulo

正弦函^y=sinx在房,自上是增函数，

所以•.•sE（一盘）<5加（个）

（2）解：cos（一等）=cos（等）=cos拳cos（一牛）=cos（率）=cos^

因为。<：（当<兀，且余弦函数y=cosx在［0,n］上单调递减，

所以cos蓑〉cos：；砌cos（一子）>cos（一等）

例5.分析：令2=号*+々当自变量X的值增大时，Z的值也随之增大，因此若函数y=sinz

在某个区间上单