d105对坐标曲面积分省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

第五节一、有向曲面及曲面元素投影二、对坐标曲面积分概念与性质

三、对坐标曲面积分计算法四、两类曲面积分联络机动目录上页下页返回结束对坐标曲面积分第十章第1页一、有向曲面及曲面元素投影•曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面经典)机动目录上页下页返回结束第2页其方向用法向量指向方向余弦>0为前侧<0为后侧封闭曲面>0为右侧<0为左侧>0为上侧<0为下侧外侧内侧•设

为有向曲面,侧要求

指定了侧曲面叫有向曲面,表示:其面元在xoy面上投影记为面积为则要求类似可要求机动目录上页下页返回结束第3页二、对坐标曲面积分概念与性质

1.引例设稳定流动不可压缩流体速度场为求单位时间流过有向曲面流量.分析:若是面积为S平面,则流量法向量:

流速为常向量:

机动目录上页下页返回结束第4页对普通有向曲面,用“大化小,常代变,近似和,取极限”

对稳定流动不可压缩流体速度场进行分析可得,则机动目录上页下页返回结束第5页设

为光滑有向曲面,在

上定义了一个意分割和在局部面元上任意取点,分,记作P,Q,R叫做被积函数;

叫做积分曲面.或第二类曲面积分.以下极限都存在向量场若对

任

则称此极限为向量场A在有向曲面上对坐标曲面积2.定义.机动目录上页下页返回结束第6页引例中,流过有向曲面流体流量为称为Q在有向曲面上对

z,x曲面积分;称为R在有向曲面上对

x,

y

曲面积分.称为P在有向曲面上对

y,z

曲面积分;若记

正侧单位法向量为令则对坐标曲面积分也常写成以下向量形式机动目录上页下页返回结束第7页3.性质(1)若之间无公共内点,则(2)用

ˉ表示

反向曲面,则机动目录上页下页返回结束第8页三、对坐标曲面积分计算法定理:设光滑曲面取上侧,是上连续函数,则证:∵取上侧,机动目录上页下页返回结束第9页

•若则有•若则有(前正后负)(右正左负)说明:假如积分曲面

取下侧,则机动目录上页下页返回结束第10页例1.

计算其中是以原点为中心,边长为

a

正立方体整个表面外侧.解:

利用对称性.原式顶部取上侧底部取下侧机动目录上页下页返回结束第11页解:把分为上下两部分依据对称性思索:下述解法是否正确:例2.计算曲面积分其中为球面外侧在第一和第八卦限部分.机动目录上页下页返回结束第12页机动目录上页下页返回结束第13页例3.设S是球面外侧,计算解:利用轮换对称性,有机动目录上页下页返回结束第14页四、两类曲面积分联络曲面方向使用方法向量方向余弦刻画机动目录上页下页返回结束第15页令向量形式(A在n上投影)机动目录上页下页返回结束第16页例4.

位于原点电量为q点电荷产生电场为解:。求E经过球面:r=R外侧电通量.机动目录上页下页返回结束第17页例5.设是其外法线与z轴正向夹成锐角,计算解:机动目录上页下页返回结束第18页例6.

计算曲面积分其中

解:利用两类曲面积分联络,有∴原式=旋转抛物面介于平面z=0及z=2之间部分下侧.机动目录上页下页返回结束第19页原式=机动目录上页下页返回结束第20页内容小结定义:1.两类曲面积分及其联络

机动目录上页下页返回结束第21页性质:联络:思索:方向相关,上述联络公式是否矛盾?两类曲线积分定义一个与

方向无关,一个与

机动目录上页下页返回结束第22页2.惯用计算公式及方法面积分第一类(对面积)第二类(对坐标)二重积分(1)统一积分变量代入曲面方程(方程不一样时分片积分)(2)积分元素投影第一类：面积投影第二类：有向投影(4)确定积分域把曲面积分域投影到相关坐标面注：二重积分是第一类曲面积分特殊情况.转化机动目录上页下页返回结束第23页当时，（上侧取“+”,下侧取“

”)类似可考虑在yoz面及zox面上二重积分转化公式.机动目录上页下页返回结束第24页思索与练习1.P167题2提醒:设则

取上侧时,

取下侧时,2.P184题13.P167题3(3)机动目录上页下页返回结束第25页是平面在第四卦限部分上侧,计算提醒:求出法方向余弦,转化成第一类曲面积分P167题3(3).设作业

P1673(1),(2),(4);4(1),