第二十二章-曲面积分市公开课一等奖省赛课获奖课件

第二十二章曲面积分§1第一型曲面积分§2第二型曲面积分§3高斯公式与斯托克斯公式第1页一、概念引入实例

所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动.§1第一型曲面积分第2页分割取近似求和取极限匀质之质量非匀质之质量，用元素法处理第3页定义1设S为可求面积曲面,为定义在S上函数.对曲面S作分割T,将S分成

n个小曲面块Si(i=1,2,...,n),Si面积记为在Si任取一点若极限存在,则称此极限为f(x,

y,z)在S上第一型曲面积分,记作第4页面积元素被积函数积分曲面积分和式即第5页2.对面积曲面积分性质尤其，第6页3.用曲面积分表示与物质曲面相关物理量第7页按照曲面不一样情况分为以下三种：记忆口诀：“一投，二换，三代”.

二第一型曲面积分计算第8页,则三代：二换：一投：第9页,则三代：二换：一投：第10页注：（1）这里积分曲面方程必须是单值显函数，不然可利用可加性，分块计算，结果相加（2）把曲面投影到哪一个坐标面，取决于曲面方程即方程表示形式（3）将曲面方程代入被积函数目标和意义是把被积函数化为二元函数（4）切记任何时候都要换面积元（5）若曲面为参数方程,只要求出在参数意义下dS表示式,也可将对面积曲面积分转化为对参数二重积分.第11页定理22.1

设有光滑曲面

f(x,y,z)在S上连续,则第一型曲面积分计算证实第12页证实

由定义知

而第13页(

光滑)第14页例1解第15页第16页第17页思索:若

是球面被平行平面z=±h截出上下两部分,则第18页例2解第19页第20页所以，第21页第22页第23页第24页例3解第25页第26页第27页第28页例4解第29页第30页例5第31页解第32页（左右两片投影相同）第33页第34页例6

计算曲面积分

其中S为立体边界曲面.解设第35页所以第36页例7

计算

其中

是介于平面

之间圆柱面

分析若将曲面分为前后(或左右)则解取曲面面积元素两片,则计算较繁.第37页例8计算

解

取球面坐标系,则第38页第39页第40页四、小结2、对面积曲面积分解法是将其化为投影域上二重积分计算.1、对面积曲面积分概念;（按照曲面不一样情况分为三种）作业：P282:1(1)~(4)，2，3.第41页思索题在对面积曲面积分化为二重积分公式中,有因子,试说明这个因子几何意义.第42页思索题解答是曲面元面积,故是曲面法线与轴夹角余弦倒数.第43页习题二(P193)作业1；2；4；5；6.第44页练习题第45页第46页练习题答案第47页第二十二章曲面积分§2第二型曲面积分第48页•曲面分类

双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面经典)一、基本概念第49页设连通曲面S上处处有连续设M0为曲面S上一点，确定方向为正方向，另一个方向为负方向.

L为S上任一经过点M0且不超出S边界闭曲线.设点M从M0出发，沿L连续移动，M在M0点与M0变动切平面（或法线）曲面在M0点一个法线有相同法线方向，当点M连续移动时，其法线方向也连续变动，最终当M沿L回到M0时，若这时M

法线方向仍与M0点法线方向一致，则称此曲面S为双侧曲面；若与M0法线方向相反，则称S为单侧曲面第50页曲面分类:1.双侧曲面;2.单侧曲面.经典双侧曲面第51页莫比乌斯带经典单侧曲面:播放第52页曲面法向量指向决定曲面侧.决定了侧曲面称为有向曲面.上侧下侧第53页方向余弦>0为前侧<0为后侧封闭曲面>0为右侧<0为左侧>0为上侧<0为下侧外侧内侧侧要求第54页曲面投影问题:类似地可定义第55页二、概念引入实例:流向曲面一侧流量.第56页第57页1.分割则该点流速为.法向量为.第58页2.求和第59页3.取极限第60页三、概念及性质第61页积分曲面被积函数有向面积元类似可定义第62页存在条件:组合形式:物理意义:第63页性质:第64页四、计算法第65页第66页注意:对坐标曲面积分,必须注意曲面所取侧.第67页这就是把对坐标曲面积分化成二重积分计算公式概括为：代：将曲面方程表示为二元显函数，然后代入被积函数，将其化成二元函数投：将积分曲面投影到与有向面积元素（如dxdy）中两个变量同名坐标面上（如xoy面）定号：由曲面方向，即曲面侧确定二重积分正负号一代、二投、三定号、四换域第68页换域：改变积分域，曲面变投影域注积分曲面方程必须表示为单值显函数不然分片计算，结果相加②确定正负号标准：曲面取上侧、前侧、右侧时为正曲面取下侧、后侧、左侧时为负第69页解例1

计算曲面积分

其中S为球面外侧在第一和第五卦限部分.把S分为上下两部分第70页第71页思索第72页例2

计算平面x=0,y=0,z=0,x+y+z=1所围成空间区域整个边界曲面外侧oxyz解分成四个部分左侧下侧后侧上侧第73页同理第74页同理注:对坐标曲面积分对称性被积表示式含有轮换对称性，即将被积表示式中全部字母按xyz次序代换后原式不变积分曲面及其侧含有对称性，这是指曲面在各坐标面上投影区域均相同，且配给符号也相同第75页例3

计算

其中S是以原点为中心,边长为

2

正立方体整个表面外侧.解其中S1是S顶部取上侧

S2是S底部取下侧第76页由对称性，有第77页例4

计算

其中S是球面取外侧为正向.解设S1是上半球面取上侧

S2是下半球面取下侧在xy坐标面上投影区域先计算积分第78页第79页同理可得所以第80页设光滑曲面S，其指定一侧法方向余弦为：则沿曲面S指定一侧曲面积分五、两类曲面积分联络第81页第82页普通地有其中为曲面S指定一侧法方向余弦.第83页向量形式第84页解第85页第86页1.定义六、小结第87页2.性质3.计算设上正下负第88页两类曲面积分联络:4、物理意义5、计算时应注意以下两点曲面侧“一投,二代,三定号”第89页思索题第90页思索题解答此时左侧为负侧，而左侧为正侧.第91页练习题第92页第93页练习题答案第94页莫比乌斯带经典单侧曲面:第95页经典单侧曲面:莫比乌斯带第96页经典单侧曲面:莫比乌斯带第97页经典单侧曲面:莫比乌斯带第98页经典单侧曲面:莫比乌斯带第99页经典单侧曲面:莫比乌斯带第100页经典单侧曲面:莫比乌斯带第101页经典单侧曲面:莫比乌斯带第102页经典单侧曲面:莫比乌斯带第103页经典单侧曲面:莫比乌斯带第104页经典单侧曲面:莫比乌斯带第105页经典单侧曲面:莫比乌斯带第106页经典单侧曲面:莫比乌斯带第107页经典单侧曲面:莫比乌斯带第108页经典单侧曲面:莫比乌斯带第109页经典单侧曲面:莫比乌斯带第110页第二十二章曲面积分§3高斯(Gauss)公式与

斯托克斯(stokes)公式第111页一问题提出前面我们将Newton-Lebniz公式推广到了平面区域情况，得到了Green公式。此公式表示了平面闭区域上二重积分与其边界曲线上曲线积分之间关系。下面我们再把Green公式做深入推广，这就是下面将要介绍Gauss公式，Gauss公式表示了空间闭区域上三重积分与其边界曲面上曲面积分之间关系，同时Gauss公式也是计算曲面积分一有效方法。第112页二、高斯公式1.定理:第113页证实第114页依据三重积分计算法依据曲面积分计算法投影法（先一后二法）第115页第116页同理------------------高斯公式和并以上三式得：第117页Gauss公式实质表示了空间闭区域上三重积分与其边界曲面上曲面积分之间关系.由两类曲面积分之间关系知第118页注不满足上述条件，能够引进若干张辅助曲面分成几个有限小区域使之都满足上述条件注意到沿辅助曲面相反两侧两个曲面积分绝对值相等，而符号相反，相加时恰好抵消，所以上述公式对这么区域也成立，故普通地1.若第119页2.公式成立条件依据Gauss公式，用三重积分来计算曲面积分是比较方便，但Gauss公式同时也说明，可用曲面积分来计算三重积分第120页第121页三高斯公式简单应用解第122页(利用柱面坐标得)思索:

若

改为内侧,结果有何改变?若

为圆柱侧面(取外侧),又怎样计算?第123页第124页解空间曲面在面上投影域为曲面不是封闭曲面,为利用高斯公式第125页第126页故所求积分为第127页例3计算其中S是由x=y=z=0,x=y=z=a六个平面所围正立方体表面并取外侧为正向.解第128页例1计算所围空间区域表面，方向取外侧.解其中S为锥面与平面课堂练习第129页第130页设S1为上半球体底面，例3计算外侧.解其中S是上半球面取下侧.于是第131页(1).通量定义:3.物理意义:第132页(2).散度定义:第133页散度在直角坐标系下形式积分中值定理,两边取极限,第134页高斯公式可写成第135页高斯(1777–1855)德国数学家、天文学家和物理学家,是与阿基米德,牛顿并列伟大数学家,他数学成就遍布各个领域,在数论、级数、复变函数及椭圆函数论等方面都有一系列开创性贡献,他还十分重视数学应用,地测量学和磁学研究中创造和发展了最小二乘法、曲面论和位势论等.他在学术上十分慎重,标准:代数、非欧几何、微分几何、超几何在对天文学、大恪守这么“问题在思想上没有弄通之前决不动笔”.第136页斯托克斯公式建立了沿曲面S曲面积分与沿S

边界曲线L曲线积分之间联络.对曲面S侧与其边界曲线L方向作以下要求：设人站在曲面S上指定一侧，沿边界曲线L行走，指定侧总在人左方，则人前进方向为边界曲线

L

正向.这个要求方法也称为右手法则.第137页二斯托克斯(stokes)公式斯托克斯公式第138页右手法则是有向曲面正向边界曲线证实如图第139页思绪曲面积分1二重积分2曲线积分第140页1第141页根椐格林公式平面有向曲线2空间有向曲线第142页同理可证故有结论成立.第143页情形2则可经过作辅助线把

分成与z轴只交于一点几部分,在每一部分上应用斯托克斯公式,然后相加,因为沿辅助曲线方向相反两个曲线积分相加刚好抵消,所以对这类曲面斯托克斯公式仍成立.证毕曲面

与平行z轴直线交点多于一个,第144页便于记忆形式另一个形式第145页

斯托克斯公式实质：第146页例1

利用斯托克斯公式计算积分

其中

L

为平面x+y+z=1与各坐标面交线，解取逆时针方向为正向如图所表示.记三角形ABC为S,取上侧,则第147页第148页解则第149页即第150页例3

利用斯托克斯公式计算积分

其中

L

为y2+z2

=1,x=y所交椭圆正向.解记以L为边界椭圆面为S,其方向按右手法则确定，于是有第151页第152页空间曲线积分与路径无关条件定理22.5

设Ω是空间单连通区域,函数P,Q,R

在Ω上含有连续一阶偏导数,则以下四个条件相互等价:(1)对Ω内任一按段光滑闭曲线L,有(2)对Ω内任一按段光滑曲线L,与路径无关第153页(4)在Ω内处处有(3)在Ω内存在某一函数u,使第154页与路径无关,解:令积分与路径无关,所以例4.验证曲线积分并求函数第155页五、物理意义---环流量与旋度1.环流量定义:第156页利用stokes公式,有2.旋度定义:第157页第158页斯托克斯公式又一个形式其中第159页斯托克斯公式向量形式其中第160页Stokes公式物了解释:第161页三、小结3、应用条件4、物理意义2、高斯公式实质1、高斯公式第162页6,斯托克斯公式成立条件5,斯托克斯公式作业:P295:1,2,3,4,5.第163页思索题解答曲面应是分片光滑闭曲面.思索题曲面应满足什么条件才能使高斯公式成立？第164页练习题第165页第166页第167页练习题答案第168页斯托克斯(1819-1903)英国数学物理学家.他是19世纪英国数学物理学派主要代表人物之一,其主要兴趣在于寻求解主要数学物理问题有效且普通新方法,在1845年他导出了著名粘性流体运动方程(后称之为纳维–斯托克斯方程),1847年先于柯西提出了一致收敛概念.他提出斯托克斯公式是向量分析基本公式.他一生工作先后分五卷出版.第169页曲线积分与曲面积分习题课第170页（一）曲线积分与曲面积分（二）各种积分之间联络（三）场论初步

一、主要内容第171页曲线积分曲面积分对面积曲面积分对坐标曲面积分对弧长曲线积分对坐标曲线积分定义计算定义计算联络联络（一）曲线积分与曲面积分第172页曲线积分对弧长曲线积分对坐标曲线积分定义联络计算三代一定二代一定(与方向相关)第173页与路径无关四个等价命题条件等价命题第174页曲