第四章-贝塞尔函数市公开课一等奖省赛课获奖课件

第四章：贝塞尔函数深圳大学电子科学与技术学院第1页几个微分方程引入伽马函数基本知识贝塞尔方程求解贝塞尔函数基本性质贝塞尔函数应用举例本章提要:参考了孙秀泉教授课件第2页

贝塞尔函数是贝塞尔方程解。除初等函数外，在物理和工程中贝塞尔函数是最惯用函数，它们以19世纪德国天文学家F.W.Bessel姓氏命名，他在1824年第一次描述过它们。第3页

德国天文学家，数学家，天体测量学奠基人。1784年7月22日生于明登，1846年3月17日卒于柯尼斯堡。15岁辍学到布莱梅一家商行学徒，业余学习天文、地理和数学。20岁时发表了相关彗星轨道测量论文。1810年任新建柯尼斯堡天文台台长，直至逝世。1812年当选为柏林科学院院士。贝塞尔主要贡献在天文学，以《天文学基础》（1818）为标志发展了试验天文学，还编制基本星表，测定恒星视差，预言伴星存在，导出用于天文计算贝塞尔公式，较准确地计算出岁差常数等几个天文常数值，还编制大气折射表和大气折射公式，以修正其对天文观察影响。他在数学研究中提出了贝塞尔函数，讨论了该函数一系列性质及其求值方法，为处理物理学和天文学相关问题提供了主要工具。另外，他在大地测量学方面也做出一定贡献，提出贝塞尔地球椭球体等观点。贝塞尔重新订正了《布拉德莱星表》，并加上了岁差和章动以及光行差更正;还编制了包含比九等星更亮75000多颗恒星基本星表，以后由他继承人阿格兰德扩充成著名《波恩巡天星表》。

1837年，贝塞尔发觉天鹅座61正在非常迟缓地改变位置，第二年，他宣告这颗星视差是0.31弧秒，这是世界上最早被测定恒星视差之一。第4页三维波动方程：三维热传导方程：分离变量：一、几个微分方程引入对u(r)，得到：第5页xyz球坐标下：第6页球贝塞尔方程欧拉方程k=0k=0第7页连带勒让德方程：勒让德方程：m=0第8页xyz柱坐标下：第9页贝塞尔方程第10页取：亥姆霍兹方程参数形式贝塞尔方程取：=1Sturm-Liouville（施图姆-刘维尔）型方程贝塞尔方程勒让德方程取：另一路径：第11页定义：基本性质：证实：二、伽马函数基本知识第12页求证：令t=u2其它结论第13页变系数二阶线性常微分方程，其解称为贝塞尔函数

阶贝塞尔方程不能在x=0附近展开成幂级数，因为x=0是它正则奇点对于变系数方程y+p(x)y+q(x)y=0，假如xp(x)、x2q(x)都能在x=0附近展开成幂级数，则在这个邻域内方程有广义幂级数解Ck是展开系数，c是待定常数三、贝塞尔方程求解第14页代入贝塞尔方程第15页要使等式两边成立，则x各次幂系数为零第16页将c=

v代入(2)，得C1=0先考虑c=v情况，代入(3)，得(4)第17页一个特解为C0为任意常数，通常取第18页v阶第一类贝塞尔函数第19页对于任意x(-,+)，所以级数y1收敛区间为

(-,+)在x=0时，令第20页再考虑c=-v情况，得到贝塞尔方程通解为：其中v为实数（不是整数），A、B为待定系数第21页整数阶贝塞尔函数其中v不是整数当v是整数时第22页Yv称为第二类v阶贝塞尔函数（也称诺伊曼或牛曼函数），与Jv(x)是线性无关v阶贝塞尔方程通解：假如v不是整数，其通解还可表示为第23页第二类贝塞尔函数图象贝塞尔函数图象贝塞尔、牛曼函数图象第24页第25页第26页第27页四、贝塞尔函数基本性质1、生成函数：假如一个函数级数展开式系数是贝塞尔函数，则称该函数为贝塞尔函数生成函数或母函数。假如有则称f(x,r)为Jn(x)生成函数，r为参数整数阶贝塞尔函数生成函数为第28页2、贝塞尔函数递推公式对任意v都成立第29页例1第30页例2计算积分利用第31页例3求证：证实：利用第32页例4求证：证实：利用第33页3、贝塞尔函数零点●●●●●●●零点概念与初步印象第34页●●●●●●●关于零点几个结论(1)Jn(x)有没有穷多个单重实零点，且这无穷多个零点在x轴上是关于原点对称分布着，因而Jn(x)必有没有穷多个正零点(2)Jn(x)零点与Jn+1(x)零点是彼此相间分布，即Jn(x)任意两个零点之间必存在一个且仅有一个Jn+1(x)零点(3)当x值充分大时，Jn(x)两个相邻零点之间距离靠近

，即Jn(x)几乎是以2

为周期第35页●●注意：这里指标(n)，仅表示第n

阶贝塞尔函数，不要与n

阶导数混同。●●●●●●●●第36页●●●●●●●第37页第38页希望光纤传输单模，要求波导归一化频率满足0<V<2.405。光纤（光导纤维）是一个圆柱对称介质光波导。纵向电场分量Ez满足后续课程中一个应用：圆柱坐标系中第39页4、贝塞尔函数渐近公式第40页5、贝塞尔函数正交性说明，n阶贝塞尔函数在区间[0,R]上带权r正交第41页贝塞尔函数是正交完备，能够将一个定义在区间[0,R]函数f(r)展开为展开系数由此式所确定Am被称为傅立叶-贝塞尔系数傅立叶-贝塞尔级数第42页例1解第43页第44页例2解第45页备用展开系数展开式第46页例解套路边界条件需“翻译”一、建立方程第47页取D=0第二类贝塞尔函数在

=0不是有界第48页二、求本征值、本征函数由边界条件得第49页三、由叠加原理写出普通解。普通解：本征解：第50页四、确定系数第51页代入式(4.68)，得到普通解：第52页在圆柱形波导中电磁波传输问题；圆柱体中热传导问题；圆形（或环形）薄膜振动模态