d18函数的连续性与间断点省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

第八节函数连续性

与间断点函数连续性(continuity)函数间断点小结(discontinuouspoint)第一章函数、极限与连续1第1页间改变很小时,生物生长也极少.在函数关系上反应就是函数连续性.在自然界中,许多事物改变是连续,如气温改变很小时,金属棒长改变也很小.时在高等数学中,主要研究对象就是连续函数.这种现象从直观上不妨这么说,连续函数特征就是它图形是连续,也就是说,能够一笔画成.

函数连续性与间断点第2页1.函数增量自变量称差为自变量在增量;函数伴随从称差为函数增量.如图:一、函数连续性

函数连续性与间断点第3页连续,2.连续定义定义1设函数f(x)在内有定义,若则称函数f(x)在x0处并称x0为函数f(x)连续点.定义2若则称函数f(x)在x0处连续.

把极限与连续性联络起来了,且提供了连续函数求极限简便方法——只需求出该点函数特定值.自变量在x0点增量为无穷小时,函数增量也为无穷小.形象地表示了连续性特征.采取了无穷小定义法

函数连续性与间断点第4页连续性二种定义形式不一样,这二种定义中都含有但本质相同.f(x)在内有定义;(1)(2)(3)三个要素:存在;

函数连续性与间断点第5页例证都是连续.类似可证,是连续.即

函数连续性与间断点第6页3.左、右连续左连续(continuityfromthe右连续(continuityfromtheleft);right).左连续右连续

函数连续性与间断点第7页定理1此定理惯用于判定分段函数在分段点处连续性.

函数连续性与间断点第8页例解右不连续.所以左连续,

函数连续性与间断点第9页4.连续函数(continousfunction)与连续区间上或称函数在该区间上连续.在区间上每一点都连续函数,称该区间在开区间右连续左端点右端点这时也称该区间为continuous左连续连续函数,连续区间.内连续

函数连续性与间断点是一条无缝隙连绵而不停曲线.连续函数图形第10页比如,多项式函数内是连续.所以有理分式函数在其定义域内每一点有理分式函数只要都有所以多项式函数在都是连续.第六节中已证

函数连续性与间断点第11页定义4出现以下三种情形之一:二、函数间断点及其分类无定义;不存在;间断点.

函数连续性与间断点设函数f(x)在x0某去心邻域内有定义第12页间断点分为两类:第二类间断点第一类间断点及均存在,及中最少有一个不存在.若称为可去间断点.若称为跳跃间断点.若其中有一个为振荡,若其中有一个为称为无穷间断点.称为振荡间断点.

函数连续性与间断点第13页可去型第一类间断点跳跃型无穷型无穷次振荡型第二类间断点

函数连续性与间断点第14页例因为函数无定义,故为f(x)间断点.且皆不存在.第二类第二类间断点:最少有且是无穷型间断点.一个不存在.

函数连续性与间断点第15页例有定义,不存在,故为f(x)间断点.第二类且是无穷次振荡型间断点.之间往返无穷次振荡,

函数连续性与间断点第16页例有定义,故为f(x)间断点.第一类第一类间断点.则点x0为函数f(x)且是跳跃间断点.跳跃型间断点.及均存在,则点x0为

函数连续性与间断点第17页

函数连续性与间断点例讨论函数解为函数间断点.第一类

且是可去间断点(removablediscontinuity).处无定义,可去间断点.连续.第18页为其无穷间断点.为其振荡间断点.为可去间断点.比如:

函数连续性与间断点第19页显然为其可去间断点.(4)(5)为其跳跃间断点.

函数连续性与间断点第20页则可使x0变为连续点.注对可去间断点x0,假如于A,

(这就是为何将这种间断点称为使之等可去间断点理由.)补充x0函数值,或改变

函数连续性与间断点第21页如补充定义:如但

函数连续性与间断点第22页练习解函数无定义,是函数间断点.因为所以是函数第二类间断点,且是无穷型.因为所以是函数第一类间断点,且是跳跃型.并指出其类型.

函数连续性与间断点第23页疑难解释：2.第24页第25页练习：1.2.设3.第26页内容小结左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限最少有一个不存在在点