考研数学(1987-1997)年数学一试题

历年考研数学试题分析及答题技巧揭密李永乐：今年的试题是这样的。高等数学占得分值最高。数一题目我们可以看到，尽量的覆盖大纲

里面所有的内容，一些高等数学的题目小题选择题是比较简单的。像数一里面考察函数，倒函数个

万学•海文数是几个，求二元函数的梯度，还有微型方程这些小问题，大家做起来容易一些。新型代数我们讲

过，新型代数有这样的问题，数一第6小题二次取面，它对应的图形给你了，然后问说方程A对证

主持人：考研数学一直以来也是很多同学需要花费很大的精力去攻克的一个难关。当然，研究生入A,它正字型个数是多少个，这个我们好多同学不熟悉，事实上我们可以解空间几何来看，实际上正

学考试经过这些年，考研数学出题自由自己一套的规律和侧重点，相应地了解这些命题特点就可以数值个数是一个。一般同学现场推导很困难，好多同学就卡壳了，耽误了后面的题，所以我们在冲

很好地帮助大家在解题的时候能够轻轻松松、游刃有余。今天我们万学•海文辉煌讲堂有幸请到海刺的时候跟大家讲，中间卡壳可以先放一放往卜做。

文考研数学辅导“黄金团队”领头人李永乐老师来为大家分析一下数学试题及一些答题技巧。首先

请先允许我介绍一下李老师。李老师清华大学应用数学系教授，北京高教学会数学研究会副理事长概率的选择题比较简单，选择题在数学一里面有两道题比较大。第二道大题数学题填空题这个难度

全国最著名的考研数学线性代数辅导专家，多次参加考研数学大纲修订和全国性数学考试命题的工不大，都是常见的问题。微积分的题目都比较简单，然后甚至考察了我们教材里面这样一个例题，

作。编著多部考研数学参考书籍，在考生中享有极高的声誉。也就是教材里面积分上限函数它求导这个性质定律。概率稍微难了一点。也就是后面的问题稍微难

了一点，像数学三最后一道。数学四的概率统计要简单得多。

李老师对出题形式、考试重点了如指掌，解题思路极其灵活，效果优良，成绩显著，受到广大考生

的交口称赞。我们一起欢迎李老师的到来!李老师，您好！主持人：李老师，您能否简单地针对08年考研数学的出题特点给09年考研复习的同学一些复习的

建议呢？

李永乐：上持人好！各位同学好！

李永乐：考研数学复习的时候要注意三方面的问题，其一：找寻自己的薄弱环节，有针对性的进行巩

主持人：李老师，具有多年考研数学辅导经验的您能否首先为大家谈一谈考研数学的命题特点呢？固；其二：“以点带面”看到典型的题目，复习本章相关的所有知识点；其三：做题不在于多，而

在于精。甚至可以对经典的题目隔段时间做上一遍，领会出题者意图达到贯通。

李永乐：总体来说，考研数学的试题具有如下几个方面的特点：1,综合度高，考研数学涉及高等数

学、线性代数、概率论等三门课程的内容。不仅有跨章节的知识点运用，更有跨学科的知识点运用。主持人：感谢李老师的讲解，今天由于时间关系，节目就到此结束了。非常感谢各位研友一直以来

如《高数》，《线代》，《概率》的知识点的相互穿插。2,重视锻炼思维，并不注重计算，对知识对万学•海文的支持，也再次感谢李老师。请大家继续关注万学•海文辉煌讲堂的后续节目。再见！

点的灵活运用要求很高。如00年第三题，第十题，03年第九题等都是经过命题者的精心设计，用

心良苦。3,整体知识覆盖面广，考察知识点的角度经典。4,要求对数学知识综合运用能力强，解李永乐：再见！

答题几乎不存在投机的可能。5,真题的出题顺序是严格按照大纲编排顺序而安排，有的题目可用两

门学科的方法解答，不走出题者的思想路线你会碰到麻烦的。如03年第十题6,《曲线，曲面积分》

1987年全国硕士研究生入学统一考试

一章为《高数》的难点，也是测试的重点，大家要好好琢磨，多下些工夫。00年到03年连续4年

年年两道大题，其中01,02年以应用题的形式出现。7,有些研友说中值定理的证明较难，可以把

数学(一)试卷

泰勒公式作为最后的杀手铜，大量题目都可以用其解决。如01年的第七题.8,统计部分测试题型

单一，有的研友说这部分较难，好好总结一下，这部分送分的题目丢分实在可惜。9,《线代》是一

一、填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上)

种全新的思维模工3光有空间想象能力是不够的，如果不拓展自己的思维，考试将近，几乎可以放

弃了。⑴当x=时，函数y=x•2、取得极小值.

主持人：那解答考研数学试题要遵循什么样的顺序和规律呢？(2)由曲线y=Inx与两直线y=e+1—x及y=0所围成的平面图形的面积是.

李永乐：一般顺序这样的：先解答填空题，因为填空题是考查基本概念的题目比较多，还有一些基x=\

本运算题，得分比较容易，当然试题中计算题或者证明题以平时看书或者参加辅导班老师所讲的例(3)与两直线＜y=-l+f及四■=上匕=如都平行且过原点的平面方程为.

题类似的也可以先做；其次做计算题；最后解单项选择题。因为有些单项选择题概念性非常强，计111

算技巧也比较高，所以同学们在解答单选的时候要掌握正确的方法。这里给大家推荐一些解答但选=2+f

题的技巧：1.推演法：它适用于题干中给出的条件是解析式子。2.图示法：它适用于题干中给出的(4)设L为取正向的圆周*2+),2=9,则曲线积分£(2科-2y)dx+，-4x)dy=.

函数具有某种特性，，例如奇偶性、周期性或者给出的事件是两个事件的情形，用图示法做就显得

格外简单。3.举反例排除法：排除了三个，第四个就是正确的答案，这种方法适用于题干中给出的(5)已知三维向量空,间的基底为叫ia(l,1,0),2=(1,0,1),3=(0,1,1),则向量0=(2,0,0)在此基底下的坐标

函数是抽象函数的情况。4.逆推法：所谓逆推法就是假定被选的四个答案中某一个正确，然后做逆

推，如果得到的结果与题设条件或尽人皆知的正确结果矛盾，则否定这个备选答案。5.赋值法：也是.

就是说将备选的一个答案用具体的数字代入，如果与假设条件或众所周知的事实发生矛盾则予以否

定。二、(本题满分8分)

求正的常数a与b,使等式lim—!—「的=1成立.

主持人：李老师，具有多年阅卷经验的您能否为大家具体谈谈08年考研数学试题的特点呢？J2

XTObx-sinXSyja+f

(A)发散(B)绝对收敛

(C)条件收敛(D)散敛性与k的取值有关

(4)设A为〃阶方阵，且A的行列式IA1=aH0,而A•是A的伴随矩阵,则IA」等于

(A)a(B)-

a

三、(本题满分7分)

(OQ(D)a”

⑴设f、g为连续可微函数,〃=/(X,孙),y=g(x+孙)，求空

arox

六、(本题满分10分)

求暮级数支」一%"”的收敛域，并求其和函数.

301

(2)设矩阵A和B满足关系式AB=A+2B,其中A=110，求矩阵B.

014

四、(本题满分8分)七、(本题满分10分)

求曲面积分

求微分方程)严+6)严+(9+a2)/=1的通解，其中常数a>0.

1=，K(8y+\)dydz+2(1-y2)dzdx-4yzdxdy,

£

7=I-v—\1<y<3

5一'一绕Y轴旋转一周而成的曲面，其法向量与V轴正向的夹角恒大于

{x=0

n

~2'

五、选择题(本题共4小题,每小题3分，满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求，把所选项

前的字母填在题后的括号内)

⑴设lim八幻",”二一1,则在x=a处

f(x-a)~

(A)/(x)的导数存在,且/'(a)工0(B)/&)取得极大值

(C)f(x)取得极小值(D)/。)的导数不存在

S

(2)设/(x)为已知连续函数，/=，£f(tx)dx,其中f>0,s>0,则/的值

(A)依赖于s和t(B)依赖于s、f和x

(C)依赖于hx，不依赖于s(D)依赖于s，不依赖于f

(3)设常数2>0,则级数£(-1)"?

八、(本题满分10分)

设函数/(x)在闭区间［0川上可微，对于［0,1］上的每一个x,函数人工)的值都在开区间(0,1)内,且广(X)H1、

证明在(0,1)内有且仅有一个K使得/(x)=X.1

(3)已知连续随机变量X的概率密度函数为/(x)e*+2i,则*的数学期望为一,X的方差

下

为.

十一、(本题满分6分)

设随机变量x,y相互独立，其概率密度函数分别为

fxq=1OVEre-.«y>0

。其它'/1(T0K。'

求z=2X+丫的概率密度函数.

九、(本题满分8分)

问。泊为何值时，现线性方程组

X,+x2+x3+x4=0

x2+2x,+2X4=1

-x2+(a-3)w-2X4=b

3X1+2X2+.r3+av4=-l

有唯一解，无解，有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.

十、填空题(本题共3小题.每小题2分，满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)设在一次实验中，事件4发生的概率为p,现进行〃次独立试验，则A至少发生一次的概率为;

而事件4至多发生一次的概率为.

(2)有两个箱子，第1个箱子有3个白球,2个红球，第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取

1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为.已知上述从第2个箱子

中取出的球是白球，则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为.

1988年全国硕士研究生入学统一考试⑸n维向量组apa2,…，(3Ks«〃)线性无关的充要条件是

数学(一)试卷(A)存在组不全为零的数人,0，…，&，使供1A22+…+As*0

一、(本题共3小题,每小题5分，满分15分)(B)afia二,…，,中任意两个向量均线性无关

(1)求某级数£包二%的收敛域.

(C)afxa?,…，,中存在•个向量不能用其余向量线性表示

n=l〃3

(D)aaar…，，中存在•个向量都不能用其余向量线性表示

(2)设f(x)=Qe,f[(p(x)]=1-xFL-N0,求叭x)及其定义域.

(3)设Z为曲面V+r+z2=l的外侧,计算曲而积分I=//办心+y^dzdx+z3dMv.

四、(本题满分6分)

I

设"=讨(£)+必(2),其中函数f、g具有二阶连续导数，求x空+y".

二、填空题(本题共4小题,每小题3分，满分12分.把答案填在题中横线上)yxdx^oxdy

(1)若/(r)=limr(l+1产,则/'(/)=.

ZBX

(2)设/(x)连续且p'f(t)dt=x,则/(7)=.

(3)设周期为2的周期函数，它在区何(-1,1]上定义为/(A)=J2,则的傅里叶(&"山er)级数在

[x"0<x<1

X=1处收敛于.

(4)设4阶矩阵AoyWB阶YY，J=[,2,3,/，其中Q0K/%，3,4均为4维列向量，且已知行列式

|A|=4,|B|=1,则行列式|A+B|=.

三、选择题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项

五、(本题满分8分)

前的字母填在题后的括号内)

⑴设J(r)可导且/'(%)=；,则Zf。时J(x)在/处的微分dy是设函数>-=义x)满足微分方程y"-3y'+2y=2e\其图形在点(0,1)处的切线与曲线)，=--4-1在该点处

(A)与Z等价的无穷小(B)与Ax同阶的无穷小的切线重合,求函数y=y(x).

(C)比Ar低阶的无穷小(D)比At高阶的无穷小

f

⑵设y=f(x)是方程y〃-2y+4y=0的一个解且f(xQ)>0,/(小)=0,则函数/(x)在点凝处

(A)取得极大值(B)取得极小值

(C)某邻域内单调增加(D)某邻域内单调减少

(3)设空间区域0:丁+3；2+/“/?2,1之()，5：/+,2+22工/?2,K之()，¥之(),2之(),则

(A)JjJxJv=4JJJdu(B)=4UIydv

Q%塔用

(C)JjJzdv=4J|jzdv(D)J|Jxyz</v=41\"小

RAQ牲

(4)设辕级数£q,(x-l)”在x=-l处收敛.则此级数在x=2处

n«l

(A)条件收敛(B)绝对收敛

(C)发散(D)收敛性不能确定

六、(本题满分9分)九、(本题满分9分)

设位于点(0,1)的质点4对质点M的引力大小为二伙>0为常数，r为A质点与M之间的距离)，质点M沿设函数/*)在区间句上连续,FL在内有八九)>0,证明:在3⑼内存在唯一的以使曲线y=/(x)

r

直线y=j2x—,d自8(2,0)运动到。(0,0),求在此运动过程中质点A对质点M的引力所作的功.与两直线y=f4),x=a所围平面图形面积S,是曲线y=f(x)与两直线)，=f^\x=b所围平面图形面积邑

的3倍.

七、(本题满分6分)十、填空题(本题共3小题,每小题2分，满分6分.把答案填在题中横线上)

19

(1)设在：•次独立试验中，事件A出现的概率相等,若已知4至少出现次的概率等「——，则事件4在一次试验

27

已知AP=BP,其中B，求A,A‘.

中出现的概率是____________.

⑵若在区间(0,1)内任取两个数.则事件”两数之和小丁*'的概率为.

(3)设随机变量X服从均值为10,均方差为0.02的正态分布，已知

帕c)=］正=匕2d〃4(2.5)=0.9938.

则X落在区间(9.95,10.05)内的概率为.

十一、(本题满分6分)

八、(本题满分8分)

设随机变量x的概率密度函数为fxa)=——、求随机变量r=i-Vx的概率密度函数力,(v).

-200-~200~

乃(1一厂)

已知矩阵庆=001B=0y0相似.

01X00-1

(1)求\与y.

(2)求一个满足PAP=B的可逆阵P.

1989年全国硕士研究生入学统一考试三、(本题共3小题,每小题5分，满分15分)

数学(一)试卷(1)设z=/(2工一y)+g(x,xy),其中函数f(t)二阶可导具有连续二阶偏导数，求一丁.

dxdy

一、填空题(本题共5小题.每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)已知/'(3)=2,则lim"3i)/(3)=.

…2/i

(2)设“X)是连续函数，且,f(x)=x+2(f(r)dr,则f(x)=.

(3)设平面曲线L为下半圆周y=-y/1-x2,则曲线积分£(X?+y2)ds=.

2

(4)向量场div〃在点尸(1,1,0)处的散度div〃=.(2)设曲线积分[xydx+yp(x)办与路径无关，其中(p(x)具有连续的导数.且(9(0)=0,计算

['xy2dx+y<p(x)dyffjfi.

(5)设矩阵A，则矩阵(A-21尸三

二、选择题(本题共5小题.每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中.只有一个符合题目要求，把所选项

前的字母填在题后的括号内)

(1)当X>0时,曲线丁=X$m，

x

(A)有且仅有水平渐近线(B)有且仅有铅直渐近线

(C)既有水平渐近线，又有铅直渐近线(D)既无水平渐近线，又无铅直渐近线(3)计算三重积分Jj](x+z)dv,其中C是由曲面2=小/+/0z=Jl-.F-V所围成的区域.

2n

(2)已知曲面z=4-x-/上点P处的切平面平行于平面2工+2y+z-1=0,则点的坐标是

(A)(1,-1,2)(B)(-l,l,2)

(C)(1J,2)(D)(-l,-l,2)

(3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数，则该非齐次方程的通解是

(A)qx+c2y2+(B)c阴+c2y2-(q+c2)y3

(C)qy,+c2y2-(l-c1-c2)y3(D)q»+c2y2+(l-q-c2)y3

四、(本题满分6分)

(4)设函数/(x)=/,04x<1,而5(x)=£b“sin〃乃x,-oovx<+oo,其中\+x

n=l将函数f(工)=arctan展为x的耗级数.

/?„=2f/(A)sinn;rx(b:,n=则5(-—)等于

2

(A)-i(B)--i-

24

(C)i(D)g

42

⑸设A是〃阶矩阵，且A的行列式|A|=0,则A中

(A)必有一列元素全为0(B)必有两列元素对应成比例

(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合(D)任一列向量是其余列向量的线性组合

五、(本题满分7分)八、(本题满分8分)

设/(x)=sinx-f(xT)f⑴小，其中/为连续函数，求/*).假设；I为〃阶可逆矩阵A的•个特征值，证明

⑴?为A’的特征值.

A

为A的伴随矩阵A•的特征值.

六、(本题满分7分)

九、(本题满分分)

证明方程In%=土-「V1-COS2ATZX在区间(0,+00)内有且仅有两个不同实根.9

设半径为R的球面X的球心在定球面/+y2+/=/(〃>0)上问当R为何值时，球面£在定球面内部的那